材料力學(xué)第3章-扭轉(zhuǎn)2.

1、華中科技大學(xué)華中科技大學(xué) 力學(xué)系力學(xué)系錢錢 勤勤E-mail：Tel: 87543438(O) 2-11 圖示托架，水平桿圖示托架，水平桿BC 的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度 l 保持不變，斜桿保持不變，斜桿AB 的長(zhǎng)度可隨夾角的長(zhǎng)度可隨夾角 的變化而改變。兩桿皆為同質(zhì)等直桿，且拉伸強(qiáng)度和壓縮強(qiáng)度亦相同。若的變化而改變。兩桿皆為同質(zhì)等直桿，且拉伸強(qiáng)度和壓縮強(qiáng)度亦相同。若要使兩桿具有等強(qiáng)度，且制作的材料最省，則兩桿的夾角要使兩桿具有等強(qiáng)度，且制作的材料最省，則兩桿的夾角、兩桿橫截面兩桿橫截面面積之比各為若干。面積之比各為若干。解：由解：由B節(jié)點(diǎn)的平衡求各桿內(nèi)力及應(yīng)力節(jié)點(diǎn)的平衡求各桿內(nèi)力及應(yīng)力兩桿具有等強(qiáng)度，則兩桿

2、應(yīng)力相同，設(shè)為兩桿具有等強(qiáng)度，則兩桿應(yīng)力相同，設(shè)為，則，則cossinsinABBCFFAA(拉拉)NsinABFFNsinABABABABFFAANcossinBCFF(壓壓)NcossinBCBCBCBCFFAAFFNABFNBCB1cosABBCAA故故cossincossin1cossincossinABABBCBCVAlAlFlFlFl要使制作材料最省即兩桿結(jié)構(gòu)總體積最小，要使制作材料最省即兩桿結(jié)構(gòu)總體積最小，其體積為：其體積為：0ddV根據(jù)極值的必要條件，有：根據(jù)極值的必要條件，有：得：得：445474.542tan3cos1BCABAA則：則：即：兩桿的夾角即：兩桿的夾角 值為值

3、為 兩桿橫截面面積的比值為兩桿橫截面面積的比值為445432-11 圖示托架，水平桿圖示托架，水平桿BC 的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度 l 保持不變，斜桿保持不變，斜桿AB 的長(zhǎng)度可隨夾角的長(zhǎng)度可隨夾角 的變化而改變。兩桿皆為同質(zhì)等直桿，且拉伸強(qiáng)度和壓縮強(qiáng)度亦相同。若的變化而改變。兩桿皆為同質(zhì)等直桿，且拉伸強(qiáng)度和壓縮強(qiáng)度亦相同。若要使兩桿具有等強(qiáng)度，且制作的材料最省，則兩桿的夾角要使兩桿具有等強(qiáng)度，且制作的材料最省，則兩桿的夾角 、兩桿橫截面兩桿橫截面面積之比各為若干。面積之比各為若干。FFNABFNBCBmin( )V即求即求補(bǔ)充例題：試求薄壁圓環(huán)在內(nèi)壓力作用下徑向截面上的拉應(yīng)力補(bǔ)充例題：試求薄壁圓環(huán)在內(nèi)壓

4、力作用下徑向截面上的拉應(yīng)力及其直徑的改變量。已知：及其直徑的改變量。已知： 210GPa MPa,2 mm,5 mm,200Epd 可認(rèn)為徑向截面上的拉應(yīng)力沿壁厚均勻分布可認(rèn)為徑向截面上的拉應(yīng)力沿壁厚均勻分布dbA解：解：d bp2RNFF 根據(jù)對(duì)稱性可得，徑向截面上內(nèi)力處處相等根據(jù)對(duì)稱性可得，徑向截面上內(nèi)力處處相等dyFN FN d ppFR 0RsindFF40MPa2(5mm)MPa)(200mm2()d2(ddbpFpbddpb)sind2(02NpbdF AFN2)2(1pdpbdb d dyFN FN pFR 薄壁圓環(huán)的周向變形薄壁圓環(huán)的周向變形EAsFsddNEAdFd)2/(N

5、20Nd)2/(dEAdFsss2)2/(NEAdF又又ddds)(d EAdFdNmm038. 0200Pa10210Pa104096dE d dyFN FN pFR 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)構(gòu)件特征構(gòu)件特征：等圓截面直桿：等圓截面直桿圓軸圓軸。M0M0受力特征受力特征：外力偶矩的作用面與桿件的軸線相垂直外力偶矩的作用面與桿件的軸線相垂直。變形特征變形特征：縱向線傾斜一個(gè)角度：縱向線傾斜一個(gè)角度 ，稱為，稱為剪切角剪切角(或或稱稱切應(yīng)變切應(yīng)變)；兩個(gè)橫截面之間繞桿軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)；兩個(gè)橫截面之間繞桿軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng) ，稱為稱為相對(duì)扭轉(zhuǎn)角相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /扭轉(zhuǎn)的概念及外力偶矩的計(jì)算

6、扭轉(zhuǎn)的概念及外力偶矩的計(jì)算M0 外力偶矩外力偶矩扭力矩扭力矩上節(jié)回顧上節(jié)回顧外加力偶矩與功率和轉(zhuǎn)速的關(guān)系外加力偶矩與功率和轉(zhuǎn)速的關(guān)系060 (kW)2( / min)PMn r9.549(kN m)Pn扭矩扭矩：受扭構(gòu)件橫截面上的內(nèi)力偶矩，記為：受扭構(gòu)件橫截面上的內(nèi)力偶矩，記為T。扭矩符號(hào)扭矩符號(hào)：按右手螺旋法則。扭矩矢量的指向與截面：按右手螺旋法則。扭矩矢量的指向與截面外法線的指向一致，為正；反之為負(fù)外法線的指向一致，為正；反之為負(fù)。TnnT（+）TnnT（-）上節(jié)回顧上節(jié)回顧（+）BMAMCM扭矩圖扭矩圖：扭矩隨構(gòu)件橫截面的位置變化的圖線：扭矩隨構(gòu)件橫截面的位置變化的圖線。AMT 1（-）

7、CMT2扭矩圖扭矩圖扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /桿受扭時(shí)的內(nèi)力計(jì)算桿受扭時(shí)的內(nèi)力計(jì)算上節(jié)回顧上節(jié)回顧Tx三、薄壁圓軸的扭轉(zhuǎn)三、薄壁圓軸的扭轉(zhuǎn)扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /薄壁圓軸的薄壁圓軸的扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)薄壁圓軸薄壁圓軸-壁厚遠(yuǎn)小于其平均半徑壁厚遠(yuǎn)小于其平均半徑( t r0)的空心圓軸。的空心圓軸。TT薄壁圓軸扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)薄壁圓軸扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)預(yù)先在圓軸的表面畫上等間距的預(yù)先在圓軸的表面畫上等間距的縱向線和圓周線，從而形成一系縱向線和圓周線，從而形成一系列的格子。列的格子。圓周線保持不變；縱向線發(fā)生傾斜。圓周線保持不變；縱向線發(fā)生傾斜。觀察到的現(xiàn)象觀察到的現(xiàn)象r0 平均半徑，平均半徑，t 壁厚壁厚ABDCABDC（1）（2 2）其他變

8、形現(xiàn)象：圓周線之間的距離保持不變，仍為圓形，）其他變形現(xiàn)象：圓周線之間的距離保持不變，仍為圓形， 繞軸線產(chǎn)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。繞軸線產(chǎn)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /薄壁圓軸的薄壁圓軸的扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)設(shè)想設(shè)想薄壁圓軸扭轉(zhuǎn)后，橫截面保持為形狀、大小均無(wú)改變的平面，薄壁圓軸扭轉(zhuǎn)后，橫截面保持為形狀、大小均無(wú)改變的平面，相鄰兩橫截面繞圓軸軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。相鄰兩橫截面繞圓軸軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。橫截面上沒(méi)有正應(yīng)力，只有切應(yīng)力。橫截面上沒(méi)有正應(yīng)力，只有切應(yīng)力。且橫截面上的切應(yīng)力的方向是沿著且橫截面上的切應(yīng)力的方向是沿著圓周的切線方向，并設(shè)沿壁厚方向圓周的切線方向，并設(shè)沿壁厚方向是均勻分布的是均勻分布的(壁厚較小壁厚較小)。

9、mm(c)ABCD薄壁圓軸兩端截面之間相對(duì)薄壁圓軸兩端截面之間相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的角位移，稱為轉(zhuǎn)動(dòng)的角位移，稱為 ，用，用 表示。表示。薄壁薄壁圓軸表面上每個(gè)格子的直圓軸表面上每個(gè)格子的直角的改變量，稱為角的改變量，稱為 。用用 表示表示 。ACDB扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /薄壁圓軸的薄壁圓軸的扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)T dAA rT扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /薄壁圓軸的薄壁圓軸的扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)A0=r02, r0 平均半徑，平均半徑，t 壁厚壁厚0tanrltan幾何關(guān)系幾何關(guān)系切應(yīng)變切應(yīng)變0rl小變形條件小變形條件切應(yīng)力切應(yīng)力靜力關(guān)系靜力關(guān)系00022TTrrAdxdydz 0 :(dd ) d(dd ) d0zMxzyyzx切應(yīng)力互等定理：

10、切應(yīng)力互等定理：二個(gè)相互垂直的截面上，垂直于兩截面交線二個(gè)相互垂直的截面上，垂直于兩截面交線的切應(yīng)力大小相等，方向均指向或離開該交線。的切應(yīng)力大小相等，方向均指向或離開該交線。扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /薄壁圓軸的薄壁圓軸的扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)薄壁圓軸縱截面上的切應(yīng)力薄壁圓軸縱截面上的切應(yīng)力剪切胡克定律剪切胡克定律ACDBcD其中其中G是材料的是材料的剪切彈性模量剪切彈性模量。且且實(shí)驗(yàn)證明實(shí)驗(yàn)證明：當(dāng)切應(yīng)力不超過(guò)：當(dāng)切應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限材料的比例極限 時(shí)，切時(shí)，切應(yīng)力應(yīng)力 與切應(yīng)變與切應(yīng)變 成正比。成正比。即即pG單位：?jiǎn)挝唬篗Pa、GPa.)1(2EG扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /薄壁圓軸的薄壁圓軸的扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)剪切胡克定律剪

11、切胡克定律G扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /薄壁圓軸的薄壁圓軸的扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)參考參考拉壓胡克定律拉壓胡克定律E02TA t切應(yīng)變切應(yīng)變0rl切應(yīng)力切應(yīng)力切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理四、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形四、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形TT實(shí)驗(yàn)觀察實(shí)驗(yàn)觀察 假設(shè)假設(shè) 理論分析理論分析研究方法：研究方法：1 1、實(shí)驗(yàn)觀察、實(shí)驗(yàn)觀察扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形橫截面上的橫截面上的應(yīng)力分布應(yīng)力分布 觀察到的變形現(xiàn)象觀察到的變形現(xiàn)象ABCD（1）橫截面上存在切應(yīng)力！橫截面上存在切應(yīng)力！（2 2）圓周線大小、位置、形狀、間距保持不變，繞軸線產(chǎn)生相）圓周線大小、位置、形狀、間距保持不變，繞軸線產(chǎn)生

12、相 對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。橫截面上不存在正應(yīng)力！橫截面上不存在正應(yīng)力！ABCD（3 3）圓軸右端截面上所繪的徑向線保持直線。）圓軸右端截面上所繪的徑向線保持直線。2 2、假設(shè)假設(shè)剛性平面假設(shè)：剛性平面假設(shè)：即圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面象剛性平面即圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面象剛性平面一樣繞軸線作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)一樣繞軸線作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形圓軸圓軸許多個(gè)套在一起的薄壁圓軸許多個(gè)套在一起的薄壁圓軸(管管)，各個(gè)薄壁，各個(gè)薄壁圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角相同。圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角相同。橫截面上的切應(yīng)力處處垂直于徑向，橫截面上的切應(yīng)力處處垂直于徑向， 且方向同且方向同T 旋轉(zhuǎn)

13、方向。旋轉(zhuǎn)方向。扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形T 橫截面上各點(diǎn)橫截面上各點(diǎn) 切應(yīng)力的方向。切應(yīng)力的方向。3 3、理論分析、理論分析(1)幾何分析幾何分析TTdx扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形T設(shè)橫截面半徑為設(shè)橫截面半徑為R小變形條件下小變形條件下dtandRxtand( )dRRx扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形Rddx同理同理ddx ddx式中式中 表示扭轉(zhuǎn)角表示扭轉(zhuǎn)角沿軸長(zhǎng)的變化率稱為沿軸長(zhǎng)的變化率稱為單位單位扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角，在同一截面上，在同一截面上， =常數(shù)。常數(shù)。ddx扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)

14、力和變形圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形(2)物理?xiàng)l件物理?xiàng)l件剪切胡克定律剪切胡克定律GGconst,const,GT扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形; 0, 0max, R 稱為極慣性矩，是截面的幾何性質(zhì)，與截面的幾何形狀、稱為極慣性矩，是截面的幾何性質(zhì)，與截面的幾何形狀、尺寸有關(guān)。尺寸有關(guān)。pI(3)靜力平衡條件靜力平衡條件TdAAT2ddAATAGA2dAGApIpG IpTGI(單位扭轉(zhuǎn)角單位扭轉(zhuǎn)角, 單位：?jiǎn)挝唬簉ad/m)扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形在扭矩相同的條件下，在扭矩相同的條件下，pp( ),( );( ),( )GIGI因

15、此因此 表示圓軸抵抗變形的能力，稱為圓軸的表示圓軸抵抗變形的能力，稱為圓軸的抗扭剛度抗扭剛度。pGIpTGI橫截面上切應(yīng)力計(jì)算公式橫截面上切應(yīng)力計(jì)算公式maxpTRRI當(dāng)時(shí)，pTWppIWR 抗扭截面模量抗扭截面模量。扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形GpTGI若一段軸扭矩為常數(shù)若一段軸扭矩為常數(shù)T，則其兩端截面的，則其兩端截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角相對(duì)扭轉(zhuǎn)角pTllGI扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形應(yīng)力分布情況應(yīng)力分布情況（實(shí)心截面）（實(shí)心截面）（空心截面）（空心截面）D=2R(4)公式中幾何量公式中幾何量 與與 的計(jì)算。的計(jì)算。pIpWda、實(shí)

16、心圓截面、實(shí)心圓截面d2dA 因此因此2pdAIA202dR 42R432D而而ppIWR32R316DdA扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形b、空心圓截面、空心圓截面Dd44p3232IDd)1 (3244D式中式中Dd而而pp/2IWD)1 (1643D扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形內(nèi)外徑之比內(nèi)外徑之比討論討論 由兩種不同材料組成的圓軸，里層和外層材由兩種不同材料組成的圓軸，里層和外層材料的剪切彈性模量分別為料的剪切彈性模量分別為G1和和G2，且，且G12G2。圓軸。圓軸尺寸如圖中所示。尺寸如圖中所示。 圓軸受扭時(shí)，里、外層之間無(wú)相對(duì)

17、滑動(dòng)。關(guān)于圓軸受扭時(shí)，里、外層之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。關(guān)于橫截面上的切應(yīng)力分布，有圖中橫截面上的切應(yīng)力分布，有圖中( (A)、( (B)、( (C)、( (D)所示的四種結(jié)論，請(qǐng)判斷哪一種是正確的。所示的四種結(jié)論，請(qǐng)判斷哪一種是正確的。 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形TpTGI例例 實(shí)心圓截面軸實(shí)心圓截面軸和空心圓截面軸和空心圓截面軸 (= d2/D2 =0.8)的材料、扭轉(zhuǎn)力偶矩的材料、扭轉(zhuǎn)力偶矩 Me 和長(zhǎng)度和長(zhǎng)度l 均相同。試求在均相同。試求在兩圓軸橫截面上最大切應(yīng)力相等的情況下，兩圓軸橫截面上最大切應(yīng)力相等的情況下，D2/d1之比以及兩軸的重量比。之比以及兩軸的重

18、量比。(a) Me Me d1lMe (b) Me lD2d2扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形31e1pe1p1max, 116dMWMWT432e2pe2p2max, 2116DMWMWT解：解：16311pdW4322p116DWmax, 2max1，314321dD194. 18 . 0113412dD8 . 0已知已知得得扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形兩軸的重量比兩軸的重量比1212AAWW可見空心圓軸的自重比實(shí)心圓軸輕?？梢娍招膱A軸的自重比實(shí)心圓軸輕。21222212222144dDddD512. 08 . 01194. 12

19、2結(jié)論：結(jié)論： 空心圓軸比實(shí)心圓軸更適合于做受扭構(gòu)件空心圓軸比實(shí)心圓軸更適合于做受扭構(gòu)件! !扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形例例 如圖所示等截面圓軸，已知如圖所示等截面圓軸，已知d=90mm , l=50cm, , 。軸的材料為鋼，。軸的材料為鋼，G=80GPa,求求（1）軸的最大切應(yīng)力；）軸的最大切應(yīng)力；（2）截面）截面B和截面和截面C的扭轉(zhuǎn)角；的扭轉(zhuǎn)角；（3）若要求）若要求BC段的單位扭轉(zhuǎn)角與段的單位扭轉(zhuǎn)角與AB段的相等，則在段的相等，則在BC段鉆孔段鉆孔 的孔徑的孔徑d 應(yīng)為多大？應(yīng)為多大？18kN.mM 23kN.mM 1M2MAllBCd扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /

20、圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件1M2MAllBCd（+）5 kN.m（-）3 kN.m扭矩圖扭矩圖解：解：(1)軸的最大切應(yīng)力軸的最大切應(yīng)力作扭矩圖：作扭矩圖：2211123kN.mTM2125kN.mTMMmax25kN.mTT因此因此maxmaxpTW3316105d25.5MPa扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件1M2MAllBCd（2）扭轉(zhuǎn)角）扭轉(zhuǎn)角截面截面B：2pABBBAT lGI493) 1 . 0(3210825 . 01050.1780.00311rad扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件截面截面CC

21、AC0.00125radBACB00311.01pBCTlGI493) 1 . 0(3210825 . 010300311.00.0721M2MAllBCd扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件（3）BC段孔徑段孔徑d1M2MAllBCd由由BCAB21p2p1TTGIGI得得441p1p22()32TIddIT解得：解得：14210.08 m8 cmTddT 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件例例 圖示圓截面桿圖示圓截面桿AB左端固定，承受一集度為左端固定，承受一集度為t的的均布力偶矩作用。試導(dǎo)出計(jì)算截面均布力偶矩作用。試導(dǎo)出計(jì)算截面B

22、的扭轉(zhuǎn)角公式。的扭轉(zhuǎn)角公式。Lt xdx解：解：取微段作為研究對(duì)象。取微段作為研究對(duì)象。T(x)T(x) L-xtT(x)根據(jù)平衡條件求得橫截面上的扭根據(jù)平衡條件求得橫截面上的扭矩為：矩為：)(xLtT微段兩端截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為微段兩端截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為p( )ddT xxGIAB扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件因此因此p( )ddBBALLT xxGI0p()dLt LxxGI2p2tLGI扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件Lt圓軸扭轉(zhuǎn)破壞形式圓軸扭轉(zhuǎn)破壞形式塑性材料塑性材料脆性材料脆性材料扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形圓

23、軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)斜截面上的應(yīng)力等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)斜截面上的應(yīng)力1. 1. 低碳鋼試件：低碳鋼試件：沿橫截面斷開。沿橫截面斷開。2.2.灰鑄鐵試件：灰鑄鐵試件：沿與軸線約成沿與軸線約成45 的的螺旋線斷開。螺旋線斷開。因此還需要研究斜截面上的應(yīng)力。因此還需要研究斜截面上的應(yīng)力。扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形兩種扭轉(zhuǎn)破壞方式兩種扭轉(zhuǎn)破壞方式1. 點(diǎn)點(diǎn)M的應(yīng)力單元體如圖的應(yīng)力單元體如圖(b)：(a)M(b) (c)2. 斜截面上的應(yīng)力；斜截面上的應(yīng)力； 取微元體如圖取微元體如圖(d)：(d) x扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形(

24、d) xnt轉(zhuǎn)角規(guī)定：轉(zhuǎn)角規(guī)定：x軸正向轉(zhuǎn)至截面外法線軸正向轉(zhuǎn)至截面外法線逆時(shí)針：為逆時(shí)針：為“+”順時(shí)針：為順時(shí)針：為“”由平衡方程：由平衡方程：0)cossind()sincosd(d ; 0AAAFn0)sinsind()coscosd(d ; 0AAAFt解得：解得： sin2 ; cos2 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形2cos ; 2sin 分析分析：當(dāng)當(dāng) = 0時(shí)，時(shí)，max00 , 0當(dāng)當(dāng) = 45時(shí)，時(shí)，0 , 45min45當(dāng)當(dāng) = 45時(shí)，時(shí)，0 , 45max45當(dāng)當(dāng) = 90時(shí)，時(shí)，max9090 , 0 45 由此可見：圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，在橫

25、截由此可見：圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，在橫截面和縱截面上的切應(yīng)力為最大值；在面和縱截面上的切應(yīng)力為最大值；在方向角方向角 = 45 的斜截面上作用有最的斜截面上作用有最大壓應(yīng)力和最大拉應(yīng)力。根據(jù)這一結(jié)大壓應(yīng)力和最大拉應(yīng)力。根據(jù)這一結(jié)論，就可解釋前述的破壞現(xiàn)象。論，就可解釋前述的破壞現(xiàn)象。扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形五、圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件五、圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件（一）強(qiáng)度條件（一）強(qiáng)度條件塑性材料塑性材料脆性材料脆性材料扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件受扭圓軸失效的標(biāo)志：受扭圓軸失效的標(biāo)志：塑性材料：屈服，扭轉(zhuǎn)塑性材料：屈服，扭轉(zhuǎn)屈服應(yīng)

26、力屈服應(yīng)力： ；s脆性材料：斷裂，扭轉(zhuǎn)脆性材料：斷裂，扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度應(yīng)力強(qiáng)度應(yīng)力： ；b統(tǒng)稱統(tǒng)稱扭轉(zhuǎn)極扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力限應(yīng)力：u因此圓軸的強(qiáng)度條件為因此圓軸的強(qiáng)度條件為maxpmax TW式中式中nu（許用切應(yīng)力許用切應(yīng)力，n 為為安全系數(shù)安全系數(shù)）扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件（二）剛度條件（二）剛度條件max或或maxmaxp180 (/ m)TGI單位： 的數(shù)值按照對(duì)機(jī)器的要求決定：的數(shù)值按照對(duì)機(jī)器的要求決定：精密機(jī)器的軸：精密機(jī)器的軸： (0.15 0.5) /m 一般傳動(dòng)軸：一般傳動(dòng)軸： (0.5 1) / m精度要求不高的軸：精度要求不高的軸： (1 2.5

27、) / m扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件三類強(qiáng)度計(jì)算問(wèn)題三類強(qiáng)度計(jì)算問(wèn)題 校核強(qiáng)度：校核強(qiáng)度： 設(shè)計(jì)截面尺寸：設(shè)計(jì)截面尺寸： 計(jì)算許可載荷：計(jì)算許可載荷：maxmaxp TWmaxp TWmaxp TW33p4 16 116DWD實(shí)：空：（）maxpmax TW扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件三類剛度計(jì)算問(wèn)題：三類剛度計(jì)算問(wèn)題： 校核剛度：校核剛度： 設(shè)計(jì)截面尺寸：設(shè)計(jì)截面尺寸： 計(jì)算許可載荷：計(jì)算許可載荷： max maxp T IGp max TGImaxmax

28、p180 (/ m)TGI單位：解：解：由傳動(dòng)軸的尺寸計(jì)算抗扭截面模量：由傳動(dòng)軸的尺寸計(jì)算抗扭截面模量：)1 (1643DWp)2(1 1643DtDD6329.24 10m軸的最大切應(yīng)力軸的最大切應(yīng)力例題例題3-2 某汽車傳動(dòng)軸，用某汽車傳動(dòng)軸，用45號(hào)鋼無(wú)縫鋼管制成，其外徑號(hào)鋼無(wú)縫鋼管制成，其外徑D=90mm,壁厚壁厚t=2.5mm，使用時(shí)最大扭矩為，使用時(shí)最大扭矩為T=1500 N.m,試校核此軸的強(qiáng)度。試校核此軸的強(qiáng)度。已知已知 =60MPa。若此軸改為實(shí)心軸，并要求強(qiáng)度仍與原空心軸相。若此軸改為實(shí)心軸，并要求強(qiáng)度仍與原空心軸相當(dāng)，則實(shí)心軸的直徑當(dāng)，則實(shí)心軸的直徑 為？為？1D扭扭 轉(zhuǎn)

29、轉(zhuǎn)/ /圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件maxmaxpTW6150051.3MPa29.24 10 60MPa所以此軸安全。所以此軸安全。若此軸改為實(shí)心軸，而若此軸改為實(shí)心軸，而maxmaxp151.3MPaTW3p1116WD式中式中解得：解得：max316160.053m53mm51.3 10TD扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件實(shí)心軸的橫截面面積為實(shí)心軸的橫截面面積為2114DA22205mm空心軸的橫截面面積空心軸的橫截面面積2222()687mm4ADd空心軸與實(shí)心軸的重量之比：空心軸與實(shí)心軸的重量之比：221168731%2205WAW

30、A扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件 例例 長(zhǎng)為 L=2m 的圓桿受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為 =0.8 ，G=80GPa ，許用切應(yīng)力 =30MPa，試設(shè)計(jì)桿的外徑；若=2/m ，試校核此桿的剛度，并求右端面轉(zhuǎn)角。解：設(shè)計(jì)桿的外徑maxp TW34pD 1 16W（）314max 116）（TD扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件314max 116）（TD40NmxT代入數(shù)值得：D 0.0226m 由扭轉(zhuǎn)剛度條件校核剛度maxmaxp180TGI扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件圓軸的強(qiáng)度條件

31、和剛度條件40NmxTmaxmaxp180TGI 8911108018040324429.)(D右端面轉(zhuǎn)角為：222000ppp402010dd(4) 0.033 (LTxxxxxGIGIGIrad）扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件根據(jù)軸傳遞的功率以及軸每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)，確定作用在根據(jù)軸傳遞的功率以及軸每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)，確定作用在軸上的外加力偶的力偶矩。軸上的外加力偶的力偶矩。應(yīng)用截面法確定軸的橫截面上的扭矩，當(dāng)軸上同時(shí)作應(yīng)用截面法確定軸的橫截面上的扭矩，當(dāng)軸上同時(shí)作用有兩個(gè)以上的繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的外加扭力矩時(shí)，

32、需要畫出扭矩用有兩個(gè)以上的繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的外加扭力矩時(shí)，需要畫出扭矩圖。圖。根據(jù)軸的扭矩圖，確定可能的危險(xiǎn)面以及危險(xiǎn)面上的根據(jù)軸的扭矩圖，確定可能的危險(xiǎn)面以及危險(xiǎn)面上的扭矩?cái)?shù)值。校核、設(shè)計(jì)軸的直徑以及確定許用載荷。扭矩?cái)?shù)值。校核、設(shè)計(jì)軸的直徑以及確定許用載荷。計(jì)算危險(xiǎn)截面上的最大切應(yīng)力或單位長(zhǎng)度上的相對(duì)扭計(jì)算危險(xiǎn)截面上的最大切應(yīng)力或單位長(zhǎng)度上的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。轉(zhuǎn)角。根據(jù)需要，應(yīng)用強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則與剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則對(duì)圓軸根據(jù)需要，應(yīng)用強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則與剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則對(duì)圓軸進(jìn)行強(qiáng)度與剛度校核、設(shè)計(jì)軸的直徑以及確定許用載荷。進(jìn)行強(qiáng)度與剛度校核、設(shè)計(jì)軸的直徑以及確定許用載荷。 例例 某傳動(dòng)軸設(shè)計(jì)要求轉(zhuǎn)速某傳動(dòng)軸設(shè)計(jì)要求轉(zhuǎn)速

33、n = 500 r / min，輸入功率，輸入功率N1 = 500 馬力，馬力， 輸出功率分別輸出功率分別 N2 = 200馬力及馬力及 N3 = 300馬力，已知：馬力，已知：G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，試確定：，試確定： AB 段直徑段直徑 d1和和 BC 段直徑段直徑 d2 ？ 若全軸選同一直徑，應(yīng)為多少？若全軸選同一直徑，應(yīng)為多少？ 主動(dòng)輪與從動(dòng)輪如何安排合理？主動(dòng)輪與從動(dòng)輪如何安排合理？解：解：圖示狀態(tài)下圖示狀態(tài)下, ,扭矩如扭矩如 圖圖，由強(qiáng)度條件得由強(qiáng)度條件得： 500400N1N3N2ACBTx7.024 4.21(kNm)7.024(kN m)NMn扭扭

34、 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件31p 16 dTW mm4671070143421016163632.Td 4p 32 dTIG mm801070143702416163631.Td由剛度條件得由剛度條件得：500400N1N3N2ACBTx7.0244.21(kNm)扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件 mm47411080143180421032 3249242.GTd mm8411080143180702432 3249241 .GTd mm75 mm8521 d,d綜上：綜上：全軸選同一直徑時(shí)全軸選同一直徑時(shí) mm851 dd扭

35、扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件 可見：可見：此軸的直徑是由剛度條件控制的此軸的直徑是由剛度條件控制的 軸上的軸上的絕對(duì)值絕對(duì)值最大最大的扭矩的扭矩越小越越小越合理，所以，合理，所以，1輪和輪和2輪應(yīng)輪應(yīng) 該該換位。換位。換位后換位后, ,軸的扭矩如圖所示軸的扭矩如圖所示, ,此時(shí)此時(shí), ,軸的最大直徑軸的最大直徑 為為 75 75mm。Tx 4.21(kNm)2.814扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件圓軸的強(qiáng)度條件和剛度條件六、扭轉(zhuǎn)的超靜定問(wèn)題六、扭轉(zhuǎn)的超靜定問(wèn)題扭轉(zhuǎn)的超靜定問(wèn)題扭轉(zhuǎn)的超靜定問(wèn)題受扭圓桿的未知反力偶或扭矩受扭圓桿的未知反力偶或扭矩?cái)?shù)超過(guò)獨(dú)立的靜力平衡方程數(shù)。數(shù)超過(guò)獨(dú)立的靜力平衡方程數(shù)。超靜定問(wèn)題的解法：超