第十章可壓縮氣體.

1、1.音速音速 音速音速是微弱擾動在可壓縮介質(zhì)是微弱擾動在可壓縮介質(zhì)中的傳播速度中的傳播速度 圖圖10-1，靜止活塞突然以微，靜止活塞突然以微小速度小速度d向右運動。以壓力波向右運動。以壓力波的形式以波速的形式以波速a（音速）向右（音速）向右傳播。傳播。 波面把左、右分為受擾動區(qū)和波面把左、右分為受擾動區(qū)和未受擾動區(qū)。未受擾動區(qū)。 未受擾動區(qū)：未受擾動區(qū)：p， 受擾動區(qū)：受擾動區(qū)： d，p+dp， +d 坐標建立在波面上，斷面坐標建立在波面上，斷面1-1和和2-2無限接近波面，管道無限接近波面，管道斷面積為斷面積為A，連續(xù)方程：，連續(xù)方程：AdadaA)(忽略二階微量得忽略二階微量得add（10

2、-1）動量方程（忽略黏性影響）：動量方程（忽略黏性影響）：)()(adaaAAdpppA整理得：整理得：addp （10-2）由式（由式（10-1）和（）和（10-2）得）得ddpa （10-3）可見壓縮性小的音速大可見壓縮性小的音速大 對于氣體，微弱擾動的傳播只伴隨有極其微弱的熱交換，對于氣體，微弱擾動的傳播只伴隨有極其微弱的熱交換，因而可以近似地將微弱擾動的傳播過程視為等熵過程。于因而可以近似地將微弱擾動的傳播過程視為等熵過程。于是，應用等熵過程關系式是，應用等熵過程關系式Cpk（常數(shù)）（常數(shù)） （10-4）pdkdCkdpk1理想氣體狀態(tài)方程：理想氣體狀態(tài)方程：RTp則則式（式（10-3

3、）成為：成為：kRTpka（10-5）式中式中k為氣體的絕熱指數(shù)，為氣體的絕熱指數(shù)，R為氣體常數(shù)。常壓下的空氣：為氣體常數(shù)。常壓下的空氣：k=1.4，R=287J/(kg.K)pkddp【例例10-1】常壓下空氣溫度常壓下空氣溫度10，音速多大？，音速多大？解解 T=273+15=288K，則，則smkRTa/3402882874 . 12.馬赫數(shù)馬赫數(shù) 馬赫數(shù)：馬赫數(shù)：氣體本身的速度氣體本身的速度與音速與音速a的比值。的比值。aMa擾動點源不動，擾動點源不動，=0，Ma=0a，Maa，Ma1，超音速流，超音速流Maa1sin（10-7） 理想氣體：理想氣體：黏性很小，可以忽略黏性很小，可以忽

4、略1.連續(xù)性方程連續(xù)性方程 取一管狀流段作為控制體（圖取一管狀流段作為控制體（圖10-3），由質(zhì)量守恒），由質(zhì)量守恒mQAA222111常數(shù)AQm（10-8）或或式中式中Qm為質(zhì)量流量為質(zhì)量流量對上式進行微分對上式進行微分0AdAdd（10-9）2.運動方程運動方程 取一個流向長度為取一個流向長度為ds 的微元柱體，的微元柱體，其截面積為其截面積為A dtdAdsAdpppA)(整理，且整理，且ds/dt=，得，得0ddp（10-10）又稱歐拉方程又稱歐拉方程也可由也可由式（式（3-15）得到得到3.能量方程能量方程 將運動方程積分可得理想氣體一元恒定流動的能量方程將運動方程積分可得理想氣體一

5、元恒定流動的能量方程(即即伯努利方程伯努利方程)。Cdp212（常數(shù)）（常數(shù)）（1）等溫流動）等溫流動RTppRT1CpRT2ln2任意兩斷面任意兩斷面2ln2ln222211pRTpRT2ln212221ppRT或或（10-13）（10-12）（2）絕熱流動）絕熱流動 與外界無熱量交換的流動過程稱為與外界無熱量交換的流動過程稱為絕熱過程絕熱過程。在無。在無能量損失時，稱為能量損失時，稱為等熵過程等熵過程。因此，。因此，理想氣體的絕理想氣體的絕熱流功即為等熵流動熱流功即為等熵流動。 理想氣體絕熱流動（即等熵流動）過程方程理想氣體絕熱流動（即等熵流動）過程方程:CpkdCkdpk 1dCkdpk

6、 21pkkkCkdCkdpkk11112所以絕熱流動的能量方程所以絕熱流動的能量方程Cpkk212（10-14）任意兩斷面任意兩斷面212122222111pkkpkk（10-15）【例例10-2】高壓空氣高速噴入煤高壓空氣高速噴入煤氣，圖氣，圖10-5。p1=1200kPa，p2=1000kPa,1=100m/s，t1=27，k=1.4，R=287J/(kg.K)。求求2？解解 按等熵流動處理按等熵流動處理212211212ppkk86100)27273(287111 RTpm2/s2其中其中kkpp21218173012001000861004 . 114 . 11121122kkppp

7、pm2/s2又由又由故故2011008173008610014 . 14 . 1222m/s 設想在流動過程中的某一斷面，氣流的速度以無摩擦的絕設想在流動過程中的某一斷面，氣流的速度以無摩擦的絕熱過程降低至零，該斷面的氣流狀態(tài)稱為熱過程降低至零，該斷面的氣流狀態(tài)稱為滯止狀態(tài)滯止狀態(tài)，相應，相應的氣流參數(shù)稱為的氣流參數(shù)稱為滯止參數(shù)滯止參數(shù)。 滯止參數(shù)通常用下標滯止參數(shù)通常用下標“0” 標示，如標示，如p0、0、T0、a0等分等分別表示滯止壓強、滯止密度、滯止溫度、滯止音速等。別表示滯止壓強、滯止密度、滯止溫度、滯止音速等。 斷面的滯止參數(shù)可根據(jù)能量方程及有關斷面參數(shù)求得。對斷面的滯止參數(shù)可根據(jù)能

8、量方程及有關斷面參數(shù)求得。對滯止斷由和沿流程任意斷面，能量方程滯止斷由和沿流程任意斷面，能量方程式（式（10-14）可寫可寫為為211200pkkpkk21120RTkkRTkk（10-16a）（10-16b） 若以當?shù)匾羲俸蜏挂羲俅胧饺粢援數(shù)匾羲俸蜏挂羲俅胧剑?0-16b），），則得則得2112220kakakRTa 00kRTa （10-16c）為便于分析計算，習慣上常將滯止參數(shù)與當?shù)貐?shù)之比表為便于分析計算，習慣上常將滯止參數(shù)與當?shù)貐?shù)之比表示為馬赫數(shù)示為馬赫數(shù)Ma的函數(shù)。由的函數(shù)。由式（式（10-16b）可得可得22220211211211MakakkRTkTT（10-17）)

9、1/(2)1/(00211kkkkMakTTpp)1/(12)1/(100211kkMakTT2/122/100211MakTTaa根據(jù)根據(jù)絕熱狀態(tài)方程和理想氣體狀態(tài)方程絕熱狀態(tài)方程和理想氣體狀態(tài)方程（10-18）【例例10-3】設氣流的速度設氣流的速度=70m/s，溫度，溫度T=293K，絕熱指數(shù)，絕熱指數(shù)k=1.4，求其密度相對于，求其密度相對于滯止狀態(tài)時的變化率。滯止狀態(tài)時的變化率。解解 據(jù)題設條件可得音速據(jù)題設條件可得音速1 .3432932874 . 1kRTam/s204. 01 .34370aMa馬赫數(shù)馬赫數(shù)0209. 1204. 0214 . 11211)14 . 1/(12)

10、1/(120kMak密度相對于滯止狀態(tài)的變化率密度相對于滯止狀態(tài)的變化率代入代入式（式（10-18）0205. 00209. 1111000由此可見，當氣流速度由由此可見，當氣流速度由70 m/s變化為零時，其密度由變化為零時，其密度由變化變化為為0只不過增大約只不過增大約2% 。這就是通常所說的氣流速度小于。這就是通常所說的氣流速度小于70 m/s 時，可以作為不可壓縮流體計算的根據(jù)所在。時，可以作為不可壓縮流體計算的根據(jù)所在。 將計算沿程損失的達西公式應用到將計算沿程損失的達西公式應用到 ds微段上，可得單位微段上，可得單位質(zhì)量氣體在微段質(zhì)量氣體在微段ds 上上 的沿程損失：的沿程損失：2

11、)(2ddsghdf（10-19）上式各項同除以上式各項同除以2 ， 并考慮可壓縮氣體的連續(xù)性方程并考慮可壓縮氣體的連續(xù)性方程Qm=A，則式，則式(10-20) 成為：成為：022ddsddp（10-20）將式（將式（10-19) 代到理想可壓縮氣體一元恒定流動的運動方程代到理想可壓縮氣體一元恒定流動的運動方程式式(10-10) 中，便得到實際可壓縮氣體一元恒定流動的運動中，便得到實際可壓縮氣體一元恒定流動的運動方程：方程：0222dsddQdpAm（10-21）1.等溫管流等溫管流 T=常數(shù)常數(shù) =f(Re，d），），=常數(shù)常數(shù) p/=RT =p/RT 代入代入式（式（10-21） 對相距對

12、相距l(xiāng)的的1-1和和2-2斷面積分斷面積分0222dsddpdpRTQAmdlppARTQppm21222221ln2020222121lppmdsddpdpRTQA得得（10-22）由由11= 22和和p/ =RT，有，有2/ 1= 1/ 2=p1/p2，則，則dlARTQppm12222221ln2（10-23） 若管道較長，且氣流速度若管道較長，且氣流速度1、2變化不大時，變化不大時，2ln(2/1)或或2ln(p1/p2)l/d，對數(shù)項可忽略不，對數(shù)項可忽略不計，上式簡化為計，上式簡化為（10-24）考慮到考慮到Qm=11A和和p1=1RT，式（，式（10-24）可改寫為）可改寫為dA

13、lQRTppm222221（10-25）RTdlpp21121由式（由式（10-24）得質(zhì)量流量公式）得質(zhì)量流量公式（10-26）lRTppdpplRTdAQm22212/522214)(可直接計算可直接計算kMa/1只能按只能按kMa/1kMa/1計算計算 由狀態(tài)方程由狀態(tài)方程p=RT，取對數(shù)，并求導得：，取對數(shù)，并求導得：TdTdpdpkRTpkaT=常數(shù)常數(shù)由連續(xù)性方程由連續(xù)性方程式（式（10-9），），得得dddkMaTdTdkMapdpkMapdppdp222221)(11式（式（10-20）除以除以2，得，得dkMadp221022ddsddp022dsdddp0212dsdddk

14、MadsddkMakMa2122【例例10-4】已知某煤氣管道長已知某煤氣管道長l=100km，管徑，管徑d=300mm，起始斷面壓強，起始斷面壓強p1=4905kPa，管道末端，管道末端壓強壓強p2=2455kPa，管內(nèi)溫度，管內(nèi)溫度t=15，氣體常數(shù)，氣體常數(shù)R=343J/(kg.K)，絕熱指數(shù)，絕熱指數(shù)k=1.37，沿程阻力系數(shù)，沿程阻力系數(shù)=0.015，求通過的質(zhì)量流量，求通過的質(zhì)量流量Qm。解解 將各已知量代入將各已知量代入式（式（10-26）得得skgQm/51 0)15273(343245500049050003 . 04222/5檢驗管道末端的馬赫數(shù)檢

15、驗管道末端的馬赫數(shù)Ma：smkRTa/88.367)15273(34337. 1854. 01021. 088.36769. 722kaMa322/85.242883432455000mkgRTpsmAQm/69. 73 . 0)4/(85.2451.13222計算有效計算有效2.絕熱管流絕熱管流 將絕熱狀態(tài)方程將絕熱狀態(tài)方程p/k=C代入代入式（式（10-21）得得02/12/12dsdddppQCAkmk020/12/122121lppkmkdsdddppQCA可得可得（10-27）由由11= 22和和p1/ 1k= p2/ 2k ，有，有2/ 1= 1/ 2=(p1/p2)1/k，則，則

16、dlCAQkkppkmkkkk2ln112/122/ )1(2/ )1(1（10-28）dlppkCAQkkppkmkkkk2ln1121/122/ )1(2/ )1(1 氣流速度氣流速度1、2變化不大時，對數(shù)項可忽略不計，上式變化不大時，對數(shù)項可忽略不計，上式簡化為簡化為（10-29）221/11/ )1(2/ )1(121dAlQpkkppmkkkkk由式（由式（10-29）可導得質(zhì)量流量公式為）可導得質(zhì)量流量公式為（10-30）)(124)(12/ )1(2/ )1(1/112/5/ )1(2/ )1(1/11kkkkkkkkkkmpplpdkkdpplpdkkAQ如果如果Ma1，只能按

17、，只能按Ma=1代入計算代入計算 由狀態(tài)方程由狀態(tài)方程p=Ck，取對數(shù)，并求導得：，取對數(shù)，并求導得：dkpdpkRTpka由連續(xù)性方程由連續(xù)性方程式（式（10-9），），得得dddMapdpkMapdppdp222211式（式（10-20）除以除以2，得，得dMadp221022ddsddp022dsdddp0212dsdddMadsddMaMa2122【例例10-5】設有一絕熱良好的水平管道輸送空氣，已知管設有一絕熱良好的水平管道輸送空氣，已知管徑徑d=100mm，沿程阻力系數(shù)，沿程阻力系數(shù)=0.016，絕熱指數(shù)，絕熱指數(shù)k=1.4，進口處絕對壓強，進口處絕對壓強p1=106N/m2，溫度，溫度T1=293K，流速，流速1=30m/s，求輸送距離，求輸送距離l=200m處處的絕對壓強的絕對壓強p2。解解 將將Qm=11A和和1=p1/RT1代入代入式（式（10-29）并整理并整理得得)1/(12112211kkdRTlkkpp156. 16 .81650810000004 . 1/