第三章 連續(xù)時間傅里葉變換

1、Signals & Systems Chapter3信號分析本章要點本章要點信號表示為傅立葉級數(shù)信號表示為傅立葉級數(shù)周期信號的頻譜周期信號的頻譜傅里葉變換傅里葉變換常用信號頻譜函數(shù)舉例常用信號頻譜函數(shù)舉例傅立葉變換的性質(zhì)傅立葉變換的性質(zhì)FFFFFFFFFFSignals & Systems 引言引言變換域分析變換域分析就是選取完備的正交函數(shù)集來最佳逼近信就是選取完備的正交函數(shù)集來最佳逼近信號號 ，或者說，信號，或者說，信號 用完備的正交函數(shù)集來用完備的正交函數(shù)集來展開，其展開系數(shù)就是信號的變換表示。不同的變展開，其展開系數(shù)就是信號的變換表示。不同的變換域的區(qū)別就在于選取不同的正

2、交完備集。換域的區(qū)別就在于選取不同的正交完備集。采用變換域分析的目的：主要是簡化分析。這章付里葉變采用變換域分析的目的：主要是簡化分析。這章付里葉變換主要從信號分量的組成情況去考察信號的特性。換主要從信號分量的組成情況去考察信號的特性。從而便于研究信號的傳輸和處理問題。從而便于研究信號的傳輸和處理問題。)(tf)(tfSignals & Systems 一、周期信號一、周期信號f f（t t）表示為付里葉級數(shù)）表示為付里葉級數(shù) representation ofrepresentation of periodic signal: Fourier Series periodic sign

3、al: Fourier Series 由數(shù)學分析知，當周期信號由數(shù)學分析知，當周期信號f f（t t）滿足狄氏條件時，）滿足狄氏條件時，可展開為三角付里葉級數(shù)或復指數(shù)傅立葉級數(shù)?？烧归_為三角付里葉級數(shù)或復指數(shù)傅立葉級數(shù)。狄氏條件：狄氏條件： （1 1）在一周期內(nèi)，間斷點的數(shù)目有限；）在一周期內(nèi)，間斷點的數(shù)目有限；（2 2）在一周期內(nèi)，極大、極小值的數(shù)目有限；）在一周期內(nèi)，極大、極小值的數(shù)目有限；（3 3）在一周期內(nèi)，）在一周期內(nèi)，dttfTtt11)(電子技術(shù)中的周期信號大都滿足狄氏條件，當電子技術(shù)中的周期信號大都滿足狄氏條件，當f f（t)t)滿足滿足狄氏條件時，狄氏條件時， 才存在。才存在

4、。nnncba,3.1 周期信號表示為傅里葉級數(shù)Signals & Systems 二、三角函數(shù)的傅里葉級數(shù)二、三角函數(shù)的傅里葉級數(shù): 112T)sincos()(11101tnbtnaatfnnn直流分量基波分量n =1 諧波分量n11nSignals & Systems 100).(110TttdttfTa100.cos).(211TttndttntfTadttntfTbTttn.sin).(210011直流系數(shù)余弦分量系數(shù)正弦分量系數(shù)Signals & Systems 例例 3.1-1 求圖示信號的傅里葉級數(shù)展開式。圖 3.1-1 例 3.1-1 圖 of (t)

5、tT2T2T TT2ESignals & Systems 解解 取t0=0，則有 20002)(2TTEdtETdttfTa這表明信號f(t)的直流分量為a0/2=E/2。 20002)(2TTEdtETdttfTa202000sin2cos2cos)(2TTTntnTEdttnETdtntfTaSignals & Systems 考慮到上式中考慮到上式中=2/T，則，則an=0。同樣可得。同樣可得 Signals & Systems 據(jù)式(3.2-10)有 Signals & Systems 在式(3.2-6)中，若取t0=-T/2，則有 Signals &a

6、mp; Systems 當f(t)為t的奇函數(shù)時，則有f(t)cosnt為t的奇函數(shù)， f(t)sinnt為t的偶函數(shù)，因而有：Signals & Systems 當f(t)為t的偶函數(shù)時，由于f(t)cosnt為t的偶函數(shù)，f(t) sinnt為t的奇函數(shù)。據(jù)式(3.2-13)有 即當f(t)為偶函數(shù)時，其傅里葉級數(shù)展開式中只可能有直流分量及cos nt分量， 而無sin nt分量。 Signals & Systems 三、周期信號三、周期信號f f（t t）展開為復指數(shù)付里葉級數(shù)）展開為復指數(shù)付里葉級數(shù)tjnntnjneetfnnnCA21)(dtetfTeACtnjTtt

7、jnnn111jb-a21sinjA-cosA2121nnnnnn)(Signals & Systems 20040TttnntdtntfTbasin)(，的對稱條件)(tf），縱軸對稱（偶函數(shù))()(tftf），半周鏡像（奇諧函數(shù))()(2Ttftf），半周重疊（偶諧函數(shù))()(2Ttftf，原點對稱（奇函數(shù)）)()(tftf展開式中系數(shù)特點20040TttnntdtntfTabcos)(，和偶次諧波無奇次諧波，只有直流諧波分量無偶次諧波，只有奇次四、周期信號的對稱性與付立葉系數(shù)的關(guān)系。四、周期信號的對稱性與付立葉系數(shù)的關(guān)系。FFFFSignals & Systems )(t

8、ftTT2T2TE)()(tftf下形式在一個周期內(nèi)可寫為如022202tTtTETttTE0nbtf是偶函數(shù)，故)(EtdtTEtdtTETdttfTaTTTT)(02202202222出其頻譜圖求其傅立葉展開式并畫如圖所示，有一偶函數(shù)，其波形例1Signals & Systems )()(1122nnE)()()(為偶數(shù)為奇數(shù)nnnE042tTnnEEtfn214253122cos)(,2E24E294E2254E0135nAsinsin)(costdtntnntTETtdtntTETaTTn202022018224Signals & Systems )(tft1222Tt

9、TtTtftf)()(下形式在一個周期內(nèi)可寫為如0natf是奇函數(shù)，故)(T出其頻譜圖求其傅立葉展開式并畫如圖所示，有一奇函數(shù)，其波形例2Signals & Systems tTnntfnn211211sin)()(20134nA12141212022202012182424nTTTnntnntnntTtntTTTtntfTb)()sin)(cos(sin)(sin)(Signals & Systems 4T2TTtE)(tf0023221431412243240)sin(sin)sinsinsin()coscos(nnnETnnTnnTnnTEdtnEdtnETaTTTn3例

10、 ，有一偶諧函數(shù)，其波形如圖所示，求其傅立葉展開式并畫出其頻譜圖Signals & Systems E026nA2E4E4、 212122jtTnnEtfjnsin)()cos()coscos(cos)sinsin(nnEnnnnEdtnEdtnETbTTTn12312243240為偶數(shù)為奇數(shù)nnEn20Signals & Systems ntjnneFtf1)(dtetfTFtjnn2211)(1傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)的系數(shù)T1 信號的周期脈寬基波頻率1傅立葉級數(shù)小結(jié)傅立葉級數(shù)小結(jié)Signals & Systems 3.2 周期信號的頻譜周期信號的頻譜一、一、 頻譜圖的

11、概念頻譜圖的概念由上一節(jié)知周期信號由上一節(jié)知周期信號f f（t t）可用付里葉級數(shù)來表示。）可用付里葉級數(shù)來表示。102nnntnAatf)cos()(或或njnntjnneACetf21Cn)(相位頻譜的關(guān)系圖（線圖）與幅度頻譜的關(guān)系圖（線圖）與11 nnAnnSignals & Systems 3.2 周期信號的頻譜周期信號的頻譜為了能既方便又明白地表示一個信號中包含有哪些頻率為了能既方便又明白地表示一個信號中包含有哪些頻率分量，各分量所占的比重怎樣，就采用了稱為頻譜圖的表示分量，各分量所占的比重怎樣，就采用了稱為頻譜圖的表示方法。方法。 周期信號的復振幅 一般為n的復函數(shù)，頻譜圖

12、包括兩個： 振幅頻譜振幅頻譜：以為橫坐標，以振幅為縱坐標所畫出的譜線圖； 相位頻譜相位頻譜：以為橫坐標，以相位為縱坐標所得到的譜線圖。)(nnFASignals & Systems 例例),306cos(8 . 0)453cos(4 . 0)202cos(2)10cos(31)(tttttf試畫出f(t)的振幅譜和相位譜。 解解 f(t)為周期信號，題中所給的f(t)表達式可視為f(t)的傅里葉級數(shù)展開式。據(jù) 10)cos(2)(nnntnAAtf可知，其基波頻率=(rad/s)，基本周期T=2 s，=2、3、 6 分別為二、 三、六次諧波頻率。且有 Signals & Sys

13、tems 8 . 04 . 063AA304563其余 0nA2321AA120A20100211Signals & Systems 圖圖 3.3-1 例例 3.3-1 信號的頻譜信號的頻譜(a) 振幅譜；振幅譜； (b) 相位譜相位譜 Ano23456(a)321 no23456(b)15304510204530320.40.8Signals & Systems 圖 3.3-2 例 3.3-1 信號的雙邊頻譜(a) 振幅譜； (b) 相位譜 |Fn|o23456(a)121.510.20.43456 no23456153045102045301530451

14、0204530234562(b)Signals & Systems 二二 、典型周期信號的頻譜、典型周期信號的頻譜周期矩形脈沖信號F（t）22TtT：脈沖周期：脈沖寬度A：脈沖幅度第一步：首先展開為三角形式的傅立葉級數(shù)f(t)是偶函數(shù)bn=0AT22220222TAAdtTdttfTTTa)(2T：三角函數(shù)公共周期Signals & Systems )(sinsincos)(TnSaTATnTnTATnnAtdtntfTTTna222222第二步：展成指數(shù)形式付里葉級數(shù)第二步：展成指數(shù)形式付里葉級數(shù)FSFS)cos()()(tnTnSaTATAtfn112)cos()()(tn

15、TnSaTATAtfn1112)(211221nSaTAdtATectjnnetjnnnSaTAtf121)()(Signals & Systems 第三步：頻譜分析第三步：頻譜分析)()(222222nwSaTAnSaTAabaAnnnnAn與與之比值有關(guān)，取之比值有關(guān)，取 )(2221nSaTACeAAnjnnNT)(21nSaTACn51TAncn與與包絡線均為包絡線均為)(2nSa1n為離散頻率為離散頻率n,.2,2當當 時時0)2(Sa即即n242,.,02)(SaSignals & Systems 計算第一個振幅為零的諧波次數(shù)計算第一個振幅為零的諧波次數(shù)n n)(5

16、15222211TTnTnTn取即帶入得將令TA2242345An幅度頻譜圖幅度頻譜圖2431tttSasin)(抽樣函數(shù)234Signals & Systems 024nabtgnnn10 an00an)(222nSaTACeAAnjnnN相位頻譜圖相位頻譜圖n02)(nSa02)(nSa0Cn0Cn0即即稱復數(shù)頻譜eCnjnnA21Signals & Systems 242345Acnn21TA24-第四步：討論頻譜結(jié)構(gòu)與第四步：討論頻譜結(jié)構(gòu)與 、T T 的關(guān)系的關(guān)系1.當 不變，T增大，譜線間隔 減小，譜線逐漸密集，幅度 減 小 T010TAT21TA當非周期信號連續(xù)頻率

17、n成立時 此例中此例中 為一實數(shù)。幅度頻譜與為一實數(shù)。幅度頻譜與相位頻譜可以和畫在一張圖上。相位頻譜可以和畫在一張圖上。)(2nSaTACnSignals & Systems 對于一般頻譜，常以0頻率開始 振幅將為包絡線最大值的1/10的頻率之間的頻帶定義為信號的頻帶寬度2.當T不變 減小時TAT不定間隔不變振幅為0的諧波頻率1BfBf2BW,.,423 3.頻帶寬度的定義對于周期矩形信號，一般或周期矩形信號的時間特性：f(t)變化快 f(t)變化慢頻率特性：變化快的信號必然具有較寬的頻帶T21BWSignals & Systems 三、周期信號的頻譜特點三、周期信號的頻譜特點

18、(1)(1)離散性離散性譜線是離散的而不是連續(xù)的，譜線之間譜線是離散的而不是連續(xù)的，譜線之間的間隔為的間隔為 。這種頻譜常稱為離散頻譜。這種頻譜常稱為離散頻譜。(2)(2)諧波性諧波性譜線在頻譜軸上的位置是基頻譜線在頻譜軸上的位置是基頻 的整數(shù)的整數(shù)倍。倍。(3)(3)收斂性收斂性各頻譜的高度隨著諧波次數(shù)增高而逐漸各頻譜的高度隨著諧波次數(shù)增高而逐漸減小，當諧波次數(shù)無限增高時，譜線的高度也無限減減小，當諧波次數(shù)無限增高時，譜線的高度也無限減小小T21Signals & Systems 四、周期信號的功率四、周期信號的功率 周期信號的能量是無限的，而其平均功率是有界的，因而周期信號是功率信

19、號。為了方便，往往將周期信號在1電阻上消耗的平均功率定義為周期信號的功率。顯然，對于周期信號f(t)， 無論它是電壓信號還是電流信號，其平均功率均為 dttfTPTT)(1222ntjnneFtf)(Signals & Systems 因此，據(jù)函數(shù)正交分解中的帕塞瓦爾定理因此，據(jù)函數(shù)正交分解中的帕塞瓦爾定理(式式(3.1-16)，有，有 Signals & Systems Signals & Systems 3.3 傅立葉變換傅立葉變換 一、定義 以周期矩形信號為例，當 時， 為非周期信號， 離散頻譜為連續(xù)頻譜。 設周期信號 T ( )( )Tftf t20Tntjnn

20、eFtf1)(Signals & Systems 11120,dnTT 兩邊同乘以T當 為非周期信號， 為連續(xù)頻譜，則 為傅里葉變換。( )j tFf t edt（j ）=11222121( )2( )jntnjntnnFf t edtTFF Tf t edtSignals & Systems 從量綱上看， 反應了單位頻譜帶上的頻譜值，即頻譜密度的概念，是連續(xù)譜，包含從零到無限的所有頻率分布。 故 稱為原函數(shù) 的頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜函數(shù)， 稱為 的傅里葉變換，記作：F（j ）( )f tF（j ）( )f t 12nnFFF T（j ）( )( )FF f tf tF（j ）

21、=或（j ）Signals & Systems 二、傅立葉的逆變換二、傅立葉的逆變換ntjnenFtf11).()(1111.)()(tjnnenFtf)(.2)(111neFtjnndnnT)(01111n)()(1FnFdeFtftj. )(21)(Signals & Systems 3.4 常用信號頻譜函數(shù)舉例常用信號頻譜函數(shù)舉例01)()(tetft、單邊指數(shù)信號1t0f(t)(a)0 1)( jF(b)2 0(c)122011jtgjtjejdtedtetftfjF)()()()(FSignals & Systems 12211tgjFjtet)()()(即不

22、存在。不收斂，時，F(xiàn)T0dtet02tetf)(、雙邊指數(shù)信號f(t)0t(a)( jF0)( 0(b)12Signals & Systems 0222222)()()(jFdteeejFtjttF部分所以只須作出系作出，的部分可以根據(jù)對稱關(guān)奇函數(shù)。故作圖時的）是（的偶函數(shù)，是說明：下節(jié)將證明00)( jFSignals & Systems 3 3、矩形單脈沖信號（門函數(shù)）、矩形單脈沖信號（門函數(shù)）t202)(tf)(:tG脈沖6420)(jFAA86420)(a) (b) (c)(jFA86420(d)Signals & Systems )(sin)()()(2222

23、222 aAAeejAdteAdtetfjFsjjtjtj)()()( 2aAjFs21022212212240,)()()(nnnnn Signals & Systems ）（、單位沖激函數(shù)t4付里葉變換）的）、（()(FTt1)(t)(jF) 1 (00t1)(a)(bdtetedtettjFtjjtj121110)()()()(反變換式：F常數(shù)頻譜1不滿足絕對可積條件，反變換求解過程見書P152物理意義：在時域中變化異常劇烈的沖激函數(shù)包含幅度相等的所有頻率分量。因此，這種頻譜常稱為“均勻譜“或”白色譜“。Signals & Systems )()()(?)()(tdett

24、tj1211IFT2知由）的逆變換（沖激函數(shù))()()()()()()(21211211211或又由作變量代換與將得令t det dettdetttjtjtjdtetfjFtj)()(Signals & Systems )(lim)()()(tfttetfFTttete005設方法。確實存在，用取極限的進行變換，但其，不能直接應用公式去）不滿足絕對可積條件（）（、單位階躍信號)()()(eeejBAjjjF22221由單邊指數(shù)信號頻譜)()()(lim)(lim)(lim)()(jBABjAjFtjFeee000F顯然00000)(lim)()(lim)(eeAAAASignals &

25、amp; Systems 20102001112212jeeejjBAjFBBAtgddA)()()()()()(lim)()()()(limlim)(lim故且?)(limlimjjjjF0110100時，時，注意：這里不能直接求01)(tt)(jF)(20)(tSignals & Systems 0006Sa(t)Sa(t)( )G、抽樣信號的Signals & Systems ）（知）（由 2121dtetj)()()()(ctjtjctjcdteedtecc 22代換得以)()(sin)()(cos)(ccccccctjjttec 顯然故221sin21costjtjc

26、tjtjccccceejteet()7FTccj tjtjteeedt 、指數(shù)函數(shù)的FSignals & Systems 例例1：付里葉變換付里葉變換付里葉級數(shù)0 t 0 -2T T 0 T 2T t )(0jF1)(0tf)(t) 1 ()(tT) 1 () 1 (nC11T12011120 t01112)(1)(0jF)(tT100)(1njFTCnnnnCjF)(2)(1Signals & Systems 例例2：000)(0tfA202t)(0tfF)(tf2021T1Tt12T12TAAjF)(01TACn1)(AjFSignals & Systems 年研究

27、生入學試題）（武漢理工大學分）的付里葉變換。（例一：求函數(shù)2002412)()(ttf)()(ajFaat1F0000tjtjeFttfeFttf)()()()(FF解：由時移特性知：jt1)()(F2021221210jatjejteaFatatf)()()()(FF另可證明Signals & Systems )()(),()(),()()(年研究生入學試題武漢理工大學。的付里葉變換以及求的付里葉變換為設分：例200200102fFbatfdtdjFtf)()(FjdttdfFabjabjeaFajbatfdtdeaFabatf)()()()(11FF由微分性知djFftdejFtf

28、dttfFdtetfjFtjtj)()()()()()()()(21002100令令Signals & Systems 3.5 傅立葉變換的性質(zhì)傅立葉變換的性質(zhì) 常數(shù)則、若、線性特性iniiiniiiiiajfatfanijFtf11211)()(FF說明：相加信號的頻譜等于各個單獨信號的頻譜之和。002tjejFttfjFtf)()(),()(那么若）、延時特性（時移性質(zhì)失真。否則輸出會分量都滯后相位則系統(tǒng)設計得每個頻率時延通過一個系統(tǒng)傳輸后僅應用：要使一個信號相對應。延時和在頻域中的移相說明：信號在時域中的,)(,001tttfSignals & Systems )(tf)

29、(0ttf0tje)()(),()(ctjjjFetfjFtfc則若、頻移性質(zhì)3ccccccjjFjjFjttfjjFjjFttf221sin)(cos)(完成。變頻等過程在此基礎上如調(diào)幅、同步解調(diào)、系統(tǒng)中得到廣泛應用，頻譜搬移技術(shù)，在通信。頻譜研頻率軸右移等效于在頻域中將整個中乘以說明：一個信號在時域ctjce,FFSignals & Systems 是非零的常數(shù)則若、尺度變換特性aajFaatfjFtf)()(),()(14),()(jFtfa時，當1一一對對矛矛盾盾。速速度度與與占占用用頻頻帶帶寬寬度度是是在在無無線線電電通通信信中中，通通信信等等效效于于在在頻頻域域中中壓壓縮縮

30、。展展反反之之，信信號號在在時時域域中中擴擴等等效效于于在在頻頻域域中中擴擴展展?？s縮說說明明：信信號號在在時時域域中中壓壓)()(11aaFFSignals & Systems )(tf01t)(tf12t20)(jf2424)(jf222Signals & Systems 倍。分量大小必然減小能量守恒定理，各頻率倍。根據(jù)倍，也即頻譜展寬增加所以它所含的頻率分量倍，快倍，信號隨時間變化加壓縮物理意義：信號的波形aaaaaatjatjeaFatatfeaFatatf001100)()()()(FF可以證明：)()()()(sin)(cos)()()(jtjejFjXRtdttf

31、jtdttfdtetfjF、奇偶特性5Signals & Systems 的奇函數(shù)是的偶函數(shù)，是 )()()()()()()()(jFRXarctgXRjF22的偶函數(shù)是與的偶函數(shù)是與是實函數(shù)分析：)()()()()()(XjFRtf1的實偶函數(shù)必為則是實偶函數(shù)，即)(cos)()()(sin)()()()()()(jFtdttfRjFtdttfXtftftf0202Signals & Systems 的實奇函數(shù)必為則是實奇函數(shù)，即)(sin)()()()()()()()(jFtdttfjjXjFRtftftf0203)()()()(fjtFjFtf26則若、對稱特性)()()

32、()()()()()(ftRfffRjFtf21or2R(t)F(jtf(t)則，即的實偶函數(shù)。是的實偶函數(shù)，則是若Signals & Systems )(tf12t20)(jf22)(tftc22cc2)(1F012c2c函數(shù)。形脈沖的頻譜必為矩形函數(shù)，而顯然矩形脈沖的頻譜為aaSS等還有)()(211t的互求提供方便與本性質(zhì)為)()(jFtfSignals & Systems )()()()()()()(jFjdttfdjFjdttdfjFnnn則，若時域微分定理、微分特性f(t)17nnndjdFtfjtdjdFtfjtjF)()()()()()()()(-f(t)2則，

33、若頻域微分定理Signals & Systems 例：求圖示波形的頻譜)()()()()(tTttETtttEEtf2222解：EETtTttETtttEtf)()()()()(2222)()()()(tTtTtEtf2222 220t)(tf220E2)(tf tSignals & Systems )(sin)cos()(48222222222EEeeEtfjj F)(tf t22)4(E)2(E)2(E)()(sin)()(sin)()(4248482222SaEEjFEjFj由微分性：Signals & Systems djFttfjtfjFtfjFjFdfjFt

34、ft)()()()(),()()()()()()(),()()(021018則若則若、積分特性Signals & Systems 11221212(2)( )()( )()1( )( )()()2f tFjftFjf tftFjFj頻域卷積定理若，則112212129(1)( )()( )()( )( )()()f tFjftFjf tftFjFj、卷積定理時域卷積定理若，則Signals & Systems 3.6 Parsevals定理與能量頻譜定理與能量頻譜從能量的角度來考察信號時域和頻域特性間的關(guān)系從能量的角度來考察信號時域和頻域特性間的關(guān)系)(lim)()()(dtt

35、fTPtfdttftfTTT22221E的平均功率定義：信號的能量定義：信號號一、能量信號與功率信有限值的信號功率信號：平均功率為值的信號能量信號：能量為有限1t02tt)(tfttsin0Signals & Systems 定理形式）周期信號的（定理二、sParsevalsParseval1nnnnnnnnnnnTTTTAACAAAdttnAATdttfTtf2212201222022222212211)()cos()()(值（方均根值）周期電流信號的有效則有若IIIdttiTtititfnnm1220222211)()()()(43322120433221202IIIIIIIIIt

36、iI)(Signals & Systems ParsevalsParsevals定理：周期信號的功率等于該信號在定理：周期信號的功率等于該信號在完備正交函數(shù)集中各分量功率之和。完備正交函數(shù)集中各分量功率之和。率頻域中求得的信號功時域中的信號功率12202222121nnTTAAdttfTP)(dtdejwFtfEdejFtfdttfEParsevaltjtj)()()()()(212122信號的能量定理形式）能量信號的（一般非周期信號一般非周期信號屬于能量有限信號屬于能量有限信號Signals & Systems 代入上式變換積分次序得dtetfjFddtetfjFEtjtj)

37、()()()(21fdjFdjFdjFdejFejFdjFjFEjj020221212121)()()()()()()()()(fjF2奇函數(shù)偶函數(shù))()(Signals & Systems ParsevalParseval定理：非周期信號在時域中求得的信號定理：非周期信號在時域中求得的信號能量等于在頻域中求得的信號能量。能量等于在頻域中求得的信號能量。 頻域中的信號能量時域中的信號能量dffjFdttfE222)()(dfjFdjFdjFEG2020221213)()()().()(譜函數(shù)能量信號的能量密度頻021dGEwGjFG)()()()(內(nèi)的全部能量為故信號在整個頻率范圍能量。處的單位頻帶中的信號表示為能量密度頻譜。定義：Signals & Systems )(G譜念，來定義一個能量頻助于密度的概振幅頻率