第四章最優(yōu)投資組合理論

1、第四章第四章 最優(yōu)投資組合理論最優(yōu)投資組合理論 投資過程的兩個重要任務(wù)： 證券分析和市場分析：評估所有可能的投資工具的風(fēng)險和期望回報率特性 在對證券市場進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，投資者確定最優(yōu)的證券組合：從可行的投資組合中確定最優(yōu)的風(fēng)險-回報機(jī)會，然后決定最優(yōu)的證券組合最優(yōu)證券組合理論 選擇的目標(biāo)：使得均值-標(biāo)準(zhǔn)差平面上無差異曲線的效用盡可能的大 選擇的對象：均值-標(biāo)準(zhǔn)差平面上的可行集 The optimization technique is the easiest part of the portfolio construction problem. The real arena of compe

2、tition among portfolio managers is in sophisticated security analysis. 證券組合理論的三個基本原理： 投資者厭惡風(fēng)險，投資在風(fēng)險證券需要風(fēng)險酬金 不同投資者對待證券組合風(fēng)險-期望回報率的態(tài)度不同，以效用函數(shù)來刻畫 正確衡量一個證券的方式是看它對整個證券組合波動的貢獻(xiàn)。 Top-down analysis capital allocation decision asset allocation decision security selection decision證券組合選擇問題 通過分析資本市場，一個中心的事實(shí)是，風(fēng)險資產(chǎn)

3、的回報平均來說高于無風(fēng)險資產(chǎn)的回報，而且回報越高，風(fēng)險越大。 One interesting consequence of having these two conflicting objectives is that the investor should diversify by purchasing not just one security but several. 一期投資模型：投資者在期初投資，在期末獲得回報。 一期模型是對現(xiàn)實(shí)的一種近似，如對零息債券、歐式期權(quán)的投資。雖然許多問題不是一期模型，但作為一種簡化，對一期模型的分析是分析多期模型的基礎(chǔ)。1. 一些基本概念 回報率 由于期

4、末的收益是不確定的，所以回報率為隨機(jī)變量。 價格與回報率之間是一一決定的關(guān)系，給定價格，就可算出回報率，反過來，給出了回報率，就可決定價格。 在以下的章節(jié)里，通常以回報率為研究在以下的章節(jié)里，通常以回報率為研究對象，并假設(shè)，字母（或者字母上加一對象，并假設(shè)，字母（或者字母上加一波浪線）表示隨機(jī)變量，字母上加一橫波浪線）表示隨機(jī)變量，字母上加一橫線表示期望值。線表示期望值。 由于違約、通貨膨脹、利率風(fēng)險、再投資風(fēng)險等不確定因素，證券市場并不存在絕對無風(fēng)險的證券。 到期日和投資周期相同的國庫券視為無風(fēng)險。 能夠進(jìn)行投資的絕大多數(shù)證券是有風(fēng)險的。 風(fēng)險 利用回報率的方差或者標(biāo)準(zhǔn)差來度量 期望回報率

5、利用回報率的期望值來刻畫收益率 1.1 證券組合的回報率 假設(shè)有 種可得的不同資產(chǎn)，我們把初始財(cái)富分成 份，投資到這 種資產(chǎn)上，設(shè) 為投資在第i 種資產(chǎn)上的財(cái)富, ；如果以比例表示，則為 ， 為投資在第 i種資產(chǎn)上的財(cái)富的份額， ，以 表示第i種資產(chǎn)的回報率，則到期末,由i產(chǎn)生的收益為 或者 ， 從而該證券組 合的總收益為 ， 該證券組合的回報率為n0Wnn0iWniiWW10000WWiii11niiirir1i0W0iWniiiWr101ir1niiirr1 例子：表4-1：計(jì)算證券組合的期望回報率 （1）證券和證券組合的值證券 在證券組合 每股的初始 在證券組合初始名稱中的股數(shù)市場價格

6、總投資 市場價值中的份額 A 100 40元 4,000元4,000/17,000=0.2325 B 200 35元 7,000元7,000/17,200=0.4070 C 100 62元 6,200元6,200/17,200=0.3605證券組合的初始市場價值=17,200元 總的份額=1.0000 在表4-1（1）中，假設(shè)投資者投資的期間為一期，投資的初始財(cái)富為17200元，投資者選擇A、B、C三種股票進(jìn)行投資。投資者估計(jì)它們的期望回報率分別為16.2%，24.6%，22.8%。這等價于，投資者估計(jì)三種股票的期末價格分別為46.48元因?yàn)?46.48-40)/40=16.2%，43.61元

7、因?yàn)?3.61-35/35=24.6%，76.14元因?yàn)?6.14-62/62=22.8%。證券組合期望回報率有幾種計(jì)算方式，每種方式得到相同的結(jié)果。 （2）利用期末價格計(jì)算證券組合的期望回報率證券 在證券組合 每股的期末名稱中的股數(shù) 預(yù)期價值 總的期末預(yù)期價值 A 100 46.48元46.48元 100=4,648元 B 200 43.61元43.61元 200=8,722元 C 100 76.14元76.14元 100=7,614元 證券組合的期末預(yù)期價值=20,984元證券組合的期望回報率=(20,984元-17,200元)/17,200元=22.00% 在表4-1（2）中，先計(jì)算證券

8、組合的期末期望價值，再利用計(jì)算回報率的公式計(jì)算回報率，即，從證券組合的期末期望價值中減去投資的初始財(cái)富，然后用去除這個差。盡管這個例子里只有三種證券，但這種方法可以推廣到多種證券。 （3）利用證券的期望回報率計(jì)算證券組合的期望回報率證券 在證券組合初 證券的 在證券組合的期望名稱始價值中份額 期望收益率 回報率所起的作用 A0.2325 16.2% 0.2325 16.2%=3.77% B0.4070 24.6% 0.4070 24.6%=10.01% C0.3605 22.85 0.3605 22.8%=8.22% 證券組合的期望回報率=22.00% 在表4-1（3）中，把證券組合期望回報率

9、表示成各個股票期望回報率的加權(quán)和，這里的權(quán)是各種股票在證券組合中的相對價值。 既可以用證券組合中各種證券的數(shù)量來表示證券組合，也可以用證券組合中各種證券所占證券組合初始價值的份額來表示證券組合。 在上表中，既可用（100，200，100）來表示該證券組合，也可用（0.2325，0.4070，0.3605）來表示。 1.2 證券組合回報率的方差和標(biāo)準(zhǔn)差 方差 標(biāo)準(zhǔn)差22222)(BBABBAAAprVar22222BBBABAAA 例子：對于前面的A，B，C三種證券 這里 表示證券 和 之間的協(xié)方差。3131ijijjiPijij 假設(shè)A，B，C三種證券的方差-協(xié)方差矩陣為 則證券組合 的方差為

10、0289. 00104. 00145. 00104. 00854. 00187. 00145. 00187. 00146. 03605. 04070. 02325. 00289. 00104. 00145. 00104. 00854. 00187. 00145. 00187. 00146. 03605. 04070. 02325. 03605. 04070. 02325. 0 證券形成地組合的回報率標(biāo)準(zhǔn)差不大于單個證券回報率標(biāo)準(zhǔn)差的加權(quán)平均。 分散化(Diversification) 只要 ，則兩個證券形成地證券組合回報率的標(biāo)準(zhǔn)差小于單個證券回報率標(biāo)準(zhǔn)差的加權(quán)平均。 直觀解釋 只要證券相互之間

11、地相關(guān)系數(shù)小于1，則證券形成地證券組合回報率的標(biāo)準(zhǔn)差小于單個證券回報率標(biāo)準(zhǔn)差的加權(quán)平均。1 兩個證券組合回報率之間的協(xié)方差 證券組合1： 證券組合2： 證券組合1、2之間的協(xié)方差為321,0289. 00104. 00145. 00104. 00854. 00187. 00145. 00187. 00146. 0321321,321,2.假設(shè) 所有風(fēng)險厭惡者的無差異曲線如圖1所示，在均值-標(biāo)準(zhǔn)差平面上，為嚴(yán)格增的凸函數(shù)，并且，越在西北方向的無差異曲線，其效用越高。2r1r221rr 1222111,r22,r2,22121rrr 圖1：風(fēng)險回避者的無差異曲線 3. 不具有無風(fēng)險證券的資本市場中

12、的證不具有無風(fēng)險證券的資本市場中的證券組合選擇券組合選擇 假設(shè)在無摩擦市場上存在 N 種可交易風(fēng)險證券，所有資產(chǎn)回報率的期望和方差均有限且期望互不相等。這 N 種可交易風(fēng)險證券的回報率以向量 表示， 表示期望值向量。 而這N 種可交易風(fēng)險證券回報率的協(xié)方差矩陣以 表示Nrrr,1Nrrr,1V 22122121211,rVarrrCovrrCovrrCovrVarrrCovrrCovrrCovrVarVNNNN 證券組合的期望收益率和方差 給定證券組合 期望回報率 方差 當(dāng)證券的種類越來越多時，證券組合回報率的方差的大小越來越依賴于證券之間的協(xié)方差而不是證券的方差。TN,213.1 可行集 可

13、行集 由N 種可交易風(fēng)險證券中的任意 K 種形成的證券組合構(gòu)成的集合稱為可行集。 在均值-標(biāo)準(zhǔn)差平面上來刻畫可行集。例子：兩種證券形成的可行集 假設(shè)證券1的期望回報率 ，標(biāo)準(zhǔn)差為 ；證券2的的期望回報率 ，標(biāo)準(zhǔn)差為 。設(shè)由證券1、2形成的證券組合 分別有%51r%402%152r21,ABCDEFG11.000.830.670.500.330.170.0020.000.170.330.500.670.831.00%201 證券組合的期望回報率2211rrrp 假設(shè)證券1、2收益率的相關(guān)系數(shù)為 ，則證券組合回報率的標(biāo)準(zhǔn)差為 每個證券組合回報率的標(biāo)準(zhǔn)差的上、下界 證券組合D： 上界在 =1時達(dá)到，

14、下界在 =-1時達(dá)到21222116001600400P21400500D證券組合收益率的標(biāo)準(zhǔn)差的上下界PortfolioLower BoundUpper BoundA20%20%B10%23.33%C026.67%D10%30%E20%33.33%F30%36.67%G40%40%證券組合收益率的標(biāo)準(zhǔn)差的上下界PPrAG下界上界下界%5%3 . 8 分散化導(dǎo)致風(fēng)險縮小分散化導(dǎo)致風(fēng)險縮小。 實(shí)際的可行集一維雙曲線例子； =0，-0.1 AGPrP =-1 =1 =0 =-0.1可行集的方程 假設(shè) =0 ，由1、2兩種證券形成的可行集在均值-標(biāo)準(zhǔn)差平面上的表示。 證券組合 的期望回報率 標(biāo)準(zhǔn)差為

15、 通過找出 與 之間的關(guān)系21,2211rrrP222221212PPrP222221212122122PPPrrrrrrrr可行集的方程 得到 為一雙曲線1002. 004. 008. 022PPrPrP 最小方差證券組合MVP(minimum-variance portfolio)21222116001600400P三種以上證券形成的可行集 可行集的兩個重要性質(zhì) （1）只要N 不小于3，可行集對應(yīng) 于均值-標(biāo)方差平面上的區(qū)域?yàn)槎S的。 （2）可行集的左邊向左凸。 可行集PrPABCD三種證券形成可行集的例子 三點(diǎn)形成地區(qū)域PPr3.2 有效集定理 有效集定理 投資者從滿足如下條件的證券組合

16、可行集中選擇他的最優(yōu)證券組合： （1）對給定的回報，風(fēng)險水平最小 （2）對給定的風(fēng)險水平，回報最大； 滿足上面兩個條件的證券組合集稱為有效集。 下面分兩步把有效集定理應(yīng)用到可行集上，得到投資者最優(yōu)的可投資集。3.3 把有效集定理第一條應(yīng)用到可行集 給定期望回報率，找方差最小的證券組合PrP證券組合前沿PPr 定義：一個證券組合稱為前沿證券組合，如果它在所有具有相同期望回報率的證券組合中具有最小方差。 定義：所有前沿證券組合構(gòu)成的集合稱為證券組合前沿。 證券組合前沿的性質(zhì) 性質(zhì)1：整個證券組合前沿可以由任何兩個前沿證券組合生成。 性質(zhì)2：前沿證券組合的任何凸組合仍然在證券組合前沿上。 11222

17、CDCArECrpp 證券組合前沿的方程 任意前沿證券組合的回報率的期望和標(biāo)準(zhǔn)差滿足如下方程： 在期望-標(biāo)準(zhǔn)差平面上的證券組合前沿CAC1 單個證券與證券組合在均值-標(biāo)準(zhǔn)差平面上的位置3.4 把有效集定理的第二條應(yīng)用到證券組合前沿 在證券組合前沿上，給定風(fēng)險，找期望回報率最高的證券組合。PPr有效集和非有效集 最小方差證券組合 定義：比最小方差證券組合回報高的前沿證券組合稱為有效證券組合，既不是最小方差證券組合又不是有效證券組合的前沿證券組合稱為非有效證券組合。 問題：先利用第二條，再利用第一條，得到的有效集是否一樣？3.5 只有兩種證券時的特例 假設(shè)市場上只存在兩種證券A和B。 A具有較高的

18、期望回報率和較高的標(biāo)準(zhǔn)差。相關(guān)系數(shù)1AB3.5 只有兩種證券時的特例 可行集、證券組合前沿和有效集期望回報率 A MVP B 標(biāo)準(zhǔn)差 不同相關(guān)系數(shù)時的證券組合前沿12 . 005 . 01 相關(guān)系數(shù)越小，曲線彎曲越厲害。 極限狀況 每對證券只有一個相關(guān)系數(shù)。 當(dāng)只有兩種證券時，可行集與證券組合前沿一致 問題：如果證券 A 的期望回報率高于證券B 的期望回報率，而標(biāo)準(zhǔn)差小于 B 的標(biāo)準(zhǔn)差，這時的可行集、證券組合前沿和有效集是什么？13.6 風(fēng)險厭惡者的最優(yōu)證券組合 不存在無風(fēng)險證券時的風(fēng)險厭惡者的最優(yōu)投資策略ppr 不同風(fēng)險厭惡程度的投資者的最優(yōu)投資策略ppr Two mutual funds

19、a limited number of portfolios may be sufficient to serve the demands of a wide range of investors, this is the theoretical basis of the mutual fund industry.4. 具有無風(fēng)險證券的資本市場中的證券組合選擇 Top-down analysis 對大多數(shù)投資者而言，貨幣市場基金是最容易獲得的無風(fēng)險資產(chǎn)。 買賣債券只不過是手段，而實(shí)質(zhì)是存在無風(fēng)險借貸的市場。 假設(shè)在無摩擦市場上存在 N 種可交易風(fēng)險證券和一種無風(fēng)險證券。以 表示無風(fēng)險利率。fr

20、步驟 首先利用例子分三步討論： 只允許購買無風(fēng)險債券 只允許賣出無風(fēng)險債券 可以自由交易 其次，推廣到一般情形4.1 只允許購買無風(fēng)險債券 例子：前面的A，B，C三種證券 期望回報率向量為 把無風(fēng)險債券當(dāng)作第4種證券，無風(fēng)險利率為228. 0246. 0162. 0r%44r 方差-協(xié)方差矩陣為0289. 00104. 00145. 00104. 00854. 00187. 00145. 00187. 00146. 0 首先考慮證券A和證券4形成的可行集、證券組合前沿、有效集（注意對權(quán)的限制） 5種證券組合Pportfoliabcde10.000.250.500.751.0041.000.75

21、0.500.250.00證券組合的期望回報率和標(biāo)準(zhǔn)差 期望回報率 標(biāo)準(zhǔn)差441rrrAPAP1由證券A和證券4構(gòu)成的5種證券組合的期望回報率和標(biāo)準(zhǔn)差PortfolioExpected ReturnStandardDeviationa4.00%0. 00%b7.053.02c10.106.04d13.159.06e16.2012.08由證券A和證券4構(gòu)成的5種證券組合在均值-標(biāo)準(zhǔn)差平面上的圖示%4ae 其次，考慮一個證券組合5與證券4形成的可行集、證券組合前沿、有效集。 證券組合5由證券A、C構(gòu)成 證券組合5的期望回報率、標(biāo)準(zhǔn)差為 20. 0 ,80. 0,CACCAArrr5ACCACCAA2

22、225證券組合5與證券4形成的可行集、證券組合前沿、有效集PPrAC5fr證券組合5從A變到CPPrAC5fr證券A、C、4形成的可行集、證券組合前沿、有效集證券A、B、C、4形成的可行集、證券組合前沿、有效集 最后考慮由A、B、C、4形成的可行集、證券組合前沿、有效集PPrABCfr投資者最優(yōu)證券組合選擇 部分投資在無風(fēng)險債券上 全部投資在風(fēng)險證券上4.2 只允許出售無風(fēng)險債券 首先考慮證券A和證券4形成的可行集、證券組合前沿、有效集（注意權(quán)的限制） 4種證券組合FGHI1.251.501.752.00-0.25-0.50-0.75-1.00由證券A和證券4構(gòu)成的4種證券組合的期望回報率和標(biāo)

23、準(zhǔn)差PortfolioExpected ReturnStandardDeviationF19.25%15.10%G22.3018.12H25.3521.14I28.4024.16由證券A和證券4構(gòu)成的9種證券組合在均值-標(biāo)準(zhǔn)差平面上的圖示%4aeI 其次，考慮一個證券組合5與證券4形成的可行集、證券組合前沿、有效集。 證券組合5由證券A、C構(gòu)成 證券組合5的期望回報率、標(biāo)準(zhǔn)差為 20. 0 ,80. 0,CACCAArrr5ACCACCAA2225證券組合5與證券4形成的可行集、證券組合前沿、有效集PPrAC5fr證券組合5從A變到CPPrAC5fr證券A、C、4形成的可行集、證券組合前沿、有

24、效集PPrAC5fr證券A、B、C、4形成的可行集、證券組合前沿、有效集 最后考慮由A、B、C、4形成的可行集、證券組合前沿、有效集PPrABCfr投資者最優(yōu)證券組合選擇 賣出無風(fēng)險債券 全部投資在風(fēng)險證券上4.3 無限制的借貸 如何求這個切點(diǎn)4.4 推廣到一般情形 N種風(fēng)險資產(chǎn)形成的證券組合前沿方程 11222CDCArECrppN種風(fēng)險資產(chǎn)和無風(fēng)險資產(chǎn)形成的證券組合前沿 N種風(fēng)險資產(chǎn)和無風(fēng)險資產(chǎn)形成的證券組合前沿方程 4.5 風(fēng)險厭惡者的最優(yōu)投資策略 風(fēng)險厭惡者的無差異曲線ppr 存在無風(fēng)險證券時的風(fēng)險厭惡者的最優(yōu)投資策略：分離性質(zhì)ppr 分離性質(zhì)：無論投資者的風(fēng)險厭惡如何，他們選擇相同的

25、風(fēng)險證券組合 最優(yōu)證券組合選擇過程可以分成兩步： 決定最優(yōu)風(fēng)險證券組合 依據(jù)風(fēng)險厭惡的程度在無風(fēng)險證券和風(fēng)險證券之間配置資本。 This result makes professional management more efficient and hence less costly. One management firm can serve any number of clients with relatively small incremental administrative costs.5. Optimal portfolio choice 決定僅由風(fēng)險證券構(gòu)成的證券組合前沿 決定由無風(fēng)險證券和風(fēng)險證券構(gòu)成的證券組合前沿 確定最優(yōu)投資組合 The theories of security selection and asset allocation are identical. 實(shí)際市場中 每個資產(chǎn)類進(jìn)行最優(yōu)投資組合選擇，最高管理層決定每個資產(chǎn)類的投資預(yù)算。 Passive strategies describes a portfolio decision that avoids any direct or indirect secu