金融時間序列分析第部分時間序列分析基礎(chǔ)波動率模型

1、金融時間序列分析金融時間序列分析 陸貴斌2012年年10月月波動率模型波動率模型 （一）（一）問題的提出問題的提出 xt = xt-1 + ut 其中其中, , ut 為白噪聲過程。為白噪聲過程。計量經(jīng)濟學模型中計量經(jīng)濟學模型中的異方差的異方差通常通常屬于遞增型異方差屬于遞增型異方差,但利率，匯率，股票收益等時間序列中存在的異方差但利率，匯率，股票收益等時間序列中存在的異方差卻不卻不是是遞增型異方差。遞增型異方差。例如，例如，匯率，匯率，股票價格常常用隨機游走描述股票價格常常用隨機游走描述： 1995-2000年日元兌美元匯率時間序列及差分序列見下圖年日元兌美元匯率時間序列及差分序列見下圖80

2、100120140160200400600800100012001400JPY (1995-2000)-8-6-4-20246200400600800100012001400D(JPY) (1995-2000)日元兌美元匯率序列日元兌美元匯率序列JPY(1995-2000) 日元兌美元匯率差分序列（收益）日元兌美元匯率差分序列（收益）D(JPY) 02468200400600800100012001400Volatility of returns0102030405060200400600800100012001400DJPY2收益絕對值序列收益絕對值序列 (1995-2000) D(JPY)

3、的平方的平方 (1995-2000) 這種序列的特征是：這種序列的特征是：（1）過程的方差不僅隨時間變化，而且有時變化得很激烈。）過程的方差不僅隨時間變化，而且有時變化得很激烈。 （2）按時間觀察，表現(xiàn)出）按時間觀察，表現(xiàn)出 “波動集群波動集群” （volatility clustering）特征，）特征， 方差在一定時段中比較小，而在另一時方差在一定時段中比較小，而在另一時段中比較大。段中比較大。（3）從取值的分布看表現(xiàn)的則是）從取值的分布看表現(xiàn)的則是 “高峰厚尾高峰厚尾” 特征，特征，（leptokurtosis and fat-tail）即均值附近與尾區(qū)的概率值比）即均值附近與尾區(qū)的概率

4、值比正態(tài)分布大，而其余區(qū)域的概率比正態(tài)分布小。正態(tài)分布大，而其余區(qū)域的概率比正態(tài)分布小。 高高峰厚尾峰厚尾分布曲線分布曲線 正態(tài)分布正態(tài)分布曲線曲線 高高峰厚尾峰厚尾分布分布特征特征示意圖示意圖 顯然現(xiàn)期方差與前期的顯然現(xiàn)期方差與前期的“波動波動”有關(guān)系。有關(guān)系。自回歸條件異方差模型自回歸條件異方差模型（Engle 1982）通常有兩類：通常有兩類：1）用確定的函數(shù)來刻畫異方差的演變，）用確定的函數(shù)來刻畫異方差的演變，GARCH模型模型2）用隨機方程來描述異方差。）用隨機方程來描述異方差。隨機波動率模型隨機波動率模型 （二）自回歸條件異方差模型（二）自回歸條件異方差模型（ARCH模型）模型）(

5、Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Model)一、模型的提出一、模型的提出考察一個考察一個AR(p)過程過程1122tttptptycyyy其中：其中： 是白噪聲：是白噪聲：t0,tE2,()0,tsstEelse 的條件期望是：的條件期望是：ty121122(,)tttttptpE y yycyyy 的無條件期望是：的無條件期望是：ty12()(1)tpE ycA. 的無條件期望是常數(shù)，但的無條件期望是常數(shù)，但 的條件期望卻是隨時的條件期望卻是隨時間而變化的。間而變化的。B. 的無條件方差是一常數(shù)的無條件方差是一常數(shù) ，但，但 的條件

6、方差卻的條件方差卻可能隨時間而變化?？赡茈S時間而變化。一種方法是一種方法是將將 視為服從視為服從 AR(m) 過程過程。tytyt2t2t22221122tttmt mtcu 其中：其中： 是一新的白噪聲：是一新的白噪聲：tu0,tEu 2,()0,tsstE u uelse此時，此時，222212122221122(,)(,) ttttttttmt mEEc 即：即：212122221122(,)(,) ttttttttmt mVarEc 考慮考慮 k 變量回歸模型（或變量回歸模型（或AR(p)過程）過程）01 1ttkkttyxx滿足滿足121122201122()0,()()tttttt

7、tttqt qEVarEh 二、模型表達形式二、模型表達形式01212(1),0(2),1qq 其中：其中：則稱則稱 服從服從 q 階自回歸條件異方差過程。記為階自回歸條件異方差過程。記為t( )tARCH q保證條件方差為正數(shù)保證條件方差為正數(shù)平穩(wěn)序列平穩(wěn)序列101 1101 1()()tttkkttttkktE yExxxx均值方程均值方程 條件均值模型條件均值模型注意注意：1t表示表示 t 時刻之前可獲得的信息集。時刻之前可獲得的信息集。例例 ARCH(1)模型為模型為21011()tttthVar ARCH(q)過程的另一種表達方式過程的另一種表達方式01 1ttkkttyxxttth

8、 v22201122tttqt qh . .(0,1)i i dtvN2111()0,()()1ttttttE vE vVar v三、三、ARCH模型的性質(zhì)模型的性質(zhì)1、 的無條件均值和方差分別為的無條件均值和方差分別為t201( )0( )( ) 1tttEVarE21011()tttthVar ttth v主要討論主要討論ARCH(1)的性質(zhì)的性質(zhì)22122011011011( )()()()()()ttttttttVarEE EEhEEVar 2t因為因為 是平穩(wěn)的，所以是平穩(wěn)的，所以221101( )()()( )1ttttVarVarEVar顯然要求顯然要求1012、令、令221()

9、tttttthVar則則 是白噪聲過程。是白噪聲過程。t21221()()()0tttttttEEE VarEE E222122()()()() () ()0tstssstssttsststtsststsEE EEEEEhEEE EEEEst 這樣這樣22011ttttth 過程過程 的形式類似于的形式類似于AR(1)。過程過程 前后不相關(guān)，但過程前后不相關(guān)，但過程 卻是前后相關(guān)的卻是前后相關(guān)的（因而也（因而也是不獨立的）。是不獨立的）。2tt2t3、ARCH(1)模型的尾部特征模型的尾部特征42222211011()3 ()33()ttttttEEh 44221011222400111122

10、4001111() ()3 ()3 (2)32()()ttttttttEE EEEVarE 殘差平方服從一個殘差平方服從一個異方差的異方差的AR(1)過程過程隨機變量之間不相關(guān)，只能說明它們之間沒有線性關(guān)系，不能說隨機變量之間不相關(guān)，只能說明它們之間沒有線性關(guān)系，不能說明它們之間沒有非線性關(guān)系。明它們之間沒有非線性關(guān)系。422400012112241011240142111()32()13(12)3()13(1)(),(1)(13)(130)ttttEEEmE 4411()(),()()ttttEEVarVar4220112221102121()3(1)(1)()(1)(13)13313ttE

11、Var四、四、ARCH模型的建立模型的建立ARCH模型的建立的基本步驟模型的建立的基本步驟（1）建立時間序列的計量模型，去掉任何線性關(guān)系，）建立時間序列的計量模型，去掉任何線性關(guān)系， 對估計的殘差檢驗對估計的殘差檢驗ARCH效果；效果；（2）識別）識別ARCH模型的階數(shù)，估計模型；模型的階數(shù)，估計模型；（3）檢驗）檢驗ARCH模型，根據(jù)情況修改模型。模型，根據(jù)情況修改模型。1、建立收益率序列的計量模型，檢驗、建立收益率序列的計量模型，檢驗ARCH效果效果（1）選擇條件均值模型并估計出參數(shù)）選擇條件均值模型并估計出參數(shù)可以是回歸模型可以是回歸模型 或或ARMA模型模型tttyX( )( )ttB

12、 yB （2）計算出殘差值）計算出殘差值( )( )tttttByXyB或檢驗殘差的平方檢驗殘差的平方 是否存在自相關(guān)。是否存在自相關(guān)。2t檢驗序列相關(guān)常用的方法有檢驗序列相關(guān)常用的方法有：(a) D.W統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量檢驗(b) QLB統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量檢驗(c) 拉格朗日乘數(shù)檢驗拉格朗日乘數(shù)檢驗(LM檢驗檢驗)注意：注意： D.W統(tǒng)計量檢驗的不足統(tǒng)計量檢驗的不足1、僅僅檢驗殘差序列是否存在一階序列相關(guān)；、僅僅檢驗殘差序列是否存在一階序列相關(guān)；2、回歸方程右邊如果存在滯后因變量，、回歸方程右邊如果存在滯后因變量， D.W檢驗不再有效；檢驗不再有效；3、 D.W統(tǒng)計量的擾動項在原假設(shè)下依賴于系數(shù)

13、矩陣。統(tǒng)計量的擾動項在原假設(shè)下依賴于系數(shù)矩陣。 因此，因此，檢驗序列相關(guān)常用檢驗序列相關(guān)常用 QLB統(tǒng)計量檢驗或拉格朗日統(tǒng)計量檢驗或拉格朗日乘數(shù)檢驗乘數(shù)檢驗(LM檢驗檢驗)。QLB統(tǒng)計量統(tǒng)計量(Ljung-Box Q統(tǒng)計量統(tǒng)計量) 檢驗法檢驗法1、計算出殘差值、計算出殘差值( )( )tttttByXyB或2、計算出殘差平方的均值、計算出殘差平方的均值2211TttT3、計算出殘差平方的樣本自相關(guān)系數(shù)、計算出殘差平方的樣本自相關(guān)系數(shù)222212221()()()Ttt it iiTtt 4、計算、計算QLB統(tǒng)計量統(tǒng)計量21(2)piLBiQT TTiT為樣本容量，為樣本容量，p為設(shè)定的滯后階數(shù)

14、。為設(shè)定的滯后階數(shù)。原假設(shè)原假設(shè)H0：序列不存在：序列不存在p階自相關(guān)；階自相關(guān)；備選假設(shè)：備選假設(shè)：H1為序列存在為序列存在p階自相關(guān)。階自相關(guān)。221(2)( )piLBiQT TpTi近似當當12( )LBQp時時拒絕原假設(shè)拒絕原假設(shè)H0拉格朗日乘數(shù)檢驗拉格朗日乘數(shù)檢驗(LM檢驗檢驗)法法1、使用最小二乘法估計最適當?shù)摹⑹褂米钚《朔ü烙嬜钸m當?shù)腁R(n)模型模型01122tttnt ntyyyy2、計算出殘差值、計算出殘差值 ，進行下面的回歸分析，進行下面的回歸分析t222201122tttptptu 3、零假設(shè)、零假設(shè)012:0pH備擇假設(shè)備擇假設(shè)112:,pH 不全為零。不全為零。

15、（不存在（不存在ARCH 效果）效果）4、檢驗統(tǒng)計量：、檢驗統(tǒng)計量：LM=T R2其中，其中，T為回歸式的樣本容量，為回歸式的樣本容量，R2為擬合優(yōu)度為擬合優(yōu)度21ESSRSSRTSSTSS 6、判別法則：、判別法則：若若LM 2 (p)，接受，接受H1（說明殘差是（說明殘差是ARCH過程）。過程）。5、統(tǒng)計量、統(tǒng)計量LM的分布的分布在零假設(shè)成立的條件下，統(tǒng)計量在零假設(shè)成立的條件下，統(tǒng)計量LM近似服從近似服從2( )p2、識別、識別ARCH模型的階數(shù)，估計模型模型的階數(shù)，估計模型階數(shù)識別：階數(shù)識別：可以分析時間序列可以分析時間序列 的自相關(guān)函數(shù)和的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)。也可以使用偏自相關(guān)函

16、數(shù)。也可以使用AIC或或BIC準則來確定序準則來確定序列適當?shù)臏箝L度。列適當?shù)臏箝L度。 2t參數(shù)估計：參數(shù)估計：一般使用極大似然法估計：一般使用極大似然法估計：21111( ,)exp22TtTptpttfhh 為了簡單，可以使用條件似然函數(shù)：為了簡單，可以使用條件似然函數(shù)：21111( ,)exp( ,)22TtTptpttffhh 3、檢驗、檢驗ARCH模型模型對于對于ARCH模型，把殘差標準化模型，把殘差標準化tttvh則則 應該是正態(tài)白噪聲序列。所以應該是正態(tài)白噪聲序列。所以（1） Ljung-Box Q 統(tǒng)計量檢驗序列是否存在自相關(guān)，統(tǒng)計量檢驗序列是否存在自相關(guān)，（2）利用）利用

17、 JB檢驗檢驗 或或 Q-Q 圖檢驗序列的正態(tài)性圖檢驗序列的正態(tài)性 tv 此時，此時， 各期之間是獨立的，因而不可能各期之間是獨立的，因而不可能ARCH存在效果。存在效果。 也可以直接對也可以直接對ARCH模型的殘差進行模型的殘差進行ARCH檢驗。檢驗。 tv（三）（三）GARCH模型模型一、一、ARCH(q)模型的缺點模型的缺點1、當、當 q 較大時，參數(shù)估計很難做到精確較大時，參數(shù)估計很難做到精確2、為了保證條件方差為正，參數(shù)要求為正。、為了保證條件方差為正，參數(shù)要求為正。 當參數(shù)過多時，用實際數(shù)據(jù)估計出的模型往往不能滿足當參數(shù)過多時，用實際數(shù)據(jù)估計出的模型往往不能滿足 這一要求，從而，模

18、型不具實用性。這一要求，從而，模型不具實用性。3、ARCH模型會高估波動率。模型會高估波動率。二、二、GARCH模型的定義模型的定義01 1ttkkttyxx考慮考慮 k 變量回歸模型變量回歸模型滿足滿足12( ,)ttttyf t yy稱稱( , )tGARCH q p121011()0()ttqptttit ijtjijEVarhh 注：注：GARCH模型的優(yōu)點在于可用低階模型的優(yōu)點在于可用低階GARCH模型來模型來代表高階的代表高階的ARCH模型，從而使模型的識別和估計都變模型，從而使模型的識別和估計都變得比較容易。得比較容易。例如，用例如，用GARCH（1，1）擬合）擬合 的變化特征與

19、用的變化特征與用ARCH（20）擬合相比較，兩者的效果十分相近。）擬合相比較，兩者的效果十分相近。tARCH項系數(shù)項系數(shù)GARCH項系項系數(shù)數(shù)三、三、GARCH模型的另一種定義模型的另一種定義01 1ttkkttyxx若若ttth v2011qptit ijtjijhh . .(0,1)i i dtvN則稱則稱( , )tGARCH q p四、四、GARCH模型的性質(zhì)模型的性質(zhì)1、當、當p=0時，時，GARCH過程變?yōu)檫^程變?yōu)锳RCH過程。過程。2、 GARCH過程的含義是過程的含義是 條件方差條件方差 ht 是是 ht-1, ,ht-p 和和1,tt q 的函數(shù)。的函數(shù)。3、參數(shù)、參數(shù) 是保

20、證條件方差為正的充分條件。是保證條件方差為正的充分條件。4、若、若則則5、 的平穩(wěn)性條件為的平穩(wěn)性條件為 0(1,2, ),0(1,2, )iiiqip( , ),tGARCH q p2( , ),max,tARMA p r rp q 2t111,qp這時這時 也是寬平穩(wěn)的。也是寬平穩(wěn)的。t五、五、GARCH(1,1)模型模型2、GARCH(1,1) 的條件方差和無條件方差的條件方差和無條件方差條件方差是條件方差是 ht ，通過對上式兩邊取期望可得無條件方差通過對上式兩邊取期望可得無條件方差ttth v2011111111, (0,0,1)ttthh 10()ttttEVarh20111ttD

21、E1、大的、大的 會緊跟著另一個大的會緊跟著另一個大的 ，這樣就會產(chǎn)生，這樣就會產(chǎn)生在金融時間序列中有名的波動率聚類現(xiàn)象。在金融時間序列中有名的波動率聚類現(xiàn)象。21t2t3、GARCH(1,1)模型與模型與ARCH模型的關(guān)系模型的關(guān)系 把把GARCH(1,1)過程遞推展開，等價于一個過程遞推展開，等價于一個ARCH()。( , ),tGARCH q p4、若、若 則則2( , ),max,tARMA p rrp q例如例如(1,2),tGARCH20112211tttthhh 即即上式兩邊加上上式兩邊加上 得，得，2t2220112211tttttthhh 222011221122222201

22、1122211221122222011122211122()()()() ()ttttttttttttttttttttthhhhhhh 所以所以222011122222211122()()()ttttttttthhh 令令2,ttthw則則 是白噪聲，且是白噪聲，且 2220112211122()ttttttwww tw即即2(2,2),tARMA5、GARCH(1,1) 模型的尾部特征模型的尾部特征可以證明：當可以證明：當 時，時， 221111 2()04211222111()1()33()1()2ttEVar因此，因此， GARCH(1,1) 模型的尾部比正態(tài)分布的尾部厚。模型的尾部比正

23、態(tài)分布的尾部厚。特別，當特別，當 時，時，1042()3()ttEVar說明系數(shù)說明系數(shù) 在決定在決定 的尾部行為時起關(guān)鍵作用。若的尾部行為時起關(guān)鍵作用。若1t10則則 的尾部行為與正態(tài)噪聲相似，若的尾部行為與正態(tài)噪聲相似，若 ，則，則 有厚尾性。有厚尾性。10tt向前多步預測：向前多步預測：011( )()(1),2TTh kh kk事實上，因為事實上，因為22ttthv21011201120111()(1)ttttttttthhhvhhh v 注意到，注意到，21(1)0ttE v所以所以T時向前時向前k步預測為：步預測為：011( )()(1)TTh kh k21011(1)TTTThh

24、h 向前一步預測：向前一步預測：6、 GARCH(1,1) 模型的預測模型的預測011( )( ),()1Tth kVark 反復迭代可得反復迭代可得11011111 ()( )()(1)1kkTTh kh當當 時有時有111非對稱模型非對稱模型 資產(chǎn)的收益率和波動性存在一個特點資產(chǎn)的收益率和波動性存在一個特點不對稱性，收益不對稱性，收益率上升時，波動性較小，收益率下降時，波動性較大。率上升時，波動性較小，收益率下降時，波動性較大。一、一、TARCH模型模型(門限門限ARCH模型模型)ttth v222011111ttptptqt qthhhS 其中其中 是一個虛擬變量，是一個虛擬變量，S11

25、1,00,0ttS上式表明：好消息上式表明：好消息 和壞消息和壞消息 對對條件方差的有不同的影響。條件方差的有不同的影響。1(0)t1(0)t例：例： 估計估計1995.1.2-2001.12.31滬市每日股票價格收盤指數(shù)滬市每日股票價格收盤指數(shù)的的TARCH模型。模型。均值方程：均值方程：1ln()1.000024ln()tttspsp方差方程：方差方程：6221112.57 100.070.0630.909tttthShARCH(1)GARCH(1)RESID*ARCH(1)二、二、EGARCH模型模型 (指數(shù)指數(shù)GARCH模型模型)ttth v01110111ln( )ln()ln() ln()ln() ttptpqit it iit iitptpqt it it iiiit it it ihhhvE vg vhhEghhh在條件方差在條件方差 ht 中引入了參數(shù)中引入了參數(shù) gi ，使得，使得 ht 在沖擊在沖擊 vt 取正、負值時取正、負值時有不同程度的變化，從而可以描述沖擊對價格波動的非對稱影響。有不同程度的變化，從而可以描述沖擊對價格波動的非對稱影響。在在Eviews中，條件方差方程為：中，條件方差方程為：11111ln( )ln()tttttthchhh例：例： 估計估計1995.1.2-2001.12.31滬市每日股