向量場的曲線積分

1、第二節(jié)一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念 與性質(zhì)與性質(zhì)二、二、 對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法 三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對坐標(biāo)的曲線積分 第十章 一、一、 對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)1. 引例引例: 變力沿曲線所作的功.設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受如下變力作用在 xoy 平面內(nèi)從點(diǎn) A 沿光滑曲線弧 L 移動到點(diǎn) B, ABLxy求移cosABFW “分割” “近似”“求和” “取極限”變力沿直線所作的功解決辦法:動過程中變力所作的功W.ABF ABF),(, ),(),(yxQy

2、xPyxF機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1kMkMABxy1) “分割分割”.2) “近似近似”L把L分成 n 個小弧段,有向小弧段kkMM1),(kkyx近似代替, ),(kk則有kkkkyQxP),(),(kk所做的功為,kWF 沿kkMM1kkkkMMFW1),(k),(kkFnkkWW1則用有向線段 kkMM1kkMM1上任取一點(diǎn)在kykx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3) “求和求和”4) “取極限取極限”nkW1kkkkkkyQxP),(),(nkW10limkkkkkky)Q(x)P,(1kMkMABxyL),(kkFkykx(其中 為 n 個小弧段的 最大長度)機(jī)動

3、 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 定義定義. 設(shè) L 為xoy 平面內(nèi)從 A 到B 的一條有向光滑有向光滑弧弧,若對 L 的任意分割和在局部弧段上任意取點(diǎn), 都存在,在有向曲線弧 L 上對坐標(biāo)的曲線積分坐標(biāo)的曲線積分,LF dr(,) (,)kkkkFxy nk 10lim則稱此極限為函數(shù)或第二類曲線積分第二類曲線積分. 其中, ),(yxPL 稱為積分弧段積分弧段 或 積分曲線積分曲線 .稱為被積函數(shù)被積函數(shù) , 在L 上定義了一個向量函數(shù)極限),(, ),(),(yxQyxPyxF記作),(yxF),(yxQ機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (,)drdx dy其中稱為有向曲線元若

4、為空間曲線弧 , 對坐標(biāo)的曲線積分也可寫成=( , )d( , )LLF drP x yxQ x y dy),(, ),(, ),(),(zyxRzyxQzyxPzyxF(d , d , d )drxyz類似地, 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 可定義( , , )( , , )( , , )rF dP x y z dxQ x y z dyR x y z dz ( ( , ),( , ) (,)F drP x y Q x ydx dyPdxQdy因?yàn)?. 性質(zhì)性質(zhì)(1) 若 L 可分成 k 條有向光滑曲線弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(kiLiyyxQxyxP1d),

5、(d),(2) 用L 表示 L 的反向弧 , 則LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(則說明說明: : 對坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向方向 !機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法二、對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法定理定理:),(, ),(yxQyxP設(shè)在有向光滑弧 L 上有定義且L 的參數(shù)方程為)()(tytx,:t則曲線積分LyyxQxyxPd),(d),( )(),(ttP)(t)(ttd)(),(ttQ連續(xù),證明證明: 下面先證LxyxPd),(tttPd )(),()(t存在, 且有機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對應(yīng)參數(shù)

6、設(shè)分點(diǎn)根據(jù)定義ix,it),(ii點(diǎn),i由于1iiixxx)()(1iittiit)(LxyxPd),(tttPd )(),(niiiP10)(, )(limiit)(niiiP10)(, )(limiit)()(tLxyxPd),(niiiixP10),(lim對應(yīng)參數(shù)連續(xù)所以)(t因?yàn)長 為光滑弧 ,同理可證LyyxQd),(tttQd )(),()(t機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 特別是, 如果 L 的方程為,:),(baxxy則xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(對空間光滑曲線弧 :類似有zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(

7、)(t)(t)(t)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd )(, )(),(tttP,:)()()(ttztytx定理 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yxo例例1. 計(jì)算,dd22yxxyxL其中L為(1) 拋物線 ; 10:,:2xxyL(2) 拋物線 2:,: 01Lxyy(3) 有向折線 .:ABOAL解解: (1) 原式22xxxx d4103(2) 原式y(tǒng)yy222yy d5104(3) 原式y(tǒng)xxyxOAdd22102d)002(xxx1)0, 1(A)1 , 1(B2yx 2xy 10(xxxd)2210(yyd)4yxxyxABdd2210d)102(yy11

8、機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 計(jì)算,dLxyx其中L 為沿拋物線xy 2解法解法1 取 x 為參數(shù), 則OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxddd01()dxxx54d21023xxyyyyxyxLd)(d2112xyxy 解法解法2 取 y 為參數(shù), 則11:,:2yyxL54d2114yy從點(diǎn)xxxd10的一段. ) 1, 1 ()1, 1(BA到)1 , 1(B)1, 1( Aoyx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 計(jì)算其中 L 為,:, 0aaxyyBAoaa x(1) 半徑為 a 圓心在原點(diǎn)的 上半圓周, 方向?yàn)?/p>

9、逆時針方向;(2) 從點(diǎn) A ( a , 0 )沿 x 軸到點(diǎn) B ( a , 0 ). 解解: (1) 取L的參數(shù)方程為,d2xyL0:,sin,costtaytaxxyLd2ttadsin2203332a(2) 取 L 的方程為xyLd2ta202sinttad)sin(132334aaaxd00則則機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ozyx例例5. 求()()d()d ,Izy dxxzyxyz其中,2122zyxyx從 z 軸正向看為順時針方向.解解: 取 的參數(shù)方程,sin,costytx)02:(sincos2tttz20Itttcos)sincos22(tttttd )sin)

10、(cossin(costt d)cos41 (220)sin)(cos2(tt 2機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系設(shè)有向光滑弧 L 以弧長為參數(shù) 的參數(shù)方程為)0()(, )(lssyysxx已知L切向量的方向余弦為sysxddcos,ddcos則兩類曲線積分有如下聯(lián)系LyyxQxyxPd),(d),(ssysysxQsxsysxPlddd)(),(dd)(),(0ssysxQsysxPldcos)(),(cos)(),(0LsyxQyxPdcos),(cos),(機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 類似地, 在空間曲線 上的兩類曲線積分

11、的聯(lián)系是zRyQxPdddsRQPdcoscoscos令A(yù)dFs( ,),FP Q R(d, d, d )drxyz(cos, cos, cos )為單位切向量dFrdFrdFs 記 F 在 t 上的投影為機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6. .將積分yyxQxyxPLd),(d),(化為對弧長的積分,0222xyx).0 , 2()0 , 0(BO到從解：解：oyxB,22xxyxxxxyd21d221)2xxx所以切向量為(1,2cos=2,xxcos1x yyxQxyxPLd),(d),(syxQyxPLd),(),(22xx )1(x其中L 沿上半圓周機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 小結(jié)：,)()(:tytxL: tLyyxQxyxPd),(d),(tttQttPd )(),( )(),()(t)(t 對有向光滑弧 對有向光滑弧baxxyL:, )(:xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(機(jī)動 目錄 上頁 下頁