機(jī)械基礎(chǔ) 第四章 梁的彎曲

1、第四章 粱的彎曲第四章第四章 梁的彎曲梁的彎曲第一節(jié)第一節(jié) 平面彎曲的概念與彎曲內(nèi)力平面彎曲的概念與彎曲內(nèi)力第二節(jié)第二節(jié) 彎曲強(qiáng)度計(jì)算彎曲強(qiáng)度計(jì)算第三節(jié)第三節(jié) 提高梁承載能力的措施提高梁承載能力的措施第一節(jié)第一節(jié) 平面彎曲的概念與彎曲內(nèi)力平面彎曲的概念與彎曲內(nèi)力一、平面彎曲的概念一、平面彎曲的概念1.1.工程實(shí)例工程實(shí)例起重機(jī)大梁圖1圖2火車車軸樓板梁圖3鉆床的搖臂圖41 .1 .工程實(shí)例工程實(shí)例 當(dāng)梁上的載荷均作用在當(dāng)梁上的載荷均作用在縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時(shí)，梁發(fā)內(nèi)時(shí)，梁發(fā)生彎曲變形后，軸線仍然和外力在同一平面內(nèi)，這生彎曲變形后，軸線仍然和外力在同一平面內(nèi)，這種彎曲稱為平面彎曲。種彎曲稱為

2、平面彎曲。梁：梁：以彎曲變形為主的桿件通常稱為梁。以彎曲變形為主的桿件通常稱為梁。M軸線軸線F1F2F縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面縱縱向向?qū)?duì)稱稱軸軸一、平面彎曲的概念一、平面彎曲的概念2 .2 .平面彎曲的概念平面彎曲的概念梁的橫截面形式：梁的橫截面形式：懸臂梁懸臂梁簡(jiǎn)支梁簡(jiǎn)支梁 外伸梁外伸梁FFF2F1F一、平面彎曲的概念一、平面彎曲的概念3.3.梁的基本形式梁的基本形式工程實(shí)例工程實(shí)例B.AammxlF（2 2）彎矩）彎矩M: :橫截面上作用面橫截面上作用面垂直于垂直于截面的內(nèi)力偶矩。截面的內(nèi)力偶矩。l)al (FF,FlFaF,)F(MAyBA00解：解：求支座反力求支座反力例例1 1：已知：

3、已知 F、a 、l 。求：距。求：距A A端端x x處截面上的內(nèi)力。處截面上的內(nèi)力。FBFA剪力和彎矩剪力和彎矩（1 1）剪力）剪力Q: :橫截面上作用線橫截面上作用線平行于平行于截面的內(nèi)力。截面的內(nèi)力。二、彎曲內(nèi)力二、彎曲內(nèi)力求內(nèi)力求內(nèi)力截面法截面法xFMFMlalFFAcy, 0)()(FQ0A（c c為截面形心）為截面形心）aABFxmmAFBFQMBFCFQMAAFCxyQ:Q:剪力剪力 M:M:彎矩彎矩剪力剪力Q Q：剪力對(duì)所取梁段順時(shí)針方向錯(cuò)動(dòng)為正，剪力對(duì)所取梁段順時(shí)針方向錯(cuò)動(dòng)為正，反之為負(fù)。反之為負(fù)。+QQQQ彎矩彎矩M M：彎矩使所取梁段上部受壓、下部受拉彎矩使所取梁段上部受壓

4、、下部受拉時(shí)為正，反之為負(fù)。時(shí)為正，反之為負(fù)。MMMM注意注意：用截面法時(shí)，請(qǐng)按規(guī)定的正向假設(shè)。用截面法時(shí)，請(qǐng)按規(guī)定的正向假設(shè)。剪力和彎矩符號(hào)規(guī)定剪力和彎矩符號(hào)規(guī)定二、彎曲內(nèi)力二、彎曲內(nèi)力PB2lDDAFll例例 已知已知：F、P、l 求：求： D DD D截面上的內(nèi)力。截面上的內(nèi)力。FPQPFQFDDy0, 0若求出若求出A A處支座反力，取左段為研究對(duì)象得相同結(jié)果。處支座反力，取左段為研究對(duì)象得相同結(jié)果。lplFMlPlFMFMDDc23202320)( (c c為截面形心為截面形心) )PFBl2lDMDQxy解：解：從從DDDD處截開，留下右段處截開，留下右段例例 已知已知: :F、q

5、、a 求求: 11: 11截面上的內(nèi)力截面上的內(nèi)力 FaqaMqaFaMFMFqaQQqaFFcy212111210210)(00若求出若求出B B 端的約束反力端的約束反力, ,取右端為研究對(duì)象取右端為研究對(duì)象, ,得相同結(jié)得相同結(jié)果果. . 解解: : 取取1111截面左段為研究對(duì)象。截面左段為研究對(duì)象。qaaF11ABqFA1Q1Mxy任一橫截面上的任一橫截面上的彎矩彎矩, ,在數(shù)值上等于該截面一側(cè)梁上在數(shù)值上等于該截面一側(cè)梁上所有外力對(duì)該截面形心之矩的代數(shù)和，且所有外力對(duì)該截面形心之矩的代數(shù)和，且“左順右逆左順右逆正彎矩正彎矩”。由內(nèi)力的計(jì)算過程可總結(jié)如下規(guī)律由內(nèi)力的計(jì)算過程可總結(jié)如下

6、規(guī)律: :如如: :)l(lqlqlMlqqlQ8441811481111任一橫截面上的任一橫截面上的剪力剪力, ,在數(shù)值上等于該截面一側(cè)在數(shù)值上等于該截面一側(cè)( (左左側(cè)或右側(cè)側(cè)或右側(cè)) ) 梁上所有外力的代數(shù)和，且梁上所有外力的代數(shù)和，且“左上右下正左上右下正剪力剪力”。B1Aq14l2qlqlFA8112/lqlFB872/l 橫截面上的剪力和彎矩與截面位置坐標(biāo)橫截面上的剪力和彎矩與截面位置坐標(biāo)( (x x) )間的間的函數(shù)關(guān)系稱為剪力方程和彎矩方程。函數(shù)關(guān)系稱為剪力方程和彎矩方程。 用圖線將剪力方程和彎用圖線將剪力方程和彎矩方程表示出來矩方程表示出來, ,稱為剪力圖稱為剪力圖和彎矩圖。

7、和彎矩圖。)()(xMMxQQ 剪力方程剪力方程彎矩方程彎矩方程三、剪力圖和彎矩圖三、剪力圖和彎矩圖例：列剪力方程和彎矩方程，并繪出剪力圖和彎矩圖例：列剪力方程和彎矩方程，并繪出剪力圖和彎矩圖。列剪力方程和彎矩方程列剪力方程和彎矩方程繪剪力圖和彎矩圖繪剪力圖和彎矩圖 2)(8120)0(2121)0(qllMMQqllQqlQlqABxlAFBF2qlFFBA解：解：求支座反力求支座反力2222)(2)(xqxqlxqxxFxMqxqlqxFxQAA（0，l )0,l2qlQ圖圖2qlM圖圖82qll2例：例： 試作簡(jiǎn)支梁的剪力圖和彎矩圖試作簡(jiǎn)支梁的剪力圖和彎矩圖分段列剪力方程和彎矩方程222

8、221111322)2()(32)(3)(3)(FxFllxFxFxMFFFxQxFxFxMFFxQAAAAl 2 , 0l 2 , 0ll 3 ,2ll 3 ,2畫剪力圖和彎矩圖FFFFBA32,3 解：求支座反力FcABl2l1x2xAFBFM圖圖Fl32Q圖圖3F32F上題中列上題中列CBCB段段Q Q、M M方程也可取右段為研究對(duì)象方程也可取右段為研究對(duì)象)3()()32(32)(222xlFxMll,FFxQBB323222ll,FxFl 注意：注意： 集中外力作用處剪力集中外力作用處剪力圖有突變，幅度等于力大圖有突變，幅度等于力大?。活愃频?，集中力偶作小；類似地，集中力偶作用處彎矩

9、圖有突變，幅度用處彎矩圖有突變，幅度等于力偶矩大小。等于力偶矩大小。FcABl2l1x2xAFBFM圖圖Fl32Q圖圖3F32F例例 作梁的剪力圖和彎矩圖作梁的剪力圖和彎矩圖分段列剪力方程和彎矩方程分段列剪力方程和彎矩方程作剪力圖核彎矩圖（注意作剪力圖核彎矩圖（注意C C 處處M M圖的突變）圖的突變）lmFFBA3解：解：求支座反力求支座反力cABl2l1x2xAFBFm 下一頁下一頁上一頁上一頁Q圖圖lm3M圖圖m32m31)3(3)(3)(3)(3)(221111xllmxMlmxQxlmxMlmFxQAl , 0l ,0ll 3,l,3lM M圖口訣：圖口訣： 專題：專題：Q Q圖、圖

10、、M M圖畫法口訣圖畫法口訣Q Q圖口訣：圖口訣： 無載梁段水平線無載梁段水平線 均載梁段連斜線均載梁段連斜線 力偶之處無影響力偶之處無影響 集中力處有突變集中力處有突變FF純彎曲：純彎曲：某段梁的內(nèi)力只有某段梁的內(nèi)力只有彎矩沒有剪力時(shí)，該段梁的彎矩沒有剪力時(shí)，該段梁的變形稱為純彎曲。如變形稱為純彎曲。如CDCD段。段。橫力彎曲（剪切彎曲）：橫力彎曲（剪切彎曲）：某某段梁上的內(nèi)力既有彎矩又有段梁上的內(nèi)力既有彎矩又有剪力。該段梁的變形稱為橫剪力。該段梁的變形稱為橫力彎曲。如力彎曲。如ACAC、DBDB段段。aaFFABCDQ圖圖M圖圖Fa第二節(jié)第二節(jié) 彎曲強(qiáng)度計(jì)算彎曲強(qiáng)度計(jì)算一、彎曲正應(yīng)力及分布

11、規(guī)律一、彎曲正應(yīng)力及分布規(guī)律1.1.基本概念基本概念 變形后橫線仍保持變形后橫線仍保持直線；縱線變成曲線，直線；縱線變成曲線，但仍與橫線正交。但仍與橫線正交。梁由無數(shù)縱向纖維組成，各層纖維無擠壓作用，梁由無數(shù)縱向纖維組成，各層纖維無擠壓作用，每條纖維只受拉伸或壓縮。每條纖維只受拉伸或壓縮。（2 2）假設(shè)：）假設(shè)：（1 1）變形現(xiàn)象分析）變形現(xiàn)象分析梁的橫截面變形后仍為平面，只是發(fā)生了轉(zhuǎn)動(dòng)。梁的橫截面變形后仍為平面，只是發(fā)生了轉(zhuǎn)動(dòng)。一、彎曲正應(yīng)力及分布規(guī)律一、彎曲正應(yīng)力及分布規(guī)律2.2.彎曲實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象及分析彎曲實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象及分析中性層：中性層：梁內(nèi)既不伸長(zhǎng)也不縮短的纖維層。梁內(nèi)既不伸長(zhǎng)也不縮短的纖維層

12、。中性軸：中性軸：中性層與橫截面的交線。中性層與橫截面的交線。 梁純彎曲變形的梁純彎曲變形的本質(zhì)本質(zhì)：各截面都產(chǎn)生了繞中性軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。：各截面都產(chǎn)生了繞中性軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。一、彎曲正應(yīng)力及分布規(guī)律一、彎曲正應(yīng)力及分布規(guī)律3.3.中性層和中性軸中性層和中性軸橫截面上各點(diǎn)的正應(yīng)力分布規(guī)律橫截面上各點(diǎn)的正應(yīng)力分布規(guī)律一、彎曲正應(yīng)力及分布規(guī)律一、彎曲正應(yīng)力及分布規(guī)律4.4.梁純彎曲時(shí)橫截面上正應(yīng)力分布規(guī)律梁純彎曲時(shí)橫截面上正應(yīng)力分布規(guī)律二、梁彎曲時(shí)正應(yīng)力強(qiáng)度條件及其應(yīng)用二、梁彎曲時(shí)正應(yīng)力強(qiáng)度條件及其應(yīng)用 由正應(yīng)力分布規(guī)律可知，對(duì)等截面直梁，梁的由正應(yīng)力分布規(guī)律可知，對(duì)等截面直梁，梁的最大應(yīng)力發(fā)生在最大彎矩所在

13、截面的上、下邊緣處。最大應(yīng)力發(fā)生在最大彎矩所在截面的上、下邊緣處。即強(qiáng)度條件為：即強(qiáng)度條件為： zWMmaxmax WZ稱為稱為彎曲截面系數(shù)彎曲截面系數(shù), ,是衡量截面抗彎能力的一個(gè)幾是衡量截面抗彎能力的一個(gè)幾何量，其值只與截面的形狀和尺寸有關(guān)。何量，其值只與截面的形狀和尺寸有關(guān)。矩形矩形(高高h(yuǎn)，寬，寬b)：Wz=bh2/6 圓形圓形： Wz= D3/32空心圓截面空心圓截面： Wz=D3 (1-a4)/32 qABxl2qlQ圖圖2qlM圖圖82qll22qlFFBA解：解：求支座反力求支座反力Mmax=ql2/8=11KN.m彎曲截面系數(shù)彎曲截面系數(shù) wz=bh2/6=1.54*106m

14、m3zWMmaxmax=11*103*103/1.54*106=7.14MPa 因此，梁滿足強(qiáng)度要求。因此，梁滿足強(qiáng)度要求。1. 1. 合理布置載荷合理布置載荷+Fl125. 0FABl2l2Fl25. 0l6F5l6lFq lFl125. 0l4Fl4l4l4+Fl139. 0第三節(jié)第三節(jié) 提高梁承載能力的措施提高梁承載能力的措施一、減小最大彎矩一、減小最大彎矩銑銑床床上上銑銑刀刀的的安安裝裝 2. 2. 合理布置支座合理布置支座2125. 0qlql0.2lql60.2lql2l22025. 0ql202. 0ql202. 0ql201750ql.203125. 0ql201750ql.q

15、l3l3l32003. 0ql20110ql.20110ql.2003. 0ql2003. 0ql一、減小最大彎矩一、減小最大彎矩吊車與平板車吊車與平板車 吊車簡(jiǎn)圖吊車簡(jiǎn)圖 平板車過橋平板車過橋 1.1.不同形狀截面的合理性不同形狀截面的合理性與經(jīng)濟(jì)性，用與經(jīng)濟(jì)性，用WAWA的比的比值衡量。值衡量。 如：工字形、槽形截面如：工字形、槽形截面較合理，圓形截面最不合理；較合理，圓形截面最不合理；2.2.拉壓等強(qiáng)度的塑性材料，應(yīng)采用對(duì)稱于中性軸的截面。拉壓等強(qiáng)度的塑性材料，應(yīng)采用對(duì)稱于中性軸的截面。如如 矩形、工字形等；矩形、工字形等；拉壓不等強(qiáng)度的脆性材料，應(yīng)采拉壓不等強(qiáng)度的脆性材料，應(yīng)采用對(duì)中性軸不對(duì)稱的截面，使中性軸靠近受拉一側(cè)。用對(duì)中性軸不對(duì)稱的截面，使中性軸靠近受拉一側(cè)。如如 T T字字 形、形、U U