控制工程基礎(chǔ)第二章系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

1、223232(1)324(2)263(3)5564yxd ydydxyxdtdtdtd yd ydyyxdtdtdt2222(4)33(5)yxxyxd ydyyxdtdt0imxF xiFmx O -y1 +y1 +y2 -y2 y(t) x(t) 3.消去中間變量，列出各變量間的關(guān)系式。消去中間變量，列出各變量間的關(guān)系式。最后得到只包含最后得到只包含輸入量和輸出量輸入量和輸出量的方程的方程式。式。 4.化成標(biāo)準(zhǔn)形式，即化成標(biāo)準(zhǔn)形式，即輸出量放在方程式的輸出量放在方程式的左端，而輸入量放在方程式的右端左端，而輸入量放在方程式的右端，且各，且各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)其階次依次按冪排列階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)其階次依次按冪排

2、列 * 建立數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)：建立數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)： 機(jī)械運(yùn)動(dòng)：機(jī)械運(yùn)動(dòng)： 牛頓定理、能量守恒定理牛頓定理、能量守恒定理 電電 學(xué)：學(xué)： 歐姆定理、基爾霍夫定律歐姆定理、基爾霍夫定律 熱熱 學(xué)：學(xué)： 傳熱定理、熱平衡定律傳熱定理、熱平衡定律機(jī)械運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的三要素機(jī)械運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的三要素質(zhì)量質(zhì)量 m m ( )x t 參參考考點(diǎn)點(diǎn) ( )v t ( )mft 22( )( )( )mddftmv tmx tdtdt彈簧彈簧 k1212( )( )( )( )( )( )( )kttftk x tx tkx tkv tv tdtkv t dt k 參考點(diǎn)參考點(diǎn) 參考點(diǎn)參考點(diǎn) 1( )v t 1( )x t

3、2( )v t 2( )x t ( )kft ( )kft 機(jī)械運(yùn)動(dòng)的實(shí)質(zhì)：機(jī)械運(yùn)動(dòng)的實(shí)質(zhì)： 牛頓定理、能量守恒定理牛頓定理、能量守恒定理 f 參考點(diǎn)參考點(diǎn) 參考點(diǎn)參考點(diǎn) 1( )v t 1( )x t 2( )v t 2( )x t ( )fft ( )fft 1212( )( )( )( )( )( )( )fftf v tv tfv tdx tdx tfdtdtdx tfdt 22( )d xdxmfkxf tatdtm f(t) x f 平移系統(tǒng)平移系統(tǒng) k 2k 1k ox ix 圖 c f o 2k 1k ox ix 圖 b f 1f m 2f ox ix 圖 a 解：（解：（1）

4、對圖）對圖a所示系統(tǒng)，由所示系統(tǒng)，由牛頓定律有牛頓定律有12122ddd()dddooixxxmfffttt即即1222ddddddddioooxxxxffmttttx 1f m 2f ox ix 圖 a 1dd()ddioxxxx kftt 消除中間變量消除中間變量x有有12121dd()ddoioxxf kkk k xfktt（2）對圖）對圖b所示系統(tǒng)，引所示系統(tǒng)，引入一中間變量入一中間變量x并由牛頓定并由牛頓定律有：律有：2ddddooxxfk xtt 2k 1k ox ix 圖 b f x (3)對圖對圖c所示系統(tǒng)，由牛頓所示系統(tǒng)，由牛頓定律有定律有即即121dd()ddoioixxf

5、kk xfk xtt 2k 1k ox ix 圖 c f 12ddddioiooxxfkxxk xttJ T fJ 回轉(zhuǎn)系統(tǒng)回轉(zhuǎn)系統(tǒng) kJ 123TTTT212dTJdt 2JdTfdt 3JTk 22JJddJfkTdtdt m x f k y 加速度計(jì)原理圖加速度計(jì)原理圖 22dd0ddyxymfkytt 2222ddddddyyxmfkymmatttmaky kyam M L Tm J1 1 z1 T1 T3 T2 T4 TL z3 z2 z4 J2 2 J3 3 f1 f2 f3 原始輪系原始輪系 1111122222343333mLTJfTTJfTTJfT21212112334143

6、3213424 = =zzTTzzzzzzTTzzz z ， 1111312222333324mLTJfzzJfJfTzz2231112312242233111123122424mLzzzTJJJzz zzzzzzfffTzz zz z 22311123224eqzzzJJJJzz z 22311123224eqzzzffffzz z23124LeqLzzTTz z 11meqeqLeqTJfT M Leq Tm TLeq LeLeq 1 feq 等效輪系等效輪系 Jeq o2( )( )u tR i t 11 21( )( )i t dtR i tC o1 2( )( )( )iu tu t

7、R i t12( )( )( )i ti ti tC R1 i2(t) i(t) i1(t) R2 ui(t) uo(t) 圖圖 2-4 無源電路網(wǎng)絡(luò)無源電路網(wǎng)絡(luò) 將方程聯(lián)立求解，消去中間變量將方程聯(lián)立求解，消去中間變量后，即可得到以后，即可得到以為輸入量，以為輸入量，以為為輸出量的電路微分方程式，即：輸出量的電路微分方程式，即： 12112( )( )( )( )oioidu tdu tRRR Cu tCRu tdtRdt K0 i2(t) 圖圖 2-5 有源電路有源電路uo(t) C A - R ui(t) i1(t) B + ( )( )0AButut12( )( )i ti t 1(

8、)( )( )( )iAiu tutu ti tRR 輸出電壓與電容上電壓的關(guān)系為輸出電壓與電容上電壓的關(guān)系為( )( )oCu tut 2( )( )Cduti tCdt 據(jù)此，可列出據(jù)此，可列出2( )( )odu ti tCdt ( )( )iou tdu tCRdt 所以所以即即( )( )oidu tu tCdtR 圖示系統(tǒng)中，圖示系統(tǒng)中，ei(t)為電動(dòng)機(jī)電樞輸入電壓，為電動(dòng)機(jī)電樞輸入電壓， o(t)為電為電動(dòng)機(jī)輸出轉(zhuǎn)角，動(dòng)機(jī)輸出轉(zhuǎn)角，Ra為電樞繞組的電阻，為電樞繞組的電阻，La為電樞繞為電樞繞組的電感，組的電感，ia(t)為流過電樞繞組的電流，為流過電樞繞組的電流，em(t)為電

9、動(dòng)為電動(dòng)機(jī)感應(yīng)電動(dòng)勢，機(jī)感應(yīng)電動(dòng)勢，T(t)為電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩，為電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩，J為電動(dòng)機(jī)及負(fù)為電動(dòng)機(jī)及負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，f為電動(dòng)機(jī)及負(fù)載為電動(dòng)機(jī)及負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的粘性阻尼系數(shù)。折合到電動(dòng)機(jī)軸上的粘性阻尼系數(shù)。( )( )( )( )aia aamdi te tR i tLetdt( )( )T aT tK i t ( )( )omedtetKdt 22( )( )( )oodtdtT tfJdtdt22( )( )( )ooaTTdtdtJfi tKdtKdt 3232( )( )( )( )ooaaaoaTeTidtdtL JL fR Jdtdtd

10、tR fK KK e tdt 22( )( )( )ooaaTeTidtdtR JR fK KK e tdtdt( )( )oeidtKe tdt M ps pL=p1p2 p2 q1 qL A x y 圖圖 2-7 閥控液壓缸液壓伺服系統(tǒng)閥控液壓缸液壓伺服系統(tǒng) p f p q2 p1 qL 02LdppC A 2SLppp SLLdppqC x d ,LLqfx p pL0 qL0 x0 O p q x 圖圖 2-8 qL=f(x,pL)曲線曲線 000,LLqfpx 000000(, )(, )(,)LLLLLLLLx xx xLppppLf p xf p xqf pxxpxp 00(,

11、)LLLqx xppf p xKx 00(, )LLLcx xppLf p xKp LqcLqK x K p LdyqAdt 22Ldydyp A Mfdtdt 22ccqdydyK MK fAKxAdtAdt 00000020000100(,)(,)() (,)1()(,)2!1()(,)(1)!1()(,)(2)1 !nnnnf xh ykf xyhkf xyxyhkf xyxyhkf xyRnxyRhkf xh yknxy 其其中中 （ 化成標(biāo)準(zhǔn)形式，即化成標(biāo)準(zhǔn)形式，即輸出量放在方程式的左端，輸出量放在方程式的左端，而輸入量放在方程式的右端而輸入量放在方程式的右端，且各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)其，且各階

12、導(dǎo)數(shù)項(xiàng)其階次依次按冪排列階次依次按冪排列時(shí)間函數(shù)時(shí)間函數(shù)f(t)，當(dāng)，當(dāng)t0時(shí)，時(shí)， f(t)=0， t0時(shí)，時(shí)， f(t)的拉的拉氏變換計(jì)為氏變換計(jì)為Lf(t)或或F(s)，且定義為，且定義為 0( )( )( )stL f tF sf t edt ( )atf tMe 0(0)1( )1(0)ttt )(tf t O 1 （a） 單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù) 圖圖2-9函數(shù)曲線函數(shù)曲線 00011111ststsLtt edteseess 00( )0ttt ( )1t dt ( ) ( )(0)t f t dtf )(tf t O )(t （b）單位脈沖函數(shù)）單位脈沖函數(shù) 圖圖2-9函數(shù)曲線

13、函數(shù)曲線 00( )( )1ststtLtt edte 00( )0tf ttt 0( )stF stedt udvuvvdu令令 ststeutdvedtdudtvs )(tf t O （c）單位斜坡函數(shù)）單位斜坡函數(shù) 圖圖2-9函數(shù)曲線函數(shù)曲線 2000111( )0stststeeF stedtsssss ()00()011atatsts a ts a tL ee e dtedtes as a cossincossinjjejej sin2cos2jjjjeejee 0022sinsin21112j tj tststeeLttedtedtjjsjsjs 0022coscos21112j

14、tj tststeeLttedtedtjssjsjs 22s 1s21sate 1sa atte 21sa 表表2-1常用函數(shù)的拉氏變換對照表常用函數(shù)的拉氏變換對照表1!nns 1atbteeba 1sasb22ss (1 2 3)ntn ， (1 2 3)natt en ， 1!nnsa 1btatbeaeba ssasb 111atbtbeaeabab 1s sasb22sin11ntnnet 2222nnnss 22sa 21(1)atatea 21ssa sinatet cosatet 22sasa 2221sin111arctanntnet 2222nnns ss 22211sin1

15、11arctanntnet 222nnsss為常數(shù)為常數(shù) ，則則112211221122( )( )( )( )( )( )L k f tk f tk L f tk L f tk F sk F s ()( )asL f taeF s 式中式中f(t-a)為函數(shù)為函數(shù)f(t)延遲時(shí)延遲時(shí)間間a之后的函數(shù)，如圖之后的函數(shù)，如圖2-10所示，當(dāng)所示，當(dāng)ta時(shí)時(shí)f(t)=0。證明：設(shè)證明：設(shè)(t-a)= 則：則： 0()00()()( )( )( )stsaassasL f taf ta edtfedefedeF s 設(shè)設(shè) ，對任一常數(shù)，對任一常數(shù)a（實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)），有（實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)），有 ( )()at

16、L ef tF sa 證明：證明： 0()0( )( )( )()atatsts a tL ef tef t edtf t edtF sa 此定理常常在計(jì)算有指數(shù)函數(shù)項(xiàng)的復(fù)合函數(shù)的拉氏此定理常常在計(jì)算有指數(shù)函數(shù)項(xiàng)的復(fù)合函數(shù)的拉氏變換時(shí)用到。變換時(shí)用到。 sinatet 22sin()atL etsa 22cos()atsaL etsa 1!()atnnnL etsa 1()sL f atFaa （2-31） 0()()stL f atf at edt at ()001()( )11( )sasaL f atfedasfedFaaa ( )( )(0 )df tLsF sfdt 0( )( )s

17、tdf tdf tLedtdtdt udvuvvdustue ( )df tdvdtdt,stdusedt ( )vf t 00( )( )( )( )(0 )ststdf tLef tsf tedtdts F sf 22(1)2( )( )(0 )(0 )d f tLs F ssffdt12(1)(2)(1)( )( )(0 )(0 )(0 )(0 )nnnnnnnd f tLs F ssfsfsffdt ( )( )nnndf tLs F sdt 32325624d yd ydydxyxdtdtdtdt325( )6( )( )2 ( )4( )( )s Y ss Y ssY sY ssX

18、 sX s( 1)11( )( )(0 )Lf t dtF sfss ( 1)(0 )f(f tdt ）0( )( )stLf t dtf t dtedt ( ),stuf t dtdvedt 1( )stduf t dtves ，00( 1)11( )( )( )11(0 )( )ststLf t dtef t dtf t edtssfF sss 2( 1)( 2)22111( )()( )(0 )(0 )Lf t dtF sffsss ( 1)( 2)()1( )()1111( )(0 )(0 ).(0 )nnnnnLf t dtF sfffssss 式中式中 為式中為式中f(t)的的各重

19、積分在各重積分在t=0+時(shí)的值，如果這些初值為零，則有時(shí)的值，如果這些初值為零，則有 1( )( )nnLf t dtF ss0(0 )lim( )lim( )tsff tsF s 0( )( )( )(0 )stdf tdf tLedtsF sfdtdt 0( )limlim( )(0 )0stssdf tedtsF sfdt 0(0 )lim( )lim( )tsff tsF s 0( )lim0stsdf tedtdt ( )atf te ate 0(0 )lim1attfe 1atL esa 1(0 )lim1sfssa 8終值定理終值定理 0( )lim( )lim( )tsff t

20、sF s 0( )( )( )(0 )stdf tdf tLedtsF sfdtdt 0000( )lim( )( )( )(0 )stsdf tedtdf tf tffdt 0lim( )0( )(0 )ssF sfff （ ）0( )lim( )lim( )tsff ts F s 25( )(2)F ss ss 20055( )lim( )lim( )lim22tssff tsF sss ( )( )dL tf tF sds 0( )( )( )stdL tf tF sf t edtds 00( )( )( )( )ststdF sf tt edtdstf t edtL tf t ( )(

21、 )sf tLF s dst 00000( )( )( )1( )( )( )ststsssststF s dsf t edtdsf t dtedsf tf tf t dteedtLttt 設(shè)設(shè)F(s)=Lf(t)；G(s)= Lg(t)0() ( )( ) ( )tLf tgdF s G s （2-42） 0() ( )( )* ( )tf tgdf tg t f(t)和和g(t)000() ( )( ) ()( ) ()( )( )tttf tgdfg tdfg tdg tf t ( )* ( )( )*( )f tg tg tf t 01tf ttf tt )(tf t O 1 000(

22、) ( )() ( )ttstLf tgdf tgdedt 00() ( )()1() ( )tf tgdf ttgd 0000000() ( )()1() ( )( )()1()( )()tstststLf tgdf ttgd edtgdf ttedtgdf tedt 000()0000() ( )( )()( )( )( )( )( )( )tstsssLf tgdgdf tedtgdfedgedfedG s F s 11( )( )( )2rjstrjLF sf tF s e dsj （2-43） 如某一原函數(shù)如某一原函數(shù)的象函數(shù)為的象函數(shù)為,可以把可以把分解分解成一些分量之和，即成一些

23、分量之和，即 121( )( )( )( )( )nnF sF sF sFsF s 式中的式中的F1(s)、 F2(s)、 、 Fn-1(s)、 Fn(s)又很容又很容易由表易由表 2-1得到所對應(yīng)的原函數(shù)得到所對應(yīng)的原函數(shù)f1(t) 、f2(t) 、 fn-1(t) 、 fn(t) ，即，即11111121121( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnf tLF sLF sLF sLFsLF sf tf tftf t 121210121210( )( )( )mmmmmmnnnnnnb sbsbsb sbB sF sA sa sasasa sa（2-44） 12

24、3( )()()()()nA sspspspsp（2-45） 1212( )( )( )nnAAAB sF sA sspspsp由于極點(diǎn)由于極點(diǎn)可為實(shí)數(shù)或復(fù)可為實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)，所以系數(shù)數(shù)，所以系數(shù) -1也也可為實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)。這些系數(shù)有的書又稱留數(shù)。求留可為實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)。這些系數(shù)有的書又稱留數(shù)。求留數(shù)的方法可分為下面三種情況研究。數(shù)的方法可分為下面三種情況研究。 ( )()()()( )()()kk12kkk12spknkkkknspAAB sspspspA sspspAAspspAspsp ( )()( )kkkspB sAspA s53( )(1)(2)(3)sF ssss 31253( )(1)(

25、2)(3)123AAAsF sssssss 115( 1)3( )(1)1(21)(31)sAF s s 225( 2)3( )(2)7(12)(32)sAF s s 335( 3)3( )(3)6(13)(23)sAF s s 1123176( )( )12376tttf tLF sLssseee 176( )123F ssss 312123( )( )( )()()nnAAsB sF sA sspspspsp 113121212312( )()()()()().( )()()spnspnAB sspspsspspA sspAspspsp 111212( )()()()( )spspB ss

26、spspA s因?yàn)橐驗(yàn)閜1是一個(gè)復(fù)數(shù)值，方程兩邊也都是復(fù)數(shù)值。使是一個(gè)復(fù)數(shù)值，方程兩邊也都是復(fù)數(shù)值。使方程（方程（2-49）兩邊的實(shí)數(shù)部分相等）兩邊的實(shí)數(shù)部分相等，得到一個(gè)方程。，得到一個(gè)方程。同樣，同樣，使方程兩邊的虛數(shù)部分相等使方程兩邊的虛數(shù)部分相等，得到另一個(gè)，得到另一個(gè)方程，根據(jù)這兩個(gè)方程就可以確定方程，根據(jù)這兩個(gè)方程就可以確定和和。21( )(1)sF ss ss 12221( )(1)(1)ssAF ss sssss 21(0.50.866)(0.50.866)sssjsjs0.5 j0.866s0.5 j0.8661()()12s ss 120.50.866( 0.50.866)0.50.866jjj 120.50.50.5120.8660.8660.866 121 121 11 20 2011(1)ssAss ss 22222110.50.5( )1(0.5)0.866(0.5)0.866ssF sssssss 10.50.5( )( )1cos0.8660.578sin0.866ttf tLF setet(0)t 112( )() ()().()rrrnA sspspspsp1111112112( )( )( )()()rrrrnrrrrn