結(jié)構(gòu)動力學(xué)基礎(chǔ)(new)2_第1頁
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文檔簡介

1、結(jié) 構(gòu) 動 力 學(xué) 基 礎(chǔ)1.1 無阻尼單自由度體系的自由振動在研究振動問題時(shí),為了簡化計(jì)算,往往把具體的振動體系抽象為振動模型。結(jié)構(gòu)發(fā)生運(yùn)動時(shí),確定其全部質(zhì)量位置所需的獨(dú)立幾何參變量的數(shù)量,稱為體系的自由度。單自由度體系的振動問題在工程上是常見的。例如,基礎(chǔ)與地基之間的彈性支承(圖1.11a),當(dāng)只考慮鉛直方向的振動時(shí),就是單自由度體系的振動。又如,圖1.11b所示的鋼架,假定橫梁為剛體,則在考慮橫梁的水平振動時(shí)也屬于單自由度體系的振動。這些單自由度體系,可以很方便地用圖1.12所示的數(shù)學(xué)模型來描述,它包括下列單元: (a) (b)圖1.11 (a) (b)圖1.12 單自由度體系數(shù)學(xué)模型的

2、兩種表示(1) 質(zhì)量塊m,用來表示結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和慣性特性;(2) 彈簧系數(shù)k,用來表示結(jié)構(gòu)的彈性回復(fù)力和勢能;(3) 阻尼器c,用來表示結(jié)構(gòu)的摩擦特性和能量損耗;(4) 激勵荷載,用來表示作用于結(jié)構(gòu)體系上的外力,力通??蓪懗蓵r(shí)間函數(shù)的形式。利用牛頓運(yùn)動第二定律或者達(dá)朗貝爾原理(該原理表明,把慣性力作為附加的虛擬力,可使體系處于動力平衡狀態(tài)。)得到無阻尼單自由度體系的運(yùn)動微分方程: (1.1-1)令,運(yùn)動微分方程式(1.1-1)成為: (1.1-2)這是一個(gè)二階常系數(shù)線性齊次微分方程,其通解為: (1.1-3)上式中,為積分常數(shù),由物體運(yùn)動的初始條件時(shí), 來確定:, ,將和帶入式(1.1-3),得

3、到: (1.1-4)或等價(jià)寫成: (1.1-5)其中:, (1.1-6)式(1.1-4)或(1.1-5)即為無阻尼單自由度體系的振動方程。下面簡述自由振動的特性。1. 振幅和初位相式(1.1-5)中C為自由振動的振幅;角()為相位,其中為初相位。由(1. 1-6)式可知,自由振動的振幅和初位相與物體運(yùn)動的起始條件、物體的質(zhì)量m和彈簧的剛度系數(shù)k有關(guān)。2. 周期和頻率從式(1.1-4)或(1.1-5)可以看出,由該式所描述的運(yùn)動是簡諧運(yùn)動,因此也是周期性運(yùn)動,即可以用同一頻率的正弦或余弦函數(shù)來表示。物體振動一次所需的時(shí)間稱為周期,以T表示: (1.1-7)周期T的常用單位是秒。每秒內(nèi)物體振動的次

4、數(shù)稱為頻率,以f表示,常用單位是赫茲(Hz)。頻率與周期的關(guān)系為: (1.1-8)由(1.1-8)式得:,可見,是秒內(nèi)振動的次數(shù),稱為圓頻率,它的單位是弧度秒(注:在一些書中常把圓頻率的單位簡寫成為1秒)。從上述關(guān)系式可以看出,系統(tǒng)自由振動的周期、頻率或圓頻率與運(yùn)動的起始條件無關(guān),而只與體系的質(zhì)量m和剛度系數(shù)k有關(guān),即與體系的慣性及彈性有關(guān)。由于質(zhì)量m和剛度系數(shù)k是振動體系本身所固有的特性,所以自由振動的圓頻率也稱為固有頻率。如欲降低振動體系的固有頻率,可減小彈簧的剛度系數(shù)或加大物體的質(zhì)量。 1.2 有阻尼單自由度體系的自由振動前面討論的自由振動,其振幅始終不變,振動能持續(xù)進(jìn)行而永不停止。但實(shí)

5、際上這種情況是不存在的。因?yàn)轶w系振動時(shí)必然要受到阻力的影響,從而使它的振幅逐漸衰減,以致停止振動。阻尼有各種不同的形式,例如,粘滯阻尼(空氣、水或油質(zhì)等流體介質(zhì)的阻尼),干摩擦(物體于其它固體之間的摩擦)和材料的內(nèi)摩擦等。這里我們只討論粘滯阻尼,因?yàn)樵谠S多情況下,粘滯阻尼的假定是真實(shí)的,然而,粘滯阻尼的假定卻往往忽略了體系的實(shí)際耗散特性。這種方法之所以得到如此廣泛應(yīng)用,主要是因?yàn)樗梢缘玫揭环N相對簡單的數(shù)學(xué)分析方法。如果物體在流質(zhì)介質(zhì)中運(yùn)動的速度不大,阻尼力近似地與速度的一次方成正比,這種阻尼稱為線性阻尼。假設(shè)把一結(jié)構(gòu)體系簡化為如圖1.21所示的具有粘滯阻尼的簡單振子,圖中m和k分別為振子的質(zhì)

6、量和彈簧常數(shù),c是粘滯阻尼系數(shù)。運(yùn)用牛頓定律或達(dá)朗貝爾原理得到有阻尼單自由度體系的運(yùn)動微分方程: (1.2-1) (a) 粘滯阻尼振子 (b)隔離體簡圖圖1.21令,則運(yùn)動微分方程式(1.2-1)成為: (1.2-2)這是一個(gè)二階常系數(shù)線性齊次微分方程,設(shè)其解 代入上式可得特征方程: (1.2-3)該二次方程的兩個(gè)根是: (1.2-4)于是方程(1.2-2)的通解為: (1.2-5)隨著n、值的不同,、也具有不同的值,因而方程(1.2-2)也有不同的解,表示著不同的運(yùn)動,下面分別討論。1,臨界阻尼體系這時(shí),特征方程的根為兩個(gè)相等的實(shí)根,方程(1.2-2)的通解為: (1.2-6)由上式可知,這

7、種運(yùn)動是非周期性運(yùn)動,這時(shí)阻尼的大小正好是系統(tǒng)在衰減過程中振動與不振動的分界線,故稱為臨界阻尼體系。在該體系下,阻尼系數(shù)稱為臨界阻尼系數(shù),以表示,即: (1.2-7)在實(shí)際問題中,常常不直接使用阻尼系數(shù)c,而是用阻尼系數(shù)c和臨界阻尼系數(shù)的比值作為阻尼的基本參數(shù),稱為阻尼比。 (1.2-8)2,過阻尼體系在過阻尼體系中,其阻尼系數(shù)大于臨界阻尼系數(shù)(),這時(shí)特征方程有兩個(gè)不等的實(shí)根,從而可以直接用式(1.2-5)給出振動方程的解。對于過阻尼體系或臨界阻尼體系,產(chǎn)生的運(yùn)動是不振蕩的,其振幅隨時(shí)間按指數(shù)衰減到零。圖1.22描繪了具有臨界阻尼的簡單振子的反應(yīng)。過阻尼體系的反應(yīng)與圖1.22所示臨界阻尼體系

8、的運(yùn)動相類似,但是隨著阻尼的增加,恢復(fù)到平衡位置將需要更多的時(shí)間。圖1.22 臨界阻尼的自由振動3,小阻尼體系小阻尼體系也稱為亞阻尼體系,其阻尼系數(shù)小于臨界阻尼值(),這時(shí)方程(1.2-2)的通解為: (1.2-9)式中: ,圖1.23給出了一個(gè)具有初始位移,但初始速度為零()的小阻尼體系的反應(yīng)曲線,該運(yùn)動是振動的,在運(yùn)動過程中,振幅不是常數(shù),而是隨循環(huán)次數(shù)依次遞減。盡管如此,振動還是發(fā)生在相等的時(shí)間間隔內(nèi),該時(shí)間間隔稱為振動的阻尼周期。 (1.2-10)圖1.23 小阻尼體系的自由振動反應(yīng)阻尼對自由振動的影響,主要表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面:(1) 振動周期增大,但是在較小的情況下,阻尼對周期的影響

9、很小,在小阻尼情況下,可近似地認(rèn)為有阻尼自由振動的周期與無阻尼自由振動的周期相等。(2) 振幅按幾何級數(shù)衰減。設(shè)相鄰兩次振動的振幅分別為 和,由式(1.2-9)可知,這兩個(gè)相鄰振幅的比值為: (1.2-11)用實(shí)驗(yàn)方法確定體系阻尼系數(shù)的一種切實(shí)可行的方法是讓體系作自由振動可得到振動記錄如圖1.24所示,并測出運(yùn)動振幅的衰減率。這樣衰減可以很方便地用對數(shù)衰減率來表示,它等于在自由振動中任意兩個(gè)相鄰最大振幅和之比取自然對數(shù),即: (1.2-12)實(shí)際應(yīng)用中,常?。?(1.2-13)圖1.24 峰值位移和切點(diǎn)位移曲線因此用實(shí)驗(yàn)方法確定了體系自由振動兩相鄰的峰值后,便可用式(1.2-13)計(jì)算出阻尼比

10、。1.3 簡諧荷載作用下單自由度體系的反應(yīng)本節(jié),我們將研究理想化為單自由度體系的結(jié)構(gòu)在簡諧激勵作用下的運(yùn)動,即結(jié)構(gòu)所受的力或位移幅值可以用正弦或余弦的時(shí)間函數(shù)來表示的運(yùn)動。這種激勵形式,在機(jī)械振動及結(jié)構(gòu)動力學(xué)中也將產(chǎn)生一種非常重要的運(yùn)動。由于在旋轉(zhuǎn)機(jī)械的轉(zhuǎn)動件中不可避免的質(zhì)量偏心將產(chǎn)生簡諧激勵使結(jié)構(gòu)經(jīng)常受到轉(zhuǎn)動件的動力作用。此外,即使在激勵不是簡諧函數(shù)的情況下,應(yīng)用傅立葉方法也可以得到結(jié)構(gòu)的反應(yīng),即對外部激勵簡諧分量的各個(gè)反應(yīng)的疊加。1.3.1 無阻尼簡諧激勵假設(shè)作用在圖1.3-1中的簡單振子上的外力是等于的簡諧力,其中為峰值,為力的頻率。該體系的運(yùn)動微分方程為: (1.3-1)圖1.3-1

11、簡諧激勵無阻尼振子及其隔離體簡圖式(1.3-1)是一個(gè)二階常系數(shù)非齊次微分方程,其通解為: (1.3-2)上式表明,在恢復(fù)力和干擾力的作用下,體系的振動由兩部分組成,第一部分為自由振動,第二部分為受迫振動。由于阻尼的存在,自由振動將迅速衰減,因此,下面只討論受迫振動部分。由式(1.3-2)的第二部分可知,在簡諧干擾力作用下的受迫振動是簡諧振動,而且與起始條件無關(guān),受迫振動的圓頻率與干擾力的圓頻率相等。如果以表示受迫振動的振幅與靜變形的比值(這里靜變形等于),稱為動力放大系數(shù),則有: (1.3-3)式中,稱為頻率比,表示干擾力的圓頻率與受迫振動的圓頻率之比。分別以和為縱向及橫向坐標(biāo),將式(1.3

12、-3)繪成振幅頻率特性曲線,如圖1.32所示。圖1.32 振幅頻率特性曲線從圖1.32可以看出:1當(dāng)(即干擾力圓頻率等于零)時(shí),;當(dāng)01時(shí),動力放大系數(shù)隨頻率比的增大而增大,該區(qū)域?yàn)榈皖l區(qū)。2當(dāng)時(shí),這說明當(dāng)干擾力的圓頻率接近體系的固有頻率時(shí),在無阻尼情況下,振幅將無限地增大,這種現(xiàn)象稱為共振。工程中將0.751.25的區(qū)域稱為共振區(qū)。當(dāng)體系發(fā)生共振時(shí),由于阻尼的影響,盡管振幅不會無限增大,但會達(dá)到相當(dāng)大的數(shù)值,致使結(jié)構(gòu)物受損。因此,如何避免或消除共振,是工程上的一個(gè)重要課題。3時(shí),動力放大系數(shù)隨頻率比的增大而減小,直到靜止,該區(qū)域稱為高頻區(qū)。在彈簧質(zhì)量體系中,如果由于外界的干擾,使彈簧的支承點(diǎn)

13、發(fā)生簡諧運(yùn)動,那么,將同樣引起受迫振動。例如,由地震荷載引起的結(jié)構(gòu)物的振動,由路面不平引起的車輛的振動等,都屬于這一類情況。1.3.2 有阻尼簡諧激勵考慮圖圖1.33中有粘滯阻尼影響下單自由度振動體系,其運(yùn)動微分方程為: (1-3.4)圖1.33 簡諧激勵有阻尼振子這是一個(gè)二階常系數(shù)非齊次微分方程,其通解為: (1-3.5) 其中:振幅 : 相位差: 、為積分常數(shù),由運(yùn)動的初始條件決定。由(1-3.5)式可知,在彈性力阻尼力和周期干擾力的作用下,體系的運(yùn)動由兩個(gè)部分組成:一部分是自由衰減振動,這一部分運(yùn)動將很快消失;另一部分是受迫振動,在干擾力的作用下,這一部分運(yùn)動將持久地進(jìn)行,所以也稱為穩(wěn)態(tài)

14、振動。下面將討論有阻尼受迫振動的有關(guān)性質(zhì)。一阻尼對受迫振動振幅的影響如果振幅超過了允許的限度,就會在構(gòu)件中產(chǎn)生過大的交變應(yīng)力,使構(gòu)件發(fā)生疲勞破壞,因此在受迫振動中,振幅的大小對工程問題是十分重要的。用表示有阻尼時(shí)的動力放大系數(shù)(即有阻尼受迫振動的振幅與靜變形的比值),則有: (1-3.6)其中:;以頻率比為橫坐標(biāo),動力放大系數(shù)為縱坐標(biāo),將式(1-3.6)繪成不同阻尼情況下的幅頻特性曲線,如圖1.34所示。圖1.34 不同阻尼情況下的幅頻特性曲線圖1.34與無阻尼受迫振動的幅頻特性曲線圖1.32相比較,有如下特點(diǎn):1在共振區(qū),振幅的增大非常明顯,但不是無限制地?cái)U(kuò)大而是有限值。從圖中可以看出,動力

15、放大系數(shù)的最大值并不在1的縱軸上。為求的最大值,對式(1-3.6)進(jìn)行極值運(yùn)算,即由,求得共振時(shí)的和分別為: (1-3.7) (1-3.8)由于大多數(shù)工程問題都屬于小阻尼情況,阻尼比很小,可以將略去不計(jì),于是可得到最大振幅時(shí),。即可以近似地把共振時(shí)的動力放大系數(shù)作為體系的最大放大系數(shù)。2圖1.34反應(yīng)曲線的分析表明,這些曲線的形狀由體系阻尼的大小所決定,特別是頻帶寬度(即相應(yīng)于同一反應(yīng)幅值的兩個(gè)頻率之差)與體系的阻尼密切相關(guān),因此,在工程實(shí)際中,我們常用帶寬法(半功率法)計(jì)算阻尼。圖1.35給出一中等阻尼結(jié)構(gòu)由實(shí)驗(yàn)方法得到的一條典型幅頻特性曲線,在阻尼計(jì)算中,可以方便地量出圖中倍峰值處的頻帶寬

16、度,相應(yīng)于該頻帶寬度上的頻率和叫做半功率點(diǎn)。該頻帶寬度的頻率值,可以通過體系的反應(yīng)幅值等于共振幅值的倍關(guān)系來確定。通過運(yùn)算得到:阻尼比可以近似地用兩個(gè)半功率頻率比差值的一半來表示,即: (1-3.9)圖1.35 實(shí)驗(yàn)幅頻特性曲線二阻尼對相位差的影響將相位差寫成: (1-3.10)分別以和為縱橫坐標(biāo),根據(jù)式(1-3.10)可畫出在不同阻尼情況下的相位差頻率特性曲線,如圖1.36所示。圖1.36 不同阻尼情況下的相位差頻特性曲線從圖1.36中可以看出:當(dāng)遠(yuǎn)小于1時(shí),這時(shí)受迫振動與干擾力可近似認(rèn)為是同相的,隨著的增加,相位差也隨之增大。在共振區(qū)附近,的變化最為劇烈,當(dāng)發(fā)生共振時(shí),它與阻尼的大小無關(guān)。

17、這時(shí)干擾力的相位比受迫振動的相位超前,或者說干擾力與振動的速度同相,因此出現(xiàn)了很大的振幅。經(jīng)過共振區(qū)后,隨著的增加,也增加,并趨向于。這時(shí),受迫振動的位移與干擾力反向。1.4 任意荷載作用下單自由度體系的反應(yīng)由于實(shí)際結(jié)構(gòu)所受到的荷載往往并不是簡諧荷載,本節(jié)研究任意荷載作用下單自由度體系的反應(yīng),可以看到,對于能用解析方法計(jì)算的一些簡單荷載函數(shù),其反應(yīng)可以通過直接積分來求得,然而,對于一般荷載情況,借助于數(shù)值積分方法是必要的。一沖擊荷載和杜哈梅積分沖擊荷載是在一段很短的時(shí)間內(nèi)作用的荷載,這種荷載相應(yīng)的沖量等于力與其持續(xù)時(shí)間的乘積。如圖1.41所示,在時(shí)間為時(shí),力在時(shí)間間隔內(nèi)的沖量可以用陰影部分的面

18、積表示,其值為。根據(jù)動量定理得到速度增量為: (1-4.1) 圖1.41 沖擊荷載的一般荷載函數(shù)由于瞬時(shí)沖量作用的時(shí)間極短,可以認(rèn)為該體系在瞬時(shí)沖量作用下的振動是以,為初始條件的自由振動,將這種速度變化引入無阻尼單自由度體系的位移響應(yīng)方程,作為時(shí)間時(shí)的初始速度,這樣在稍后的某一時(shí)刻時(shí)產(chǎn)生的位移為: (1-4.2)因此,在荷載的連續(xù)作用下,在時(shí)間時(shí)刻所產(chǎn)生的總位移可以用微分位移從時(shí)刻到時(shí)刻進(jìn)行積分來表示: (1-4.3)式(1-4.3)表示作用于無阻尼振子上的激勵荷載所產(chǎn)生總位移,它包括相應(yīng)于零初始條件和的運(yùn)動的穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)兩部分。為了計(jì)入時(shí)的初始位移和初始速度的效果,只需要把由初始條件所得到的解

19、(1.1.4)式與(1-4.3)相加即可,因此,任意荷載作用下的無阻尼單自由度體系的總位移為: (1-4.4)對于一些簡單的外力函數(shù)如恒力、矩形荷載、三角形荷載等可以通過式(1-4.4)得到其顯式積分,當(dāng)動力荷載較復(fù)雜時(shí),有時(shí)不可能求出解析解,在實(shí)際運(yùn)用中,對于所給定的時(shí)程,常常使用數(shù)值積分法。二無阻尼體系杜哈梅積分的數(shù)值計(jì)算應(yīng)用三角函數(shù)關(guān)系和零初始條件,將式(1-4.4)的杜哈梅積分寫成如下形式: (1-4.5)式中: (1-4.6)由此可見,動力反應(yīng)的計(jì)算歸結(jié)為計(jì)算積分和,可以使用任何數(shù)值積分方法來完成其計(jì)算。為了得出動力反應(yīng)的時(shí)程曲線,一個(gè)基本思想是把所給定的時(shí)程劃分為許多區(qū)間(即時(shí)間間

20、隔),然后計(jì)算對應(yīng)于所有區(qū)間端點(diǎn)的動力反應(yīng)。顯然,區(qū)間的劃分越細(xì),計(jì)算結(jié)果越精確。通常要使區(qū)間的長度小于體系固有周期的110。常用于杜哈梅積分的數(shù)值計(jì)算方法是梯形法和辛普森法。對于一般函數(shù),設(shè): (1-4.7)用梯形法所進(jìn)行的基本運(yùn)算是: (1-4.8) 用辛普森法所進(jìn)行的基本運(yùn)算是: (1-4.9)對于辛普森法,必須是偶數(shù)。由于梯形法基于用函數(shù)代替分段線性函數(shù),而辛普森法則基于用函數(shù)代替分段拋物線函數(shù),所以其解都是近似的。計(jì)算杜哈梅積分的另一種方法是基于假定加載函數(shù)由一給定的分段線性連續(xù)函數(shù)來獲得積分的解析解。該方法除了原有的舍入誤差之外,不會造成積分的數(shù)值近似。 圖1.42 分段線性荷載函

21、數(shù)假設(shè)動力函數(shù)可以用圖1.42所示的分段線性函數(shù)來近似,為了得到一條完整的反應(yīng)時(shí)程曲線,將式(1-4.6)以增量的形式來表示: (1-4.10)式中和代表時(shí)的積分值,假設(shè)動力函數(shù)可以用分段線性函數(shù)逼近,即可寫成: (1-4.11)式中: ,將式(1-4.11)代入式(1-4.10)積分得: (1-4.12)式(1-4.12)即為(1-4.6)在任意時(shí)刻時(shí)計(jì)算積分的遞推公式。三有阻尼體系杜哈梅積分的數(shù)值計(jì)算由杜哈梅積分所表示的有阻尼體系的反應(yīng),將產(chǎn)生初始速度 的沖量代入相應(yīng)的有阻尼自由振動方程,便可以得到當(dāng)時(shí)間為時(shí)的微分位移: (1-4.13)對整個(gè)荷載區(qū)間上的這些微分項(xiàng)求和得到杜哈梅積分所表示

22、的有阻尼體系的反應(yīng): (1-4.14)在數(shù)值計(jì)算時(shí),可以按無阻尼體系的情況進(jìn)行,請自己推導(dǎo)。1.5 傅立葉變換和頻域反應(yīng)一般說來,可以把任一周期函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)形式: (1-5.1)對于給定函數(shù)的系數(shù)和可由下式確定: (1-5.2)一用傅立葉級數(shù)表示的荷載作用下的反應(yīng)無阻尼單自由度體系用傅立葉級數(shù)表示的周期力的總反應(yīng),由該級數(shù)各項(xiàng)反應(yīng)的疊加組成,包括恒力的反應(yīng)(穩(wěn)態(tài)反應(yīng)),即: (1-5.3)式中:,有阻尼單自由度體系用傅立葉級數(shù)表示的周期力的總反應(yīng),也由該級數(shù)各項(xiàng)反應(yīng)的疊加組成,可表示為: (1-5.4)式中:為阻尼比二分段線性函數(shù)的傅立葉系數(shù)如前面杜哈梅積分所述,可以用圖1.42所示的

23、分段線性函數(shù)來表示外力函數(shù),這樣就可以把傅立葉系數(shù)的計(jì)算式(1-5.2)用外力函數(shù)的各分段積分和來表示: (1-5.5)式中N是外力函數(shù)的分段數(shù),任意時(shí)間間隔ti-1tti的外力函數(shù)可由式(1-4.11) 表示。將式(1-4.11) 代入式(1-5.5),積分得到分段線性函數(shù)的傅立葉系數(shù)為: (1-5.6)三離散傅立葉變換將傅立葉系數(shù)拓展到非周期函數(shù)所得到的積分稱為傅立葉變換。級數(shù),(j=0,1,2N-1)的傅立葉變換常常通過歐拉公式用指數(shù)形式來表示: (1-5.7)式中: (1-5.8)它的離散傅立葉逆變換為: (1-5.9)用有限和的形式,給出了任意離散函數(shù),就可以得到受荷載函數(shù)的簡諧分量

24、激勵的簡單振子的反應(yīng)。在有阻尼簡諧激勵的運(yùn)動微分方程中,引入單位指數(shù)外力函數(shù)便得到: (1-5.10)其穩(wěn)態(tài)解為: (1-5.11)把式(1-5.11)代入式(1-5.10),便得到函數(shù)H(n),稱為復(fù)頻反應(yīng)函數(shù),其表達(dá)式為: (1-5.12)式中:為頻率比,為阻尼比。因此,由式(1-5.9)給定的具有幅值的簡諧分量在時(shí)的反應(yīng)可表示為: (1-5.13)于是,由N個(gè)簡諧分量得到的總反應(yīng)為: (1-5.14)1.6 反應(yīng)譜反應(yīng)譜是單自由度體系在特定荷載作用下的最大反應(yīng)曲線(最大位移最大速度和最大加速度等)。反應(yīng)譜的橫坐標(biāo)是體系的自振頻率(或周期),縱坐標(biāo)是最大反應(yīng)??紤]圖1.61所示無阻尼振子受

25、半周期正弦荷載的激勵作用,假設(shè)體系初始處于靜止?fàn)顟B(tài),正弦波的持續(xù)時(shí)間為,其運(yùn)動微分方程為: (1-6.1)其中: 圖1.61 荷載F(t)作用下的無阻尼簡單振子該運(yùn)動微分方程的解可以用直接積分法求得,它分為兩部份: (1-6.2)式中:;。由式(1-6.2)可以看出,按表示的反應(yīng)是脈沖持續(xù)時(shí)間與系統(tǒng)自振周期比()和時(shí)刻與周期的比值()的函數(shù)。因此對于參數(shù)的任一給定值,由式(1-6.2)可得到其最大反應(yīng),圖1.62即為函數(shù)的最大反應(yīng)值,它也就是半正弦荷載時(shí)程的反應(yīng)譜。圖1.62 持續(xù)時(shí)間為td的半正弦荷載的反應(yīng)譜從圖1.62可以看出,反應(yīng)譜的最大值(放大系數(shù))1.76,位于0.8處。由于輸入荷載

26、簡單,這時(shí)有可能得到封閉解,并畫出按無量綱比值表示的反應(yīng)譜,該譜曲線對任何用半正弦波描述的脈沖荷載都是有效的。但是,對于隨機(jī)輸入荷載,不能期望得到一般的反應(yīng)譜曲線,通常反應(yīng)譜曲線應(yīng)針對特殊激勵給出。一、支座受激振的反應(yīng)譜結(jié)構(gòu)動力學(xué)中的一個(gè)重要問題就是結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)或支座受到激振時(shí)體系的反應(yīng)分析。如圖1.63所示有阻尼振子的結(jié)構(gòu)在基礎(chǔ)輸入一激振力,激振力由圖1.64表示的加速度函數(shù)來給定。 圖1.63 基礎(chǔ)激振的有阻尼簡單振子 圖1.64 基礎(chǔ)激振的加速度函數(shù)由圖1.63相應(yīng)的隔離體圖中的合力為零得到其運(yùn)動微分方程為: (1-6.3)式(1-6.3)是用絕對運(yùn)動表示的有阻尼振子的運(yùn)動微分方程,更實(shí)用

27、的是由它得到的質(zhì)點(diǎn)對于支座的相對運(yùn)動表達(dá)式,相對位移,代入(1-6.3)式得到: (1-6.4)式中:;。微分方程(1-6.4)的解可以用前面介紹的單自由度體系的求解方法得到,例如用杜哈梅積分得出: (1-6.5)二、三聯(lián)反應(yīng)譜使用對數(shù)可以把最大加速度相對位移和相對擬速度的最大反應(yīng)畫在同一張紙上,即把加速度譜、位移譜和速度譜畫在一起,稱為三聯(lián)反應(yīng)譜。這里擬速度并不是精確的實(shí)際速度,但它們之間聯(lián)系密切,是真實(shí)速度的一種較方便的代換。對于支座受激振的無阻尼體系的運(yùn)動微分方程,用相對位移表示為: (1-6.6)從上式中可見,絕對加速度總是與相對位移成正比的,特別是在最大值時(shí),加速度譜與位移譜成正比,

28、即: (1-6.7)式中:,是體系的自振頻率;。為了方便起見,定義擬速度的最大值為速度譜,即: (1-6.8)彈性體系單自由度動力反應(yīng)譜由輸入運(yùn)動的數(shù)字來計(jì)算。單自由度受支座運(yùn)動的三聯(lián)反應(yīng)譜典型例子如圖1.66。該反應(yīng)譜是輸入1940年埃爾森特羅地震地面加速度記錄的運(yùn)動反應(yīng),這個(gè)地震加速度記錄廣泛應(yīng)用于地震工程研究之中,該地震加速度記錄圖形如圖1.65所示。在1971年加州的圣費(fèi)爾南多地震以前,埃爾森特羅地震記錄是已有的最長和最強(qiáng)烈的地震記錄之一。圖1.66是將式(1-6.7)和式(1-6.8)用自振頻率來表示(),并對各項(xiàng)取對數(shù)而得到的,因此其縱橫坐標(biāo)均采用對數(shù)坐標(biāo),并通過位移橫坐標(biāo)傾斜,加

29、速度橫坐標(biāo)傾斜而畫出以對角線為橫軸的坐標(biāo),這樣就可以從一張圖上同時(shí)讀出加速度速度和位移譜值。圖1.65 1940年5月6日Elecentro地震南北分量地面加速度記錄 圖1.66 1940年Elecentro地震彈性體系的反應(yīng)譜三非線性體系的反應(yīng)譜一般來說,反應(yīng)譜來自不同阻尼單自由度體系特殊激振計(jì)算的反應(yīng),并用短時(shí)間間隔數(shù)值積分來計(jì)算體系的反應(yīng)。對于非線性體系,體系的反應(yīng)采用逐步積分法計(jì)算,其基本思路是:將振動微分方程用增量形式表示,為計(jì)算方便,通常將所要計(jì)算的時(shí)程劃分成許多相等的時(shí)間間隔(即步長),在每一個(gè)連續(xù)的時(shí)間增量上計(jì)算反應(yīng)值。在每一個(gè)時(shí)間間隔開始時(shí)已經(jīng)建立了動力平衡條件,因此對時(shí)間增量的反應(yīng)是基于剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)在上保持不變的條件下近似計(jì)算出來的。在分析中,通過在每一個(gè)時(shí)間增量的起點(diǎn)重新計(jì)算這些系數(shù)來考慮它們的非線性特性。而反應(yīng)值是用上一時(shí)間間隔結(jié)束時(shí)的位移和速度作為下一時(shí)間步長的初始條件而計(jì)算得到。由此可見,對于每一個(gè)時(shí)間間隔,是在其開始時(shí)來計(jì)算系數(shù)和的,并假定直到下一個(gè)時(shí)間步長,它們都保持不變,所以體系的非線性特性近似于依次連續(xù)變化的線性體系,常用線性加速

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