一輪復(fù)習(xí)配套講義第7篇 第6講 空間向量及其運(yùn)算

1、第6講 空間向量及其運(yùn)算 最新考綱 1了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示 2掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示 3掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直. 知 識(shí) 梳 理 1空間向量 在空間中，具有大小和方向的量叫做空間向量，其大小叫做向量的長(zhǎng)度或模 2空間向量中的有關(guān)定理 b?存在R，a使ab. ，(1)共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量ab(b0)(2)共面向量定理：若兩個(gè)向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面?存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使pxayb. (3)空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a，b，c

2、不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z使得pxaybzc. 3兩個(gè)向量的數(shù)量積 (1)非零向量a，b的數(shù)量積a·b|a|b|cos<a，b>. (2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律 結(jié)合律：(a)·b(a·b) 交換律：a·bb·a. 分配律：a·(bc)a·ba·c. 4空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用 設(shè)a(a，a，a)，b(b，b，b). 313221 向量表示 坐標(biāo)表示 數(shù)量積 共線 垂直 a·b0)(b ba0 ba·0) b，0a(ababab 321213a

3、b，ab，ab 321321ababab0 332211 模 |a222 aaa312夾角 0)<a，b>(a0，bbbaaba323121 b>cos<a，222222bbaa·ba322113 感 悟辨 析 1空間向量的線性運(yùn)算) 0.(CDDA，B，C，D是空間任意四點(diǎn)，則有ABBC(1)若A) (×a，b共線的充要條件a|b|b|是(2)(教材習(xí)題改編)|a|) (×a與b所在直線平行(3)若a，b共線，則其中(yOBzOC，B，C，若OPxOA與不共線的三點(diǎn)(4)對(duì)空間任意一點(diǎn)OA) ×，C四點(diǎn)共面()，則P，A，Bx，

4、y，zR 共線、共面與垂直2) b0.(，ab?a·(5)對(duì)于空間非零向量a，b的xy，且ab，則6，b(2，y,2)，若|a|(2,4(6)(教材習(xí)題改編)已知a，x) 或3.(值為1三向量共面，cb，)，若a，1,4，2)c(7,5，(7)已知a(2，1,3)b(65) .(則實(shí)數(shù)等于 7 空間向量的數(shù)量積3·(b·c)ca(×) b(8)在向量的數(shù)量積運(yùn)算中滿足(a·)·(9)已知向量a(4，2，4)，b(6，3,2)，則(ab)·(ab)的值為13.() 25(10)已知a(1,2，2)，b(0,2,4)，則a，b夾

5、角的余弦值為.() 15感悟·提升 1一種思想 理解空間向量概念、性質(zhì)、運(yùn)算，注意和平面向量類比，如 (5) 2兩種方法 一是用向量方法解決立體幾何問(wèn)題，樹(shù)立“基底”意識(shí)，利用基向量進(jìn)行線性運(yùn)算，如(5)二是強(qiáng)化坐標(biāo)運(yùn)算，如(6)、(7)、(9)、(10). 學(xué)生用書(shū)第122頁(yè) 空間向量的線性運(yùn)算 考點(diǎn)一【例1】 如圖所示，已知空間四邊形OABC，其對(duì)角線為OB，AC，M，N分別為OA、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且MG2GN，若OGxOAyOBzOC， _y，z的值分別為則x， 21 MNMGOA解析 OGOM 3222112 OMONONOM)OA(OA 3323211221

6、OA×(OBOC)OA× 23322111 OC，OAOB 363 zOC，xOAyOB又OG11. z，y根據(jù)空間向量的基本定理，x 36111 ，答案 ， 336選定空間不共面的三個(gè)向量作基向量，并用它們表示出指定的向(1)規(guī)律方法 MCCN，表示，OB，OC量，是用向量解決立體幾何問(wèn)題的基本要求如本例用OA就另外解題時(shí)應(yīng)結(jié)合已知和所求觀察圖形，聯(lián)想相關(guān)的運(yùn)算法則和公式等，等， 近表示所需向量首尾相接的若干個(gè)向量的和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的(2) 向量所以在求若干向量的和，可以通過(guò)平移將其轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量求和EAC的中點(diǎn)設(shè)為BACD中，OABCD1

7、【訓(xùn)練】 如圖所示，在長(zhǎng)方體 11112是棱DD上的點(diǎn)，且DEDD，試用AB，AD，AA. EO表示 1113 解 EOEDDO 1221DDDBDD(DAAB) 112332121AADAAB 1223211ABADAA. 1322考點(diǎn)二 共線定理、共面定理的應(yīng)用 【例2】 已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，用向量方法求證： (1)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面； (2)BD平面EFGH. 1EFEHBD)EBBFEBBG證明 (1)連接，則EGEBBG(BC 2 ，H四點(diǎn)共面，由共面向量定理知：E，F(xiàn)，GEH1111四點(diǎn)，D，BD，因?yàn)镋，HB)(AB(2

8、)因?yàn)镋HAHAEADADAB 2222. BD不共線，所以EH 平面EFGH，BD?又EH平面EFGH，?. EFGH平面所以BD C，B，A，P證明點(diǎn)共面問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為證明向量共面問(wèn)題，如要證明 規(guī)律方法 yPCxPB有OAOPA只要能證明PxPByPC或?qū)臻g任一點(diǎn)O，四點(diǎn)共面，共面向量定理實(shí)際上也是三個(gè)非零向1)即可yzxOAyOBzOC(x或OP 量所在直線共面的充要條件滿，若點(diǎn)M三點(diǎn)不共線，對(duì)平面ABC外的任一點(diǎn)O】 已知A，B，C【訓(xùn)練21 )OBOCOM足(OA 3 MC三個(gè)向量是否共面；，MB，(1)判斷MA ABC內(nèi)判斷點(diǎn)M是否在平面(2) ，3 OM由已知OAOBOC解 (

9、1) ，OC)OB(OMOAOM(OM ，MCCMMB即MABM MC共面MBMA， M，MB，MC共面且基線過(guò)同一點(diǎn)(2)由(1)知，MA，. 內(nèi)ABC共面，從而點(diǎn)M在平面M，A，B，C四點(diǎn) 頁(yè)學(xué)生用書(shū)第123 空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用考點(diǎn)三 ADC，把90°AC1，ACD】【例3 如圖，在平行四邊形ABCD中，AB角，求成60°折起，使AB與CD沿對(duì)角線AC 的長(zhǎng)BD 由圖形折疊的相關(guān)知識(shí)得到折疊后圖形中線段的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān) 審題路線 BD|求解|CDAB系，然后用，AC，表示BD，根據(jù)2BD ，120°或60°>CD，BA<角，60&

10、#176;成CD與AB 解 AB，ACCD1，ACCD，AC又AB |BD22?BDCD?BAAC 222CD2BA·2BA·AC2AC·CDBAACCD >CDBA，02×1×1×cos<1110 ，>CDBA，32cos<2. |2或BD|2. 或BD的長(zhǎng)為2利用數(shù)量積解決問(wèn)題的兩條途徑：一是根據(jù)數(shù)量積的定義，利用模 (1)規(guī)律方法 與夾角直接計(jì)算；二是利用坐標(biāo)運(yùn)算 (2)利用數(shù)量積可解決有關(guān)垂直、夾角、長(zhǎng)度問(wèn)題 0；·b，0ab?aa0，b2；a| |aa·b. b>cos<

11、;a， |b|a|【訓(xùn)練3】 如圖，在直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90°，D，E分別為AB，BB的中點(diǎn) (1)求證：CEAD； (2)求異面直線CE與AC所成角的余弦值 c，CCa 設(shè)CA，CBb(1)證明 ，a0b·cc·且根據(jù)題意，|a|b|c|a·b111 a，cbACEbc，D 22211220. bD·AcCE 22. D，即CEAACED1 ，bCEca (2)解AC，c 25|. |a2|a|，|CE|AC|2111?22cb?)·acAC ·CEc(|a|， 222?12|a 210. >

12、;cos<AC，CE1052|2·|a210即異面直線CE與AC所成角的余弦值為. 10 1利用向量的線性運(yùn)算和空間向量基本定理表示向量是向量應(yīng)用的基礎(chǔ) 2利用共線向量定理、共面向量定理可以證明一些平行、共面問(wèn)題；利用數(shù)量積運(yùn)算可以解決一些距離、夾角問(wèn)題 3利用向量解立體幾何題的一般方法：把線段或角度轉(zhuǎn)化為向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通過(guò)向量的運(yùn)算或證明去解決問(wèn)題其中合理選取基底是優(yōu)化運(yùn)算的 關(guān) 鍵 特殊化思想在空間向量中的應(yīng)用方法優(yōu)化6 ) BC的值為( ·中，則AB·CDACDBAD·在空間四邊形【典例】 ABCD B 0 1 A 2

13、 C1 D ，AD，cACAB一般解法 如圖，令a，b BC·ADDB·ACCD·AB則) AB·(AC·(ABAD)ADAB·(ADAC)AC) a(bac)c·a·(cb)b·( c·acc·bba·ca·bb·a·0. 第124頁(yè)學(xué)生用書(shū)中，不妨令其各棱長(zhǎng)都相等，則正四面ABCD優(yōu)美解法 如圖，則在三棱錐 體的對(duì)棱互相垂直 0，AC·DBAB·CD00. BCAD·0. AD·BC·ABCD

14、AC·DB B 答案與空間幾何體有關(guān)的向量運(yùn)算問(wèn)題，當(dāng)運(yùn)算的結(jié)果與幾何體的形狀 反思感悟，利用特殊幾何體的邊角)無(wú)關(guān)時(shí)，可構(gòu)造特殊的幾何體(如正四面體、正方體等 關(guān)系，使運(yùn)算能夠快速準(zhǔn)確的解答，提高做題速度和效率 ECD中，2的正方體ABCDAB北京卷【自主體驗(yàn)】(2013·)如圖，在棱長(zhǎng)為1111 的距離的最小值為P到直線CC_E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段D上，點(diǎn)11的距離，C在平面ABCD上的射影到點(diǎn)到直線解析 點(diǎn)PCC的距離等于點(diǎn)P1的距離的最小值為到直線CCABCD上的射影為P，顯然點(diǎn)P在平面設(shè)點(diǎn)P112×CC的長(zhǎng)度最小，此時(shí)P時(shí)，當(dāng)CP的長(zhǎng)度的最小值，PC

15、DEP22125. 52 5 答案 5 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P319 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：40分鐘) 一、選擇題 1在下列命題中： 若向量a，b共線，則向量a，b所在的直線平行； 若向量a，b所在的直線為異面直線，則向量a，b一定不共面； 若三個(gè)向量a，b，c兩兩共面，則向量a，b，c共面； 已知空間的三個(gè)向量a，b，c，則對(duì)于空間的任意一個(gè)向量p總存在實(shí)數(shù)x，y，z使得pxaybzc. 其中正確命題的個(gè)數(shù)是( ) A0 B1 C2 D3 解析 a與b共線，a，b所在直線也可能重合，故不正確；根據(jù)自由向量的意義知，空間任兩向量a，b都共面，故錯(cuò)誤；三個(gè)向量a，b，c中任兩個(gè)一定共面，但它們?nèi)齻€(gè)卻

16、不一定共面，故不正確；只有當(dāng)a，b，c不共面時(shí)，空間任意一向量p才能表示為pxaybzc，故不正確，綜上可知四個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)為0，故選A. 答案 A 2已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，則與的值可以是( ) 111A2， B， 232C3,2 D2,2 ，1,0,2)(k)1,2(6,2，即akb，ba 解析 ，1?6k ?，32，?，021? 或解得11.? 22?，2k2A 答案1313(2014·濟(jì)南月考)O為空間任意一點(diǎn)，若OPOAOBOC，則A，B，C， 848P四點(diǎn)( ) A一定不共面 B一定共面 C不一定共面 D無(wú)法判斷 313111解析 OPOAO

17、BOC，且1.P，A，B，C四點(diǎn)共面 888448答案 B 4已知a(2,1,3)，b(1,2,1)，若a(ab)，則實(shí)數(shù)的值為( ) 1414A2 B C. D2 532a·b0， ，即a·(ab)0a解析 由題意知1470，2. 答案 D 5A，B，C，D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足AB·AC0，AC·AD0，AB·AD0，M為BC中點(diǎn)，則AMD是( ) A鈍角三角形 B銳角三角形 C直角三角形 D不確定 1解析 M為BC中點(diǎn)，AM(ABAC) 21AM·AD(ABAC)·AD 211AB·ADAC·A

18、D0. 22AMAD，AMD為直角三角形 答案 C 二、填空題6(2014·連云港質(zhì)檢)在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1,0,2)，B(1，3,1)，點(diǎn)M在y軸上，且M到A與到B的距離相等，則M的坐標(biāo)是_ 解析 設(shè)M(0，y,0)，則MA(1，y,2)，MB(1，3y,1)，由題意知|MA|MB222222，解得y1，故M(0y)，1|，11,0)y21 (3答案 (0，1,0) 7若三點(diǎn)A(1,5，2)，B(2,4,1)，C(a,3，b2)在同一條直線上，則a_，b_. 解析 AB(1，1,3)，AC(a1，2，b4)，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù) ，a1?，2AC使解得a3，AB，

19、即b2. ?，3b42 答案 38. 如圖所示，已知空間四邊形OABC，OBOC，且AOBAOC，則cos<OA， 3BC>的值為_(kāi) 解析 設(shè)OAa，OBb，OCc， 由已知條件<a，b><a，c>，且|b|c|， 311OA·BCa·(cb)a·ca·b|a|c|a|b|0，cos<OA，BC>0. 22答案 0 三、解答題 9已知a(1，3,2)，b(2,1,1)，點(diǎn)A(3，1,4)，B(2，2,2) ；|ba|2求(1)? 為原點(diǎn)b(OAB上，是否存在一點(diǎn)E，使得OE(2)在直線 ，5,5)，(2,1

20、,1)(0(1)2解 ab(2，6,4)222552. ?5?故|2ab|0(2)令A(yù)EtAB(tR)，所以O(shè)EOAAEOAtAB(3，1,4)t(1，1，2)(3t，1t,42t)， 若OEb，則OE·b0， 9所以2(3t)(1t)(42t)0，解得t. 5因此存在點(diǎn)E，使得OEb， 1426?，?. 點(diǎn)的坐標(biāo)為E此時(shí) 555?10. 如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCDABCD中，G為BCD的重心， 11111(1)試證：A，G，C三點(diǎn)共線； 1(2)試證：AC平面BCD. 11證明 (1)CACBBAAACBCDCC， 11111可以證明：CG(CBCDCC)CA， 1133CG

21、CA，即A，G，C三點(diǎn)共線 11(2)設(shè)CBa，CDb，CCc，則|a|b|c|a， 1且a·bb·cc·a0， CAabc，BCca， 1122 ，0ac)aBC·CAc()·cba(11 BC，CABC，即因此CA1111 BD，同理CA1 D內(nèi)的兩相交直線，與BC是平面BC又BD11. BCD故AC平面11 能力提升題組) 25分鐘(建議用時(shí)： 一、選擇題 1有下列命題： b共面；與a，ayb，則pp若x ；ybb共面，則pxap若與a， 共面；A，B，則P，M，若MPxMAyMB. yMBxMA，B共面，則MP若P，M，A )其中真命題

22、的個(gè)數(shù)是( 4 DC3 A1 B2 其中為真命題解析B 答案 ，分別是BCE，F(xiàn)已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)2 )的中點(diǎn)，則AE·AF的值為(AD3112222 D. a C.a aaA B. 442解析 設(shè)ABa，ACb，ADc， . 60°三向量?jī)蓛蓨A角為c，b，a，且a|c|b|a|則11 c，)，AFAE(ab 2211 cab)·AE·AF( 22111222. acos 60°)(acos 60°a(a·cb·c 444C 答案 二、填空題3. 分別是在這個(gè)二AC，BD，已知在一個(gè)60°的二面角的棱上，如圖有兩個(gè)點(diǎn)A，B，BD8 cm4 cm，AC6 cm，面角的兩個(gè)半平面內(nèi)垂直于AB的線段，且AB 的長(zhǎng)為_(kāi)則CD d，c，