大學物理11振動4s (1)

1、4.振動振動方向相互垂直方向相互垂直、頻率不相等的兩個諧振動的合成、頻率不相等的兩個諧振動的合成1）兩頻率相差很小）兩頻率相差很小:合振動的軌跡合振動的軌跡，將依次從直線，將依次從直線斜橢圓斜橢圓正正橢圓橢圓斜橢圓斜橢圓直線直線.不停地變化下去。不停地變化下去。2）兩頻率成簡單的整數比）兩頻率成簡單的整數比: 曲線構成曲線構成李薩如圖李薩如圖3.振動方向振動方向相互垂直、相互垂直、頻率相等的兩個諧振動的合成頻率相等的兩個諧振動的合成軌跡是斜線、斜橢圓或者正橢圓，振動方向可能是左旋和右旋，軌跡是斜線、斜橢圓或者正橢圓，振動方向可能是左旋和右旋，由兩振動的位相差決定！由兩振動的位相差決定！2. 同

2、振動方向、同振動方向、不同頻率不同頻率的兩個諧振動的合成的兩個諧振動的合成不是諧振動，可能形成不是諧振動，可能形成振幅加強和減弱現象振幅加強和減弱現象拍拍43第十一章第十一章 機械振動機械振動1.同振動方向、同振動方向、同頻率同頻率的兩個諧振動的合成的兩個諧振動的合成合振動是諧振動合振動是諧振動, 其頻率仍為其頻率仍為 o，三、諧振動的合成三、諧振動的合成(2)單擺系統(tǒng)的能量單擺系統(tǒng)的能量mghmvEEEpk 221總總222sindEd ddmlmgldtdtdtdt )(222 lgdtddtdml =0)cos( tomlh )cos1 ()(2122 mgldtdml（sin ）得：得

3、：E總總=常量常量221 mEk )(sin212222 tmloo勢能勢能mghEp )cos1 ( mgl動能動能任意時刻：任意時刻：隨時隨時間間變化變化)(cos212222 tmloo22221 opkmlEEE 總總221 mgl = 常量常量41o 2.諧振動系統(tǒng)能量的特點諧振動系統(tǒng)能量的特點1）EK、Ep各自隨時間作周期性變化各自隨時間作周期性變化xtTE=EpEk(1/2)kA2okpEE )(sin2122 tkAEk)(cos2122 tkAEpEEk、Ep總是總是此大彼小此大彼小即：諧振動的過程正是動能與勢能相互轉換的過程即：諧振動的過程正是動能與勢能相互轉換的過程2）E

4、總總=常量常量423）動能與勢能的時間平均值）動能與勢能的時間平均值:2200011sin ()2TkEkAtdtT 222020041sin2kAdxxTkA 222020041cos2kAdxxTkA 2200011cos ()2TPEkAtdtT pkEE 總總E21 AkEpEAoX4）E總總正比于振幅的平方正比于振幅的平方A2 這些結論同樣適用于任何諧振動。這些結論同樣適用于任何諧振動。 振幅不僅給出諧振動運動的范圍，而且還振幅不僅給出諧振動運動的范圍，而且還 反映了振動系統(tǒng)總能量的大小及振動的強度。反映了振動系統(tǒng)總能量的大小及振動的強度。* * * 任一諧振動總能量與振幅的平方成正

5、比任一諧振動總能量與振幅的平方成正比* * 彈簧振子的動能和勢能的平均值相等，且彈簧振子的動能和勢能的平均值相等，且 等于總機械能的一半等于總機械能的一半43* * * *E221kxEp )(2122xAkEk )(sin2122 tkAEk)(cos2122 tkAEpE=(1/2)kA2kEA總總2 221kAE 總總結論：結論：1.諧振子的阻尼振動諧振子的阻尼振動dtdxvf 阻阻五、振動的一般情形五、振動的一般情形阻阻彈彈fFF 根據牛頓定律：根據牛頓定律：22dtxdmF 則：則：dtdxkxdtxdm 22即：即：其中：其中：mko 2 02222 xdtdxdtxdo 微分方程

6、微分方程特征特征1）動力學特征）動力學特征kxF 彈彈m 2 阻尼因數阻尼因數442220od xxdt xoxmf阻阻F彈彈阻尼項阻尼項tX2）運動學特征）運動學特征一般一般 不同振動狀態(tài)就不同不同振動狀態(tài)就不同（1）阻尼較小時）阻尼較小時， o，稱為稱為弱阻尼弱阻尼22 o( )cos()toox tA et 此方程的解：此方程的解：其中：振幅其中：振幅toeAA 頻率頻率*振幅隨振幅隨 t 按指數衰減按指數衰減經一周期兩振幅之比：經一周期兩振幅之比：TTtotoeeAeA )(T*是準周期運動是準周期運動出現兩次極大的時間間隔：出現兩次極大的時間間隔：位相改變位相改變2 所經歷的時間所經

7、歷的時間周期周期 222 oTooT 2周期變長，振動變慢。周期變長，振動變慢。能量能量 E 隨振幅隨振幅 A 的減小而衰減的減小而衰減2AE 45*02222 xdtdxdtxdo 振動特點振動特點tteCeCtx)(2)(1202202)( 方程的解：方程的解：其中其中C1 、C2是積分常數，由初始條件來決定。是積分常數，由初始條件來決定。*無振動發(fā)生無振動發(fā)生（2）阻尼較大時）阻尼較大時 o，稱為稱為過阻尼過阻尼02222 xdtdxdtxdo *非周期運動非周期運動t過阻尼過阻尼)(tx 運動一開始，便逐漸運動一開始，便逐漸回到平衡位子回到平衡位子（3） = o，稱為稱為臨界阻尼臨界阻

8、尼t(yī)etCCtx )()(21方程的解：方程的解：C1、C2由初始條件決定由初始條件決定220 是從有周期性因子是從有周期性因子 到無周期性的到無周期性的臨界點臨界點。振動特點同上，振動特點同上， 但很快回到平衡位置。但很快回到平衡位置。46振動特點振動特點臨界阻尼臨界阻尼1)諧振子的受迫振動方程諧振子的受迫振動方程2. 諧振子的受迫振動諧振子的受迫振動設強迫力：設強迫力：tFF外外外外 cos0 外外阻阻彈彈FfFdtxdm 22mko 2 m 2mFfoo 由微分方程理論由微分方程理論：方程的通解方程的通解= =齊次微分方程的解齊次微分方程的解+ +非齊次的一個特解非齊次的一個特解)cos

9、()cos()(00 tAteAtxpt外外經過足夠長的時間，經過足夠長的時間，稱為穩(wěn)態(tài)解：稱為穩(wěn)態(tài)解：)cos()( tAtxp外外反映系統(tǒng)的暫態(tài)行為反映系統(tǒng)的暫態(tài)行為47微分方程微分方程tfxdtdxdtxd外外 cos202022 則有：則有：xoxmf阻阻F彈彈F外外系統(tǒng)的穩(wěn)定振動狀態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定振動狀態(tài)即：穩(wěn)態(tài)時的受迫振動按即：穩(wěn)態(tài)時的受迫振動按諧振動諧振動的規(guī)律變化的規(guī)律變化穩(wěn)態(tài)頻率穩(wěn)態(tài)頻率: 振幅振幅:外外 tfxdtdxdtxd外外 cos202022 )cos()( tAtxp外外穩(wěn)態(tài)解穩(wěn)態(tài)解 02222204pfA 外外位相位相:2202tg 外外 外外 將穩(wěn)態(tài)解代入方程可得

10、：將穩(wěn)態(tài)解代入方程可得：2)穩(wěn)定穩(wěn)定受迫振動與諧振動的區(qū)別：受迫振動與諧振動的區(qū)別：* 受力不同：受力不同： 彈簧振子彈簧振子 F彈彈，受迫振動受迫振動F外外*三特征量的本質不同：三特征量的本質不同：彈簧振子彈簧振子o A 系統(tǒng)固有系統(tǒng)固有由初始由初始條件決定條件決定受迫振動受迫振動外外 A 解方程解方程求得求得外力決定外力決定*能量情況不同：能量情況不同： 諧振動系統(tǒng)諧振動系統(tǒng)能量守恒能量守恒受迫振動系統(tǒng)阻力消耗的能量受迫振動系統(tǒng)阻力消耗的能量=外力作功外力作功483.3.共振共振在一定條件下在一定條件下, 振幅出現振幅出現 極大值極大值, 振動劇烈的現象。振動劇烈的現象。 位移共振位移共振

11、令：令：2202外外共振振幅共振振幅 02202pMaxfAA 若若 o, 則則 r o r=Ar f0/(2 o ) 稱尖銳共振稱尖銳共振一般一般 r 外外大理石板大理石板充氣輪胎充氣輪胎mko 如何設計一防振臺？如何設計一防振臺？小小51內容提要內容提要: :一、波的一般概念一、波的一般概念二、平面簡諧波二、平面簡諧波三、波傳播的能量三、波傳播的能量第十一章第十一章 機械波機械波五、波的干涉五、波的干涉四、惠更斯原理四、惠更斯原理解決波的傳播問題解決波的傳播問題駐波駐波振動方向與傳播方向垂直振動方向與傳播方向垂直振動方向與傳播方向相同振動方向與傳播方向相同1. 波的分類波的分類按性質分類按

12、性質分類:機械波：機械波： 機械振動在彈性媒質中的傳播過程機械振動在彈性媒質中的傳播過程電磁波：電磁波： 電磁場周期性變化在空間的傳播電磁場周期性變化在空間的傳播引力波：引力波：按振動方向與傳播方向分類：按振動方向與傳播方向分類：如如 電磁波電磁波如如 聲波聲波各種類型的波有其特殊性，但也有普遍的共性。各種類型的波有其特殊性，但也有普遍的共性。傳播的是波源的運動狀態(tài)傳播的是波源的運動狀態(tài)混合波混合波: 如水波、地震波如水波、地震波時空形變，以時空形變，以C的速度在空間傳播的速度在空間傳播?1橫波：橫波：縱波：縱波：動畫動畫縱波：縱波：一、波的一般概念一、波的一般概念2.機械波產生的條件機械波產

13、生的條件1）波源）波源產生振動的機構產生振動的機構2）彈性媒質：無窮多質點通過相互之間的彈性）彈性媒質：無窮多質點通過相互之間的彈性 力作用組合在一起的連續(xù)介質力作用組合在一起的連續(xù)介質.23. 波動的特點：波動的特點：1）每個質點只在平衡位置附近振動，不向前運動。）每個質點只在平衡位置附近振動，不向前運動。2）后面質點重復前面質點的振動狀態(tài)，有位相落后。）后面質點重復前面質點的振動狀態(tài)，有位相落后。3）所有質點同一時刻位移不同，形成一個波形。）所有質點同一時刻位移不同，形成一個波形。4）振動狀態(tài)、波形、能量向前傳播。）振動狀態(tài)、波形、能量向前傳播。振動與波動振動與波動區(qū)別區(qū)別:振動研究一個質

14、點的運動。振動研究一個質點的運動。波動研究大量有聯系的質點振動的集體表現。波動研究大量有聯系的質點振動的集體表現。聯系聯系:振動是波動的根源；振動是波動的根源；波動是振動的傳播。波動是振動的傳播。 4.描述波動的基本物理量描述波動的基本物理量1）波長）波長 在波的傳播方向上，兩相鄰的在波的傳播方向上，兩相鄰的 位相差為位相差為 2 的質點間的距離的質點間的距離 。 2）周期）周期 T 波向前傳播一個波長所用的時間。波向前傳播一個波長所用的時間。 Tu uv 波波振振1x2xx1 點的振動位相比點的振動位相比 x2 超前超前2 ： 則：則： 2)()(21 uxtuxt 212 uxx振振波波T

15、T 3）波速）波速 u振動狀態(tài)振動狀態(tài)(位相位相)在媒質中的傳播速度：在媒質中的傳播速度： 3注注波速的大小決定于媒質的性質波速的大小決定于媒質的性質 媒質的密度和彈性模量。媒質的密度和彈性模量。 即：即：T波波空間周期空間周期時間周期時間周期T振振 Tu Gu 氣、液、固體中縱、橫波波速公式氣、液、固體中縱、橫波波速公式 T T為繩索或弦線中張力為繩索或弦線中張力; ;為質量線密度為質量線密度 細長的棒狀媒質中細長的棒狀媒質中縱波縱波波速為波速為 Yu Y Y為媒質的楊氏彈性模量為媒質的楊氏彈性模量; ;為質量密度為質量密度 各向同性均勻固體媒質各向同性均勻固體媒質橫波橫波波速波速G G為媒

16、質的切變彈性模量為媒質的切變彈性模量; ; 對于柔軟的繩索和弦線中對于柔軟的繩索和弦線中橫波橫波波速為波速為: :為質量密度為質量密度 在液體和氣體只能傳播在液體和氣體只能傳播縱波縱波，其波速為：，其波速為： Ku K為媒質的體變彈性模量為媒質的體變彈性模量; ;為質量密度為質量密度 Eu E為媒質的彈性模量為媒質的彈性模量; ;為質量密度為質量密度 固體中固體中縱波縱波波速：波速：在同一種固體媒質中，在同一種固體媒質中，橫波橫波波速比波速比縱波縱波波速小些。波速小些。氣、液、固體中縱、橫波波速公式氣、液、固體中縱、橫波波速公式固體中固體中縱波波速縱波波速橫波波速橫波波速氣、液中縱波波速氣、液中縱波波速繩中橫波波速繩中橫波波速 Yu楊氏模量楊氏模量質量密度質量密度 Gu切變模量切變模量 Bu容變模量容變模量 Tu張力張力質量線密度質量線密度4 u 振振波波 4）頻率）頻率 單位時間內，波推進的距離中包含的完整的單位時間內，波推進的距離中包含的完整的波長的數目：波長的數目：uTu 波波T1 振振T1 2 k5）波數）波數 k 在波的傳播方向上在波的傳播方向上 2 長度內包含的波長的長