第8章 第2講空間點、線、面的位置關(guān)系

1、基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點突破考點突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)最新考綱1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義，并了解有關(guān)的可以作為推理依據(jù)的公理和定理；2.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題第2講空間點、線、面的位置關(guān)系基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點突破考點突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)1平面的基本性質(zhì)(1)公理1：如果一條直線上的_在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)(2)公理2：過_的三點，有且只有一個平面(3)公理3：如果兩個不重合的平面有_公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線知 識 梳 理 兩點不在一條直線上一個基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點突破考點突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)(4)公理2的三個推論

2、推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點有且只有一個平面；推論2：經(jīng)過兩條_直線有且只有一個平面；推論3：經(jīng)過兩條_直線有且只有一個平面相交平行平行相交任何基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點突破考點突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)(2)異面直線所成的角定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點O作直線aa，bb，把a(bǔ)與b所成的_叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)銳角(或直角)(3)平行公理和等角定理平行公理：平行于_的兩條直線互相平行等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角_同一條直線相等或互補(bǔ)基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點突破考點突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)3空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系(1)直線與平面的位置

3、關(guān)系有_、_、_三種情況(2)平面與平面的位置關(guān)系有_、_兩種情況相交平行在平面內(nèi)平行相交基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點突破考點突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)(1)梯形可以確定一個平面( )(2)圓心和圓上兩點可以確定一個平面( )(3)已知a，b，c，d是四條直線，若ab，bc，cd，則ad.( )(4)兩條直線a，b沒有公共點，則a與b是異面直線( )診 斷 自 測基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點突破考點突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)2已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b()A一定是異面直線B一定是相交直線C不可能是平行直線D不可能是相交直線解析由已知得直線c與b可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平行直線，

4、若bc，則ab，與已知a，b為異面直線相矛盾答案C基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點突破考點突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)3下列命題正確的個數(shù)為()經(jīng)過三點確定一個平面梯形可以確定一個平面兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合A0B1C2D3解析經(jīng)過不共線的三點可以確定一個平面，不正確；兩條平行線可以確定一個平面，正確；兩兩相交的三條直線可以確定一個或三個平面，正確；命題中沒有說明三個交點是否共線，不正確答案C基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點突破考點突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)4(2014廣東卷)若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1l2，l2l3，l3l4，則下列結(jié)論一定正

5、確的是()Al1l4Bl1l4Cl1與l4既不垂直也不平行Dl1與l4的位置關(guān)系不確定答案D 基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點突破考點突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)5(2015成都診斷)在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱A1B1，A1D1的中點，則A1B與EF所成角的大小為_基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點突破考點突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)考點一平面基本性質(zhì)的應(yīng)用【例1】 (1)以下四個命題中，正確命題的個數(shù)是()不共面的四點中，其中任意三點不共線；若點A，B，C，D共面，點A，B，C，E共面，則A，B，C，D，E共面；若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；依次首尾相接的四條線段必共面A0B1C2D3基

6、礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點突破考點突破課堂總結(jié)課堂總結(jié) (2)在正方體ABCDA1B1C1D1中，P，Q，R分別是AB，AD，B1C1的中點，那么正方體的過P，Q，R的截面圖形是()A三角形B四邊形C五邊形D六邊形解析(1)正確，假設(shè)其中有三點共線，則該直線和直線外的另一點確定一個平面，這與四點不共面矛盾，故其中任意三點不共線；不正確，從條件看出兩平面有三個公共點A，B，C，但是若A，B，C共線，則結(jié)論不正確；不正確，共面不具有傳遞性；不正確，因為此時所得的四邊形四條邊可以不在同一個平面上，如空間四邊形基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點突破考點突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)(2)如圖所示，作RGPQ交C1D1于G，連接QP并

7、延長與CB延長線交于M，且QP反向延長線與CD延長線交于N，連接MR交BB1于E，連接PE，則PE，RE為截面與正方體的交線，同理連接NG交DD1于F，連接QF，F(xiàn)G，則QF，F(xiàn)G為截面與正方體的交線，截面為六邊形PQFGRE.答案(1)B(2)D 基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點突破考點突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)規(guī)律方法(1)公理1是判斷一條直線是否在某個平面的依據(jù)；公理2及其推論是判斷或證明點、線共面的依據(jù)；公理3是證明三線共點或三點共線的依據(jù)要能夠熟練用文字語言、符號語言、圖形語言來表示公理(2)畫幾何體的截面，關(guān)鍵是畫截面與幾何體各面的交線，此交線只需兩個公共點即可確定，作圖時充分利用幾何體本身提供的面

8、面平行等條件，可以更快地確定交線的位置基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點突破考點突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)【訓(xùn)練1】 如圖所示是正方體和正四面體，P，Q，R，S分別是 所 在 棱 的 中 點 ， 則 四 個 點 共 面 的 圖 形 的 序 號 是_基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點突破考點突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)解析可證中的四邊形PQRS為梯形；中，如圖所示，取A1A和BC的中點分別為M，N，可證明PMQNRS為平面圖形，且PMQNRS為正六邊形；中，可證四邊形PQRS為平行四邊形；中，可證Q點所在棱與面PRS平行，因此，P，Q，R，S四點不共面答案 基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點突破考點突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)考點二空間兩條直線的位置關(guān)系【例

9、2】 如圖是正四面體的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點，在這個正四面體中，GH與EF平行；BD與MN為異面直線；GH與MN成60角；DE與MN垂直以上四個命題中，正確命題的序號是_基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點突破考點突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)解析把正四面體的平面展開圖還原如圖所示，GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60角，DEMN.答案 基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點突破考點突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)規(guī)律方法空間中兩直線位置關(guān)系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定，對于異面直線，可采用直接法或反證法；對于平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、平行公理及線面平行與面面平

10、行的性質(zhì)定理；對于垂直關(guān)系，往往利用線面垂直的性質(zhì)來解決基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點突破考點突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)【訓(xùn)練2】 (2014余姚模擬)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點，則下列說法錯誤的是()AMN與CC1垂直BMN與AC垂直CMN與BD平行DMN與A1B1平行基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點突破考點突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)解析如圖，連接C1D，BD，AC，在C1DB中，MNBD，故C正確；CC1平面ABCD，CC1BD，MN與CC1垂直，故A正確；ACBD，MNBD，MN與AC垂直，故B正確；A1B1與BD異面，MNBD，MN與A1B1不可能平行，故D錯誤，選D.答

11、案D 基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點突破考點突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)考點三求異面直線所成的角【例3】 (2014濰坊一模)已知三棱錐ABCD中，ABCD，且直線AB與CD所成的角為60，點M，N分別是BC，AD的中點，則直線AB和MN所成的角為_深度思考求異面直線所成的角常采用“平移直線法”，你是不是用的這種方法？但還可以有一種不錯的方法：補(bǔ)形法將該三椎錐放在長方體中，不妨試 一試？基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點突破考點突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)則MPN60或MPN120，若MPN60，因為PMAB，所以PMN(或其補(bǔ)角)是AB與MN所成的角又因為ABCD，所以PMPN，則PMN是等邊三角形，所以PMN60，即AB與MN所

12、成的角為60.若MPN120，則易知PMN是等腰三角形所以PMN30，即AB與MN所成的角為30.綜上直線AB和MN所成的角為60或30.基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點突破考點突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)法二由ABCD，可以把該三棱錐放在長方體AA1BB1C1CD1D中進(jìn)行考慮，如圖，由M，N分別是BC，AD的中點，所以MNAA1，即BAA1(或其補(bǔ)角)為AB與MN所成的角連接A1B1交AB于O，所以A1B1CD，即AOA1(或其補(bǔ)角)為AB與CD所成的角所以AOA160或120，由矩形AA1BB1的性質(zhì)可得BAA160或30.所以直線AB和MN所成的角為60或30.答案60或30 基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點突破考點

13、突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)規(guī)律方法求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；補(bǔ)形平移基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點突破考點突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)【訓(xùn)練3】 若例3中的條件“AB與CD成60的角”改為“ABCD”，其余條件不變，則直線AB與MN所成的角為_答案45 基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點突破考點突破課堂總結(jié)課堂總結(jié) 思想方法1主要題型的解題方法(1)要證明“線共面”或“點共面”可先由部分直線或點確定一個平面，再證其余直線或點也在這個平面內(nèi)(即“納入法”)(2)要證明“點共線”可將線看作兩個平面的交線，只要證明這些點都是這兩個平面的公共點，根據(jù)公理3可知這些點在交線上或選擇某兩點確定一條直線，然后證明其他點都在這條直線上基礎(chǔ)診斷基礎(chǔ)診斷考點突破考點突破課堂總結(jié)課堂總結(jié)2判定空間兩條直線是異面直線的方法(