二次曲面8-8(31)

1、8.7.2 二次曲面二次曲面定義二次曲面的研究二次曲面小結二次曲面二次曲面三元二次方程所表示的曲面稱之三元二次方程所表示的曲面稱之相應地平面被稱為相應地平面被稱為一次曲面一次曲面定義定義一、基本內容名稱名稱分類分類橢 球 面橢球面球 面圓 柱 面橢 圓 柱 面拋 物 柱 面雙 曲 柱 面柱 面一 般 柱 面單葉雙曲面雙曲面雙葉雙曲面橢圓拋物面拋物面雙曲拋物面圓 錐 面錐 面橢 圓 錐 面討論二次曲面性狀的討論二次曲面性狀的截痕法截痕法： 用坐標面和平行于坐標面的平面與曲面用坐標面和平行于坐標面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而

2、了解曲面的全貌加以綜合，從而了解曲面的全貌以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面二、二次曲面的研究 橢球面與三個橢球面與三個坐標面的交線：坐標面的交線：,012222 yczax.012222 xczby,012222 zbyax（二）橢球面（二）橢球面橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化.橢球面與平面橢球面與平面 的交線為橢圓的交線為橢圓1zz 同理與平面同理與平面 和和 的交線也是橢圓的交線也是橢圓.1xx 1yy 12122222122221)()(zzzccbyzccaxcz |1橢球面的幾種特殊情況：橢球面的幾種特殊情

3、況：,)1(ba 1222222 czayax旋轉橢球面旋轉橢球面12222 czax由橢圓由橢圓 繞繞 軸旋轉而成軸旋轉而成z旋轉橢球面與橢球面的旋轉橢球面與橢球面的區(qū)別區(qū)別：122222 czayx方程可寫為方程可寫為與平面與平面 的交線為圓的交線為圓.1zz )| (1cz ,)2(cba 1222222 azayax球面球面.2222azyx .)(12122222 zzzccayx截面上圓的方程截面上圓的方程方程可寫為方程可寫為橢橢 球球 面面 的的圖形繪制圖形繪制1222222 czbyax繪圖語句繪圖語句ParametricPlot3DSinuCosv,SinuSinv,0.5C

4、osu,u,0,Pi,v,0,2Pi（二）拋物面（二）拋物面zqypx 2222（ 與與 同號）同號）pq橢圓拋物面橢圓拋物面用截痕法討論：用截痕法討論：（1）用坐標面）用坐標面 與曲面相截與曲面相截)0( zxoy截得一點，即坐標原點截得一點，即坐標原點)0 , 0 , 0(O設設0, 0 qp原點也叫橢圓拋物面的原點也叫橢圓拋物面的頂點頂點.旋轉拋物面旋轉拋物面與平面與平面 的交線為橢圓的交線為橢圓.1zz 11212122zzqzypzx當當 變動時，這種橢變動時，這種橢圓的圓的中心中心都在都在 軸上軸上.1zz)0(1 z與平面與平面 不相交不相交.1zz )0(1 z（2）用坐標面）

5、用坐標面 與與)0( yxoz 022ypzx曲面相截截得拋物線曲面相截截得拋物線xyzo0,0 qp與平面與平面 的交線為拋物線的交線為拋物線.1yy 121222yyqyzpx它的軸平行于它的軸平行于 軸軸z頂點頂點 qyy2, 0211（3）用坐標面）用坐標面 ，)0( xyoz1xx 與曲面相截均可得拋物線與曲面相截均可得拋物線.同理當同理當 時時可類似討論可類似討論.0, 0 qpzxyo0,0 qp特殊地：當特殊地：當 時，方程變?yōu)闀r，方程變?yōu)閝p zpypx 2222旋轉拋物面旋轉拋物面)0( p（由（由 面上的拋物線面上的拋物線 繞它的軸繞它的軸旋轉而成的）旋轉而成的）xozp

6、zx22 11222zzpzyx與平面與平面 的交線為圓的交線為圓.1zz )0(1 z當當 變動時，這種圓變動時，這種圓的的中心中心都在都在 軸上軸上.1zz雙曲拋物面（馬鞍面）雙曲拋物面（馬鞍面）雙曲拋物面是直紋面雙曲拋物面是直紋面雙曲拋物面的雙曲拋物面的 圖形制作圖形制作zpypx 2222繪圖語句繪圖語句ParametricPlot3Du,v,u2/0.5-v2/2,u,-2,2,v,-4,4,BoxRatios-1,1,3（三）雙曲面（三）雙曲面單葉雙曲面單葉雙曲面1222222 czbyax（1）用坐標面）用坐標面 與曲面相截與曲面相截)0( zxoy截得中心在原點截得中心在原點

7、的橢圓的橢圓.)0 , 0 , 0(O 012222zbyax與平面與平面 的交線為橢圓的交線為橢圓.1zz 當當 變動時，這種橢變動時，這種橢圓的圓的中心中心都在都在 軸上軸上.1zz 122122221zzczbyax（2）用坐標面）用坐標面 與曲面相截與曲面相截)0( yxoz截得中心在原點的雙曲線截得中心在原點的雙曲線. 012222yczax實軸與實軸與 軸相合，軸相合，虛軸與虛軸與 軸相合軸相合.xz xyoz 122122221yybyczax雙曲線的雙曲線的中心中心都在都在 軸上軸上.y與平面與平面 的交線為雙曲線的交線為雙曲線.1yy )(1by ,)1(221by x實軸與

8、實軸與 軸平行軸平行,z虛軸與虛軸與 軸平行軸平行.,)2(221by z實軸與實軸與 軸平行軸平行,x虛軸與虛軸與 軸平行軸平行.,)3(1by 截痕為一對相交于點截痕為一對相交于點 的直線的直線.)0 , 0(b,0 byczax.0 byczax,)4(1by 截痕為一對相交于點截痕為一對相交于點 的直線的直線.)0 , 0(b ,0 byczax.0 byczax（3）用坐標面）用坐標面 ， 與曲面相截與曲面相截)0( xyoz1xx 均可得雙曲線均可得雙曲線.平面平面 的截痕是的截痕是兩對相交直線兩對相交直線.ax 單葉旋轉雙曲面單葉旋轉雙曲面單葉雙曲面是直紋面單葉雙曲面是直紋面語句

9、語句ParametricPlot3DSecuCosv,SecuSinv,Tanu,u,-Pi/2.1,Pi/2.1,v,0,2Pi,BoxRatios-1,1,1單葉雙曲面的單葉雙曲面的圖形繪制圖形繪制1222222 czbyaxxyo雙葉雙曲面雙葉雙曲面雙葉雙曲面的雙葉雙曲面的圖形制作圖形制作1222222 czbyaxg1=ParametricPlot3DTanuCosv,TanuSinv,Secu,u,-Pi/2.1,Pi/2.1,v,0,2Pi,BoxRatios-1,1,2g2=ParametricPlot3DTanuCosv,TanuSinv,-Secu,u,-Pi/2.1,Pi/

10、2.1,v,0,2Pi,BoxRatios-1,1,2Showg1,g2繪圖語句繪圖語句（四）柱（四）柱 面面（四）柱（四）柱 面面橢圓柱面橢圓柱面雙曲柱面雙曲柱面拋物柱面拋物柱面一般柱面一般柱面一般柱面一般柱面錐面的錐面的圖形制作圖形制作繪圖語句繪圖語句12222 byaxg1=ParametricPlot3DCosv,Sinv,u,u,-2,2,v,0,2Pi,BoxRatios-1,1,1.5（五）錐（五）錐 面面一般錐面一般錐面顯然錐面是直紋面顯然錐面是直紋面ParametricPlot3Du*Cosv,u*Sinv,u,u,-2,2,v,0,2Pi,BoxRatios-1,1,1.5

11、錐面的錐面的圖形制作圖形制作0222222 czbyax繪圖語句繪圖語句二次曲面小結二次曲面小結完全對稱完全對稱直角方程直角方程參數方程參數方程取值范圍取值范圍中中 心心 軸軸X X 軸軸Y Y 軸軸Z Z 軸軸對對 稱稱 性性頂頂 點點（ ）截截 痕痕圓、點圓、點截截 部部圓圓 球面是空間中與球面是空間中與定點有定距離的動定點有定距離的動點的軌跡。（定點點的軌跡。（定點被稱為球心，定距被稱為球心，定距離被稱為半徑）離被稱為半徑） 球面是二次曲面球面是二次曲面中最優(yōu)秀、最友好中最優(yōu)秀、最友好的曲面。它均勻、的曲面。它均勻、有界、處處光滑，有界、處處光滑，具有完全對稱性。具有完全對稱性。它的外接

12、曲面是以它的外接曲面是以兩個球半徑為邊長兩個球半徑為邊長的立方體的表面。的立方體的表面。任何平面與球面相任何平面與球面相交，球面都會奉送交，球面都會奉送一 條 友 好 的 曲 線一 條 友 好 的 曲 線圓。圓。主要特征主要特征2222RzyxuRzvuRyvuRxcossinsincossin0 , 0 ,R（ ）0 , 0R（ ）R, 0 , 0圖圖 形形備備 注注),(RzyxR 1222222 czbyax uczvubyvuaxcossinsincossin完全對稱完全對稱直角方程直角方程參數方程參數方程取值范圍取值范圍中中 心心 軸軸X X軸軸y y軸軸Z Z軸軸對對 稱稱 性性頂

13、頂 點點截截 痕痕橢圓橢圓圓圓點點截截 部部橢圓橢圓備備 注注 橢球面可以視為橢球面可以視為球面的變形。球面球面的變形。球面在三個坐標軸上有在三個坐標軸上有相等的截距相等的截距R R，然而，然而，友好的球面允許任友好的球面允許任意改變它的截距，意改變它的截距，并隨著你的意愿變并隨著你的意愿變成你意的橢球面。成你意的橢球面。它可以變得象地球它可以變得象地球面、象雞蛋殼、象面、象雞蛋殼、象鐵餅面，但是，它鐵餅面，但是，它均勻、有界、處處均勻、有界、處處光滑，具有完全對光滑，具有完全對稱性的特點不會改稱性的特點不會改變。變。 用平面切割橢球用平面切割橢球面一般是橢圓，如面一般是橢圓，如果你運氣好，也

14、會果你運氣好，也會得到一個圓。得到一個圓。主要特征主要特征圖圖 形形（ ）0 , 0 , a（ ）0 , 0 b（ ）c , 0 , 0axa byb czc 1222222 czbyax ctguzvubyvuaxsinseccossecxyz完全對稱完全對稱直角方程直角方程參數方程參數方程取值范圍取值范圍中中 心心 軸軸Z Z軸軸對對 稱稱 性性頂頂 點點無無截截 痕痕雙曲線、橢圓雙曲線、橢圓截截 部部雙曲線、橢圓雙曲線、橢圓備備 注注 雙曲面分單葉雙曲雙曲面分單葉雙曲面和雙葉雙曲面。面和雙葉雙曲面。 單葉雙曲面由兩組單葉雙曲面由兩組雙曲線和一組橢圓構雙曲線和一組橢圓構成，具有完全對稱性。

15、成，具有完全對稱性。 單葉雙曲面的開口單葉雙曲面的開口越來越大，伸向無窮越來越大，伸向無窮遠，似乎要把天地間遠，似乎要把天地間一切都裝進它的內部，一切都裝進它的內部，然而，隨著它一個方然而，隨著它一個方向開口的增大，另一向開口的增大，另一個方向的開口也同樣個方向的開口也同樣增大，所以它的內部增大，所以它的內部什么都沒有。什么都沒有。 正是利用這一特正是利用這一特點，工廠里的冷卻塔點，工廠里的冷卻塔常用的外形之一是單常用的外形之一是單葉雙曲面。它的優(yōu)點葉雙曲面。它的優(yōu)點是對流快、散熱性能是對流快、散熱性能好。好。主要特征主要特征圖圖 形形1222222 czbyax uczvbtguyvatgu

16、xsecsincosxyz完全對稱完全對稱直角方程直角方程參數方程參數方程取值范圍取值范圍中中 心心 軸軸Z Z軸軸對對 稱稱 性性頂頂 點點截截 痕痕雙曲線橢雙曲線橢圓、點圓、點截截 部部雙曲線雙曲線 橢圓橢圓 點點備備 注注 雙葉雙曲面分雙葉雙曲面分為兩部分，一部分為兩部分，一部分在在XYXY平面上方，另平面上方，另一部分在一部分在XYXY平面下平面下方，這兩部分之間，方，這兩部分之間，沒有雙葉雙曲面的沒有雙葉雙曲面的痕跡。由于曲面分痕跡。由于曲面分為兩葉，并且它有為兩葉，并且它有兩組截痕都是雙曲兩組截痕都是雙曲線，故稱雙葉雙曲線，故稱雙葉雙曲面。面。圖圖 形形（ ）c , 0 , 0（

17、）c, 0 , 0主要特征主要特征qypxz22 qvpuzvyux22xyz無無直角方程直角方程參數方程參數方程取值范圍取值范圍中中 心心 軸軸Z Z軸軸對對 稱稱 性性頂頂 點點截截 痕痕雙曲線、直線雙曲線、直線截截 部部雙曲線、直線雙曲線、直線 雙曲拋物面是二次曲面雙曲拋物面是二次曲面中最桀驁不馴的曲面。一中最桀驁不馴的曲面。一眼望去，其形狀酷似馬鞍，眼望去，其形狀酷似馬鞍，因而俗稱馬鞍面。因而俗稱馬鞍面。 雙曲拋物面的脊梁有雙曲拋物面的脊梁有兩組相互垂直的拋物線構兩組相互垂直的拋物線構成，但兩組拋物線的開口成，但兩組拋物線的開口方向卻南轅北轍。方向卻南轅北轍。 讓我們用一組水平面切讓我

18、們用一組水平面切割標準的馬鞍面，你能想割標準的馬鞍面，你能想象出切割出的曲線的形狀象出切割出的曲線的形狀嗎？在它的脊梁上方是一嗎？在它的脊梁上方是一組東西向的雙曲線，而在組東西向的雙曲線，而在脊梁的下面，卻是南北向脊梁的下面，卻是南北向的雙曲線，在脊梁正中原的雙曲線，在脊梁正中原點處的那張平面只得到兩點處的那張平面只得到兩條彼此相交的直線。條彼此相交的直線。 雙曲拋物面是無界曲雙曲拋物面是無界曲面，我們看到的是它的局面，我們看到的是它的局部，其整體可以想象卻不部，其整體可以想象卻不能繪制。能繪制。主要特征主要特征圖圖 形形無無備備 注注2222byaxz vzuvbyuvaxsincosxy

19、z0X X軸、軸、Y Y軸軸直角方程直角方程參數方程參數方程取值范圍取值范圍中中 心心 軸軸Z Z軸軸對對 稱稱 性性頂頂 點點截截 痕痕橢圓、拋物線、橢圓、拋物線、點點截截 部部拋物線、點拋物線、點備備 注注 橢圓拋物面光滑、橢圓拋物面光滑、無界，開口向上時有最無界，開口向上時有最小值而沒有最大值，開小值而沒有最大值，開口向下時有最大值而沒口向下時有最大值而沒有最小值。橢圓拋物面有最小值。橢圓拋物面有兩組相互垂直的同軸有兩組相互垂直的同軸拋物線，一組自身平行拋物線，一組自身平行的同心橢圓。的同心橢圓。 正是這些同心同軸正是這些同心同軸的曲線，才使得橢圓拋的曲線，才使得橢圓拋物面開口方向高度一

20、致。物面開口方向高度一致。曲面的方向可以一致向曲面的方向可以一致向上、一致向下、一致向上、一致向下、一致向左、一致向右，但無論左、一致向右，但無論向哪個方向，橢圓拋物向哪個方向，橢圓拋物面都以原點為始，至無面都以原點為始，至無窮遠點為終，始終不渝。窮遠點為終，始終不渝。主要特征主要特征圖圖 形形(0,0,0)(0,0,0)22 pxy vzpuyux22x y0對稱對稱Y Y軸軸直角方程直角方程參數方程參數方程取值范圍取值范圍中中 心心 軸軸Y Y 軸軸對對 稱稱 性性頂頂 點點截截 痕痕拋物線拋物線直線直線截截 部部拋物線拋物線直線直線備備 注注主要特征主要特征圖圖 形形無無z12222byaxvzbtguyuaxsec y0z完全對稱完全對稱直角方程直角方程參數