最新近世代數(shù)復習提綱

1、近世代數(shù)復習提綱群論部分一、基本概念1、群的定義(四個等價定義)2、基本性質(zhì)(1)單位元的唯一性；(2)逆元的唯一性；i i iii(3) (ab) b a , (a ) a;(4) ab ac b c；ii(5) ax b x a b ; ya b y ba o3、元素的階使am e成立的最小正整數(shù) m叫做元素a的階，記作|a| m;若這樣的正整數(shù)不存在，則稱a的階是無限的，記作|a| o ii_(1)|a| |a |,|a| |g ag|( g G)。(1) 若 am e,則|a| m；|a| m由an e可得m|n。(2) 當群G是有限群時，a G,有|a| 且|a|G|。(4) |a|

2、 n |ar | ,其中 d (r , n)。 d nr證明 設|ar1| k。因為(ar)d (an)d e ,所以k工。 d另一方面，因為(ar)k ark e,所以n rk,從而匚匚k,又(L匚)1, d dd d施和MBW二一 ab 二 a=b而wab ba 三(一 a 一二 b.) 二 a=g(p7p3)。20一 a G，a 一 ；而 a G 二巴Q一。直14G a C= z7 2 1y*畝淵再京同輯。目建)1 池GW田0H當巨 a GHa 一 )而0一 ?？?，輯耳善世科法B1, 討洲-簪(當與)木加三輯)ss02,用加塞-H淵-簪(當與)洋溢三輯)ss00 mi-*nAkw-H!m

3、*fm潮再奈同百輯五喜*nM i0(1)設輯百田aH池 Amw4lm。(2) mm*n*fmm 潮再奈aAkmm柔。(3) 澇連(4)m-輯a3-m柔可宓。4, 木加nAkm !設五喜啪)mi i mi 直 2W(123L (13)(24)池的小討淵)為(123)(13)(24)12345 12345 123452314 5 3214 5 1432512 345413 25(142)(1) n7*nAm*am*輯“五喜 n 濟MW輯“ffis=(2二 y 一三。(3)a-nm*am湘以油w-H-岸木簪也尋藁當啪君淵史。(4) (ALsFL 三。(5)m木加塞3-啪塞可宓。(1) ( P61.1

4、)。(2) ( P7P1)施和MB(3)循環(huán)群的子群是循環(huán)群(P65.4)。(4)當 |G| 時，G Z G L , a 2 , a 1 , e a0 , a , a2 , L ;當 |G| n 時，G Zn G e a0 , a , a2, L , an 1 0(5) |G| |a|(6)當|G| 時，G有且僅有兩個生成元a, a1;當|G| n時，G有且僅有(n)個生成元，這里(n)表示小于n且與n互素的正整數(shù)個數(shù)。且當(m, n) 1時，am是G的生成元。(7)若G與G同態(tài)，則1 G也是循環(huán)群；2當(a) a時，G ；3 G的階整除G的階。例 3 ( P79 3)三、子群1、定義：設H是

5、群G的非空子集，若H關于G的于是也構成群，則稱H是G的 子群，記作H G。2、等價條件(1)群G的非空子集H是子群 a, b H,有ab, a 1 Ha , b H ,有 ab 1 H(2)群G的非空有限子集H是子群 a, b H ,有ab H。3、運算(1)若Hi, H2 G,則HiI H2 G (可推廣到任意多個情形)。(2)若Hi, H2 G ,則Hi U H2未必是G的子群。(3)若 H1, H2 G,則 H1H2 ，h2|，H1 , h2 H2未必是 G 的子群。(4)若Hi, H2 G,則Hi H2不是G的子群。4，*WH GyWGmr*aH azh H五喜 Hsnam4*; GW

6、*Ha ha - h H五喜 H 尋目na mM*。(1)澇連“aH Ha。(2) aH bH b X H ; Ha Hb ab-H ; aH(Ha) H a H (3) aH (Ha) G a H。(4) aH bH (Ha Hb) (aH)一 (bH) I(Ha)一 (Hb) 。(5)aH - a G池 Gm-6Ha-a G-& 池 Gm-6洪。當 G UaH)應(aH_(bH) (MaH bH 月)a GMG U 工3)應(Ha-Ib) (MHa Hb 月) a G5，簪輯G mN輯Hm4*(比*)-簪五喜 H尋前簪)ft奈Q一三。 M-Q-耳)HG 二 H =9H-。6, NmN輯wH

7、 池塞 G mN 輯)wa G)a*aH HayWWH 池 G mxmN輯 ft奈 Hiag。輯 GmN輯 H 池NmN輯 a G)*aIa Ha G - h H2*arH直 4 (P74 1)直 5 ( P74 3)12 NmN輯三萬池NmN輯。22萬輯三出塞淞NmN輯。32 輯 GmfLJC(G) a G- x G-xa ax池 Gmxmr 輯。施和MB4?設Hi,H2 G且有一個是不變子群，則 H1H2G o7、商群 設 HG ,令 G/H aH |a G , aH , bH G/H ,定義(aH)(bH) (ab)H則它是g/h的代數(shù)運算，叫做陪集的乘法。 g/h關于陪集的乘法作成群，

8、叫做G關于H的商群。當|G| 時，有|g/H |回。四、群同態(tài)設是群G到G的同態(tài)滿射，則1、G也是群；2、(e) e ；3、(a1) (a) 1;4、| (a)| |a|;5、ker a G | (a) eG ；6、G/kerG ( : a ker (a)；7、H G (H) G；8、HG(H)G ；9、H G 1(H) G； 1 -10、HG (H )G o注：若HG,則映射：a aH ( a G)是G到G/H的同態(tài)滿射，叫做自然同態(tài)。環(huán)論部分、基本概念1、環(huán)的定義設R是一個非空集合，“ + ”與“?！狈謩e是加法與乘法運算，若(1) R關于“ + ”作成交換群(叫做加群)；(2) R關于”封

9、閉；(3) a , b, c R, 有 ao(boc) (aob)oc ；(4) a, b, c R,有ao(b c) a ob aoc(b c)oa boa coa則稱R關于“ + ”與“?！弊鞒森h(huán)。2、基本性質(zhì)(1) a o(b c) a ob a oc , (b c) oa boa coa；(2) 0oa ao0 0;(3) ( a)ob ao( b) (aob)；(4) ( a)o( b) aob ；(5) ao(b1 Lbn)a0bl L aobn, (b1 L bn)oab10aL bnoa；mnm n(6) ( ai)o(b j)ai obj ;1 1j 1i 1 j 1m n

10、m n m n mn a oa a , (a ) a ；(8)當R是交換環(huán)時，a, b R,有(a b)n an C：an1b L C： 1abn 1 bn。3、環(huán)的幾種基本類型設R是環(huán)(1)交換環(huán)：a , b R ,有 ab ba。例 6 (P89.2)(2)有單位元環(huán)：存在1 R,使得 a R,有1a a1 a。(3)無零因子環(huán)：a, b R,當a 0, b 0時，ab 0。注：無零因子環(huán)的特征：無零因子環(huán)R中的非零元關于加法的階，叫做R的特征。1 無零因子環(huán)R的特征，或是 或是素數(shù)；2 當無零因子環(huán)R的元素個數(shù)| R|有限時，R的特征整除|R|。(4)整環(huán)：有單位元無零因子的交換環(huán)。(5

11、)除環(huán)：有單位元1( 0),且非零元都有逆元。(6)域：交換的除環(huán)。二、兩類特殊的環(huán)1、模 n 剩余類環(huán)：Zn 0 , 1, 2 , L , n。(D Zn是有單位元的交換環(huán)，且1是Zn的單位元；(2) a Zn, a 0,則a不是零因子 (a, n) 1;(3) Zn無零因子n是素數(shù)；(4) a Zn, a 0,則a不是零因子 a是可逆元；(5) Zn是域 n是素數(shù)。2、多項式環(huán)：Rx f (x) anxn L ax a0|an, L , a1，a。 R。例 7 (P109.2)三、理想1、定義：設U是環(huán)R的非空子集，若(1) a,bU/abU;(2) a U , r R,有 ar , ra

12、 U。則稱U是環(huán)R的理想子環(huán)，簡稱理想。注：1 理想一定是子環(huán)，但子環(huán)不一定是理想。2 環(huán)的中心是子環(huán)，但未必是理想。2、運算(1)若U1, U2是環(huán)R的理想，則U1I U2也是環(huán)R的理想(可推廣到任意多個 情形)。(2)若U1, U2是環(huán)R的理想，則U1UU2未必是環(huán)R的理想。(3)若Ui, U2是環(huán)R的理想，則Ui U2 U1 U2 |ui U1 , U2 U2也是環(huán)R的 理想。(4)若Ui, U2是環(huán)R的理想，則Ui U2不是環(huán)R的理想。3、生成理想：設A環(huán)R的一個非空子集，則R的所有包含A的理想的交仍是R的 理想，這個理想叫做由 A的理想，記作(A)。(1) (A)是R的包含A的最小理

13、想。(2)當A a時，記(A) (a),叫做由a生成的主理想。i 當 R是交換環(huán)時，(a) ra na| r R, n Z；m2 當R是有單位元環(huán)時，(a) Xiayi |Xi , yi R; i i3 當R是有單位元的交換環(huán)環(huán)時，(a) ra |r R。(3) A ai , a2 , L , an,記(A) (ai , a2 , L , an) 0 且有(ai , a2 , L , an) (a) (a2) L (an)例 8 (Pii3.例 3)例 9 (Pii4.3)4、最大理想：設U是環(huán)R的理想，且U R。若包含U的環(huán)R的理想，只有U與 R ,則稱U是環(huán)R的最大理想(極大理想)。(i)

14、環(huán)R的理想U ( R)是最大理想 當R的理想 適合U R時，必有U或 Ro(2)環(huán)R的理想U ( R)是最大理想商環(huán)RU只有平凡理想。(3)設R是有單位元的交換環(huán)，則 R的理想U ( R)是最大理想 商環(huán)RU是 域。例 10 (P119.1)已知：R a bi|a, b Z。求證：R/(1 i)是域。證明：因為R是有單位元的交換環(huán)，所以a bi (1 i),存在x yi Z(i)使 得a bi (x yi )(1 i) (x y) (x y)i所以a x y , b x y ,由此可見，當x, y奇偶性相同時，a , b同為偶 數(shù)；當x, y一奇一偶時，a, b同為奇數(shù)。反之，當a, b的奇偶性相同時，取x