第二章 流體運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)

1、2.1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法描述流體運(yùn)動(dòng)的方法2.2 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分析流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分析2.3 連續(xù)方程（質(zhì)量方程）連續(xù)方程（質(zhì)量方程）2.4 歐拉運(yùn)動(dòng)方程及歐拉運(yùn)動(dòng)方程及N-S方程方程 2.5 環(huán)量與渦環(huán)量與渦 一個(gè)布滿(mǎn)了某種物理量的空間稱(chēng)為場(chǎng)。一個(gè)布滿(mǎn)了某種物理量的空間稱(chēng)為場(chǎng)。充滿(mǎn)著運(yùn)動(dòng)流體的空間稱(chēng)為“流場(chǎng)”速度場(chǎng)壓強(qiáng)場(chǎng)在高速流動(dòng)時(shí)，氣流的密度和溫度也隨流動(dòng)有變化，那就還有一個(gè)密度場(chǎng)和溫度場(chǎng)。這都包括在流場(chǎng)的概念之內(nèi)。根據(jù)連續(xù)介質(zhì)的假設(shè)，流體是由質(zhì)點(diǎn)組成，無(wú)空隙地充滿(mǎn)所占據(jù)的空間。流體質(zhì)點(diǎn)發(fā)生運(yùn)動(dòng)時(shí)，如何正確描述和區(qū)分各流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)行為，將是流體運(yùn)動(dòng)學(xué)必須回答的問(wèn)題。描述流體運(yùn)動(dòng)的方法有

2、兩種。1 1、LagrangeLagrange方法（方法（拉格朗日方法，拉格朗日方法，質(zhì)點(diǎn)法）質(zhì)點(diǎn)法）觀察者著眼于個(gè)別流體質(zhì)點(diǎn)的流動(dòng)行為，通過(guò)跟蹤每個(gè)質(zhì)點(diǎn)觀察者著眼于個(gè)別流體質(zhì)點(diǎn)的流動(dòng)行為，通過(guò)跟蹤每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)歷程，從而獲得整個(gè)流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。的運(yùn)動(dòng)歷程，從而獲得整個(gè)流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。cba,ottzyx,其中，其中，a,b,c 為流體質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)識(shí)符，用于區(qū)分和識(shí)別各質(zhì)為流體質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)識(shí)符，用于區(qū)分和識(shí)別各質(zhì)點(diǎn)，一般可用質(zhì)點(diǎn)的初始坐標(biāo)表示點(diǎn)，一般可用質(zhì)點(diǎn)的初始坐標(biāo)表示; t 表示時(shí)間。表示時(shí)間。 上式就是質(zhì)點(diǎn)（上式就是質(zhì)點(diǎn)（a,b,c）的軌跡參數(shù)方程）的軌跡參數(shù)方程用如下方程描述質(zhì)點(diǎn)（用如下方程描

3、述質(zhì)點(diǎn)（a,b,c）所經(jīng)歷）所經(jīng)歷的軌跡：的軌跡： x(a,b,c,t), y(a,b,c,t), z(a,b,c,t)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)位置是時(shí)間 t 的函數(shù)，對(duì)于給定的流體質(zhì)點(diǎn)(a,b,c)ttcbazvttcbayvttcbaxvzyx),(),(),(222222),(),(),(ttcbazattcbayattcbaxazyx這里使用偏導(dǎo)數(shù)是因?yàn)樽鴺?biāo)同時(shí)是時(shí)間和質(zhì)點(diǎn)標(biāo)號(hào)的函數(shù)，這里使用偏導(dǎo)數(shù)是因?yàn)樽鴺?biāo)同時(shí)是時(shí)間和質(zhì)點(diǎn)標(biāo)號(hào)的函數(shù)，求導(dǎo)時(shí)要求求導(dǎo)時(shí)要求a,b,c固定不變，即求導(dǎo)是針對(duì)同一流體質(zhì)點(diǎn)的。固定不變，即求導(dǎo)是針對(duì)同一流體質(zhì)點(diǎn)的。加速度為：速度表達(dá)式是：2、Euler方法（歐拉方法，空間點(diǎn)

4、法，流場(chǎng)法）方法（歐拉方法，空間點(diǎn)法，流場(chǎng)法） 歐拉方法的著眼點(diǎn)歐拉方法的著眼點(diǎn)不是流體質(zhì)點(diǎn)而是空間點(diǎn)不是流體質(zhì)點(diǎn)而是空間點(diǎn)。考察不?？疾觳煌黧w質(zhì)點(diǎn)通過(guò)空間固定點(diǎn)的流動(dòng)行為，通過(guò)記錄不同空同流體質(zhì)點(diǎn)通過(guò)空間固定點(diǎn)的流動(dòng)行為，通過(guò)記錄不同空間點(diǎn)流體質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的運(yùn)動(dòng)情況，從而獲得整個(gè)流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)間點(diǎn)流體質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的運(yùn)動(dòng)情況，從而獲得整個(gè)流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律規(guī)律 在固定空間點(diǎn)看到的是不同流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變化，無(wú)在固定空間點(diǎn)看到的是不同流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變化，無(wú)法像拉格朗日方法那樣直接記錄同一質(zhì)點(diǎn)的時(shí)間歷程。法像拉格朗日方法那樣直接記錄同一質(zhì)點(diǎn)的時(shí)間歷程。 在固定空間點(diǎn)很容易記錄流過(guò)的不同質(zhì)點(diǎn)的速度：在固定空間點(diǎn)很容

5、易記錄流過(guò)的不同質(zhì)點(diǎn)的速度：其中，其中，x,y,z 為空間點(diǎn)的坐標(biāo)。為空間點(diǎn)的坐標(biāo)。t t 表示時(shí)間。表示時(shí)間。x.y.z.t 稱(chēng)為歐拉變數(shù)，是四個(gè)相互獨(dú)立的變量。稱(chēng)為歐拉變數(shù)，是四個(gè)相互獨(dú)立的變量。x.y.z 給定，給定，t 變化，表示不同時(shí)刻不同流體質(zhì)點(diǎn)通過(guò)同一空變化，表示不同時(shí)刻不同流體質(zhì)點(diǎn)通過(guò)同一空間點(diǎn)的速度。間點(diǎn)的速度。t 給定，給定，x.y.z 變化，表示給定時(shí)刻，不同流體質(zhì)點(diǎn)通過(guò)不同空變化，表示給定時(shí)刻，不同流體質(zhì)點(diǎn)通過(guò)不同空間點(diǎn)的速度，給定速度場(chǎng)。間點(diǎn)的速度，給定速度場(chǎng)。),( ),(),(tzyxvkvjvivVtzyxvtzyxvzzyxyx上式既描述了某一瞬間各點(diǎn)的流動(dòng)情

6、況，也描述了不同瞬上式既描述了某一瞬間各點(diǎn)的流動(dòng)情況，也描述了不同瞬間的流動(dòng)參數(shù)在各點(diǎn)的分布情況。這種描述法稱(chēng)為間的流動(dòng)參數(shù)在各點(diǎn)的分布情況。這種描述法稱(chēng)為歐拉法。歐拉法。 請(qǐng)注意，請(qǐng)注意，x,y,z,t 是四個(gè)獨(dú)立變數(shù)。如果不另外賦以意義，是四個(gè)獨(dú)立變數(shù)。如果不另外賦以意義，則不能有則不能有 dx/dt，d2x/dt2 這類(lèi)的表達(dá)式。這類(lèi)的表達(dá)式。 應(yīng)該指出，速度場(chǎng)的表達(dá)本質(zhì)上指的是該瞬時(shí)恰好通過(guò)應(yīng)該指出，速度場(chǎng)的表達(dá)本質(zhì)上指的是該瞬時(shí)恰好通過(guò)該空間點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)所具有的速度該空間點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)所具有的速度 。 歐拉觀點(diǎn)下如何表達(dá)加速度？我們用如下歐拉觀點(diǎn)下如何表達(dá)加速度？我們用如下4圖來(lái)定性描

7、述圖來(lái)定性描述引起各處速度變化的原因：引起各處速度變化的原因：圖圖1流體質(zhì)點(diǎn)從流體質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)與點(diǎn)與B點(diǎn)速度不變；點(diǎn)速度不變；第第2圖表示圖表示A點(diǎn)與點(diǎn)與B點(diǎn)因水位下降引起速度同時(shí)減?。稽c(diǎn)因水位下降引起速度同時(shí)減?。坏诘?圖表示流體質(zhì)點(diǎn)從圖表示流體質(zhì)點(diǎn)從A流到流到B點(diǎn)，因管道收縮引起速度增加；點(diǎn)，因管道收縮引起速度增加；第第4圖表示流體質(zhì)點(diǎn)從圖表示流體質(zhì)點(diǎn)從A流到流到B點(diǎn)，因水位下降和管道收縮引點(diǎn)，因水位下降和管道收縮引起速度的變化。起速度的變化。 2.1.2 歐拉法的加速度表達(dá)式歐拉法的加速度表達(dá)式小容器小容器非常大的容器非常大的容器 2.1.2 歐拉法的加速度表達(dá)式歐拉法的加速度表達(dá)式 水位

8、下降表示流場(chǎng)的水位下降表示流場(chǎng)的非定常性非定常性，管道收縮表示流場(chǎng)的，管道收縮表示流場(chǎng)的不均勻性不均勻性。由此可見(jiàn)，一般情況下引起流體質(zhì)點(diǎn)速度的變。由此可見(jiàn)，一般情況下引起流體質(zhì)點(diǎn)速度的變化來(lái)自于兩方面的貢獻(xiàn)：其一是流場(chǎng)的不均勻性，其二是化來(lái)自于兩方面的貢獻(xiàn)：其一是流場(chǎng)的不均勻性，其二是流場(chǎng)的非定常性。流場(chǎng)的非定常性。 用歐拉法來(lái)描述一般的非定常流場(chǎng)時(shí)，關(guān)于加速度要用歐拉法來(lái)描述一般的非定常流場(chǎng)時(shí)，關(guān)于加速度要強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)。第一，強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)。第一，A（x，y，z）點(diǎn)上）點(diǎn)上 t 瞬時(shí)的流體微團(tuán)的瞬時(shí)的流體微團(tuán)的速度是時(shí)間的函數(shù)，所以速度可以隨時(shí)間變化。第二，原速度是時(shí)間的函數(shù)，所以速度可以隨時(shí)間變化

9、。第二，原在在 A 點(diǎn)的微團(tuán)經(jīng)點(diǎn)的微團(tuán)經(jīng)t 后到了后到了 B 點(diǎn)，若點(diǎn)，若 B 點(diǎn)的速度與點(diǎn)的速度與 A點(diǎn)的點(diǎn)的不同，那么由于遷移，它也會(huì)有速度的變化不同，那么由于遷移，它也會(huì)有速度的變化 。 2.1.2 歐拉法的加速度表達(dá)式歐拉法的加速度表達(dá)式設(shè)在設(shè)在 t 瞬時(shí)，位于瞬時(shí)，位于A（x，y，z）點(diǎn)的一個(gè)微團(tuán)具有速度）點(diǎn)的一個(gè)微團(tuán)具有速度vx, vy , vz。經(jīng)。經(jīng)t 時(shí)間后，該微團(tuán)移到時(shí)間后，該微團(tuán)移到B),(tvztvytvxzyx令：令：),(tzyxvvxx經(jīng)經(jīng)t 之后，之后， vx變成變成 vx +vx : tttvtvzvtvyvtvxvtzyxvtt tvztvytvxvvvxz

10、xyxxxxzyxxxx0, 2.1.2 歐拉法的加速度表達(dá)式歐拉法的加速度表達(dá)式),(trv),(ttt vrv)(rAkjirvzyxvvvt),()(tB vr質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)將變化前后的速度表達(dá)相減，略去高階項(xiàng)，僅保留一階項(xiàng)，將變化前后的速度表達(dá)相減，略去高階項(xiàng)，僅保留一階項(xiàng)，得得zvvyvvxvvtvtvzzyyxxxx此式右側(cè)第一項(xiàng)是微團(tuán)在此式右側(cè)第一項(xiàng)是微團(tuán)在（x，y，z）處其速度隨時(shí)間的變處其速度隨時(shí)間的變化率，即化率，即當(dāng)?shù)丶铀俣犬?dāng)?shù)丶铀俣?。后三?xiàng)是由于微團(tuán)流向速度不相同。后三項(xiàng)是由于微團(tuán)流向速度不相同的鄰點(diǎn)而出現(xiàn)的速度變化率，即的鄰點(diǎn)而出現(xiàn)的速度變化率，即遷移加速度遷移加速度 。

11、2.1.2 歐拉法的加速度表達(dá)式歐拉法的加速度表達(dá)式算子：算子：zvyvxvtDtDzyx稱(chēng)為隨流體運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)數(shù)，或稱(chēng)稱(chēng)為隨流體運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)數(shù)，或稱(chēng)隨體導(dǎo)數(shù)隨體導(dǎo)數(shù)、實(shí)質(zhì)導(dǎo)數(shù)實(shí)質(zhì)導(dǎo)數(shù)或或物質(zhì)物質(zhì)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)。寫(xiě)成矢量的形式寫(xiě)成矢量的形式kzjyix其中，哈密頓算子：其中，哈密頓算子： 2.1.2 歐拉法的加速度表達(dá)式歐拉法的加速度表達(dá)式)(vtDtD0t0)(v 定常流動(dòng)；定常流動(dòng)；（Material derivative operator）均勻流動(dòng)均勻流動(dòng)從而上述加速度可以寫(xiě)成：從而上述加速度可以寫(xiě)成： zvvyvvxvvtvDtDvtzyxazvvyvvxvvtvDtDvtzyxazvvyvvxvv

12、tvDtDvtzyxazzzyzxzzzyzyyyxyyyxzxyxxxxx),(),(),(寫(xiě)成矢量的形式：寫(xiě)成矢量的形式：VVtVDtVDkajaiatzyxazyx)(),( 2.1.2 歐拉法的加速度表達(dá)式歐拉法的加速度表達(dá)式除可作用于速度外，對(duì)流場(chǎng)中其它變量也成立。除可作用于速度外，對(duì)流場(chǎng)中其它變量也成立。如對(duì)于壓強(qiáng)如對(duì)于壓強(qiáng) p，有，有：zvyvxvtDtDzyxzpvypvxpvtpDtDpzyx隨體導(dǎo)數(shù)隨體導(dǎo)數(shù)算子算子： 2.1.2 歐拉法的加速度表達(dá)式歐拉法的加速度表達(dá)式 譬如像直圓管中的定常層流（如下圖）那樣一種實(shí)際譬如像直圓管中的定常層流（如下圖）那樣一種實(shí)際流動(dòng)，流動(dòng)，

13、vx=vx (y)。當(dāng)?shù)丶铀俣群瓦w移加速度都是零。當(dāng)?shù)丶铀俣群瓦w移加速度都是零。 遷移加速度中的任何一項(xiàng)都是遷移加速度中的任何一項(xiàng)都是速度分量與同一方向的導(dǎo)速度分量與同一方向的導(dǎo)數(shù)之乘積數(shù)之乘積， 或稱(chēng)或稱(chēng)沿速度方向的導(dǎo)數(shù)。沿速度方向的導(dǎo)數(shù)。因此只有上述兩項(xiàng)都不因此只有上述兩項(xiàng)都不為零才可能存在遷移加速度，因此也為零才可能存在遷移加速度，因此也將稱(chēng)為對(duì)流導(dǎo)數(shù)。將稱(chēng)為對(duì)流導(dǎo)數(shù)。zvyvxvVzyx 2.1.2 歐拉法的加速度表達(dá)式歐拉法的加速度表達(dá)式根據(jù)上述分析可得出以下各圖中歐拉法的加速度表達(dá)式。根據(jù)上述分析可得出以下各圖中歐拉法的加速度表達(dá)式。0DtDvxxuuDtDuxvvDtDvxxxt

14、vDtDvxxxvvtvDtDvxxxx 2.1.2 歐拉法的加速度表達(dá)式歐拉法的加速度表達(dá)式 人們希望用一些曲線將流場(chǎng)上的流動(dòng)情況表現(xiàn)出來(lái)。人們希望用一些曲線將流場(chǎng)上的流動(dòng)情況表現(xiàn)出來(lái)。跡線跡線是拉格朗日觀點(diǎn)下描述流動(dòng)的曲線，是給定質(zhì)點(diǎn)在空是拉格朗日觀點(diǎn)下描述流動(dòng)的曲線，是給定質(zhì)點(diǎn)在空間走過(guò)的軌跡。當(dāng)速度場(chǎng)間走過(guò)的軌跡。當(dāng)速度場(chǎng)vx, vy, vz給定時(shí)，跡線微分方程可給定時(shí)，跡線微分方程可寫(xiě)為：寫(xiě)為：2.1.3 跡線跡線 流線與流譜流線與流譜是自變量其中tvdtdzvdtdyvdtdxzyx,上式對(duì)時(shí)間上式對(duì)時(shí)間 t 積分后可得跡線的表達(dá)。積分后可得跡線的表達(dá)。流線流線是歐拉觀點(diǎn)下描述流動(dòng)

15、的曲線，是某瞬時(shí)的一條空間是歐拉觀點(diǎn)下描述流動(dòng)的曲線，是某瞬時(shí)的一條空間幾何曲線，其切線都和該點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)速度方向一致。流幾何曲線，其切線都和該點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)速度方向一致。流線是由同一時(shí)刻不同質(zhì)點(diǎn)組成的，這樣的線可以畫(huà)無(wú)數(shù)條線是由同一時(shí)刻不同質(zhì)點(diǎn)組成的，這樣的線可以畫(huà)無(wú)數(shù)條。在流線上任取一微段在流線上任取一微段時(shí)間時(shí)間 t 固定固定dzdydxdkjir該段的速度為該段的速度為zyxvvvkjiv因?yàn)榱鲃?dòng)速度向量與流線相切，所以因?yàn)榱鲃?dòng)速度向量與流線相切，所以0zyxvvvdzdydxdkjivr2.1.3 跡線跡線 流線與流譜流線與流譜因此流線的方程可寫(xiě)為因此流線的方程可寫(xiě)為zyxvdzvdy

16、vdx整個(gè)流場(chǎng)的速度都不隨時(shí)間變化的流動(dòng)稱(chēng)為定常流，如果整個(gè)流場(chǎng)的速度都不隨時(shí)間變化的流動(dòng)稱(chēng)為定常流，如果流動(dòng)隨時(shí)間變化，就稱(chēng)為非定常流。流動(dòng)隨時(shí)間變化，就稱(chēng)為非定常流。根據(jù)流線的定義，可知流線具有如下特點(diǎn)：根據(jù)流線的定義，可知流線具有如下特點(diǎn)：（1）在定常流中，流體微團(tuán)的跡線與流線重合；）在定常流中，流體微團(tuán)的跡線與流線重合；（2）在定常流中，流線是流體不可跨越的線；）在定常流中，流線是流體不可跨越的線；（3）一般的說(shuō)，流線不可能相交，但有三個(gè)特殊情況：）一般的說(shuō)，流線不可能相交，但有三個(gè)特殊情況：駐點(diǎn)，奇點(diǎn)，速度相等的點(diǎn)。駐點(diǎn)，奇點(diǎn)，速度相等的點(diǎn)。2.1.3 跡線跡線 流線與流譜流線與流譜

17、例例. 設(shè)有一個(gè)二維非定常流場(chǎng)其速度分布是設(shè)有一個(gè)二維非定常流場(chǎng)其速度分布是 ：求求t=0時(shí)過(guò)（時(shí)過(guò)（1，1）的流線和跡線。）的流線和跡線。解：解：1. 求流線，由流線方程（其中求流線，由流線方程（其中 t 固定當(dāng)常數(shù)看）固定當(dāng)常數(shù)看） ：積分得任一時(shí)刻積分得任一時(shí)刻 t 流線族為：流線族為：0,2,12aayvtaxvyxaydyaxdxt22)1 (cyxt )1(t=0時(shí)刻流線族為：時(shí)刻流線族為：cxy 2.1.3 跡線跡線 流線與流譜流線與流譜過(guò)（過(guò)（1，1）流線：）流線：1xy2. 求跡線，由跡線方程（其中求跡線，由跡線方程（其中t為自變量）：為自變量）：aydtdytaxdtdx2

18、,12積分得跡線參數(shù)方程：積分得跡線參數(shù)方程：ataecytcx2221,)1 (由初始條件定得由初始條件定得c1=c2=1, 故所求的跡線參數(shù)方程為：故所求的跡線參數(shù)方程為：)1(22221,)1 (axaataeyeytx即：可見(jiàn)非定常時(shí)跡線與流線不重合。可見(jiàn)非定常時(shí)跡線與流線不重合。2.1.3 跡線跡線 流線與流譜流線與流譜當(dāng)流動(dòng)為定常時(shí)當(dāng)流動(dòng)為定常時(shí) 再求流線與跡線。再求流線與跡線。由流線方程由流線方程 積分并定常數(shù)得積分并定常數(shù)得aydtdyaxdtdx2,2積分得：積分得：atatecyecx2221,由初始條件定得由初始條件定得 c1=c2=1,故所求為：故所求為：atateye

19、x22,消去消去 t 得：得：1xy可見(jiàn)定常時(shí)跡線與流線重合。可見(jiàn)定常時(shí)跡線與流線重合。ayvaxu2,2aydyaxdx22由跡線方程：由跡線方程：1xy2.1.3 跡線跡線 流線與流譜流線與流譜 與流線密切相關(guān)的，還有與流線密切相關(guān)的，還有流管流管和和流面流面這樣兩個(gè)概念。這樣兩個(gè)概念。 流管是由一系列相鄰的流線圍成流管是由一系列相鄰的流線圍成的。經(jīng)過(guò)一條有的。經(jīng)過(guò)一條有流量流量穿過(guò)的封閉圍線穿過(guò)的封閉圍線的所有流線，如圖，經(jīng)過(guò)圍線的所有流線，如圖，經(jīng)過(guò)圍線ABCDA（非流線）的各條流線便圍成一條流（非流線）的各條流線便圍成一條流管。管。 圖2-6 流管（a）流線組成流管側(cè)壁； （b）沒(méi)有

20、流量由流管側(cè)壁流出 由流線所圍成的流管也正像一根具有實(shí)物管壁一樣的由流線所圍成的流管也正像一根具有實(shí)物管壁一樣的一根管子，管內(nèi)的流體不會(huì)越過(guò)流管流出來(lái)，管外的流體一根管子，管內(nèi)的流體不會(huì)越過(guò)流管流出來(lái)，管外的流體也不會(huì)越過(guò)管壁流進(jìn)去。也不會(huì)越過(guò)管壁流進(jìn)去。 2.1.3 跡線跡線 流線與流譜流線與流譜 流面流面是由許多相鄰的流線連成的一個(gè)曲面，這個(gè)曲面是由許多相鄰的流線連成的一個(gè)曲面，這個(gè)曲面不一定合攏成一根流管。當(dāng)然流管的側(cè)表面也是一個(gè)流面。不一定合攏成一根流管。當(dāng)然流管的側(cè)表面也是一個(gè)流面。不管合攏不合攏，流面也是流動(dòng)不會(huì)穿越的一個(gè)面不管合攏不合攏，流面也是流動(dòng)不會(huì)穿越的一個(gè)面 。,)(Sd

21、SnVm,)(SdSnVQSdSnVgG)( 流量流量是單位時(shí)間內(nèi)穿過(guò)指定截面的流體量，例如穿過(guò)上是單位時(shí)間內(nèi)穿過(guò)指定截面的流體量，例如穿過(guò)上述流管中任意截面述流管中任意截面S的體積流量的體積流量 、質(zhì)量流量、質(zhì)量流量 和重量流和重量流量量 可分別表為可分別表為:Qm G其中，其中， 是速度向量，是速度向量， 是密度，是密度， 是微面積法線向量是微面積法線向量Vn2.1.3 跡線跡線 流線與流譜流線與流譜 2.2.1 流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式 在理論力學(xué)中，研究對(duì)象是質(zhì)點(diǎn)和剛體在理論力學(xué)中，研究對(duì)象是質(zhì)點(diǎn)和剛體（無(wú)變形（無(wú)變形體），它們的基本運(yùn)動(dòng)形式可表示為：體），它們的基

22、本運(yùn)動(dòng)形式可表示為： 質(zhì)點(diǎn)（無(wú)體積大小的空間點(diǎn)）質(zhì)點(diǎn)（無(wú)體積大小的空間點(diǎn)）: 只有平動(dòng)只有平動(dòng) 剛體（具有一定體積大小，但無(wú)變形）剛體（具有一定體積大小，但無(wú)變形）:平動(dòng)外，還有平動(dòng)外，還有整體的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)（轉(zhuǎn)動(dòng)）；整體的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)（轉(zhuǎn)動(dòng)）； 在流體力學(xué)中在流體力學(xué)中，研究對(duì)象是流體質(zhì)點(diǎn)和不斷變化形狀與，研究對(duì)象是流體質(zhì)點(diǎn)和不斷變化形狀與大小的變形體，就變形體而言，其運(yùn)動(dòng)形式除包括了剛體的大小的變形體，就變形體而言，其運(yùn)動(dòng)形式除包括了剛體的運(yùn)動(dòng)形式外，還有變形運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)形式外，還有變形運(yùn)動(dòng)。 變形運(yùn)動(dòng)包括兩種，其一是引起體積大小變化的邊長(zhǎng)伸變形運(yùn)動(dòng)包括兩種，其一是引起體積大小變化的邊長(zhǎng)伸縮線變形運(yùn)

23、動(dòng)，其二是引起體積形狀變化的角變形運(yùn)動(dòng)。由縮線變形運(yùn)動(dòng)，其二是引起體積形狀變化的角變形運(yùn)動(dòng)。由此可得變形體的基本運(yùn)動(dòng)形式包括：此可得變形體的基本運(yùn)動(dòng)形式包括：(1)平動(dòng)；平動(dòng)；(2)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)；(3)線變形運(yùn)動(dòng)；線變形運(yùn)動(dòng)；(4)角變形運(yùn)動(dòng)角變形運(yùn)動(dòng) 2.2.1 流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式 tttM0M 為便于分析，在流場(chǎng)中任取一平面微團(tuán)為便于分析，在流場(chǎng)中任取一平面微團(tuán)ABCD分析。分析。根據(jù)臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開(kāi)，微分面四個(gè)頂點(diǎn)的速度可表示如下。根據(jù)臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開(kāi)，微分面四個(gè)頂點(diǎn)的速度可表示如下。 2.2.1 流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式y(tǒng)xvv ,xxvvxxvvyy

24、xx,yyvvyyvvyyxx,yyvxxvvyyvxxvvyyyxxx,ABCDxy線變形速率線變形速率 線變形運(yùn)動(dòng)是指微元體各邊長(zhǎng)發(fā)生伸縮的運(yùn)動(dòng)線變形運(yùn)動(dòng)是指微元體各邊長(zhǎng)發(fā)生伸縮的運(yùn)動(dòng)。線變形速率定義為單位時(shí)間單位長(zhǎng)度的線變形量線變形速率定義為單位時(shí)間單位長(zhǎng)度的線變形量。如對(duì)于。如對(duì)于AB邊長(zhǎng)，在微分時(shí)段內(nèi)邊長(zhǎng)的增加量為：邊長(zhǎng)，在微分時(shí)段內(nèi)邊長(zhǎng)的增加量為：txxvtvxxvvBBxxxx由此得到由此得到 x 方向的線變形速率為：方向的線變形速率為：xvxtBBxtxlim0 2.2.1 流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式ABBCDCD同理，在同理，在 y 方向的線變形速率為：方向

25、的線變形速率為：yvytCCytylim0yxyxyxyxyxyvxvtyxtyxyvxvtyxyvxvtyxyxtyyvytxxvxtACABACABCABAdtSSd 2 2.2.1 流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式平面微團(tuán)的面積變化率為：平面微團(tuán)的面積變化率為：推廣到三維情況，可得流體微團(tuán)體積相對(duì)變化率為推廣到三維情況，可得流體微團(tuán)體積相對(duì)變化率為zvyvxvdtVVdzyx角變形速率與旋轉(zhuǎn)角速度角變形速率與旋轉(zhuǎn)角速度在微分時(shí)段內(nèi)，在微分時(shí)段內(nèi)，AB邊的偏轉(zhuǎn)角度為（逆時(shí)針為正）：邊的偏轉(zhuǎn)角度為（逆時(shí)針為正）：txvxtvxxvvxBByyyy1tyvytvyyvvyCCxxx

26、x2AC邊的偏轉(zhuǎn)角度為（順時(shí)針為負(fù)）：邊的偏轉(zhuǎn)角度為（順時(shí)針為負(fù)）： 2.2.1 流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式由對(duì)應(yīng)的角速度分別為由對(duì)應(yīng)的角速度分別為 xvdtdy1yvdtdx2yvxvtxytz21lim0yvxvxyz21單位時(shí)間內(nèi)平面微團(tuán)上兩相互垂直線相對(duì)于角平分線的轉(zhuǎn)角單位時(shí)間內(nèi)平面微團(tuán)上兩相互垂直線相對(duì)于角平分線的轉(zhuǎn)角變化量定義為變化量定義為角變形速率角變形速率為：為： 2.2.1 流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式平面微團(tuán)上兩相互垂直線旋轉(zhuǎn)角速度的平均值定義平面微平面微團(tuán)上兩相互垂直線旋轉(zhuǎn)角速度的平均值定義平面微團(tuán)的團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度旋轉(zhuǎn)角速度（單位時(shí)間的旋

27、轉(zhuǎn)角度）（單位時(shí)間的旋轉(zhuǎn)角度）,為：為： 對(duì)于三維六面體微團(tuán)而言，其運(yùn)動(dòng)形式同樣可分為：對(duì)于三維六面體微團(tuán)而言，其運(yùn)動(dòng)形式同樣可分為：平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和變形運(yùn)動(dòng)，類(lèi)似平面微團(tuán)很容易導(dǎo)出相關(guān)公平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和變形運(yùn)動(dòng)，類(lèi)似平面微團(tuán)很容易導(dǎo)出相關(guān)公式。此處不再推導(dǎo)，以下直接給出。式。此處不再推導(dǎo)，以下直接給出。zvyvxvzzyyxx , ,微團(tuán)線變形速率：微團(tuán)線變形速率： 2.2.1 流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式y(tǒng)vxvxvzvzvyvxyzzxyyzx212121yvxvxvzvzvyvxyzzxyyzx212121微團(tuán)角變形速率（剪切變形速率）：微團(tuán)角變形速率（剪切變形速率）： 流體微

28、團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度：流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度： 2.2.1 流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式)(21ijjiijxvxvvkji21zyx 流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)中不論它的形狀怎么變，體積怎么變，流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)中不論它的形狀怎么變，體積怎么變，它的質(zhì)量總是不變的。而質(zhì)量等于體積乘密度，所以在它的質(zhì)量總是不變的。而質(zhì)量等于體積乘密度，所以在密度不變的不可壓流里密度不變的不可壓流里，其速度的散度必為零：，其速度的散度必為零：如果是密度有變化的流動(dòng)，那么散度一般地不等于零。如果是密度有變化的流動(dòng)，那么散度一般地不等于零。0zwyvxuVdiv 2.2.2 散度及其意義散度及其意義 三個(gè)方向的線變形率之和在向

29、量分析中稱(chēng)為速度向三個(gè)方向的線變形率之和在向量分析中稱(chēng)為速度向量量 的散度，符號(hào)為的散度，符號(hào)為 ，即，即 VVdivzvyvxvVdivzyx 2.2.3 旋度和速度勢(shì)函數(shù)旋度和速度勢(shì)函數(shù) 微團(tuán)的瞬時(shí)角速度微團(tuán)的瞬時(shí)角速度 是上述三個(gè)方向角速度分量之是上述三個(gè)方向角速度分量之和，和，這個(gè)值在向量分析里記為這個(gè)值在向量分析里記為 ，或，或 ，稱(chēng)，稱(chēng)為為 的的旋度旋度：Vrot21V一個(gè)流場(chǎng)，如果各處的一個(gè)流場(chǎng)，如果各處的 基本上不等于零，這種流場(chǎng)基本上不等于零，這種流場(chǎng)稱(chēng)為有旋流場(chǎng)，其流動(dòng)稱(chēng)為稱(chēng)為有旋流場(chǎng)，其流動(dòng)稱(chēng)為有旋流有旋流。一個(gè)流場(chǎng)，如果各。一個(gè)流場(chǎng)，如果各處的處的 都等于零，這種流場(chǎng)稱(chēng)

30、為無(wú)旋流場(chǎng)，其流動(dòng)稱(chēng)都等于零，這種流場(chǎng)稱(chēng)為無(wú)旋流場(chǎng)，其流動(dòng)稱(chēng)無(wú)旋流無(wú)旋流。kjiVVrotzyx2121V21kzjyixxyzxyz;xvyvyx;yvzvzyzvxvxz在數(shù)學(xué)分析里，上式是在數(shù)學(xué)分析里，上式是式式成為全微分的必要和充分條件成為全微分的必要和充分條件. dzvdyvdxvzyx這樣的劃分在作理論研究時(shí)有很大的意義。無(wú)旋流多了一這樣的劃分在作理論研究時(shí)有很大的意義。無(wú)旋流多了一個(gè)個(gè) 的條件。這個(gè)條件就是的條件。這個(gè)條件就是 ：0, 0, 0zyx0 2.2.4 旋度和速度勢(shì)函數(shù)旋度和速度勢(shì)函數(shù)現(xiàn)在既是無(wú)旋流，我們可令現(xiàn)在既是無(wú)旋流，我們可令d代表這個(gè)全微分代表這個(gè)全微分：dz

31、vdyvdxvdzyx (x,y,z)稱(chēng)為為速度位或稱(chēng)位稱(chēng)為為速度位或稱(chēng)位(勢(shì)勢(shì))函數(shù)，為標(biāo)量函數(shù)，為標(biāo)量這就是說(shuō)，速度勢(shì)函數(shù)在某個(gè)方向的偏導(dǎo)數(shù)便等于速度這就是說(shuō)，速度勢(shì)函數(shù)在某個(gè)方向的偏導(dǎo)數(shù)便等于速度在那個(gè)方向的分量，例如在那個(gè)方向的分量，例如 ：sdsdzzdsdyydsdxxszvsyvsxvvzyxs),cos(),cos(),cos(,xvx,yvyzvzvx,vy,vz 與與 的的關(guān)系是：關(guān)系是： 2.2.4 旋度和速度勢(shì)函數(shù)旋度和速度勢(shì)函數(shù)SxyzuVvwvs 速度勢(shì)函數(shù)的絕對(duì)值沒(méi)有太大意義但其差值有意義。速度勢(shì)函數(shù)的絕對(duì)值沒(méi)有太大意義但其差值有意義。對(duì)于無(wú)旋流存在速度位對(duì)于無(wú)旋

32、流存在速度位，則沿一條連接，則沿一條連接A、B兩點(diǎn)的曲線兩點(diǎn)的曲線進(jìn)行速度的線積分結(jié)果只與二端點(diǎn)的進(jìn)行速度的線積分結(jié)果只與二端點(diǎn)的 值之差有關(guān)而與積值之差有關(guān)而與積分路徑無(wú)關(guān)：分路徑無(wú)關(guān)：ABBABAzyxddzvdyvdxv)( 一個(gè)無(wú)旋流場(chǎng)一旦知道了它的速度勢(shì)函數(shù)一個(gè)無(wú)旋流場(chǎng)一旦知道了它的速度勢(shì)函數(shù) 的具體函數(shù)，按這個(gè)式子就可以算出流場(chǎng)上任何一點(diǎn)的的具體函數(shù)，按這個(gè)式子就可以算出流場(chǎng)上任何一點(diǎn)的流速來(lái)。流速來(lái)。 ( , , )x y z 2.2.4 旋度和速度勢(shì)函數(shù)旋度和速度勢(shì)函數(shù)例例. 設(shè)有一個(gè)二維流場(chǎng)其速度分布是設(shè)有一個(gè)二維流場(chǎng)其速度分布是 , 問(wèn)問(wèn)這個(gè)流動(dòng)是有旋的還是無(wú)旋的？有沒(méi)有速

33、度勢(shì)存在？流線這個(gè)流動(dòng)是有旋的還是無(wú)旋的？有沒(méi)有速度勢(shì)存在？流線方程是什么？微元如何變形？方程是什么？微元如何變形？0z可見(jiàn)流動(dòng)是無(wú)旋的，應(yīng)該有速度勢(shì)函數(shù)可見(jiàn)流動(dòng)是無(wú)旋的，應(yīng)該有速度勢(shì)函數(shù)存在。存在。 ayvaxvyx2,2解解: 1. 計(jì)算計(jì)算z： 0, 0 xvyvyx 2.2.4 旋度和速度勢(shì)函數(shù)旋度和速度勢(shì)函數(shù)aydyaxdxd22積分得：積分得： )(22yxa（此處積分常數(shù)取為零（此處積分常數(shù)取為零 ）3. 求流線：由流線方程求流線：由流線方程vdyudxaydyaxdx222. 求求： 2.2.4 旋度和速度勢(shì)函數(shù)旋度和速度勢(shì)函數(shù)積分得積分得Cxy 常數(shù)常數(shù)C取一系列的值，得流線

34、是一系列雙曲線。取一系列的值，得流線是一系列雙曲線。 4. 線變形率：由線變形率：由xvxx 及及yvyy，得：，得： 5. 角變形率：角變形率： 0)(21yvxvxyz6. 散度：散度： 0yxdivVaayx2,2 2.2.4 旋度和速度勢(shì)函數(shù)旋度和速度勢(shì)函數(shù)ABCDABCDDCABxy0 考察矩形微團(tuán)考察矩形微團(tuán)ABCD，在如圖流場(chǎng)中將從左上方流向，在如圖流場(chǎng)中將從左上方流向右下方，由于流動(dòng)無(wú)旋微團(tuán)不轉(zhuǎn)動(dòng)；右下方，由于流動(dòng)無(wú)旋微團(tuán)不轉(zhuǎn)動(dòng)；x方向線段有拉伸，方向線段有拉伸，y方向線段縮短；盡管微團(tuán)有線變形，但微團(tuán)無(wú)角變形；此方向線段縮短；盡管微團(tuán)有線變形，但微團(tuán)無(wú)角變形；此外由于散度為零

35、，流動(dòng)過(guò)程中矩形微團(tuán)面積保持不變。外由于散度為零，流動(dòng)過(guò)程中矩形微團(tuán)面積保持不變。 需要指出，一般并不是先有了速度后求需要指出，一般并不是先有了速度后求，而是恰恰，而是恰恰相反，先求出相反，先求出，然后再確定速度分布的，然后再確定速度分布的 。 2.2.4 旋度和速度勢(shì)函數(shù)旋度和速度勢(shì)函數(shù)例：速度場(chǎng)vr=0 ，v=b/r（b為常數(shù)），流線是以原點(diǎn)為中心的同心圓，此流場(chǎng)是有旋流動(dòng)還是無(wú)旋流動(dòng)？解：用直角坐標(biāo)：22sinyxbyryrbvvx22cosyxbxrxrbvvy021yvxvxyz是無(wú)旋流（微元平動(dòng)）xyorvxvyvp小結(jié)：流動(dòng)作有旋運(yùn)動(dòng)或無(wú)旋運(yùn)動(dòng)僅取決于每個(gè)流體小結(jié)：流動(dòng)作有旋運(yùn)動(dòng)

36、或無(wú)旋運(yùn)動(dòng)僅取決于每個(gè)流體微元微元本本身是否旋轉(zhuǎn)，與整個(gè)流體運(yùn)動(dòng)和流體微元運(yùn)動(dòng)的軌跡無(wú)關(guān)。身是否旋轉(zhuǎn)，與整個(gè)流體運(yùn)動(dòng)和流體微元運(yùn)動(dòng)的軌跡無(wú)關(guān)。連續(xù)方程是質(zhì)量守恒定律在流體力學(xué)中具體表達(dá)形式。連續(xù)方程是質(zhì)量守恒定律在流體力學(xué)中具體表達(dá)形式。由于連續(xù)方程僅是運(yùn)動(dòng)的行為，與動(dòng)力無(wú)關(guān)，因此既適用由于連續(xù)方程僅是運(yùn)動(dòng)的行為，與動(dòng)力無(wú)關(guān)，因此既適用于理想流體也適用于粘性流體。于理想流體也適用于粘性流體。以下針對(duì)一個(gè)微分六面體推導(dǎo)微分形式的連續(xù)方程。以下針對(duì)一個(gè)微分六面體推導(dǎo)微分形式的連續(xù)方程?，F(xiàn)在流場(chǎng)中劃定一個(gè)邊長(zhǎng)分別為現(xiàn)在流場(chǎng)中劃定一個(gè)邊長(zhǎng)分別為dx，dy，dz 的矩形六面體，的矩形六面體，這個(gè)體的空間

37、位置相對(duì)于坐標(biāo)系是固定的，不隨時(shí)間變化，這個(gè)體的空間位置相對(duì)于坐標(biāo)系是固定的，不隨時(shí)間變化，被流體所通過(guò)，我們稱(chēng)之為控制體如下圖被流體所通過(guò)，我們稱(chēng)之為控制體如下圖: 2.3 連續(xù)方程連續(xù)方程假設(shè)六面微元控制體的假設(shè)六面微元控制體的三邊寬度為：三邊寬度為：dx,dy,dz中心點(diǎn)坐標(biāo)為：中心點(diǎn)坐標(biāo)為：x，y，z中心點(diǎn)三個(gè)分速：中心點(diǎn)三個(gè)分速：vx , vy , vz中心點(diǎn)密度：中心點(diǎn)密度：t 瞬時(shí)通過(guò)垂直于瞬時(shí)通過(guò)垂直于x 軸單位面積的軸單位面積的流體流量為流體流量為 vx ,稱(chēng)稱(chēng)密流密流;xzyABCDABCDdydzdtdxxvvmxx2)(1將密流當(dāng)一個(gè)標(biāo)量看，則各面中點(diǎn)的密流可由中心點(diǎn)臺(tái)

38、勞級(jí)將密流當(dāng)一個(gè)標(biāo)量看，則各面中點(diǎn)的密流可由中心點(diǎn)臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開(kāi)表達(dá)。在數(shù)展開(kāi)表達(dá)。在 dt 時(shí)段內(nèi)，從時(shí)段內(nèi)，從ABCD面進(jìn)入的流體質(zhì)量為：面進(jìn)入的流體質(zhì)量為： 2.3 連續(xù)方程連續(xù)方程在在dt 時(shí)段內(nèi)，從時(shí)段內(nèi)，從ABCD面流出的流體質(zhì)量為：面流出的流體質(zhì)量為：dydzdtdxxvvmxx2)(2dxdydzdtxvdydzdtdxxvvdydzdtdxxvvmmmxxxxxx)( 2)(2)( 21在在 dt 時(shí)段內(nèi)，時(shí)段內(nèi)，x方向凈流入微分六面體的流體質(zhì)量為：方向凈流入微分六面體的流體質(zhì)量為： 2.3 連續(xù)方程連續(xù)方程同理可得，在同理可得，在 dt 時(shí)段內(nèi)，由時(shí)段內(nèi)，由 y, z方向凈流

39、入微分六面體的方向凈流入微分六面體的流體質(zhì)量為：流體質(zhì)量為： )( )(dxdydzdtzvmdxdydzdtyvmzzyy )()()( dxdydzdtzvyvxvmmmmzyxzyx由此可得，在由此可得，在 dt 時(shí)段內(nèi)由所有側(cè)面流入到微分六面體的凈時(shí)段內(nèi)由所有側(cè)面流入到微分六面體的凈流體總質(zhì)量為：流體總質(zhì)量為： 2.3 連續(xù)方程連續(xù)方程根據(jù)質(zhì)量守恒定律，在根據(jù)質(zhì)量守恒定律，在 dt 時(shí)段內(nèi)時(shí)段內(nèi)從側(cè)面凈流入微分六面從側(cè)面凈流入微分六面體的總質(zhì)量，應(yīng)等于六面體內(nèi)流體質(zhì)量因密度隨時(shí)間變化體的總質(zhì)量，應(yīng)等于六面體內(nèi)流體質(zhì)量因密度隨時(shí)間變化的引起增量：的引起增量： dxdydzdttdxdyd

40、zdxdydzdttmt dxdydzdttdxdydzdtzvyvxvmmzyxt由于由于是空間位置和時(shí)間的函數(shù)，在是空間位置和時(shí)間的函數(shù)，在 dt 時(shí)段內(nèi)，由于密度時(shí)段內(nèi)，由于密度變化引起微分六面體質(zhì)量的增加量為：變化引起微分六面體質(zhì)量的增加量為：即：即： 2.3 連續(xù)方程連續(xù)方程上式兩邊同除以上式兩邊同除以dxdydzdt，整理得到微分形式的連續(xù)方程，整理得到微分形式的連續(xù)方程，即：即：0zvyvxvtzyx00)(zvyvxvzvyvxvtVtzyxzyx00VDtDVVt 2.3 連續(xù)方程連續(xù)方程連續(xù)方程連續(xù)方程 的物理意義是：的物理意義是：流體流體微元的相對(duì)密度微元的相對(duì)密度增加率

41、與相對(duì)體積膨脹率之和為零。增加率與相對(duì)體積膨脹率之和為零。0VDtD對(duì)于不可壓縮流體，連續(xù)方程變?yōu)椋簩?duì)于不可壓縮流體，連續(xù)方程變?yōu)椋? , 0 , 0zvyvxvVDtDzyx不可壓連續(xù)方程不可壓連續(xù)方程 的物理意義是：的物理意義是：不可壓縮流動(dòng)流不可壓縮流動(dòng)流體微元的相對(duì)體積膨脹率保持為零，或從微元控制體流出體微元的相對(duì)體積膨脹率保持為零，或從微元控制體流出的單位體積流量為零。的單位體積流量為零。0 V 2.3 連續(xù)方程連續(xù)方程例：設(shè)不可壓縮流體在例：設(shè)不可壓縮流體在 xoy 平面內(nèi)流動(dòng)，速度沿平面內(nèi)流動(dòng)，速度沿 x 軸方向軸方向的分量的分量 vx=Ax (A 為常數(shù)為常數(shù))，求速度在，求速

42、度在 y 軸方向的分量軸方向的分量 vy。解：對(duì)于不可壓縮流動(dòng)，密度的隨體導(dǎo)數(shù)解：對(duì)于不可壓縮流動(dòng)，密度的隨體導(dǎo)數(shù) 由微分由微分形式連續(xù)方程：形式連續(xù)方程：0DtD0yvxvyxAxAxxvvxy 2.3 連續(xù)方程連續(xù)方程)()(xfAyxfAdyv如果流動(dòng)非定常，上式中函數(shù)如果流動(dòng)非定常，上式中函數(shù) f(x) 則應(yīng)為則應(yīng)為 f(x , t)。而函數(shù)。而函數(shù) f( ) 的形式可任取。因此的形式可任取。因此 v 有無(wú)窮多個(gè)解。有無(wú)窮多個(gè)解。如果設(shè)如果設(shè) v 在在 x 軸上的分布為軸上的分布為0 即即 f(x) 0 ，則：，則：Ayv 2.3 連續(xù)方程連續(xù)方程 在流場(chǎng)中劃出一塊三邊分別的為在流場(chǎng)中

43、劃出一塊三邊分別的為dx，dy，dz的微元矩形六面體。不計(jì)的微元矩形六面體。不計(jì)粘性力，表面力就沒(méi)有切向力，僅有粘性力，表面力就沒(méi)有切向力，僅有法向力（壓力）一種，而徹體力是可法向力（壓力）一種，而徹體力是可以有的以有的 。xyzPdxdydz 歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程組是在不計(jì)流體粘性前提下推導(dǎo)出歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程組是在不計(jì)流體粘性前提下推導(dǎo)出來(lái)的，該方程實(shí)質(zhì)上是微分形式的動(dòng)量方程。來(lái)的，該方程實(shí)質(zhì)上是微分形式的動(dòng)量方程。 2.4 歐拉運(yùn)動(dòng)方程及其積分歐拉運(yùn)動(dòng)方程及其積分 2.4.1 歐拉運(yùn)動(dòng)方程歐拉運(yùn)動(dòng)方程六面體體積：六面體體積：d=dxdydz中心點(diǎn)坐標(biāo)：中心點(diǎn)坐標(biāo)： x ,y ,z中心點(diǎn)速度：中

44、心點(diǎn)速度： vx ,vy ,vz中心點(diǎn)加速度：中心點(diǎn)加速度：中心點(diǎn)壓強(qiáng)：中心點(diǎn)壓強(qiáng)：p中心點(diǎn)密度：中心點(diǎn)密度：中心點(diǎn)處沿三個(gè)方向的單位質(zhì)量徹體力：中心點(diǎn)處沿三個(gè)方向的單位質(zhì)量徹體力： fx , fy , fzxyzPdxdydz2dxxpp2dxxpp,DtDvx,DtDvyDtDvz 2.4.1 歐拉運(yùn)動(dòng)方程歐拉運(yùn)動(dòng)方程dxdydzxpdydzdxxppdydzdxxpp22x方向的表面力為：方向的表面力為：dxdydzfxx 方向的徹體力為：方向的徹體力為：牛頓定律：牛頓定律：x方向合外力等于質(zhì)量乘以方向合外力等于質(zhì)量乘以x方向加速度方向加速度，得，得DtDvdxdydzdxdydzfdx

45、dydzxpxx)( 2.4.1 歐拉運(yùn)動(dòng)方程歐拉運(yùn)動(dòng)方程兩邊同除以微元體積兩邊同除以微元體積 dxdydz，令其趨于零，并代入加速度，令其趨于零，并代入加速度的表達(dá)，得的表達(dá)，得zvvyvvxvvtvxpfxzxyxxxx1同理可以寫(xiě)出同理可以寫(xiě)出 y 和和 z方向的表達(dá)方向的表達(dá)：zvvyvvxvvtvypfyzyyyxyy1zvvyvvxvvtvzpfzzzyzxzz1這就是笛卡爾坐標(biāo)系下這就是笛卡爾坐標(biāo)系下理想流體的歐拉方程理想流體的歐拉方程。 2.4.1 歐拉運(yùn)動(dòng)方程歐拉運(yùn)動(dòng)方程 歐拉方程規(guī)定了歐拉方程規(guī)定了理想流的壓強(qiáng)變化與速度變化和徹體力理想流的壓強(qiáng)變化與速度變化和徹體力之間的關(guān)

46、系。之間的關(guān)系。如果在歐拉運(yùn)動(dòng)方程中考慮粘性項(xiàng)如果在歐拉運(yùn)動(dòng)方程中考慮粘性項(xiàng)歐拉方程的歐拉方程的向量形式向量形式為：為：DtVDpf1 2.4.1 歐拉運(yùn)動(dòng)方程歐拉運(yùn)動(dòng)方程zzzzzyzxzyyyzyyyxyxxxzxyxxxvzpfzvvyvvxvvtvvypfzvvyvvxvvtvvxpfzvvyvvxvvtv222111DtVDVpf21向量形式向量形式y(tǒng)zzyzxzyxyzyyxxzzyyxzxyxxvvVxxvzvvxvyvvxwvxvvxvvxvvxvvzvvyvvxvv222 2.4.1 歐拉運(yùn)動(dòng)方程歐拉運(yùn)動(dòng)方程理想流歐拉方程還可以有另一種表達(dá)形式。把加速度的理想流歐拉方程還可以

47、有另一種表達(dá)形式。把加速度的遷移部分改寫(xiě)一下，把遷移加速度部分改寫(xiě)一下：遷移部分改寫(xiě)一下，把遷移加速度部分改寫(xiě)一下： zxxzyzyyyxvvVyzvvyvvxvv222)(222xyyxzzzyzxvvVzzvvyvvxvv式中式中 V 是合速，另兩個(gè)遷移加速度也可以改為類(lèi)似的式子：是合速，另兩個(gè)遷移加速度也可以改為類(lèi)似的式子：得如下形式的理想流歐拉方程稱(chēng)為得如下形式的理想流歐拉方程稱(chēng)為“格羅米柯蘭格羅米柯蘭姆方程姆方程”： 2.4.2 歐拉運(yùn)動(dòng)方程及其積分歐拉運(yùn)動(dòng)方程及其積分zxyyxzyzxxzyxyzzyxfzpvvVztvfypvvVytvfxpvvVxtv1)( 2)2(1)( 2

48、)2(1)( 2)2(222該形式好處是在方程中顯示了旋轉(zhuǎn)角速度，便于分析無(wú)旋該形式好處是在方程中顯示了旋轉(zhuǎn)角速度，便于分析無(wú)旋流動(dòng)。流動(dòng)。 2.4.1 歐拉運(yùn)動(dòng)方程歐拉運(yùn)動(dòng)方程對(duì)于對(duì)于理想理想、正壓正壓流體，設(shè)質(zhì)量力流體，設(shè)質(zhì)量力有勢(shì)、有勢(shì)、流動(dòng)流動(dòng)定常定常，有：，有： 2.4.2 歐拉運(yùn)動(dòng)方程及其積分歐拉運(yùn)動(dòng)方程及其積分0 ; p;1 ,1 tVfdpVV222格羅米柯方程變?yōu)椋焊窳_米柯方程變?yōu)椋涸摲匠痰南蛄啃问綖樵摲匠痰南蛄啃问綖?：其中：其中：DtVDpf1VVtVVVtVDtVD2)2()(2)2()2(2VV在在理想、定常、正壓、徹體力有勢(shì)和不可壓縮理想、定常、正壓、徹體力有勢(shì)和不

49、可壓縮條件下，格條件下，格羅米柯方程還可寫(xiě)為：羅米柯方程還可寫(xiě)為：這個(gè)方程深刻反映了總壓梯度與速度向量和渦向量之間的這個(gè)方程深刻反映了總壓梯度與速度向量和渦向量之間的關(guān)系。其中總壓關(guān)系。其中總壓（注：以后我們將會(huì)看到流場(chǎng)中微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度的二倍（注：以后我們將會(huì)看到流場(chǎng)中微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度的二倍 就定義為當(dāng)?shù)匦郎u的渦量）就定義為當(dāng)?shù)匦郎u的渦量）上式說(shuō)明在所給條件下，上式說(shuō)明在所給條件下，總壓梯度與流線和渦線均垂直，總壓梯度與流線和渦線均垂直，或總壓沿流線和渦線不變或總壓沿流線和渦線不變。如上圖所示。如上圖所示。)2(10VpgyVpp在重力場(chǎng)下,2120V0p2 2.4.2 歐拉運(yùn)動(dòng)方程及其積分歐拉

50、運(yùn)動(dòng)方程及其積分即即沿流線或沿渦線沿流線或沿渦線有：有：此外在以下三個(gè)條件下總壓梯度等于零：此外在以下三個(gè)條件下總壓梯度等于零：(a) 靜止流場(chǎng)靜止流場(chǎng):(b) 無(wú)旋流場(chǎng)，有勢(shì)流動(dòng)無(wú)旋流場(chǎng)，有勢(shì)流動(dòng):(c) 流線與渦線重合，即螺旋流動(dòng)流線與渦線重合，即螺旋流動(dòng):說(shuō)明在上述三個(gè)條件下總壓在整個(gè)流場(chǎng)保持不變：說(shuō)明在上述三個(gè)條件下總壓在整個(gè)流場(chǎng)保持不變：上述二個(gè)公式就是伯努利方程或伯努利積分。上述二個(gè)公式就是伯努利方程或伯努利積分。沿流線或沿渦線constVpp20210V0/V0)2(10Vp全流場(chǎng)constVpp2021 2.4.2 歐拉運(yùn)動(dòng)方程及其積分歐拉運(yùn)動(dòng)方程及其積分伯努利方程各項(xiàng)具有能量

51、的量綱，例如伯努利方程各項(xiàng)具有能量的量綱，例如 1/2 v2代表單位體代表單位體積流體的動(dòng)能，積流體的動(dòng)能， gy代表單位體積質(zhì)量流體的勢(shì)能，代表單位體積質(zhì)量流體的勢(shì)能，p 代代表單位體積流體的壓力勢(shì)能。表單位體積流體的壓力勢(shì)能。伯努利方程伯努利方程 p + gy+1/2 v2=c 的的物理意義物理意義是：沿一維流線是：沿一維流線流體的動(dòng)能、勢(shì)能及壓能可互相轉(zhuǎn)換，但總能量保持不變。流體的動(dòng)能、勢(shì)能及壓能可互相轉(zhuǎn)換，但總能量保持不變。在不計(jì)徹體力的情況下在不計(jì)徹體力的情況下(例如重力勢(shì)函數(shù)例如重力勢(shì)函數(shù) = gy ，空氣時(shí)，空氣時(shí)近似不計(jì)重力近似不計(jì)重力)， Bernoulli積分變?yōu)榉e分變?yōu)?

52、CVp221 2.4.2 歐拉運(yùn)動(dòng)方程及其積分歐拉運(yùn)動(dòng)方程及其積分例例. 求如圖光滑容器中小孔的出流速度求如圖光滑容器中小孔的出流速度 V，假設(shè)，假設(shè)小孔中心距自由面深為小孔中心距自由面深為 h。假設(shè)不計(jì)粘性損失。假設(shè)不計(jì)粘性損失。Vhpapa解解. 小孔出流，流動(dòng)可假設(shè)為定常小孔出流，流動(dòng)可假設(shè)為定常2002Vppghaa從而：從而：ghV2沿如圖流線列伯努利方程：沿如圖流線列伯努利方程： 2.4.2 歐拉運(yùn)動(dòng)方程及其積分歐拉運(yùn)動(dòng)方程及其積分測(cè)量低速氣流的速度用的風(fēng)速管就是根據(jù)上述原測(cè)量低速氣流的速度用的風(fēng)速管就是根據(jù)上述原理設(shè)計(jì)并由上式去計(jì)算風(fēng)速的。風(fēng)速管的構(gòu)造很理設(shè)計(jì)并由上式去計(jì)算風(fēng)速的

53、。風(fēng)速管的構(gòu)造很簡(jiǎn)單，見(jiàn)下圖：簡(jiǎn)單，見(jiàn)下圖： 速度速度V用伯努利方程計(jì)算：用伯努利方程計(jì)算：/ )(20ppV風(fēng)速管的結(jié)構(gòu)風(fēng)速管的結(jié)構(gòu)氫氣泡顯示的來(lái)流在風(fēng)速管頭部滯止情況氫氣泡顯示的來(lái)流在風(fēng)速管頭部滯止情況022pVpVp,0pp 2.4.2 歐拉運(yùn)動(dòng)方程及其積分歐拉運(yùn)動(dòng)方程及其積分直勻流對(duì)機(jī)翼的繞流 例例. 在海平面上，直勻流流過(guò)一個(gè)機(jī)翼，遠(yuǎn)前方直勻流的在海平面上，直勻流流過(guò)一個(gè)機(jī)翼，遠(yuǎn)前方直勻流的靜壓靜壓 pp101200牛牛/米米2，流速，流速=100米米/秒。已知秒。已知A，B，C三點(diǎn)的速度分別是三點(diǎn)的速度分別是VA=0，VB =150米米/秒，秒，VC=50米米/秒，秒，空氣在海平面

54、的空氣在海平面的=1.255千克千克/米米3 。假設(shè)流動(dòng)無(wú)旋，求。假設(shè)流動(dòng)無(wú)旋，求A、B、C三點(diǎn)的壓強(qiáng)。三點(diǎn)的壓強(qiáng)。 2.4.2 歐拉運(yùn)動(dòng)方程的積分歐拉運(yùn)動(dòng)方程的積分220220220/10579415311073252/93825225006125. 01073252/1073252米牛米牛米牛CCBBAAVppVppVpp于是：于是：220/107325)100(2225. 1101200米牛p解解: 流動(dòng)無(wú)旋，伯努利常數(shù)全流場(chǎng)通用。由遠(yuǎn)前方條件得：流動(dòng)無(wú)旋，伯努利常數(shù)全流場(chǎng)通用。由遠(yuǎn)前方條件得： 2.4 歐拉運(yùn)動(dòng)方程歐拉運(yùn)動(dòng)方程2.5 環(huán)量與渦環(huán)量與渦 2.5.1 環(huán)量與渦的概念環(huán)量與渦

55、的概念研究流動(dòng)的問(wèn)題，還有兩個(gè)極重要的概念研究流動(dòng)的問(wèn)題，還有兩個(gè)極重要的概念:環(huán)量環(huán)量和和渦渦。環(huán)量的定義：環(huán)量的定義：在流場(chǎng)中在流場(chǎng)中任取任取一一條封閉條封閉曲線，曲線，速度沿該封速度沿該封閉曲線的線積分稱(chēng)為該封閉曲線的速度環(huán)量閉曲線的線積分稱(chēng)為該封閉曲線的速度環(huán)量。速度環(huán)量的符號(hào)不僅決定于速度環(huán)量的符號(hào)不僅決定于流場(chǎng)的速度方向流場(chǎng)的速度方向，而且與，而且與封封閉曲線的繞行方向閉曲線的繞行方向有關(guān)，規(guī)定積分時(shí)逆時(shí)針繞行方向?yàn)橛嘘P(guān)，規(guī)定積分時(shí)逆時(shí)針繞行方向?yàn)檎?，即封閉曲線所包圍的區(qū)域總在行進(jìn)方向的左側(cè)。正，即封閉曲線所包圍的區(qū)域總在行進(jìn)方向的左側(cè)。如果把一個(gè)速度向量分成三個(gè)坐標(biāo)如果把一個(gè)速度

56、向量分成三個(gè)坐標(biāo)軸方向的三個(gè)分量軸方向的三個(gè)分量vx , vy, vz,把線段把線段ds也分解成也分解成dx, dy, dz 三個(gè)方向：三個(gè)方向：dzvdyvdxvsdVzyxLLdsVsdVcos(a) 沿曲線AB作速度的線積分(b) 沿閉曲線速度的線積分 于是環(huán)量表達(dá)式為：于是環(huán)量表達(dá)式為：Lzyxdzvdyvdxv)(2.5.1 環(huán)量與渦的概念環(huán)量與渦的概念如果流動(dòng)是無(wú)旋的，如果流動(dòng)是無(wú)旋的， 存在速度勢(shì)函數(shù)存在速度勢(shì)函數(shù)， 那末上式中的那末上式中的 vx ,vy,vz都可以用都可以用的偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)：的偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)： zvyvxvzyx 說(shuō)明在說(shuō)明在無(wú)旋無(wú)旋流動(dòng)中，流動(dòng)中，沿著任意一條封閉曲

57、線的速度環(huán)量均等于沿著任意一條封閉曲線的速度環(huán)量均等于零零。但是對(duì)有旋流動(dòng)，上述結(jié)論并不成立，繞任意一條封閉曲。但是對(duì)有旋流動(dòng)，上述結(jié)論并不成立，繞任意一條封閉曲線的速度環(huán)量一般不等于零。線的速度環(huán)量一般不等于零。0)()(LLLddzzdyydxxsdV2.5.1 環(huán)量與渦的概念環(huán)量與渦的概念旋轉(zhuǎn)軸線都按右手定則確定。旋轉(zhuǎn)軸線都按右手定則確定。kjizyx222zyxVVrot2渦量可寫(xiě)為：渦量概念渦量概念 是指流場(chǎng)中微團(tuán)角速度之二倍，如平面問(wèn)題中是指流場(chǎng)中微團(tuán)角速度之二倍，如平面問(wèn)題中的的2z ， 稱(chēng)為渦量，渦量是個(gè)純運(yùn)動(dòng)學(xué)的概念。稱(chēng)為渦量，渦量是個(gè)純運(yùn)動(dòng)學(xué)的概念。在三維流里，流體微團(tuán)可以

58、有三個(gè)方向的角速度在三維流里，流體微團(tuán)可以有三個(gè)方向的角速度 x ,y ,z ,三者合為一個(gè)合角速度是：三者合為一個(gè)合角速度是： 2.5.1 環(huán)量與渦的概念環(huán)量與渦的概念像流線一樣，在同一瞬時(shí)，如在流場(chǎng)中有一條曲線，該像流線一樣，在同一瞬時(shí)，如在流場(chǎng)中有一條曲線，該線上每一點(diǎn)的渦軸線都與曲線相切，這條曲線叫線上每一點(diǎn)的渦軸線都與曲線相切，這條曲線叫渦線渦線。渦線的微分方程是（給定時(shí)刻，渦線的微分方程是（給定時(shí)刻，t為參量）：為參量）：zyxdzdydx渦線給定瞬間，通過(guò)某一曲線（本身不是渦線）給定瞬間，通過(guò)某一曲線（本身不是渦線）的所有渦線構(gòu)成的曲面稱(chēng)為的所有渦線構(gòu)成的曲面稱(chēng)為渦面渦面。由封閉

59、渦面組成的管狀渦面稱(chēng)為由封閉渦面組成的管狀渦面稱(chēng)為渦管渦管。渦面渦管2.5.2 渦線與渦管渦線與渦管SzdS2在三維空間問(wèn)題中，渦通量就是：在三維空間問(wèn)題中，渦通量就是：SSdSSdcos22式中的式中的S 是任意形狀空間曲面，是任意形狀空間曲面，是曲面上微面積是曲面上微面積 dS 的法的法線和線和的軸線之間的夾角。的軸線之間的夾角。ndS空間問(wèn)題的渦通量zSdS平面問(wèn)題的渦通量渦線是截面積趨于零的渦管。渦線是截面積趨于零的渦管。渦線和渦管的強(qiáng)度都定義為渦線和渦管的強(qiáng)度都定義為繞渦線或渦管的一條封閉圍線的環(huán)量。繞渦線或渦管的一條封閉圍線的環(huán)量。渦量在一個(gè)截面上的面積分稱(chēng)為渦量在一個(gè)截面上的面積

60、分稱(chēng)為渦通量渦通量，在平面問(wèn)題中，在平面問(wèn)題中，渦通量就是：渦通量就是： 2.5.1 環(huán)量與渦的概念環(huán)量與渦的概念在有旋流動(dòng)中，速度環(huán)量與渦量存在著十分密切的聯(lián)系。在有旋流動(dòng)中，速度環(huán)量與渦量存在著十分密切的聯(lián)系。為說(shuō)明這個(gè)聯(lián)系，首先考察二維流場(chǎng)。為說(shuō)明這個(gè)聯(lián)系，首先考察二維流場(chǎng)。 2.5.2 環(huán)量與渦量的關(guān)系環(huán)量與渦量的關(guān)系在二維流場(chǎng)中，任取封閉曲線，然后把該封閉曲線所圍成的在二維流場(chǎng)中，任取封閉曲線，然后把該封閉曲線所圍成的面積用兩組坐標(biāo)的平行線分割成一系列微小面積，做每一塊面積用兩組坐標(biāo)的平行線分割成一系列微小面積，做每一塊微小面積的速度環(huán)量并求和，得到總的速度環(huán)量。對(duì)于微元微小面積的速