范數(shù)理論及矩陣分析

1、2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系1系統(tǒng)與控制中的矩陣?yán)碚撟詣?dòng)化學(xué)院 張維存ustb123456研究范圍系統(tǒng)理論控制理論矩陣?yán)碚?=本課程內(nèi)容系統(tǒng)與控制矩陣2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系3控制理論的發(fā)展階段uFirst generation: Analog ControllTechnology: Feedback amplifierslTheory: Frequency domain analysisBode, Nyquist, uSecond generation: Dig

2、ital ControllTechnology: Digital computerslTheory: State-space design,Kalman filtering,Optimal control,uThird generation: Networked controllTechnology: Embedded computers, Wireless and wireline networks, SoftwarelTheory: Multi-agent, Consensus, flocking, cooperative, 2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北

3、京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系4系統(tǒng)與控制中的矩陣?yán)碚搖Second generation: Digital ControllLinear systems lNonlinear systemslOptimal control lEstimation lSystem identificationlRobust control lAdaptive control lDiscrete- event systemslHybrid systems2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系5系統(tǒng)與控制中的矩陣?yán)碚搖Linear systems (T. Kai

4、lath)l特征值與特征向量，矩陣對(duì)角化，矩陣求逆，矩陣函數(shù)，特征值與特征向量，矩陣對(duì)角化，矩陣求逆，矩陣函數(shù)，多項(xiàng)式矩陣，史密斯標(biāo)準(zhǔn)型，子空間多項(xiàng)式矩陣，史密斯標(biāo)準(zhǔn)型，子空間, uAdaptive control (P. A. Ioannou)l向量及矩陣范數(shù)，矩陣不等式，矩陣方程，矩陣函數(shù)，正向量及矩陣范數(shù)，矩陣不等式，矩陣方程，矩陣函數(shù)，正定矩陣，矩陣對(duì)角化定矩陣，矩陣對(duì)角化, uRobust control (K. Zhou)l子空間，特征值及特征向量，矩陣求逆，廣義逆，矩陣微子空間，特征值及特征向量，矩陣求逆，廣義逆，矩陣微積分，矩陣范數(shù)，奇異值分解，線性矩陣不等式，積分，矩陣范數(shù)，

5、奇異值分解，線性矩陣不等式，2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系6課程內(nèi)容一：u向量范數(shù)，矩陣范數(shù)向量范數(shù)，矩陣范數(shù)u向量和矩陣的極限向量和矩陣的極限u矩陣冪級(jí)數(shù)矩陣冪級(jí)數(shù)u矩陣函數(shù)矩陣函數(shù)u矩陣的微分與積分矩陣的微分與積分u常用矩陣函數(shù)的性質(zhì)常用矩陣函數(shù)的性質(zhì)u矩陣函數(shù)的應(yīng)用一：微分方程矩陣函數(shù)的應(yīng)用一：微分方程u矩陣函數(shù)的應(yīng)用二：線性系統(tǒng)的能控性與能觀性矩陣函數(shù)的應(yīng)用二：線性系統(tǒng)的能控性與能觀性 (矩陣分析引論第四章，羅家洪 華南理工大學(xué) )2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系7

6、課程內(nèi)容二：uIntroduction to linear matrix inequalities (LMIs)uSystem stability and performanceLyapunov stability DissipativityKYP lemmaBounded real lemmaPositive real lemmaH2H2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系8課程內(nèi)容二：uSome useful lemmasSchur complement Dualization lemmaProjection lemmaElimilat

7、ion lemmauState-feedback controluDynamic output-feedback control1. LMIs in Control, C. Scherer2. 魯棒控制魯棒控制-線性矩陣不等式處理方法，俞立線性矩陣不等式處理方法，俞立系統(tǒng)與控制中的矩陣?yán)碚摰谝徊糠郑悍稊?shù)理論及矩陣分析第一部分：范數(shù)理論及矩陣分析2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系101 向量范數(shù)u內(nèi)積空間和酉空間：通過內(nèi)積定義了向量的長度。內(nèi)積空間和酉空間：通過內(nèi)積定義了向量的長度。u線性空間有線性空間有“長度長度”？-“范數(shù)范數(shù)”u若若

8、 是是實(shí)內(nèi)積空間實(shí)內(nèi)積空間， 為任意向量，為任意向量， 為實(shí)數(shù)域?yàn)閷?shí)數(shù)域 中任一中任一元素，則元素，則 中向量的中向量的長度長度具有下列三個(gè)基本性質(zhì)：具有下列三個(gè)基本性質(zhì)：(1) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，都有時(shí)，都有 ；(正定性正定性)(2) ； (齊次性齊次性)(3) 。 (三角不等式三角不等式)V,Vx yaRVx| 0 x| |aaxx|xyxy|2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系向量范數(shù)u定義定義1：(向量范數(shù)向量范數(shù))設(shè)設(shè) 是數(shù)域是數(shù)域 上的線性空間。若對(duì)于上的線性空間。若對(duì)于 中的任一向量中的任一向量 ，都有，都有一非負(fù)實(shí)數(shù)一非負(fù)實(shí)數(shù) 與

9、之對(duì)應(yīng)，并且滿足下列三個(gè)條件：與之對(duì)應(yīng)，并且滿足下列三個(gè)條件：(1) 正定性正定性：當(dāng)：當(dāng) 時(shí)，都有時(shí)，都有 ；(2) 齊次性齊次性： 對(duì)于任何對(duì)于任何 ，有，有 ;(3) 三角不等式三角不等式：對(duì)于任何：對(duì)于任何 ，都有，都有 則稱非負(fù)實(shí)數(shù)則稱非負(fù)實(shí)數(shù) 為向量為向量 的范數(shù)。簡言之，向量的范數(shù)是定的范數(shù)。簡言之，向量的范數(shù)是定義在義在線性空間線性空間上的上的非負(fù)非負(fù)實(shí)值函數(shù)。實(shí)值函數(shù)。VaaxxxyxyPVxxx0 xaP,Vx yxx2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系12常見的向量范數(shù)對(duì)于酉空間向量對(duì)于酉空間向量u1-范數(shù)范數(shù):u2

10、-范數(shù)范數(shù):u-范數(shù)范數(shù):up-范數(shù)范數(shù):221niix12,nnC x11niix1maxii n x11(1)nppipip x2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系13 常見的向量范數(shù)u1-范數(shù)范數(shù) 證明：證明：(1)當(dāng)當(dāng) 時(shí)，則時(shí)，則 不全為零，從而不全為零，從而 (2) 對(duì)于任何對(duì)于任何 ，則，則 (3) 若若 為任意向量，則為任意向量，則 即三角不等式成立。即三角不等式成立。x11niix12,n 110;niixaC1111;nniiiiaaaaxx12,nnC y11111()nniiiiiixyxy2022年5月23日15

11、時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系14常見的向量范數(shù)對(duì)于酉空間向量對(duì)于酉空間向量u1-范數(shù)范數(shù):u2-范數(shù)范數(shù):u-范數(shù)范數(shù):up-范數(shù)范數(shù):221niix12,nnC x11niix1maxii n x11(1)nppipip x關(guān)系?2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系15常見的向量范數(shù)u1-范數(shù)范數(shù): p=1u2-范數(shù)范數(shù): p=2u-范數(shù)：范數(shù)：證明：當(dāng)證明：當(dāng) 時(shí)，顯然成立。故只需對(duì)非零向量加以證明。時(shí)，顯然成立。故只需對(duì)非零向量加以證明。令令 ，則有，則有這里這里 ，又至少有一個(gè)，又至少有一個(gè)

12、 ，所以有，所以有1limmaxippi n xxx1maxii n 11111111ppppnnnnpppppiiiiiiii1ii1i11npiin2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系16常見的向量范數(shù)因此，因此，又因?yàn)橛忠驗(yàn)?故故從而，從而，即即: 1111npppiin1lim1,ppn11lim1nppipi11lim|nppipi1limmaxippi n xx。2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系17向量范數(shù)之間關(guān)系u定理定理1. 對(duì)于任何對(duì)于任何有限維向量空間有限維向

13、量空間 上定義的任意兩種向量范上定義的任意兩種向量范數(shù)數(shù) ，都存在兩個(gè)與，都存在兩個(gè)與 無關(guān)的正的常數(shù)無關(guān)的正的常數(shù) ，使得，使得對(duì)對(duì) 中任一向量中任一向量 ，都有，都有u注：滿足以上兩個(gè)不等式的向量范數(shù)稱為注：滿足以上兩個(gè)不等式的向量范數(shù)稱為等價(jià)等價(jià)的。故定理的。故定理1也也可敘述為：可敘述為：有限維向量空間上的不同向量范數(shù)是等價(jià)的有限維向量空間上的不同向量范數(shù)是等價(jià)的。證明證明：只針對(duì)實(shí)數(shù)域：只針對(duì)實(shí)數(shù)域 上的上的 維線性空間證明。維線性空間證明。設(shè)設(shè) 是是 的一組基，則的一組基，則 中的任意向量中的任意向量 可以表示為可以表示為 V,abxxx12,C CVx12,abbaCCxxxx

14、。Rn12,ne eeVxV1 122nnxeee2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系18向量范數(shù)之間關(guān)系定義：定義： ，顯然是一種向量范數(shù)，顯然是一種向量范數(shù)(2范數(shù)范數(shù))。對(duì)于向量范數(shù)對(duì)于向量范數(shù)首先證明首先證明 的等價(jià)性。的等價(jià)性。記記 ，則，則 是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)：設(shè)另一向量為設(shè)另一向量為 ，其范數(shù)為，其范數(shù)為則有則有 22212nEx1 122nnaaxeee,aExx12( ,)na x12( ,)n 1 122nnxeee12( ,)na x1212( ,)( ,)nnaaa xxxx111222111222()()()n

15、nnannnaaaeeeeee2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系19向量范數(shù)之間關(guān)系由于由于 是常數(shù)，因此當(dāng)是常數(shù)，因此當(dāng) 與與 充分接近時(shí)，充分接近時(shí)， 就就充分接近充分接近 ，即，即 是連續(xù)函數(shù)。是連續(xù)函數(shù)。根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，可知，在有界閉集，可知，在有界閉集上，函數(shù)上，函數(shù) 可達(dá)到最大值可達(dá)到最大值 和最小值和最小值 。當(dāng)。當(dāng) 時(shí)，顯然時(shí)，顯然 ，因此有，因此有 。又記。又記則向量則向量 的分量滿足的分量滿足 ，因此，因此 ；i12( ,)n iaei12( ,)n 12( ,)n 2221212( ,)|1n

16、nW x12( ,)na xMmWxx0m 2121( ,)ninidV x11niiiddyex211niidWy2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系20向量范數(shù)之間關(guān)系于是于是由由 得得由上式可得由上式可得 即即若取若取 ，則，則因此因此 等價(jià)。等價(jià)。同理可證同理可證 等價(jià)：等價(jià)：即即 等價(jià)。等價(jià)。120(,)namMdddy。dxyaaaadddxyyy 。,amdMdxEaEmMxxx。12,1/CM Cm12,aEEaCCxxxx 。,aExx,bExx34,bEEbCCxxxx 。1432,abbbCCC Cxxxx 。,ab

17、xx考慮向量序列的收斂性時(shí)等價(jià)!2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系212 矩陣范數(shù)u定義定義2. (矩陣范數(shù)矩陣范數(shù)) 在在 上定義一個(gè)非負(fù)實(shí)值函數(shù)上定義一個(gè)非負(fù)實(shí)值函數(shù) (對(duì)每個(gè)對(duì)每個(gè) )，如果對(duì)任意，如果對(duì)任意 都滿足下列都滿足下列四個(gè)條件：四個(gè)條件： (1) 正定性正定性：若：若 (矩陣矩陣)，則，則 (2) 齊次性齊次性：對(duì)任意：對(duì)任意 ，有，有 (3) 三角不等式三角不等式： (4) 相容性相容性：則非負(fù)實(shí)數(shù)則非負(fù)實(shí)數(shù) 稱為方陣稱為方陣 的范數(shù)。的范數(shù)。n nPAn nAP,n nA BPA0;A aP;aAaA;ABABAB

18、AB，AA2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系22矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性u(píng)定義定義3. 若對(duì)任何若對(duì)任何 及及 維列向量維列向量 ，方陣范數(shù)，方陣范數(shù) 能與某種向量范數(shù)能與某種向量范數(shù) 滿足關(guān)系式滿足關(guān)系式則稱方陣范數(shù)則稱方陣范數(shù) 與向量范數(shù)與向量范數(shù) 是是相容相容的。的。u注：注： 1) 上的每一種方陣范數(shù)，在上的每一種方陣范數(shù)，在 上都存在與它相容的上都存在與它相容的向量范數(shù)；向量范數(shù)； 2) 上任意兩種方陣范數(shù)上任意兩種方陣范數(shù) 都是都是等價(jià)等價(jià)的，即存在兩的，即存在兩個(gè)與個(gè)與 無關(guān)的正數(shù)無關(guān)的正數(shù) ，使得，使得 n nAPnP

19、xaaAAxxnAaxAaxn nPnPn nPAA，A12,C C12,()n naAC AACAAP ；2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系23矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性3) 若若 則則是一種與向量范數(shù)是一種與向量范數(shù) 相容的方陣范數(shù)，稱為相容的方陣范數(shù)，稱為Frobenius范數(shù)范數(shù)( )。證明證明: (1) 當(dāng)當(dāng) (矩陣矩陣)，則，則 顯然成立；顯然成立； (2) 對(duì)任意對(duì)任意 則則,n nijn nAaC2,1trnHijFi jAaA A221niixnCx0A0FA,kC222,1,1;nnijijFFi ji jkAkak

20、akA2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系24矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性(3)2,1nijijFi jABab22,12nijijijiji jabab2222,1,12nnijijFFi ji jABab2;FFFFABAB222111()()()nnniiiiiiiabab應(yīng)用不等式：2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系25矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性(4)(5) 設(shè)設(shè) 令令21 12 2,1nijijinnjFi jABa ba ba b222211,122,1,1niinjjn

21、i jnnijiji ji jFFaabbabAB；12,Tnn nnijn nCAaC x12nAxy222111()()()nnniiiiiiiabab應(yīng)用不等式：2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系26矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性則有則有即即 是與向量范數(shù)是與向量范數(shù) 相容的矩陣范數(shù)。相容的矩陣范數(shù)。2221nkkAxy21 1221211122111222,11nkkknnknkknnknnnkjjkjjnnkjjFk jkaaaaaaaA xFA2x2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)

22、院自動(dòng)化系27F-范數(shù)u注：注：F-范數(shù)范數(shù)的優(yōu)點(diǎn)之一是乘以酉矩陣的優(yōu)點(diǎn)之一是乘以酉矩陣 后不變后不變(在實(shí)矩陣的情在實(shí)矩陣的情況下乘以正交矩陣后不變況下乘以正交矩陣后不變)，即，即證明：證明： 又又 ，且，且 也是酉矩陣，則也是酉矩陣，則 由此可知，由此可知， 的酉相似矩陣的的酉相似矩陣的F-范數(shù)是相同的范數(shù)是相同的，即：，即： 若若 ，則，則FFFUAAAU。U 22trtrtrHHHHFFUAUAUAAU U AA AAHFFAAHU.TTTTFFFFFAUAUU AAAAHBU AUFFBA。2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系2

23、8常見的矩陣范數(shù)常見的矩陣范數(shù)常見的矩陣范數(shù)uF-范數(shù)范數(shù)：u1-范數(shù)范數(shù)： (列模和最大者列模和最大者)u-范數(shù)范數(shù)： (行模和最大者行模和最大者) u2-范數(shù)范數(shù)： ( 是是 的最大特征值的最大特征值)2,1trnHijFi jAaA A111maxnijj niAa 11maxniji njAa 2HAA AHA AHA A2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系293 向量和矩陣的極限u定義定義4. (向量的極限向量的極限) 若若 ，如果存在極限，如果存在極限則稱有空間則稱有空間 的向量序列的向量序列 收斂于向量收斂于向量 并記為并記

24、為換言之，向量序列的極限是換言之，向量序列的極限是按坐標(biāo)序列的極限按坐標(biāo)序列的極限來定義的。當(dāng)來定義的。當(dāng)向量序列不收斂時(shí)，也稱為發(fā)散的。向量序列不收斂時(shí)，也稱為發(fā)散的。()()()()12,(1,2,)mmmmnnCmx()lim(1,2, )miiminnC()mx12,n x()()limmmmxxxx或。2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系30向量和矩陣的極限u定理定理2. 證明證明：利用向量的等價(jià)性利用向量的等價(jià)性，易知，對(duì)一種向量范數(shù)成立，則對(duì)，易知，對(duì)一種向量范數(shù)成立，則對(duì)任何一種范數(shù)也成立。為此，取向量范數(shù)任何一種范數(shù)也成

25、立。為此，取向量范數(shù) 。 如果對(duì)向量范數(shù)如果對(duì)向量范數(shù) ，有，有則由則由 ， 可知，可知，對(duì)每個(gè)對(duì)每個(gè) 有有 。因此，。因此， 反之，若反之，若 則由定義知，則由定義知， ()()limlim0()mmmmxxxx對(duì)任一向量范數(shù)。xx()lim0mmxx()()1max0()mmiii nm xx(1,2, )i in()mii()limmmxx。()lim,mmxx()0(1,2, )miiin。2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系31向量和矩陣的極限故對(duì)任給正數(shù)故對(duì)任給正數(shù) ，都有正數(shù)，都有正數(shù) ，使得，使得 時(shí)，都有時(shí)，都有若取若取

26、 ，則當(dāng)，則當(dāng) 時(shí)，對(duì)每個(gè)時(shí)，對(duì)每個(gè) 值，上述不等值，上述不等式均成立，從而，式均成立，從而， 時(shí)，時(shí)，這就證明了這就證明了證畢。證畢。 iMimM()(1,2, )miiin。1=maxii nMM mMimM()()1max.mmiii n xx()lim0mmxx。2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系32向量和矩陣的極限u向量序列向量序列 收斂于向量收斂于向量 ，并且只當(dāng)對(duì)任何一種向量范，并且只當(dāng)對(duì)任何一種向量范數(shù)數(shù) ，序列，序列 收斂于零。因此，收斂于零。因此，n維向量序列的收維向量序列的收斂問題斂問題，借助于范數(shù)概念，可歸結(jié)為實(shí)

27、數(shù)序列的收斂問題借助于范數(shù)概念，可歸結(jié)為實(shí)數(shù)序列的收斂問題。u定義定義5. (矩陣極限矩陣極限) 若若 ，如果存在極限如果存在極限則稱方陣則稱方陣 收斂于方陣收斂于方陣 ，記為，記為當(dāng)方陣序列不收斂時(shí)，也稱為發(fā)散的。當(dāng)方陣序列不收斂時(shí)，也稱為發(fā)散的。()mxxx()mxx()(1,2,)mn nmijn nAaCm()lim( ,1,2, ),mijijmaai jnmAn nijAaClim()mmmAAAA m或。2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系33向量和矩陣的極限u例例1：若若則有則有2 22121321,2,111cosmmm

28、mACmmm，20lim311mmA。2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系34向量和矩陣的極限u定理定理3. 證明證明：u注：方陣序列注：方陣序列 收斂于方陣收斂于方陣 , 當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任一方陣范數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任一方陣范數(shù) ，序列，序列 收斂于零。收斂于零。特別地，特別地， (矩陣矩陣)，當(dāng)且，當(dāng)且僅當(dāng)僅當(dāng) limlim0()mmmmAAAA對(duì)任一方陣范數(shù)。()2(),1limlim0(, )lim(lim)0.mmijijmmnmijijmFmmi jAAaai jaaAAmAAmAA0mA 0()mAm 。2022年5月23日15時(shí)03分

29、北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系35向量和矩陣的極限u收斂方陣序列的基本性質(zhì)：收斂方陣序列的基本性質(zhì)：(1) 若若 ，則對(duì)，則對(duì) 中任何方陣范數(shù)中任何方陣范數(shù) ， 有界。有界。(2) 若若 又又 (這里這里 為數(shù)列為數(shù)列)，則有，則有 (3)若若 ，且，且 都存在，則都存在，則,mmAA BB,mmaa bb ,mmablim(),lim().mmmmmmmma Ab BaAbBA BABmAn nClimmmAA11lim.mmAAmAA11,mAA2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系36向量和矩陣的極限u定

30、理定理4. (矩陣矩陣)的充分條件，是有某一方陣范數(shù)的充分條件，是有某一方陣范數(shù) ，使得使得 證明：由方陣范數(shù)定義的條件證明：由方陣范數(shù)定義的條件(4)知，有知，有因此，若因此，若 ，則，則 ，從而，從而 。 由定理由定理3便得便得 。證畢。證畢。lim0mmA1.A 212,mmmmAAAAAA1A 0mA0mAlim0mmA2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系37向量和矩陣的極限u定理定理5. (矩陣矩陣)的充分必要條件，是的充分必要條件，是 的所有特征值的的所有特征值的模都小于模都小于1.證明：設(shè)證明：設(shè) 的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型為的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型

31、為lim0mmAAA1212()()()prrrpJJJJ121( )1iiiripr rJ 2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系38向量和矩陣的極限由于由于 ，故，故 。而且。而且不難證明不難證明1ATJT(1)()()()()()()()(1)!iimimimimrirmimimiifffJfffr1mmATJ T1212()()()pmrmrmmrpJJJJ2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系39向量和矩陣的極限其中，其中， ，又，又 在在 時(shí)的時(shí)的 階導(dǎo)數(shù)為：階導(dǎo)數(shù)為：由此可

32、以看出，當(dāng)由此可以看出，當(dāng) 時(shí)，下列各個(gè)陳述的等價(jià)性：時(shí)，下列各個(gè)陳述的等價(jià)性：證畢。證畢。( )mmf( )mfit()(1)(1)tm tmiifm mmt !(0,1,2,1).()!m tiimtrmtm 00()0 ()immmriAJJ每個(gè)矩陣()0 ()timitf對(duì)每個(gè) 及每個(gè) 值，矩陣1.(1,2, )iip2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系40向量和矩陣的極限u定理定理6. 矩陣矩陣 的每一個(gè)特征值的每一個(gè)特征值 的模的模 ，都不大于矩陣，都不大于矩陣 的任何一種范數(shù)的任何一種范數(shù) ，即，即， 。證明：設(shè)證明：設(shè) 。

33、作矩陣。作矩陣 ( 是任意正數(shù)是任意正數(shù))，于是，于是，因此，當(dāng)因此，當(dāng) 時(shí)，時(shí)， (矩陣矩陣)(定理定理4)。但由定理。但由定理5知，知，矩陣矩陣 的所有特征值的模都小于的所有特征值的模都小于1，而，而 的特征值就是的特征值就是 故故 即即 。由于正數(shù)。由于正數(shù) 可以任意小，因此可以任意小，因此 。AAAAAa1BAa1=1aBAaa。m 0mB BBa1,aaaA2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系414 矩陣冪級(jí)數(shù)u定義定義6. (方陣級(jí)數(shù)方陣級(jí)數(shù)) 給定給定 中一方陣序列中一方陣序列則和式則和式稱為方陣級(jí)數(shù)，也?？s寫為稱為方陣級(jí)數(shù)

34、，也?？s寫為 記記u定義定義7. (收斂收斂) 若方陣序列若方陣序列 收斂于收斂于 ，稱方陣級(jí)數(shù)收斂，稱方陣級(jí)數(shù)收斂其和式為其和式為 ，記為，記為u方陣序列收斂的方陣序列收斂的充要條件充要條件: 個(gè)數(shù)值級(jí)數(shù)個(gè)數(shù)值級(jí)數(shù) 收斂。收斂。u當(dāng)當(dāng) 個(gè)數(shù)值級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂時(shí)，稱此方陣級(jí)數(shù)個(gè)數(shù)值級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂時(shí)，稱此方陣級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂。n nC012,mA A AA012mAAAA0mmA。NSS0mmSA。2n0, ,1,2,mijmAi jn2nS0NNmmSA。2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系42矩陣冪級(jí)數(shù)u方陣級(jí)數(shù)收斂的基本性質(zhì)：方陣級(jí)數(shù)收

35、斂的基本性質(zhì)：(1) 若方陣級(jí)數(shù)若方陣級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂，則它一定收斂，且任意交換，則它一定收斂，且任意交換 各項(xiàng)的次序所得的新級(jí)數(shù)仍收斂，和也不改變。各項(xiàng)的次序所得的新級(jí)數(shù)仍收斂，和也不改變。(2) 方陣級(jí)數(shù)方陣級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂的絕對(duì)收斂的充要條件充要條件，是對(duì)任意一種方陣，是對(duì)任意一種方陣 范數(shù)范數(shù) ，正項(xiàng)級(jí)數(shù)，正項(xiàng)級(jí)數(shù) 收斂。收斂。(3) 若若 為給定矩陣，如果方陣級(jí)數(shù)為給定矩陣，如果方陣級(jí)數(shù) 收斂收斂(或絕或絕 對(duì)收斂對(duì)收斂)，則級(jí)數(shù)，則級(jí)數(shù) 也收斂也收斂(或絕對(duì)收斂或絕對(duì)收斂)，且有等式，且有等式0mmA0mmA0mmA,n nP QC0mmA0mmPA Q00()mmmmPA Q

36、PA Q。2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系43矩陣冪級(jí)數(shù)u定義定義8. (冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)) 若已給若已給 階復(fù)數(shù)方陣序列階復(fù)數(shù)方陣序列 及復(fù)數(shù)序及復(fù)數(shù)序列列 ，則方陣級(jí)數(shù)，則方陣級(jí)數(shù) 稱為方陣稱為方陣 的冪級(jí)數(shù)。的冪級(jí)數(shù)。u定義定義9. (譜半徑譜半徑) 如果如果 為方陣為方陣 的全部特征的全部特征值，則值，則稱為稱為 的譜半徑。的譜半徑。nmAmC0mmmC AA12,n n nAC1( )maxii nA A2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系44矩陣冪級(jí)數(shù)u定理定理7. 若若

37、 ，則對(duì)于任給正數(shù)，則對(duì)于任給正數(shù) ，都有某一方陣范數(shù)，都有某一方陣范數(shù) ， 使得使得 。證明：對(duì)于證明：對(duì)于 ，必有可逆矩陣，必有可逆矩陣 ，使，使 與其約與其約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形 相似：相似：其中其中 是是 的特征值，的特征值， 而而 等于等于1或或0。n nAC( )AAn nACn nPCAJ1121221,1n nnntttJP APtt1122,nntttA21,1,n ntt2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系45矩陣冪級(jí)數(shù)對(duì)給定的對(duì)給定的 ，取對(duì)角形矩陣，取對(duì)角形矩陣顯然顯然 可逆，且由計(jì)算可得可逆，且由計(jì)算可得12(1)1

38、nD1121221,1n nnntttD JDttD2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系46矩陣冪級(jí)數(shù)對(duì)所給方陣對(duì)所給方陣 ，令，令可驗(yàn)證可驗(yàn)證 是方陣范數(shù)。是方陣范數(shù)?？傻茫嚎傻茫?注：注：1AD JDAA11,111maxmaxiiiii ni nAD JDtt ( )A11maxniji njBb 2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系47矩陣冪級(jí)數(shù)u定理定理8. 若復(fù)變數(shù)冪級(jí)數(shù)若復(fù)變數(shù)冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑為的收斂半徑為 ，而方陣，而方陣 的譜半徑為的譜半徑為 ，則：，則： (1)

39、 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，方陣冪級(jí)數(shù)時(shí)，方陣冪級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂；絕對(duì)收斂； (2) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，方陣冪級(jí)數(shù)時(shí)，方陣冪級(jí)數(shù) 發(fā)散。發(fā)散。證明證明: (1) 因因 ，故總可以找到正數(shù)，故總可以找到正數(shù) ，使得，使得 仍成立。又因?yàn)閮缂?jí)數(shù)仍成立。又因?yàn)閮缂?jí)數(shù) 在收斂圓內(nèi)在收斂圓內(nèi) 絕對(duì)收斂，所以正項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，所以正項(xiàng)級(jí)數(shù)n nACR( )AR0mmmC z( )AR0mmmC A0mmmC A( )A( )AR( )ARzR0mmmC z0( )mmmCA2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系48矩陣冪級(jí)數(shù)收斂，從而其部分和收斂，從而其部分和有上界：有上界：由

40、定理由定理7，存在某一方陣范數(shù)，存在某一方陣范數(shù) ，使得，使得 。因而，因而，故正項(xiàng)級(jí)數(shù)故正項(xiàng)級(jí)數(shù) 收斂。因而，收斂。因而， 絕對(duì)收斂。絕對(duì)收斂。0( )NmNmmSCANSM( )AA00NNmmmmmmC ACA0( )NmmmCANSM0mmmC A0mmmC A2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系49矩陣冪級(jí)數(shù)u推論推論1.若復(fù)數(shù)冪級(jí)數(shù)若復(fù)數(shù)冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑為的收斂半徑為 ，則對(duì)于方陣，則對(duì)于方陣 ，當(dāng)其特征值，當(dāng)其特征值 滿足滿足 時(shí)，方陣冪級(jí)數(shù)時(shí)，方陣冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；若有某一絕對(duì)收斂；若有某一 使得使得 ，則此方陣冪級(jí)數(shù)，則

41、此方陣冪級(jí)數(shù)發(fā)散。發(fā)散。00mmmCzR12,n n nAC0(1,2, )iR in00mmmCAEi0iR2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系50矩陣冪級(jí)數(shù)u推論推論2. 若復(fù)變數(shù)級(jí)數(shù)若復(fù)變數(shù)級(jí)數(shù) 在整個(gè)復(fù)平面上都收斂，則對(duì)任意的在整個(gè)復(fù)平面上都收斂，則對(duì)任意的方陣方陣 ，方陣冪級(jí)數(shù)，方陣冪級(jí)數(shù) 也收斂。也收斂。0mmmC zn nAC0mmmC A2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系515 矩陣函數(shù)u若復(fù)變數(shù)冪級(jí)數(shù)若復(fù)變數(shù)冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑為的收斂半徑為 ，其和為，其和為即即

42、，則可定義矩陣函數(shù)，則可定義矩陣函數(shù)u如何求矩陣函數(shù)？如何求矩陣函數(shù)？0!mzmzem2111sin( 1)(21)!mmmzzm21cos1( 1)(2 )!mmmzzm 0!mAmAem2111sin( 1)(21)!mmmAAm21cos1( 1)(2 )!mmmAAm 0mmmC zR( )f z0( )()mmmf zC zzR0( )( ( );)mn nmmf AC AAR AC。2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系52 矩陣函數(shù)u定理定理9. 若對(duì)任一方陣若對(duì)任一方陣 ，冪級(jí)數(shù)，冪級(jí)數(shù) 都收斂，其和為都收斂，其和為 則當(dāng)則

43、當(dāng) 為分塊對(duì)角形矩陣為分塊對(duì)角形矩陣 時(shí)，即有時(shí)，即有X0mmmC X0()mmmf XC X12kXXXXX12()()()()kf Xf Xf Xf X2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系53矩陣函數(shù)u定理定理10. 若若 是收斂半徑為是收斂半徑為 的復(fù)變數(shù)的復(fù)變數(shù)冪級(jí)數(shù)，又冪級(jí)數(shù)，又是是n階約當(dāng)塊，則當(dāng)階約當(dāng)塊，則當(dāng) 時(shí)，方陣冪級(jí)數(shù)時(shí)，方陣冪級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂其和為其和為0( )()mmmf zC zzRR000011J0R00mmmC J0000(1)0000()()1()()2!11()()()()(1)!2!nffff J

44、ffffn2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系54矩陣函數(shù)矩陣函數(shù)的求法矩陣函數(shù)的求法u方法一：利用矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形求方法一：利用矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形求(1) 若若 相似于對(duì)角形矩陣：相似于對(duì)角形矩陣： 則則A121nAPP121()()( )()nfff APPf2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系55矩陣函數(shù)(2)若若 不能與對(duì)角形矩陣相似，則不能與對(duì)角形矩陣相似，則 必可與其約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形相似必可與其約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形相似: ，其中，其中，則則AA11221()()()kkJJAPPJ121()()(

45、 )()kf Jf Jf APPf J1( )1iiiiiJ 2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系56矩陣函數(shù)u例例2. 設(shè)設(shè) ，求，求解：特征值解：特征值特征向量特征向量則則 0102A,sin,cosAeAA。120,21211,02 111211,02012PP2012211102200AeeePPee1110sin20cos2sin,cos2220sin20cos2AA2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系57矩陣函數(shù)u例例3. 設(shè)設(shè) ，求，求解：特征值解：特征值特征向量特征向

46、量-110-430102AAte 。1232,11230010 ,1,2111 1001111012 ,210111100PP 2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系58矩陣函數(shù)211100100111012002101110100Aeeeee 222043032eeeeeeeee2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系59矩陣函數(shù)u方法二：多項(xiàng)式法方法二：多項(xiàng)式法定理定理11. 設(shè)設(shè)n階方陣階方陣A的最小多項(xiàng)式為的最小多項(xiàng)式為m次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式其中，其中， 是是A的所有互不相同的特征值。

47、又與收斂的的所有互不相同的特征值。又與收斂的復(fù)變數(shù)冪級(jí)數(shù)復(fù)變數(shù)冪級(jí)數(shù) 相應(yīng)的相應(yīng)的 是是A的收斂的收斂冪級(jí)數(shù)，則矩陣函數(shù)冪級(jí)數(shù)，則矩陣函數(shù) 可以表示成可以表示成A的的m-1次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式系數(shù)系數(shù) 有下列的方程組的解給出：有下列的方程組的解給出：1212( )() ()() ,snnns 12,s 0( )kkkf zC z0( )kkkf AC A( )f A210121( )mmf Aa Ea Aa AaA0121,ma a aa2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系60矩陣函數(shù)2101212121(1)1()2(1)()(1)!(1)

48、(1)()iiimiimiimimiim nniniiiaaaafaamafnammnf2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系61矩陣函數(shù)u例例4. 設(shè)設(shè) ，用多項(xiàng)式法求，用多項(xiàng)式法求解：特征多項(xiàng)式解：特征多項(xiàng)式特征值特征值最小多項(xiàng)式最小多項(xiàng)式記記因因 為為3次多項(xiàng)式，故設(shè)次多項(xiàng)式，故設(shè)214020031Asin At。2(1)(2)EA2( )(1)(2) ()sin,()sinf AtAtftt122(),1重根( ) 2012sin( )( )( )Att Et At A2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北

49、京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系62矩陣函數(shù)由此得方程組由此得方程組解得解得可得：可得：120112111212012222( )( )( )()d( )2( )()|d( )( )( )()tttfttfttttf 01212012( )2( )4( )sin2( )4( )cos2( )( )( )sintttttttttttt012( )4sin3sin22 cos2( )4sin4sin23 cos2( )sinsin2cos2ttttttttttttttt sin212sin12sin213 cos24sin4sin2sin0sin2003sin3sin2sintttttttAttttt

50、2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系636 矩陣的微分與積分u定義定義10. (函數(shù)矩陣的微分函數(shù)矩陣的微分)u定義定義11. (函數(shù)矩陣的積分函數(shù)矩陣的積分)dd( )( ),( )( )ddijijm nm nA zazA zazzz或 ( )d( )d,( )d( )dbbijijaam nm nA xxax xA xxax x2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系64矩陣的微分與積分u函數(shù)矩陣的積分性質(zhì)函數(shù)矩陣的積分性質(zhì)(1)(2)(3)(4) ( )d( )dTTAxxA x

51、x( )( ) d( )d( )daA xbB xxa A xxb B x x, a b（為非零實(shí)數(shù)）( )d( )d()C A x xC A xxC為非零常數(shù)矩陣( )( )d( ) ( )( )( )dA xB x xA x B xA xB xx2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系65矩陣的微分與積分u函數(shù)矩陣的微分性質(zhì)函數(shù)矩陣的微分性質(zhì)(1)(2) 為常數(shù)：為常數(shù)：(3) 若若 及變量及變量 的函數(shù)的函數(shù) 都可導(dǎo)，則都可導(dǎo)，則(4) 若若 階函數(shù)矩陣階函數(shù)矩陣 可逆，且可逆，且 及其逆矩陣及其逆矩陣 都可都可 導(dǎo)，導(dǎo)， 則則( )(

52、 )ijm nA ua u( )( )( )( )A zB zA zB zz( )( )( ) ( )( )( )A zB zA z B zA z B z( )( )C A zC A zC( )uf zdd ( ) d( )dddA uuA uzuzn( )A z( )A z1( )Az111dd( )( )( )( )ddAzAzA zAzzu 2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系668 常用矩陣函數(shù)的性質(zhì)u矩陣函數(shù)的性質(zhì)矩陣函數(shù)的性質(zhì)(1)(2) 若若 ，則，則(3) 若若 ，則，則(4)ABBAddAtAtAteAee AtAtAt

53、e BBeABBAABBAA Beeeeecossin11cos(),sin()22cos()cos ,sin()siniAiAiAiAiAeAiAAeeAeeiAAAA ABBA2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系67常用矩陣函數(shù)的性質(zhì)u矩陣函數(shù)的性質(zhì)矩陣函數(shù)的性質(zhì)(5) 若若 ，則，則(6)222sincossin(2)sincos(2)cosA iEAAAEAEAAEAeecos()coscossinsinsin()sincoscossinABABABABABABABBA2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系

54、北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系68常用矩陣函數(shù)的性質(zhì)u證明：證明：(1) 0011()!AtmmmmmeAtt Amm01!Atmmijijmet Am10d1d(1)!AtmmijijmetAtm11000d111()() )d(1)!(1)!AtmmmkAtmmketAAAtAAtAetmmk10011()() )(1)!mkAtmkAtAAtAe Amk2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系699 矩陣函數(shù)在微分方程中的應(yīng)用u定理定理12. 一階線性常系數(shù)齊次微分方程組一階線性常系數(shù)齊次微分方程組的唯一解是的唯一解是00dd|( )t

55、 tAttxxxx0()0( )( )A t ttetxx。2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系70矩陣函數(shù)在微分方程中的應(yīng)用u定理定理13. 一階線性常系數(shù)非齊次微分方程組一階線性常系數(shù)非齊次微分方程組的解的解證明：證明：00d( )d|( )t tAF tttxxxx00()()0( )( )( )dtA t tA ttteteFxx。d( )dAF ttxxd()( )dAtAteAeF ttxxd()( )dAtAteeF ttx000( )( )dtAtAtAteeteFxx2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院

56、自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系71矩陣函數(shù)在微分方程中的應(yīng)用u例例5：求線性系統(tǒng)的解：求線性系統(tǒng)的解解：解：2311d( ),201 ,( )(0,0,)d(0)(1,1,1)112tTTAF tAF tetxxx()0( )(0)( )dtAtA tteeFxx1230,2,3123(1,5,2) ,(1,1,0) ,(2,1,0)TTTPPP11121111511 ,3396201224PP 2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系72矩陣函數(shù)在微分方程中的應(yīng)用232123331 38111(0)15346124ttAtttttt

57、eeePePeeee x233()2()12233()22398101( )059464ttA tttttteeeeFPePeeeeeee 23()23023115(9)8221 53( )d(9)46 221 34tttA tttttteeeFteeee 2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系73矩陣函數(shù)在微分方程中的應(yīng)用23()23023121(9)1622159( )(0)( )d(9)86221 38tttAtA tttttteeteeFteeee xx2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化

58、學(xué)院自動(dòng)化系7410 線性系統(tǒng)的能控性和能觀性u(píng)連續(xù)線性定常系統(tǒng)連續(xù)線性定常系統(tǒng)u定義定義12. (能控性能控性) 對(duì)于一個(gè)線性定常系統(tǒng)，若在某個(gè)有限時(shí)間對(duì)于一個(gè)線性定常系統(tǒng)，若在某個(gè)有限時(shí)間區(qū)區(qū) 內(nèi)存在著輸入內(nèi)存在著輸入 ，能使系統(tǒng)從任意初始狀，能使系統(tǒng)從任意初始狀 態(tài)轉(zhuǎn)移到態(tài)轉(zhuǎn)移到 ，則稱此狀態(tài)，則稱此狀態(tài) 是能控的；若系統(tǒng)是能控的；若系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，則成系統(tǒng)是完全能控的。的所有狀態(tài)都是能控的，則成系統(tǒng)是完全能控的。d ( )( )( )d( )( )( )tAtBtttCtDtxxuyxu10,t1( ) (0)ttt u0(0) xx1( )tx0 x2022年5月23日15

59、時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系75線性系統(tǒng)的能控性和能觀性u(píng)定理定理14. 系統(tǒng)系統(tǒng) 完全能控的充要條件，是完全能控的充要條件，是 階對(duì)稱矩陣階對(duì)稱矩陣為非奇異矩陣。為非奇異矩陣。證明：證明：(充分性充分性) 設(shè)設(shè) 非奇異。非奇異。可得可得令令代入上式代入上式( , ,)A B Cn110(0, )dTtATAcWteBB e1(0, )cWt1110()1( )(0)( )d ,(*)tAtA ttteeBxxu11( )(0, )(0)TTA tctB eWt X u1110111( )(0)(d )(0, )(0)TtAtAtATActteeeBB

60、eWt Xxx11111(0)(0, )(0, )(0)AtAtccee Wt Wt Xx2022年5月23日15時(shí)03分北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系76線性系統(tǒng)的能控性和能觀性(必要性必要性) 反證法。若系統(tǒng)完全能控，但反證法。若系統(tǒng)完全能控，但 是奇異的，是奇異的，則必有非零向量則必有非零向量 使對(duì)任意時(shí)刻使對(duì)任意時(shí)刻使得使得即即故對(duì)任意時(shí)刻故對(duì)任意時(shí)刻 ，有，有由于系統(tǒng)完全能控，故必存在某個(gè)由于系統(tǒng)完全能控，故必存在某個(gè) 作用于系統(tǒng)上，使得作用于系統(tǒng)上，使得 由式由式(*)得得由于由于 為任意的，取為任意的，取 ，則由上式得，則由上式得 得得1(0, )c