概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第五章5.6極限定理簡(jiǎn)介

1、廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué) 本章要解決的問(wèn)題 為何正態(tài)分布在概率論中占 有極其重要的地位？中心極限定理中心極限定理廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)一、問(wèn)題的引入一、問(wèn)題的引入實(shí)例實(shí)例:考察射擊命中點(diǎn)與靶心距離的偏差考察射擊命中點(diǎn)與靶心距離的偏差. 這種偏差是大量微小的偶然因素造成的微這種偏差是大量微小的偶然因素造成的微小誤差的總和小誤差的總和, 這些因素包括這些因素包括: 瞄準(zhǔn)誤差、測(cè)量瞄準(zhǔn)誤差、測(cè)量誤差、子彈制造過(guò)程方面誤差、子彈制造過(guò)程方面 (如外形、重量等如外形、重量等) 的的誤差以及射擊時(shí)武器的振動(dòng)、氣象因素誤差以及射擊時(shí)武器的振動(dòng)、氣象因素(如風(fēng)速、如風(fēng)速、風(fēng)向、能見(jiàn)度、溫度等風(fēng)向、能見(jiàn)度、溫

2、度等) 的作用的作用, 所有這些不同所有這些不同因素所引起的微小誤差是相互獨(dú)立的因素所引起的微小誤差是相互獨(dú)立的, 并且它們并且它們中每一個(gè)對(duì)總和產(chǎn)生的影響不大中每一個(gè)對(duì)總和產(chǎn)生的影響不大.問(wèn)題問(wèn)題: 某個(gè)隨機(jī)變量是由大量相互獨(dú)立且均勻某個(gè)隨機(jī)變量是由大量相互獨(dú)立且均勻小的隨機(jī)變量相加而成的小的隨機(jī)變量相加而成的, 研究其概率分布情況研究其概率分布情況. 在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類(lèi)定理都叫做中心極限定理正態(tài)分布這一類(lèi)定理都叫做中心極限定理.廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)定定理理一一棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理(De Moivre-Laplace

3、) 二項(xiàng)分布以正態(tài)分布為極限分布二項(xiàng)分布以正態(tài)分布為極限分布 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)定定理理二二林德伯格-列維中心極限定理 獨(dú)立同分布的中心極限定理獨(dú)立同分布的中心極限定理 (Lindberg-levi)廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)22(1,2,),(01),1limed( ).(1)2ntxnnnn ppxnpPxtxnpp 設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布 則對(duì)于任意恒有德莫佛德莫佛拉普拉斯拉普拉斯定理六定理六( (德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理) ) 正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的極限分布正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的極限分布, 當(dāng)當(dāng)n充分大充分大時(shí)時(shí), 可以利用該定理來(lái)計(jì)算二項(xiàng)分布的概率可以利用該定理來(lái)

4、計(jì)算二項(xiàng)分布的概率.廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)書(shū)例書(shū)例26:假設(shè)一批種子的良種率為假設(shè)一批種子的良種率為1/61/6，從中任意選出，從中任意選出600600粒，試粒，試計(jì)算這計(jì)算這600600粒種子中良種所占比例與粒種子中良種所占比例與 1/61/6之差的絕對(duì)值不超過(guò)之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.020.02的概率。的概率。由德莫佛由德莫佛-拉普拉斯定理拉普拉斯定理10 0226 P. P| -100|1 600 1 00 ,250/3npnpq2250 3250 3| -100|1 P/ 21 314510 8114 ( .). 16006006,(, ).B設(shè)表示粒種子中的良種數(shù) 則設(shè)表示粒種子中的

5、良種數(shù) 則解：解：近似近似N(0,1)廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué))(lim1xnnPniin 定理定理7（獨(dú)立同分布的中心極限定理獨(dú)立同分布的中心極限定理）)(dte21-2t -2xx 它表明，當(dāng)它表明，當(dāng)n充分大時(shí)，充分大時(shí)，n個(gè)具有期望和方差個(gè)具有期望和方差的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和近似服從正態(tài)分布的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和近似服從正態(tài)分布.有則對(duì)于任意實(shí)數(shù)分布的隨機(jī)變量，概率為相互獨(dú)立且具有相同設(shè), 2 , 1,)(,)(,221xiDEiin廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)定理定理7 7表明表明:121,.nnkkn 無(wú)論各個(gè)隨機(jī)變量服從什么分布 只要滿足定理的條件 那么它們的和當(dāng)很大時(shí) 近似

6、地服從正態(tài)分布分分布布。很很大大時(shí)時(shí)，可可以以求求出出近近似似當(dāng)當(dāng)?shù)牡姆址植疾嫉牡拇_確切切形形式式，但但們們很很難難求求出出雖雖然然在在一一般般情情況況下下，我我nn 21nnniin 1記記隨機(jī)變量隨機(jī)變量近似地服從于正態(tài)分布近似地服從于正態(tài)分布 nnnnii 1),(2 nnN 特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)i 為為(0,1)(0,1)分布時(shí)，即為棣莫佛拉普拉斯分布時(shí)，即為棣莫佛拉普拉斯定理（二項(xiàng)分布的正態(tài)近似）。定理（二項(xiàng)分布的正態(tài)近似）。廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)三、典型例題三、典型例題20120(1,2,20),(0,10),105.kkkVkVVP V一加法器同時(shí)收到個(gè)噪聲電壓設(shè)它們是相互獨(dú)立

7、的隨機(jī)變量且都在區(qū)間上服從均勻分布 記求的近似值解解, 5)( kVE).20, 2 , 1(12100)( kVDk由定理四由定理四, 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 Z 近似服從正態(tài)分布近似服從正態(tài)分布 N (0,1) ,例例1廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)2012100520201 kkVZ2012100520 V其中其中 105VP20121005201052012100520 VP387. 02012100520 VP387. 020121001001 VP 387. 02de2112tt)387. 0(1 .348. 0 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué) 5.6.2 大數(shù)定律大數(shù)定律1. 為何能以某事件發(fā)生的

8、頻率 作為該事件的 概率的估計(jì)？2. 為何能以樣本均值作為總體 期望的估計(jì)？大數(shù)大數(shù)定律定律廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)2 . 切比雪夫不等式切比雪夫不等式2( ) ( ).DPE 定理1 (切比雪夫不等式) 對(duì)于任意具有限方差的隨機(jī)變量，定理1 (切比雪夫不等式) 對(duì)于任意具有限方差的隨機(jī)變量，均有 不等式，其中 為任意正數(shù)均有 不等式，其中 為任意正數(shù) 切比雪夫不等式切比雪夫不等式2D( )P 21D( ).P ( )E =2=3=4DDD例如，取，時(shí)，分別有例如，取，時(shí)，分別有14( )|( )| 2( )DpEDD =0.75319( )|( )|( )DpEDD =0.8889廣東工業(yè)大

9、學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)1. 設(shè)隨機(jī)變量X的方差D(X)=0.0001,則由切比雪夫不等式可知 P|X-E(X)| 1, 相互獨(dú)立)且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差12,n 2(),(),1,2,kkEDk則0有11lim0nknkPn或11lim1nknkPn 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)定理的意義定理的意義當(dāng) n 足夠大時(shí), 算術(shù)平均值幾乎是一常數(shù).具有相同數(shù)學(xué)期望和方差的獨(dú)立 r.v.序列的算術(shù)平均值依概率收斂于數(shù)學(xué)期望.算術(shù)算術(shù)均值均值數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)期望期望近似代替可被廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)例例29(P158)座位為好？座位為好？影院設(shè)多少影院設(shè)多少，問(wèn)依目前情況，新電，問(wèn)依目前情況，新電概率要不超過(guò)概率要不

10、超過(guò)位或更多”的位或更多”的“空座達(dá)到“空座達(dá)到座位數(shù)要盡量地多，但座位數(shù)要盡量地多，但希望希望模時(shí)，有這樣的考慮，模時(shí)，有這樣的考慮，設(shè)計(jì)新電影院的座位規(guī)設(shè)計(jì)新電影院的座位規(guī)看電影。在看電影。在的觀眾會(huì)去這座電影院的觀眾會(huì)去這座電影院成后，平均有成后，平均有院落院落新電影院。預(yù)計(jì)新電影新電影院。預(yù)計(jì)新電影規(guī)劃部門(mén)打算再建一座規(guī)劃部門(mén)打算再建一座需求，故需求，故人，小電影院不能滿足人，小電影院不能滿足看電影者約達(dá)看電影者約達(dá)院，因該地區(qū)每日平均院，因該地區(qū)每日平均設(shè)某地區(qū)內(nèi)有家小電影設(shè)某地區(qū)內(nèi)有家小電影0.1200431600廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)解解: 設(shè)每日看電影的人數(shù)依次排號(hào)為設(shè)每日看

11、電影的人數(shù)依次排號(hào)為 1,2, ,1600,且令且令1600, 2 , 10, 1 iiii電影電影號(hào)觀眾不去新電影院看號(hào)觀眾不去新電影院看，若第，若第影影號(hào)觀眾去新電影院看電號(hào)觀眾去新電影院看電若第若第 ,41)0(,43)1(qPpPii 按預(yù)計(jì)，應(yīng)有按預(yù)計(jì)，應(yīng)有。是是相相互互獨(dú)獨(dú)立立的的隨隨機(jī)機(jī)變變量量則則，院院看看電電影影是是獨(dú)獨(dú)立立的的選選擇擇假假定定各各人人是是否否去去新新電電影影160021, ,m數(shù)定為數(shù)定為假定設(shè)計(jì)新影院的座位假定設(shè)計(jì)新影院的座位mmPii的最大整數(shù)的最大整數(shù)求滿足求滿足現(xiàn)在的問(wèn)題是：現(xiàn)在的問(wèn)題是：1 . 020016001 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué),310,

12、1200431600 npqnp現(xiàn)有現(xiàn)有1 . 020016001 mPii 即即由棣莫弗拉普拉斯定理可得由棣莫弗拉普拉斯定理可得 310120020031012002001600116001mPmPiiii 3101200200m廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得1377 m取取1 . 03101400 m9 . 03101400 m即即28. 13101400 m座左右為宜。座左右為宜。設(shè)計(jì)在設(shè)計(jì)在故新電影院的座位規(guī)模故新電影院的座位規(guī)模137783.1377 m從從中中解解得得廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)例例2 設(shè)某保險(xiǎn)公司有設(shè)某保險(xiǎn)公司有10000人投保人投保,每

13、人每年交保費(fèi)每人每年交保費(fèi)12元元,投保人每投保人每年的死亡率為年的死亡率為0.006.若投保人死亡若投保人死亡,則公司付給死亡人家屬則公司付給死亡人家屬1000元元,求求(1)保險(xiǎn)公司沒(méi)有利潤(rùn)的概率保險(xiǎn)公司沒(méi)有利潤(rùn)的概率;(2)每年利潤(rùn)不少于每年利潤(rùn)不少于60000元的概率元的概率.廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)例例3 3 設(shè)設(shè) 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, ,設(shè)設(shè)nXXX,21,21nnXXXS 則根據(jù)列維則根據(jù)列維-林德伯格中心極限定理林德伯格中心極限定理,當(dāng)當(dāng)n充分大時(shí)充分大時(shí), nS近似服從正態(tài)分布近似服從正態(tài)分布,只要只要 nXXX,21(A) 有相同的數(shù)學(xué)期望有相同的數(shù)學(xué)期望 (B) 有相同的分布有相同的分