第五部分蒙特卡羅方法在計算機(jī)上的實現(xiàn)教學(xué)-ppt課件

1、l源分布抽樣過程源分布抽樣過程l空間、能量和運動方向的隨機(jī)游動過程空間、能量和運動方向的隨機(jī)游動過程l記錄奉獻(xiàn)和分析結(jié)果過程記錄奉獻(xiàn)和分析結(jié)果過程l核截面數(shù)據(jù)的援用核截面數(shù)據(jù)的援用l蒙特卡羅程序構(gòu)造蒙特卡羅程序構(gòu)造l作作 業(yè)業(yè) 蒙特卡羅方法是隨著計算機(jī)的出現(xiàn)和開展而逐漸開展起來的。在計算機(jī)上可以產(chǎn)生符合要求的隨機(jī)數(shù)，實現(xiàn)對知分布的抽樣，奠定了蒙特卡羅方法在計算機(jī)上得以實現(xiàn)的根底。在計算機(jī)上運用蒙特卡羅方法解粒子輸運問題大致包括三個過程：源分布抽樣過程，空間、能量和運動方向的隨機(jī)游動過程以及記錄、分析結(jié)果過程 。 源分布抽樣的目的是產(chǎn)生粒子的初始形狀 。下面我們引見一些常見的特定類型的源分布抽樣

2、方法。),(0000rSEl 圓內(nèi)均勻分布l設(shè)圓半徑為R0，粒子在圓內(nèi)均勻分布時，從發(fā)射點到中心的間隔 r 的分布密度函數(shù)為：l r 的抽樣方法為：其它當(dāng)002)(020RrRrrf),max(210 Rrl 圓環(huán)內(nèi)均勻分布l設(shè)圓環(huán)的內(nèi)半徑為R0，外半徑為R1，那么粒子在該圓環(huán)內(nèi)均勻分布時，從發(fā)射點到中心的間隔 r 的分布密度函數(shù)為：l r 的抽樣方法為：其它當(dāng)02)(102021RrRRRrrf02010320101011)(),max()(RRRrRRRrRRRRl 球內(nèi)均勻分布l設(shè)球的半徑為R，粒子在球內(nèi)均勻分布時，從發(fā)射點到中心的間隔 r 的分布密度函數(shù)為：l r 的抽樣方法為：l在直

3、角坐標(biāo)系下，抽樣方法為：其它當(dāng)003)(32RrRrrf),max(321 Rr302010232221,1RzRyRxl 球殼內(nèi)均勻分布l設(shè)球殼的內(nèi)半徑為R0，外半徑為R1，在均勻分布時，從發(fā)射點到中心的間隔 r 的分布密度函數(shù)為：l r 的抽樣方法為：其它當(dāng)03)(1030312RrRRRrrf001432322211020101211020201)(),max(),max(33RxRRrxxxRRRRRRRRRRR在直角坐標(biāo)系下，球殼內(nèi)點的坐標(biāo)為： 其中，r 由前面的抽樣方法確定，、服從各向同性分布，其抽樣方法為：cossinsincossin000rzryrx2322222123222

4、221023222221310232222212101223222221cos2sinsin2cossin)(AAAArrzAAArryAAArrxAAl 圓柱內(nèi)均勻分布l圓柱內(nèi)均勻分布是指粒子發(fā)射點均勻地分布在底半徑為 R，高為 2H 的圓柱內(nèi)。假設(shè)固定圓柱的中心為原點，圓柱的軸向為 z 軸，那么分布密度函數(shù)為：l 抽樣方法為：其它當(dāng)0| ,21),(2222HzRyxHRzyxf3020102221,1HzRyRxl 點源分布l 點源分布是指粒子由一固定點 發(fā)射，其分布密度函數(shù)為：l其中， 為狄拉克函數(shù)，源粒子的抽樣方法為：l在球坐標(biāo)系中，粒子發(fā)射點到球心的間隔 r 的分布密度函數(shù)為：l其

5、中， 為點源到球心的間隔。源粒子的位置抽樣為：)()()(),(*0*0*0zzyyxxzyxf),(*0*0*0zyx*0*0*0,zzyyxx*0rr *0r)()(*0rrrf)(l 球外平行束源分布l球外平行束源分布是指粒子平行入射到半徑為 R 的球面上，或球外點源間隔球很遠(yuǎn)，可以近似地看作平行束源。設(shè) r 為粒子發(fā)射點到球心的間隔 , 其分布密度函數(shù)為：l r 的抽樣方法為：l在直角坐標(biāo)系中，抽樣方法為：)()(RrrfRr 20202020102221,1zyRxRzRyl 單能源分布l單能源分布是指粒子的發(fā)射能量為一固定值 E0 ，其分布密度函數(shù)為 ：l源粒子的能量為：)()(0

6、EEEf0EE l 裂變中子譜分布l裂變中子譜分布的普通方式為：l 其中A，B，C，Emin，Emax 均為與元素有關(guān)的量。l對于鈾-235，lA=0.965，B=2.29，C=0.453，Emin=0，Emax=。maxmin,sh)(EEEBEeCEfAE采用近似修正抽樣，抽樣方法為：其中，m0.8746，M10.2678，0.5543。此外，裂變譜分布也有以數(shù)值曲線方式給出的，此時，用數(shù)值曲線抽樣方法抽取 E 。3321121ln1)ln()(AAEEAEMEHmEAmEBECAAEHexpsh1)(21l 麥克斯韋(Maxwell) 譜分布l麥克斯韋譜分布的普通方式為：l該分布的抽樣方

7、法為0,2)(23EeEEfE22221ln23lnEel 各向同性分布l各向同性分布密度函數(shù)為：l 其中，cos，為運動方向與 z 軸的夾角，為方位角。21)(,21)(41)()()(2121fffff在直角坐標(biāo)系下，各方向余弦 u，v，w 為：其抽樣方法為：cossinsincossinwvu2322222123222221232222213123222221211223222221cos2sinsin2cossin)(AAAAwAAAvAAAuAAl 半面各向同性分布l無妨設(shè)在 x0 的半面方向上各向同性發(fā)射粒子，那么在前述各向同性分布的抽樣方法中，用2替代2就能得到所需分布的抽樣。對

8、于其它方向的情況，可用類似的方法處置。l 球外平行束源分布l令cos，為粒子運動方向的徑向夾角，那么分布密度函數(shù)為：l的抽樣方法為：01,2)(f),max(21ul 球外各向同性點源分布l設(shè)球外點源 S 到球心的間隔為D0。點源 S 到球的最大張角為*，l那么球外各向同性點源分布的抽樣方法是：l先抽樣確定 ，再轉(zhuǎn)換成。0220*cosDRD RDR2202*sincos)cos1 (1cos在直角坐標(biāo)系下，取 OS 為 z 軸，抽樣方法為：cos0sinwvu 在有關(guān)次級粒子如裂變中子，中子生成光子，光子生成中子的輸運過程中，次級粒子源分布的抽樣方法，主要可分為以下兩種：直接生成法 可將生成

9、的次級粒子的位置、能量、方向、權(quán)重等參數(shù)直接作為源分布的抽樣結(jié)果。也就是直接對生成的次級粒子進(jìn)展跟蹤。這種方法比較簡單、直觀。l 離散分布法l 將生成的次級粒子的權(quán)重，按空間位置、能量、方向分別記錄，得到次級粒子的空間、能量、運動方向的離散的近似分布。再根據(jù)該分布，利用各種抽樣技巧，得到源分布的抽樣，對抽樣的源粒子進(jìn)展跟蹤、記錄。l 當(dāng)一個問題需求用兩個以上的蒙卡程序處置時，可采用這種方法。 粒子由形狀Sm到形狀Sm+1時，需求確定粒子的空間位置 rm+1，能量 Em+1和運動方向m+1。 設(shè) rm 為粒子第 m 次碰撞點的位置，m 為碰撞后的運動方向，那么粒子第 m+1 次碰撞點的位置 rm

10、+1 為：即其中 為 的方向余弦，L 為兩次碰撞點間的間隔。mmmmmmmmmwLzzvLyyuLxx111mmmL rr1mmmmwvu),(L 的分布密度函數(shù)為：由 f (L) 抽樣確定 L 的方法通常有三種：直接抽樣方法確定 L 的直接抽樣方法是：首先由自在程分布中抽取再由以下關(guān)系式解出 L 。0,),(exp),()(01LdlElELfLmmmtmmtrrLmmmtdlEl0),(r ef)(ln對于均勻介質(zhì)，有對于多層介質(zhì)，假設(shè)那么其中， 為粒子由 rm 出發(fā)，沿m 方向在順序經(jīng)過的第 i 個介質(zhì)區(qū)域內(nèi)走過的間隔， 為第 i 個介質(zhì)區(qū)域的宏觀總截面 ( i =1，2，Imax )。

11、 當(dāng)時，意味著粒子穿出系統(tǒng)。)(ln)(mtmtEEL)()()()(,10,100,10,mItIimitiIiiIimitiIimitiEELLLELELiL)(,mitEmax0,)(IimitiELl 最大截面法l對于多層介質(zhì)，或其他介質(zhì)密度與位置有關(guān)的問題，在求 ( i =1，2，Imax ) 時，假設(shè)系統(tǒng)外形復(fù)雜，計算是非常煩雜的。在這種情況下，運用最大截面法更方便。最大截面抽樣方法為：l其中iL),(max)(max,EEttrr1max,12max,1111)(),()(ln0LLEELELLLmtmmmtmtrl 限制抽樣法l 當(dāng)介質(zhì)區(qū)域很小時，如運用直接抽樣法抽取輸運長度，

12、粒子很容易穿出介質(zhì)，此時運用限制抽樣法確定自在程個數(shù)較好，的分布密度函數(shù)為：l其中 Dm 為粒子由rm 出發(fā)，沿m 方向到達(dá)區(qū)域邊境的自在程個數(shù)。的抽樣方法是：l然后用直接抽樣法中根據(jù)計算 L 的方法計算輸運長度 L 。此時，粒子的權(quán)重需乘以糾偏因子 。其它當(dāng)001)(mDDeefm)1 (1lnmDe)1 (mDe 粒子在介質(zhì)中發(fā)生碰撞后，首先要確定與哪種原子核發(fā)生何種反響。粒子發(fā)生碰撞后吸收除外的能量 Em+1 普通只與其碰撞前后運動方向的夾角散射角有關(guān)。 粒子碰撞后常見的能量分布有下面幾種情況。裂變中子譜 中子引起原子核裂變反響時，裂變中子的能量服從裂變譜分布。其抽樣方法可參考以前的引見

13、。l 中子彈性散射后能量確實定l 中子彈性散射后，能量與質(zhì)心系散射角C的關(guān)系是：l能量與實驗室系散射角L的關(guān)系是：l其中，A 為碰撞核的質(zhì)量， 。l或 確定后，即可求出 Em+1。222211) 1(LLmmAAEE12) 1(221CmmAAAEELLCCcos,cosLCl 中子非彈性散射后能量確實定l 中子非彈性散射后，能量與質(zhì)心系散射角C的關(guān)系是：l其中， 為第 K 個能級的閾能， 為第 K 個能級的激發(fā)態(tài)能量。l 假設(shè)確定了實驗室系散射角L，那么根據(jù)下式l確定 后，再計算出 Em+1。KKCmKmKmmAAEAEAAEE11121) 1(221KKC11111222LLmKLmKCE

14、AEAl 光子康普頓Compton散射后能量確實定l光子發(fā)生康普頓散射后，其能量分布密度函數(shù)為：l其中， K() 為歸一因子。l ， 和 分別為光子散射前后的能量，以 m0c2 為單位，m0為電子靜止質(zhì)量，c 為光速。211,1111)(1)(322xxxxxxKxf22)21 (21421)21ln() 1(21)(Kx光子康普頓散射能量分布的抽樣方法為：x 的抽樣確定后，散射后的能量為：232223221121321) 1(427212942711212121xxxxxxxxxxEcmxcmEmm 20201粒子碰撞后運動方向m+1確實定，普通與散射角有關(guān)。由知分布抽樣確定散射角后，再確定

15、m+1。常見的散射角分布有如下幾種：質(zhì)心系各向同性分布散射角在質(zhì)心系服從各向同性分布時，其抽樣方法為 。質(zhì)心系散射角C抽樣確定后，需轉(zhuǎn)換成實驗室系散射角L。12 C在中子彈性散射情況下，轉(zhuǎn)換公式為：其中 A 為碰撞核質(zhì)量， 。在中子非彈性散射情況下，轉(zhuǎn)換公式為：其中， 為第 K 個能級的閾能。CCLAAA2112CmKmKCmKLEAEAEA1211112LLCCcos,cosKl 中子彈性散射勒讓德 (Legendre) 多項式分布l 中子彈性散射角分布常以勒讓德多項式的展開方式給定。散射角余弦 xcos的分布密 度函數(shù)為：l其中 Pl(x) 為 l 階勒讓德多項式。l該分布即為 n 階勒讓

16、德近似展開。l勒讓德多項式由以下遞推公式確定：其它當(dāng)01|)(212)(0 xxPflxfnlllxxPxPxnPxxPnxPnnnn)(1)(0)()() 12()() 1(1011思索新的分布：中選取 x0，x1， xn 為 Pn+1(x)0 的根，且時，fa(x) 按照勒讓德多項式展開的前 n 項與 f (x) 的展開方式一樣。因此，可以用 fa(x) 作為 f (x) 的近似分布。nlklnlkllkxPlxPfl020)(212)(212nkkkaxxxf0)()(在實踐問題中，由于勒讓德多項式展開項數(shù)不夠，能夠出現(xiàn)某個 為負(fù)值的景象。此時可以采用如下近似分布：其中：對于該近似分布，

17、可用加抽樣方法進(jìn)展抽樣：此時，由于偏倚抽樣而引起的糾偏因子為 wK ，也就是說，粒子的權(quán)重要乘上wK。nkkkkknkkkknkkka|w|xxxf000*|,|)()(kKkkKkkKxx010,當(dāng)l 光子康普頓散射角分布l光子的康普頓散射角與其散射前后的能量有關(guān) , 它的分布密度函數(shù)為：l抽樣方法為：)111 ()(LLf111L實驗室系散射角L確定后，根據(jù)不同的坐標(biāo)系的表現(xiàn)方式，有不同確實定方法。確定方向余弦 um+1，vm+1，wm+1mmmmmmmmmmmmmmmmmmawvubcwavvubduvbcwvauvubdvubcwu221221221其中，方位角 在 0, 2 上均勻分

18、布。 當(dāng) 時，不能運用上述公式，可用下面的簡單公式：sin,cos,1sin,cos2dcabaLL022mmvummmmawwbdvbcu111l 確定m+1的球坐標(biāo) (m+1，m+1)l設(shè)m的球坐標(biāo)分別為 (m,m)，其中，為粒子運動方向與 z 軸的夾角， 為粒子運動方向在 x y 平面上投影的方位角。那么m+1的球坐標(biāo) (m+1,m+1) 分別由下式確定：111111sinsincoscoscos)cos(sinsinsin)sin(cossinsincoscoscosmmmmLmmmLmmLmLmm 普通幾何的隨機(jī)游動公式可以運用到球形幾何，而對球?qū)ΨQ問題，運用特殊方式更為方便。下次碰

19、撞點的徑向位置 rm+1確實定 兩次碰撞點間的間隔 L 確定之后，下次碰撞點的徑向位置 rm+1的計算公式為：設(shè)系統(tǒng)的外半徑為R，如 rm+1R，那么粒子逃出系統(tǒng)。mmmmLLcos2221rrrl 粒子碰撞后瞬時運動方向確實定l 在球?qū)ΨQ系統(tǒng)中，粒子運動方向用其與徑向夾角余弦來描畫。運用球面三角公式，粒子碰撞后瞬時運動方向與徑向夾角余弦 cosm+1的計算公式為：l其中， 為在 0, 2 上均勻分布的方位角， 為在 rm+1 點進(jìn)入碰撞前瞬時運動方向與 rm+1 徑向之間的夾角。111coscossinsincossinsincoscoscosmmmmmmmmLmLmmLrrrrm在抽樣確定

20、輸運間隔、判別粒子能否穿透系統(tǒng)時， 常遇到求由 rm 出發(fā)，沿m 方向到達(dá)某個區(qū)域外表的間隔問題。在記錄對結(jié)果的奉獻(xiàn)時，也常運用類似的量。區(qū)域外表通常是平面或二次曲面。 求到達(dá)區(qū)域外表的間隔問題，實踐上是求直線或半射線與平面或二次曲面的交點問題。這是 蒙特卡羅方法解粒子輸運的各種實踐問題時 , 所遇到的根本幾何問題。l 點到平面的間隔l點 沿方向 的直線方程為：l該直線到達(dá)方程為l的平面的間隔為：l當(dāng) 與平面平行時，即l直線與平面無交點。l假設(shè) l 為負(fù)值，直線與平面也無交點。這時，粒子的運動方向是背叛平面的。),(0000wvu0000cwbvau000000)(cwbvauczbyaxdl

21、dczbyax00rrl),(0000zyxrl 點到球面的間隔l在三維直角坐標(biāo)系中，設(shè)球心為 rc(xc, yc, zc) ，球半徑為 R，那么球面方程為：l將直線方程代入該球面方程，得到點 r0沿0方向到達(dá)球面的間隔 l ：l其中2222)()()(Rzzyyxxcccl2020202020220200000000)()()(|)()()()(cccccccczzyyxxRRRwzzvyyuxxrrrr當(dāng) R0R 時，即 r0 點在球內(nèi) ，2，l 只需一個正根：當(dāng) R0R 時，即 r0 點在球外，分以下三種情況：假設(shè)0，l 無正實根，直線與球面無交點。假設(shè)0，0，l 無實根，直線與球面無交

22、點。假設(shè)0，0，l 有兩個正實根，直線與球面有兩個交點。ll在球坐標(biāo)系中，不失普通性，設(shè)球心為 rc0，那么球面方程為 rR。當(dāng) r0R 時，即 r0 點在球內(nèi) ，有一個交點：其中0為0與 r0 的徑向夾角。當(dāng) r0R 時，即 r0 點在球外 ，令當(dāng) cos00 時，直線與球面無交點。當(dāng) cos00 時，假設(shè) dR，那么直線與球面無交點。假設(shè) dR，那么有兩個交點：200200)sin(cosrRrl200200)sin(cosrRrl00sin rdl 點到圓柱面的間隔l設(shè)圓柱面的方程為：l其中 (xc, yc, 0) 為圓柱的中心，R 為圓柱底半徑。l點 r0沿0方向到達(dá)圓柱面的間隔 l

23、為：l其中222)()(Ryyxxcc201wl2020202022020000)()()1)()()(ccccyyxxRwRRvyyuxx 當(dāng) R0R 時，r0 點在圓柱內(nèi) ，假設(shè) ，那么 l 有一個正根： 假設(shè) ，即0平行于圓柱的對稱軸，直線與圓柱面無交點。 當(dāng) R0R 時，r0 點在圓柱外，分以下三種情況：假設(shè)0，l 無正實根，直線與圓柱面無交點。假設(shè)0，0，l 無實根，直線與圓柱面無交點。假設(shè)0，0 且 ，l 有兩個正實根，直線與圓柱面有兩個交點。在 的情況下，直線與圓柱面不相交。201wl201wl120w120w120w120wl 點到圓錐面的間隔l 設(shè)圓錐頂點在原點，以 z 軸為

24、對稱軸，那么圓錐面的方程為：l點 r0沿0方向到達(dá)圓錐面的間隔 l 為：l其中l(wèi)假設(shè)0與錐面某一母線平行，即 ，那么2222zcyx202)1 (1wcl)1 (1)(202202202020020000wczcyxwzcvyux22022020zcyxl1)1 (202wcl 空腔處置 l在粒子輸運問題中，所思索的系統(tǒng)常有空腔存在，如中空的球殼 , 平板間的空隙等。粒子輸運時，可有兩種處置空腔的方法：l 將空腔作為宏觀總截面t0 的區(qū)域 , 按通常的方法輸運。l 設(shè) 分別為由 rm 出發(fā)，沿m 方向到空腔區(qū)域的l近端和遠(yuǎn)端的交點，當(dāng)粒子超越 時，以 為新的起l點，重新開場輸運。 l顯然，這兩

25、種方法在統(tǒng)計上是等價的。mmrr 、mrmr l 全反射邊境l在反響堆活性區(qū)中，元件盒經(jīng)常按正方形或六角形陳列。假定元件盒足夠多，每個盒構(gòu)造一樣，那么活性區(qū)中每個盒所占的柵胞的物理情況，可以代表整個活性區(qū)中的情況。 進(jìn)一步假定，元件盒是圓對稱的，那么每個柵胞中情況，可以用更小的單位柵元來反映。比如對六角形柵胞可取其 1/12 的OAB 來做代表；正方形柵胞可用其 1/8 的OAB 來做代表。這樣一來問題就大大簡化了。 如今的問題是怎樣計算直角三角形柵元的物理量如通量。用蒙特卡羅方法如何模擬中子在柵元內(nèi)的運動，反映出整個活性區(qū)對它的影響。我們可把OA、OB、AB 作為全反射邊境來處置。所謂全反射

26、邊境，就是當(dāng)中子打到該邊境上時，按鏡面反射的方式，從邊境 上全部反射回來，中子的能量與權(quán)重均不改動。 在這種邊境上的反射條件，稱之為全反射條件，就是通常的鏡面反射條件。 在全反射邊境條件下，一條經(jīng)過活性區(qū)假設(shè)干個區(qū)域的中子徑跡，可以用柵元OAB 中的一條折線軌 道來反映出來。 反過來，在直角三角形柵元OAB 中任一條反射成的折線軌道，都代表了中子在活性區(qū)內(nèi)一條直線軌道的作用。由于系統(tǒng)的對稱性，在活性區(qū)內(nèi)，凡是與柵元內(nèi)位置相當(dāng)?shù)牡胤?，都有一樣的物理情況，因此柵元內(nèi)各處的情況，當(dāng)然代表了整個活性區(qū)的情況。l 普通曲面全反射條件 l 對于普通曲面的全反射，設(shè)入射方向為，入射點的內(nèi)法線方向為 n ，那

27、么反射方向 為：l其中l(wèi)設(shè)l那么nnncos22ncos),(zyxnnnn)(coscos2cos2cos2zyxzyxnwnvnunwwnvvnuul 平面全反射條件 l 設(shè)三角形柵元的橫截面OAB 在 X-Y 平面上，OAB。那么邊境 OA、OB、AB 上的反射都是平面全反射。在任一與 X-Y 平面垂直且與 X 軸成角的平面上，全反射條件為：l由此就可得到OA、OB 和 AB 邊上的全反射條件，對于 OB 邊，=；對于 OA 邊，= 0；對于 AB 邊，=/ 2。wwvuvvuu2cos2sin2sin2cosl 反射層邊境條件 l 對于具有大反射層的系統(tǒng)，如存放，運輸和消費裂變物質(zhì)的倉

28、 庫、車廂和車間等，當(dāng)中子從里面打到周圍墻上或反射層時，還要繼續(xù)對它進(jìn)展跟蹤。這種跟蹤經(jīng)常要破費很大的計算量，并且在結(jié)果中引起的方差也比較大。假設(shè)在計算這種系統(tǒng)的不同方案中，反 射層條件不變，那么這種大量反復(fù)的計算是很不經(jīng)濟(jì)的。 中子射入反射層后，一部分被介質(zhì)吸收，只需一部分前往，由于中子的散射慢化，損失一部分能量，因此反射回來的中子有一個能量方向分布。顯然，對這種反射層，不能運用全反射條件。不過，我們依然可以把它當(dāng)做邊境，在邊境上按反射層的物理作用來處置。 比如，假設(shè)反射層是一種平板幾何，我們可以用數(shù)值方法或蒙特卡羅方法，預(yù)先算好在各種不同入射能量 E 下的反照率(E)，反射中子的能量分布

29、RE(EE )。于是替代在反射層中眼蹤中子，我們可在反射層邊境上作如下處置：一旦中子打入反射 層，立刻前往，反射后權(quán)重為其中，E 為射入反射層中子的能量，W 為中子的權(quán)重。反射后的能量 E 由反射能譜 RE(EE) 中抽樣產(chǎn)生。反射后的方向 由半平面各向同性分布或余弦分布中抽樣。反射后的中子位置為入射時的位置。 計算闡明，對于大尺寸的反射層來說，這樣的近似，引 起的結(jié)果上的誤差是可以忽略的，卻能帶來計算量的大量節(jié)省。)(EWW 在粒子輸運問題中，除了得到某些量的積分結(jié)果外，還需求得到這些量的方差、協(xié)方差、以及這些量的空間、能量、方向和時間的分布。這些量可以利用分類記錄手續(xù)同時得到。 為了得到所

30、求量的估計值，在粒子輸運過程中需進(jìn)展記錄，即求每個粒子對所求量的貢 獻(xiàn)。 設(shè)模擬了 N 個粒子，所求量的估計值為：其中 gi 為第 i 個粒子的總奉獻(xiàn)。NiiNgNg11 記錄的奉獻(xiàn)由所求量決議。對于同一個所求量，又隨所用的蒙特卡羅技巧的不同而不同。 例如，所求量是粒子穿透屏蔽概率，運用直接模擬法時，如粒子穿透屏蔽，在疊加記錄單元加“1 ( 初始值為零 )，否那么沒有奉獻(xiàn)。運用加權(quán)法時，如粒子穿透屏蔽，在疊加記錄單元加粒子的權(quán)重，否那么沒有奉獻(xiàn)。運用統(tǒng)計估計法時，粒子每發(fā)生一次碰撞 (包括零次碰撞)，都要記錄奉獻(xiàn)，等等。估計量 g 和 g 的方差和協(xié)方差為：它們可以用下式估計：NiiNiiNi

31、iiggNiiNiiggNgNggNgNgN11122112211111 gEEgggEEggEggg2222因此，要得到 和 的估計，只需對每一個歷史記錄結(jié)果的 和 進(jìn)展記錄，并加以累加即可。方差估計值 確定后，可得到誤差其中 為置信限，它隨置信程度 而定。在通常情況下，取 。22gggiiiggg22gNg96. 1,95. 011 在前面曾經(jīng)提到，用蒙特卡羅方法求某種量的空間、能量、方向和時間分布，本質(zhì)上是得到這種分布的階梯函數(shù)近似的估計值。而求這種估計值是很方便的，只需將跟蹤過程中所得到的感興趣量，按其形狀的空間、能量、方向、時間特征，分別記錄其權(quán) 重，最后將這些記錄結(jié)果適當(dāng)處置即可。 事先，將問題