第四部分?jǐn)?shù)據(jù)分布特征的測度教學(xué)ppt課件

1、第四章第四章 數(shù)據(jù)分布特征的測度數(shù)據(jù)分布特征的測度學(xué)習(xí)目的學(xué)習(xí)目的w掌握眾數(shù)、中位數(shù)的概念、特點(diǎn)及其計(jì)算方法；w了解四分位數(shù)概念；w掌握算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)的概念、特點(diǎn)及計(jì)算方法；w了解異眾比率、四分位差、全距、方差及規(guī)范差的概念、及計(jì)算方法；w了解偏度和峰度的意義；w可以區(qū)分各種目的的運(yùn)用場所，根據(jù)不同數(shù)據(jù)類型運(yùn)用不同測度目的。主要內(nèi)容主要內(nèi)容:集中趨勢的測度集中趨勢的測度1離散程度的測度離散程度的測度 2 偏態(tài)與峰度的測度偏態(tài)與峰度的測度 3眾數(shù)四分位數(shù)中位數(shù)平均數(shù)偏度峰度方差和規(guī)范差全距異眾比率四分位差離散系數(shù)數(shù)據(jù)的特征和測度集中趨勢離散程度分布的外形 眾數(shù)中位數(shù)四分位數(shù)平

2、均數(shù) 概念概念 在次數(shù)分布數(shù)列中，就是出現(xiàn)次數(shù)最在次數(shù)分布數(shù)列中，就是出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值，多的變量值， 用用 表示。表示。 主要用于測度定類數(shù)據(jù)的集中趨勢，主要用于測度定類數(shù)據(jù)的集中趨勢，當(dāng)然也適用于作為定序數(shù)據(jù)以及定距和當(dāng)然也適用于作為定序數(shù)據(jù)以及定距和定比數(shù)據(jù)集中趨勢的測度值。定比數(shù)據(jù)集中趨勢的測度值。 0M0M0M0M一、眾數(shù)一、眾數(shù) 計(jì)算眾數(shù)的方法計(jì)算眾數(shù)的方法1單項(xiàng)分配數(shù)列的眾數(shù)計(jì)算方法單項(xiàng)分配數(shù)列的眾數(shù)計(jì)算方法 出現(xiàn)次數(shù)最多的那一組變量值就是眾數(shù)出現(xiàn)次數(shù)最多的那一組變量值就是眾數(shù) 某商場某日延續(xù)銷售某商場某日延續(xù)銷售15雙皮鞋的尺碼組成情況如下：雙皮鞋的尺碼組成情況如下： 38，

3、37，38，40，40，41，40，42，44，40，41，39，40，40，43出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是40，40就是某商場某日銷售皮鞋尺碼就是某商場某日銷售皮鞋尺碼的眾數(shù)。的眾數(shù)。2組距分配數(shù)列的眾數(shù)計(jì)算方法 第一步：根據(jù)分配數(shù)列次數(shù)最多的組 確定為眾數(shù)所在組。 第二步：根據(jù)該組與前后相鄰兩組 分配次數(shù)的關(guān)系推算眾數(shù)。 眾數(shù)與相鄰兩組的關(guān)系表示圖眾數(shù)與相鄰兩組的關(guān)系表示圖 ，眾數(shù)組的組中值即為眾數(shù)的值。 ，眾數(shù)會向其前一組靠，眾數(shù)小于其組中值 ，眾數(shù)會向其后一組靠，眾數(shù)大于其組中值 11 ff11 ff11 ff其中，L，U分別表示眾數(shù)所在組的下限值和上限值，i表示眾數(shù)組的組距

4、。 w根據(jù)上述關(guān)系，可以利用類似三角形推導(dǎo)出組距分配數(shù)列的眾數(shù)的計(jì)算公式如下：下限公式：iffffffLM)()(1110 上限公式：iffffffUM)()(1110 w某鄉(xiāng)3000農(nóng)戶按人均年純收入分組的資料如下表，試計(jì)算其眾數(shù)。 人均年純收入（元）農(nóng)戶數(shù)2000-30003000-40004000-50005000-60006000-70007000-80008000-90009000-10000240480105060027021012030合計(jì)3000w從表中可以看出，眾數(shù)所在的組為4000-5000，出現(xiàn)的最多次數(shù)為1050。按下限公式計(jì)算眾數(shù)： )(45591000)600105

5、0()4801050(480105040000元M按上限公式計(jì)算眾數(shù)：)(45591000)6001050()4801050(600105050000元M 眾數(shù)的優(yōu)缺陷眾數(shù)的優(yōu)缺陷優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn) 容易了解，容易了解， 不受極值影響不受極值影響 缺陷缺陷 靈敏度和計(jì)算功能差靈敏度和計(jì)算功能差 穩(wěn)定性差穩(wěn)定性差 具有不獨(dú)一性具有不獨(dú)一性二、中位數(shù)和四分位數(shù)二、中位數(shù)和四分位數(shù)一中位數(shù)一中位數(shù) 概念概念 是指對樣本數(shù)據(jù)由小到大排序后，處是指對樣本數(shù)據(jù)由小到大排序后，處于中間位置上的變量值，用于中間位置上的變量值，用 表示。表示。 是一個位置代表值，它主要用于測度是一個位置代表值，它主要用于測度定序數(shù)據(jù)的集

6、中趨勢，當(dāng)然也適用于定定序數(shù)據(jù)的集中趨勢，當(dāng)然也適用于定距數(shù)據(jù)和定比數(shù)據(jù)的集中趨勢，但不適距數(shù)據(jù)和定比數(shù)據(jù)的集中趨勢，但不適用于定類數(shù)據(jù)。用于定類數(shù)據(jù)。 eM 計(jì)算中位數(shù)的方法 1變量值未分組情況下： 總體單位數(shù)n是奇數(shù)，中間位置的變 量值是中位數(shù)。 總體單位數(shù)n是偶數(shù)，中間位置的兩個變量值的算術(shù)平均數(shù)為中位數(shù)。 2變量值分組情況下： 下限公式：ifSfLMmme12 上限公式：ifSfUMmme12 w某鄉(xiāng)人均年純收入中位數(shù)計(jì)算表如下：某鄉(xiāng)人均年純收入中位數(shù)計(jì)算表如下：年人均純收入（元）農(nóng)戶數(shù)向上累計(jì)向下累計(jì)2000-30003000-40004000-50005000-60006000-7

7、0007000-80008000-90009000-10000240480105060027021012030240720177023702640285029703000300027602280123063036015030合計(jì)3000w按下限公式計(jì)算中位數(shù)：w按上限公式計(jì)算中位數(shù)：)(474310001050720230004000元eM)(4743100010501230230005000元eM 優(yōu)缺陷優(yōu)缺陷 優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn) 容易了解，容易了解， 不受極值影響不受極值影響 適宜于開口組資料和些不能用數(shù)適宜于開口組資料和些不能用數(shù)字測定的事物字測定的事物缺陷缺陷 靈敏度和計(jì)算功能差靈敏度和計(jì)算功能

8、差 延續(xù)數(shù)延續(xù)數(shù)Me二四分位數(shù)二四分位數(shù) 中位數(shù)是從中間點(diǎn)將全部數(shù)據(jù)分為兩部分。中位數(shù)是從中間點(diǎn)將全部數(shù)據(jù)分為兩部分。與中位數(shù)類似的還有四分位數(shù)、非常位數(shù)、與中位數(shù)類似的還有四分位數(shù)、非常位數(shù)、百分位數(shù)、四分位數(shù)就是對數(shù)據(jù)集合四等分百分位數(shù)、四分位數(shù)就是對數(shù)據(jù)集合四等分的三個數(shù)值，其中的第二個四分位數(shù)即為中的三個數(shù)值，其中的第二個四分位數(shù)即為中位數(shù)。例如某數(shù)據(jù)集合有位數(shù)。例如某數(shù)據(jù)集合有101項(xiàng)數(shù)據(jù)，那么項(xiàng)數(shù)據(jù)，那么第第26項(xiàng)、項(xiàng)、51項(xiàng)、項(xiàng)、76項(xiàng)三個數(shù)據(jù)可以把數(shù)據(jù)項(xiàng)三個數(shù)據(jù)可以把數(shù)據(jù)集合分為數(shù)目相等的四個等分，這三個數(shù)就集合分為數(shù)目相等的四個等分，這三個數(shù)就分別是第一、第二、第三四分位數(shù)，

9、其中第分別是第一、第二、第三四分位數(shù)，其中第一個四分位數(shù)稱為上四分位數(shù)，第三個四分一個四分位數(shù)稱為上四分位數(shù)，第三個四分位數(shù)稱為下四分位數(shù)，第二個四分位數(shù)就為位數(shù)稱為下四分位數(shù)，第二個四分位數(shù)就為中位數(shù)。中位數(shù)。三、數(shù)值平均數(shù)：算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平三、數(shù)值平均數(shù)：算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)均數(shù)、幾何平均數(shù) 算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)總體單位數(shù)量總體標(biāo)志數(shù)量算術(shù)平均數(shù) 主要適用于定居數(shù)據(jù)和定比數(shù)據(jù)，但不適用于定類數(shù)據(jù)和定序數(shù)據(jù) 1、簡單算術(shù)平均數(shù)2、加權(quán)算術(shù)平均數(shù)nXnXXXXniin121kiikiiikknffXffffXfXfXX11212211kXXX,21kfff,21原始數(shù)據(jù)被分為k

10、組，各組的組中值為各組變量值出現(xiàn)的頻數(shù)分別為 w某中學(xué)100名高中一年級男生身高單位：厘米的頻數(shù)分布如下表。求該校高一男生的平均身高。w 身高155160 160165 165170 170175 175180 180185人數(shù) 2 8 28 36 18 8)(7 .17181836288285 .18285 .16225 .15711厘米kiikiiiffXXkikiiiikiikiiiffXffXX1111當(dāng)我們掌握的不是各組變量值出現(xiàn)的頻數(shù)，而是當(dāng)我們掌握的不是各組變量值出現(xiàn)的頻數(shù)，而是頻率時，也可直接根據(jù)上式計(jì)算均值頻率時，也可直接根據(jù)上式計(jì)算均值 請留意！ 調(diào)和平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)iii

11、iiMXfXfXH該式與加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式的計(jì)算結(jié)果完全一致。實(shí)踐上，上式只是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的另一種表現(xiàn)方式。 由此可見，調(diào)和平均數(shù)實(shí)踐上是算術(shù)平均數(shù)的一種變由此可見，調(diào)和平均數(shù)實(shí)踐上是算術(shù)平均數(shù)的一種變形，二者在本質(zhì)上是一致的，獨(dú)一的區(qū)別就是計(jì)算時形，二者在本質(zhì)上是一致的，獨(dú)一的區(qū)別就是計(jì)算時運(yùn)用了不同的數(shù)據(jù)。運(yùn)用了不同的數(shù)據(jù)。 只適用于定比數(shù)據(jù)，不適用于定距數(shù)據(jù) 幾何平均數(shù)幾何平均數(shù) 是是n項(xiàng)變量值連乘積的項(xiàng)變量值連乘積的n次方根。次方根。 適宜于計(jì)算景象的平均比率或平均速度，適宜于計(jì)算景象的平均比率或平均速度，反響景象增長率的平均程度。反響景象增長率的平均程度。 因此，凡是景象的變量值的

12、連乘積等于因此，凡是景象的變量值的連乘積等于總比率或總速度，都可以運(yùn)用幾何平均總比率或總速度，都可以運(yùn)用幾何平均數(shù)來計(jì)算平均比率或平均速度。數(shù)來計(jì)算平均比率或平均速度。1、簡單幾何平均數(shù)、簡單幾何平均數(shù) 適用于計(jì)算未分組數(shù)列的平均比率或平均速度適用于計(jì)算未分組數(shù)列的平均比率或平均速度 。nnGXXXXX3211994-20191994-2019年我國工業(yè)品的產(chǎn)量分別是上年的年我國工業(yè)品的產(chǎn)量分別是上年的107.6%107.6%、102.5%102.5%、100.6%100.6%、102.7%102.7%、102.2%102.2%，計(jì)算這，計(jì)算這5 5年的平均開展速度。年的平均開展速度。 %1

13、.103031. 1022. 1027. 1006. 1025. 1076. 15321nnGXXXXX2、加權(quán)幾何平均數(shù)、加權(quán)幾何平均數(shù) 對于分組數(shù)列，應(yīng)該采用加權(quán)幾何平均數(shù)計(jì)算其平均對于分組數(shù)列，應(yīng)該采用加權(quán)幾何平均數(shù)計(jì)算其平均比率或平均速度比率或平均速度 。ffnffGnXXXX2121某投資銀行某投資銀行2525年的年利率分別是：年的年利率分別是：1 1年年3%3%，4 4年年5%5%，8 8年年8%8%，1010年年10%10%，2 2年年15%15%，求平均年利率。，求平均年利率。 %6 .108086. 115. 11 . 108. 105. 103. 125210842121f

14、fnffGnxxxX第二節(jié)第二節(jié) 離散程度的測度離散程度的測度離散系數(shù)離散系數(shù)異眾比率異眾比率四分位差四分位差全距全距方差和規(guī)范差方差和規(guī)范差一、異眾比率一、異眾比率 是非眾數(shù)的次數(shù)與全部個案數(shù)目的比率是非眾數(shù)的次數(shù)與全部個案數(shù)目的比率 ，用，用 表示。表示。rV異眾比率是對眾數(shù)的補(bǔ)充，異眾比率越小，闡明眾數(shù)的代表性越好；反之，異眾比率越大，那么闡明眾數(shù)的代表性越差。nfnVMr0為眾數(shù)的頻數(shù)，為變量值的總頻數(shù)。0Mfn二、四分位差二、四分位差 概念概念 也稱為內(nèi)距或四分間距，它是上四分位數(shù)與下四也稱為內(nèi)距或四分間距，它是上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差，是對定序及定序以上丈量尺度的變分位數(shù)之差，是

15、對定序及定序以上丈量尺度的變量離散程度的丈量目的。量離散程度的丈量目的。 計(jì)算方法計(jì)算方法 求出上四分位數(shù)和下四分位數(shù)的位置求出上四分位數(shù)和下四分位數(shù)的位置 計(jì)算這兩個四分位數(shù)之差計(jì)算這兩個四分位數(shù)之差 對原始資料對原始資料調(diào)查調(diào)查1111位同窗的年齡如下：位同窗的年齡如下：1717歲、歲、1818歲、歲、1818歲、歲、1919歲、歲、1919歲、歲、2020歲、歲、2020歲、歲、2121歲、歲、2121歲、歲、2222歲、歲、2222歲。歲。 首先，求出Q1和Q3的位置：Q1的位置= 3411141nQ3的位置= 94) 111(34) 1(3n其次，從數(shù)序中找出Q1=18，Q3=21那

16、么四分位差Q= Q3Q1=2118=3 對單值分組資料對單值分組資料 如下表所示的學(xué)生學(xué)業(yè)成果：如下表所示的學(xué)生學(xué)業(yè)成果： 等級 學(xué)生人數(shù) 向下累計(jì) 向上累計(jì)甲乙丙丁 5 5 80 20 25 75 30 55 55 25 80 25總數(shù) 80 - -Q1位置= 25.204180Q3位置= 75.604) 180(3從累積次數(shù)分布表中，很易看到在這兩個位置上的值分別是丁從累積次數(shù)分布表中，很易看到在這兩個位置上的值分別是丁級和乙級，所以：四分位差級和乙級，所以：四分位差Q=乙乙丁丁=兩個等級。兩個等級。 對組距分組資料對組距分組資料 Q1和和Q3的計(jì)算公式為：的計(jì)算公式為： w14L1Q11

17、1fcfnw3343L3Q33fcfn其中，其中，L1L1為為Q1Q1屬組之真實(shí)下限；屬組之真實(shí)下限；L3L3為為Q3Q3屬組之真實(shí)下限；屬組之真實(shí)下限；f1f1為為Q1Q1屬組之次數(shù)；屬組之次數(shù)；f3f3為為 Q3Q3屬組之次數(shù)；屬組之次數(shù)；cf1cf1為低于為低于Q1Q1屬組下限之累積次數(shù)；屬組下限之累積次數(shù)；cf3cf3為低于為低于Q3Q3屬組下限之累積次屬組下限之累積次數(shù)；數(shù)；w1w1為為Q1Q1屬組之組距；屬組之組距；w3w3為為Q3Q3屬組之組距；屬組之組距；n n為全部個案數(shù)。為全部個案數(shù)。某企業(yè)某企業(yè)100100名職工收入的分布如下：名職工收入的分布如下： 收入（元）收入（元）

18、 職工數(shù)（人）職工數(shù)（人） 累計(jì)頻數(shù)累計(jì)頻數(shù) 組中值組中值 XfXf X f X f 100199 10 10 150 1500100199 10 10 150 1500200299 10 20 250 2500200299 10 20 250 2500300399 40 60 35040 60 35020 80 450 9000400499 20 80 450 9000500599 20 100 550 11000500599 20 100 550 11000 合計(jì)合計(jì) 100 100 由上表知：Q1位置= 25.254110041n，所以

19、Q1在300399組內(nèi)； Q3位置= 75.754) 1100( 34) 1( 3n，所以Q3在400499組內(nèi)。 5 .31210040204100300Q1475100206041003400Q3所以四分位差所以四分位差Q=Q3-Q1=162.5三、全距三、全距全距又稱極差，它是一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值之差。 全距是對定序及以上尺度的變量離散程度的丈量。極差越小，闡明資料越集中，集中趨勢統(tǒng)計(jì)量的代表性越高。普通公式為：普通公式為： )min()max(iiXXR某校某校3 3個系各選個系各選5 5名同窗，參與智力競賽，他們的成果分別如下：名同窗，參與智力競賽，他們的成果分別如下：中文系：中

20、文系：7878、7979、8080、8181、8282數(shù)學(xué)系：數(shù)學(xué)系：6565、7272、8080、8888、9595 英語系：英語系：3535、7878、8989、9898、100100那么三個代表隊(duì)的全距分別為：中文系：那么三個代表隊(duì)的全距分別為：中文系：82-78=4分?jǐn)?shù)學(xué)系：分?jǐn)?shù)學(xué)系：95-65=30分英語系：分英語系：100-35=65分分 對于組距分組數(shù)據(jù)，全距也可以近似表示為：對于組距分組數(shù)據(jù)，全距也可以近似表示為：最低組下限值最高組上限值 R四、方差及規(guī)范差四、方差及規(guī)范差2方差和規(guī)范差是衡量變異程度最常用的目的，方差通常用方差和規(guī)范差是衡量變異程度最常用的目的，方差通常用表示

21、。表示。規(guī)范差又稱均方差，方差的平方根即為規(guī)范差，通常用規(guī)范差又稱均方差，方差的平方根即為規(guī)范差，通常用表示，分析定距變量的離散情況，最常用的方法是規(guī)范差。表示，分析定距變量的離散情況，最常用的方法是規(guī)范差。 對于未分組數(shù)據(jù)，公式為：對于未分組數(shù)據(jù)，公式為：對于組距分組數(shù)據(jù)，公式為：對于組距分組數(shù)據(jù)，公式為：nXXnii122)(nXXnii12)(kkiikkiiiffXX2)(kiiikiiffXX1122)(2019年度品牌飛利浦索尼東芝松下LG長虹創(chuàng)維海爾康佳TCL費(fèi)用24292054168416111607143014301355126911752019年度品牌飛利浦東芝索尼TCLL

22、G松下創(chuàng)維海爾康佳海信費(fèi)用3415192918181688144013631234108010751023根據(jù)下表中根據(jù)下表中20192019年度和年度和20192019年度電視機(jī)廣告前年度電視機(jī)廣告前1010名品牌廣告名品牌廣告費(fèi)用統(tǒng)計(jì)情況，計(jì)算兩個年度廣告費(fèi)用的規(guī)范差。費(fèi)用統(tǒng)計(jì)情況，計(jì)算兩個年度廣告費(fèi)用的規(guī)范差。根據(jù)上表可以計(jì)算出根據(jù)上表可以計(jì)算出2019年度和年度和2019年度的平均廣告費(fèi)用額分別為：年度的平均廣告費(fèi)用額分別為：1604.4萬元，萬元，1606.5萬元。萬元。 2019年度的規(guī)范差為：年度的規(guī)范差為：nXXnii1298)(10)4 .16041175()4 .16041

23、269()4 .16041355()4 .16041430()4 .16041430()4 .16041607()4 .16041611()4 .16041684()4 .16042054()4 .16042429(2222222222=361.7萬元 同理可以計(jì)算同理可以計(jì)算2019年度的規(guī)范差為年度的規(guī)范差為674.7萬元。萬元。五、離散系數(shù)五、離散系數(shù)離散系數(shù)是規(guī)范差與平均數(shù)的比值，用百分比表示。記離散系數(shù)離散系數(shù)是規(guī)范差與平均數(shù)的比值，用百分比表示。記離散系數(shù)為為V，那么公式為：，那么公式為：100%VX離散系數(shù)是一種相對的離散量數(shù)統(tǒng)計(jì)量，它使我們可以對同一總體中的兩種不同的離散量數(shù)統(tǒng)

24、計(jì)量進(jìn)展比較，或者對兩個不同總體中的同一離散量數(shù)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)展比較。一項(xiàng)調(diào)查的結(jié)果如下，某市人均月收入為一項(xiàng)調(diào)查的結(jié)果如下，某市人均月收入為9292元，規(guī)范差為元，規(guī)范差為1717元，人均住房面積元，人均住房面積7 75 5平方米，平方米，規(guī)范差為規(guī)范差為1 18 8平方米。試比較該市人均收入和人均住房情況哪一個差別程度比較大。平方米。試比較該市人均收入和人均住房情況哪一個差別程度比較大。 由題中數(shù)據(jù)得：人均收入的離散系數(shù)為 %5 .18%1009217100%CVXS人均住房面積的離散系數(shù)為 %24%1005 . 78 . 1100%CVXS可見人均住房面積的差別情況比人均收入的差別情況要大。可見人均住房面積的差別情況比人均收入的差別情況要大。第三節(jié) 偏態(tài)與峰度的測度w一一. 偏態(tài)及其測度偏態(tài)及其測度w二二. 峰度及其測度峰度及其測度偏態(tài)與峰度分布的外形偏態(tài)與峰度分布的外形 偏態(tài)偏