降落傘數(shù)學(xué)模型

1、1降落傘問題降落傘問題跳傘中的安全性至關(guān)重跳傘中的安全性至關(guān)重要，研究飛行和著陸的數(shù)要，研究飛行和著陸的數(shù)學(xué)模型對此大有幫助。學(xué)模型對此大有幫助。本節(jié)將對跳傘中的一些本節(jié)將對跳傘中的一些問題進行描述、分析并建問題進行描述、分析并建模。這些模型采用簡化數(shù)模。這些模型采用簡化數(shù)據(jù)僅用于說明問題。據(jù)僅用于說明問題。2研究性課題研究性課題 假設(shè)跳傘員體重是假設(shè)跳傘員體重是 103 kg，飛機飛行高度為，飛機飛行高度為 4000 m（z軸方向），飛行速度為軸方向），飛行速度為 115 m/s（y軸軸方向），跳傘員從飛機一側(cè)離開飛機，初始速度方向），跳傘員從飛機一側(cè)離開飛機，初始速度為為 0.555 m/

2、s（x軸方向）。軸方向）。問題：研究跳傘員著陸時是否會對身體造成傷害？問題：研究跳傘員著陸時是否會對身體造成傷害？p 對骨骼的沖擊是否會導(dǎo)致骨折？對骨骼的沖擊是否會導(dǎo)致骨折？p 速度急劇下降產(chǎn)生的頭部剪應(yīng)變是否會導(dǎo)致腦震蕩？速度急劇下降產(chǎn)生的頭部剪應(yīng)變是否會導(dǎo)致腦震蕩？3背景背景xyoz跳傘示意圖跳傘示意圖4問題分析問題分析跳傘員從離開飛機到拉開傘繩之前，共有跳傘員從離開飛機到拉開傘繩之前，共有11.5秒秒是自由落體運動，這段時間空氣阻力可忽略不計。是自由落體運動，這段時間空氣阻力可忽略不計。打開降落傘的同時，跳傘員還受到打開降落傘的同時，跳傘員還受到x軸正向上大軸正向上大小為小為1.2m/s

3、的橫向風(fēng)（順風(fēng)跳傘）的影響。的橫向風(fēng)（順風(fēng)跳傘）的影響。此后，由于必須考慮空氣阻力，下降變成了沿各此后，由于必須考慮空氣阻力，下降變成了沿各個軸加速度非恒定的三維拋射運動。個軸加速度非恒定的三維拋射運動。 5模型假設(shè)模型假設(shè) 不考慮復(fù)雜著陸地形，如非平坦地面或樹林或不適當(dāng)?shù)闹豢紤]復(fù)雜著陸地形，如非平坦地面或樹林或不適當(dāng)?shù)闹懛绞健ｊ懛绞健?跳傘員不會彎曲或扭曲著陸，這樣骨頭與韌帶的斷裂力矩跳傘員不會彎曲或扭曲著陸，這樣骨頭與韌帶的斷裂力矩?zé)o需考慮。無需考慮。 跳傘員離開飛機是直接跳下，沒有旋轉(zhuǎn)。跳傘員離開飛機是直接跳下，沒有旋轉(zhuǎn)。 盡管身體減速所需的力量對韌帶和肌腱造成較大的拉伸應(yīng)盡管身體減

4、速所需的力量對韌帶和肌腱造成較大的拉伸應(yīng)力，不過相對骨頭損傷而言，這種影響小很多，因此我們力，不過相對骨頭損傷而言，這種影響小很多，因此我們忽略這些影響，只考慮骨頭損傷。忽略這些影響，只考慮骨頭損傷。 沖擊力經(jīng)過韌帶和肌肉傳到骨頭時沒有衰減。沖擊力經(jīng)過韌帶和肌肉傳到骨頭時沒有衰減。 假設(shè)降落傘瞬間打開，引力立刻起效，沒有過渡。假設(shè)降落傘瞬間打開，引力立刻起效，沒有過渡。 數(shù)據(jù)是準(zhǔn)確的（盡管實際上只是近似值）。數(shù)據(jù)是準(zhǔn)確的（盡管實際上只是近似值）。6降落時間和路徑：自由落體階段降落時間和路徑：自由落體階段v打開降落傘時的高度打開降落傘時的高度Z軸軸vX軸向位置（加速度為軸向位置（加速度為0）20

5、0( )0.5zzz tzv ta t200( )0.5xxx txv ta t7降落時間和路徑：自由落體階段降落時間和路徑：自由落體階段v打開降落傘時的高度打開降落傘時的高度Z軸軸vX軸向位置（加速度為軸向位置（加速度為0）(11.5*0.555)vY軸向位置（加速度為軸向位置（加速度為0）(11.5*115)200( )0.5zzz tzv ta t200( )0.5xxx txv ta t200( )0.5yyy tyv ta t位置：位置：X=6.3825X=6.3825Y=1322.5Y=1322.5Z=3352.0Z=3352.08降落時間和路徑：自由落體階段降落時間和路徑：自由落

6、體階段此時的速度此時的速度X, Y軸速度不變軸速度不變Z軸速度為軸速度為9降落時間和路徑：自由落體階段降落時間和路徑：自由落體階段此時的速度此時的速度X, Y軸速度不變軸速度不變Z軸速度為軸速度為0zzzvva t(,)(0.555,115, 112.7)xyzv v v10階段二：降落傘打開到速度恒定階段階段二：降落傘打開到速度恒定階段運動狀態(tài)復(fù)雜，只能簡化處理運動狀態(tài)復(fù)雜，只能簡化處理假定降落傘瞬時打開假定降落傘瞬時打開跳傘員在一定時間內(nèi)速度減速為恒定速度（最終跳傘員在一定時間內(nèi)速度減速為恒定速度（最終速度）速度）實驗基礎(chǔ)上假定這個時間段為實驗基礎(chǔ)上假定這個時間段為 3 秒秒(測定測定)在

7、此期間下降在此期間下降 54 米米(測定測定)11階段三：打開降落傘后階段三：打開降落傘后v受力情況受力情況垂直方向空氣阻力垂直方向空氣阻力 D = dv2 （d = 20）Y軸方向空氣阻力軸方向空氣阻力 F = -bv （b = 10）X軸方向橫向風(fēng)影響軸方向橫向風(fēng)影響 w = 1.2m/s，產(chǎn)生的力大小，產(chǎn)生的力大小為為()Gb wv12階段三：打開降落傘后階段三：打開降落傘后v最終速度：最終速度：此時加速度為此時加速度為0垂直方向空氣阻力垂直方向空氣阻力 D = dv2 = mg （d = 20）故故 v2 = mg/d，v = 7.1042 m/s即跳傘員以此速度下降即跳傘員以此速度下

8、降 3352 54 = 3298 m，所需，所需時間為時間為 464.2 s總時間為總時間為 11.5 + 3 + 464.2 = 478.7 s13確定著陸坐標(biāo)確定著陸坐標(biāo)v牛頓第二定律牛頓第二定律 F = mavX軸軸()Fb wvbwbvmamxbxbw103 10 12xx14確定著陸坐標(biāo)確定著陸坐標(biāo)v牛頓第二定律牛頓第二定律 F = mavY軸軸Fbv ybvma0myby103 10 0yy15方程求解方程求解103 10 12xx103 10 0yy( 10/103)( )2507 1184.5ty te( 10/103)( )0.261 6.64351.2tx tet 將將 t

9、 = 467.2 代入可得代入可得 x = 560.4, y = 2507, z = 0 16著陸速度著陸速度( 10/103)( )2507 1184.5ty te( 10/103)( )0.261 6.64351.2tx tet ( 10/103)( 10/103)( )( 1184.5)( 10/103)115ttyv tee ( 10/103)( )(6.6435)( 10/103)1.2txv te( 10/103)467.2(467.2)0.6451.21.20 xve ( 10/103)467.2(467.2)1150yve(467.2)7.1042zv 17著陸速度著陸速度v碰

10、撞時速度的大小為碰撞時速度的大小為 v動量（動量（p = mv）改變量為）改變量為v沖擊力（時間沖擊力（時間200毫秒）毫秒）2227.2048xyzspeedvvv 0742.0944742.0944finalinitialppp /(742.0944)/ (0.2)3710.472Fpt 18結(jié)論結(jié)論骨頭骨頭極限抗拉強度極限抗拉強度平均橫截面積平均橫截面積最大承受力最大承受力股骨股骨1.21 1085.81 10(- 4) 70301脛骨脛骨1.41 1083.23 10(- 4) 45220脊髓脊髓(背部背部) 2.20 1084.42 10(- 4) 97240脊髓脊髓(頸部頸部) 1.80 1084.42 10(- 4) 79560剪應(yīng)力對頭部產(chǎn)生的傷害，用人體受沖擊的劇烈程剪應(yīng)力對頭部產(chǎn)生的傷害，用人體受沖擊的劇烈程度指數(shù)來度量（小于度指數(shù)來度量（小于400400安全），