初中數(shù)學(xué)中的動(dòng)點(diǎn)最值基本模型

1、動(dòng)點(diǎn)最值基本模型、最值類(lèi)型1 .飲馬型：即將軍飲馬型，通常為兩條線(xiàn)段之和的最值問(wèn)題，利用對(duì)稱(chēng)性質(zhì)將其中一條線(xiàn)段進(jìn)行轉(zhuǎn)換，再利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短（或三角形三邊關(guān)系）得到結(jié)果。（本公眾號(hào)有"解題模型】將軍飲馬”）2 .小垂型：即小垂回家型，通常為一條線(xiàn)段的最值問(wèn)題，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線(xiàn)，利用垂線(xiàn)段最短的性質(zhì)得到結(jié)果。3 .穿心型：即一箭穿心型，通常為一條線(xiàn)段的最值問(wèn)題，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓或弧，禾I用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系得到結(jié)果。（本公眾號(hào)有“一箭穿心，圓來(lái)如此一文”）4 .轉(zhuǎn)換型：即一加半型，通常為一條線(xiàn)段與另一條線(xiàn)段一半的和的最值問(wèn)題，即將那半條線(xiàn)段利用三角形中位線(xiàn)或30。的對(duì)邊等知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)換

2、，再利用飲馬或小垂或穿心。5 .三邊型：即三角形三邊關(guān)系關(guān)系型，通常利用兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊求其最大（?。┲?。6 .結(jié)合型：即以上類(lèi)型的綜合運(yùn)用，大多為飲馬+小垂【如包河一模20題】【瑤海一模第10題】、小垂+穿心【如廬陽(yáng)二模第10題】、飲馬+穿心【如瑤海二模第10題】飲馬+轉(zhuǎn)換【如蜀山二模第10題】等二、分類(lèi)例析一、飲馬型例1:如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在CD上，CE=3,DE=1,點(diǎn)P在AC上，貝UPE+PD的最小值是.解析：如圖例2:如圖所示，正方形ABCD的面積為12,4ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線(xiàn)AC上有一點(diǎn)P,使PD+PE的和最小，則這

3、個(gè)最小值為解析：如下圖二、小垂型例3:如圖，在RtABC中，/C=90°,AC=8,BC=6,點(diǎn)P是AB上的任意一點(diǎn),作PDLAC于點(diǎn)D,P已CB于點(diǎn)E,連接DE,則DE的最小值為.解析：如卜圖AAAKD-DPkhcE°CEI三、穿心型例4:如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中，,邊上一動(dòng)點(diǎn)，將4AMN沿MN翻折得到A'MN解析：如卜圖圖，PA?CEB/ABC=120°,M是AD邊的中點(diǎn)，N是ABJ連接A'C,則A'C長(zhǎng)度的最小值是.m/四、轉(zhuǎn)/V7-彳產(chǎn)$例5:如為菱形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且P到A、B兩點(diǎn)的距離相等，若/C=60°,CD

4、=4,則的最小值為解析：因?yàn)镻到A、B兩點(diǎn)的距離相等，所以P在AB的垂直平分線(xiàn)上，又因菱形ABCD中/C為60°,所以ABD為等邊三角形，AB的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,如下圖由/ADP=30度，可將PD的一半進(jìn)行轉(zhuǎn)換，即過(guò)點(diǎn)P作AD的垂線(xiàn)。如圖，即B、P、F三點(diǎn)共線(xiàn)，且BF±AD時(shí)最短五、三邊型例6:如圖，/MON=90°,矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM,ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2,BC=1,運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離為ODE中，DE為定解析：如下圖因?yàn)锳B為定長(zhǎng)，所以取其中點(diǎn)E,則OE為定

5、值，在4值，OE為定值，根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得到OD的最大值。例7:如圖，已知ABC中，/ACB=90°,BC=4,AC=8,點(diǎn)D在AC上，且AD=6,將線(xiàn)段AD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至AD',F為BD'的中點(diǎn)，連結(jié)CF,則線(xiàn)段CF的取值范圍.解析:解法一：瓜豆原理，點(diǎn)F的軌跡為圓，一箭穿心便可以求出其取值范圍。解法二：如下圖，取AB的中點(diǎn)M,連接FM,CM,由斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半得CM為定值，由三角形中位線(xiàn)得FM為定值，所以在CFM中，三邊關(guān)系可得到CF的取值范圍.例8:如圖，BA=1,BC=2以AC為一邊做正方形AEDC使E,B兩點(diǎn)落在直線(xiàn)AC的兩側(cè)，當(dāng)/ABC變化時(shí)

6、，求BE的最大值.解析：將AEB以點(diǎn)A中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到ACB',如下圖所示，連接BB',所以B'C=BE,在ABB'C中，BB'為定值，BC為定值，三角形三邊關(guān)系即可得到B'C的最大值，即BE的值.6.結(jié)合型例9:如圖，正方形ABCD中，AB=4,E為CD邊的中點(diǎn)，F(xiàn)、G為AB、AD邊上的點(diǎn)，且AF=2GD,連接E、DF相交于點(diǎn)巳當(dāng)AP為最小值時(shí)，DG=解析：由AF=2GD,AD=2DE,得AFADGE如下圖GE±DF,那么線(xiàn)段AP中，A點(diǎn)為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，由/DPE為直角，所以P的軌跡為一以DE中點(diǎn)為圓心的一段弧。

7、如下圖由一箭穿心可得到AP的最小值為A,PM三點(diǎn)共線(xiàn)，而此時(shí)，由DMPsFAP可得至IJAP=AF即可得到結(jié)果.川GDAGD三、?？挤治觥緩]陽(yáng)二模第10題】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(6,0),B(0,8)，點(diǎn)C在y軸正半軸上，點(diǎn)D在x的正半軸上，且CD=6,以CD為直徑在第一象限作半圓，交線(xiàn)段AB于點(diǎn)E、F,則線(xiàn)段EF的最大值為如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(6,0),B(0,8)，點(diǎn)C在y軸正半軸上，點(diǎn)D在x的正半軸上，且CD=6,以CD為直徑在第一象限作半圓，交線(xiàn)段AB于點(diǎn)E、F,則線(xiàn)段EF的最大值為解析：線(xiàn)段EF由于半圓的變化而變化，所以應(yīng)將其作為弦的變化來(lái)看，而弦長(zhǎng)又與弦心距存在變量

8、之間的關(guān)系，所以首先作出弦心距.如下動(dòng)圖，所以當(dāng)PQ最小時(shí)，EF最大。方法一：穿心+小垂(P點(diǎn)為以O(shè)點(diǎn)圓心，OP為半徑的弧上)求出OQ的最值，即PQ的最小值，再由勾股定理和垂徑定理可求得EF.方法二：三邊+小垂（三角形OPQ）求出OQ的最值【蜜山二模第10題】就展,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)J*=一+2瓜工的頂點(diǎn)為4氯且與x軸的正半軸交于點(diǎn)B,P點(diǎn)為該拋物成對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，則qaL伊的最小值為：2A.中此學(xué)C.3D,2謝42jPtUCKtf解析：由拋物線(xiàn)解析式可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為，所以/OAP=30°,如下圖問(wèn)題是。尸+2/1尸.轉(zhuǎn)換型最直，2即過(guò)P點(diǎn)作PD_L0&于點(diǎn)D,【飲馬+小垂】OP-AP=OPPD=BPPD2【瑤海二模第10題】如圖，矩形ABCD中，AB=2,AD=3點(diǎn)E,F分別為AD,DC邊上的點(diǎn),且EF=2點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，點(diǎn)P為BC上一動(dòng)點(diǎn).則PA+PG的最小值為（）A.3B.4C.2Vz5D.5解析：因?yàn)镚為EF的中點(diǎn)，EF=2,所以點(diǎn)G的軌跡為以D為圓心DG為半徑的弧，【飲馬+穿心】即A',P,G,D四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，PA+PG