材料力學(xué)(I)第九章

1、材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定1第第 9 章章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定9-1 壓桿穩(wěn)定性的概念壓桿穩(wěn)定性的概念9-2 細(xì)長(zhǎng)中心受壓直桿臨界力的歐拉公式細(xì)長(zhǎng)中心受壓直桿臨界力的歐拉公式9-3 不同桿端約束下細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力的不同桿端約束下細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力的歐拉公式歐拉公式壓桿的長(zhǎng)度因數(shù)壓桿的長(zhǎng)度因數(shù)9-4 歐拉公式的應(yīng)用范圍歐拉公式的應(yīng)用范圍臨界應(yīng)力總臨界應(yīng)力總圖圖9-5 實(shí)際壓桿的穩(wěn)定因數(shù)實(shí)際壓桿的穩(wěn)定因數(shù)9-6 壓桿的穩(wěn)定計(jì)算壓桿的穩(wěn)定計(jì)算壓桿的合理截面壓桿的合理截面材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定29-1 壓桿穩(wěn)定性的概念壓桿穩(wěn)定性的概念實(shí)際的受壓桿

2、件實(shí)際的受壓桿件 實(shí)際的受壓桿件由于實(shí)際的受壓桿件由于: 1. 其軸線并非理想的直線而存在初彎曲，其軸線并非理想的直線而存在初彎曲，2. 作用于桿上的軸向壓力有作用于桿上的軸向壓力有“偶然偶然”偏心，偏心，3. 材料性質(zhì)并非絕對(duì)均勻，材料性質(zhì)并非絕對(duì)均勻，因此在軸向壓力作用下會(huì)發(fā)生彎曲變形，且由此引因此在軸向壓力作用下會(huì)發(fā)生彎曲變形，且由此引起的側(cè)向位移隨軸向壓力的增大而更快地增大。起的側(cè)向位移隨軸向壓力的增大而更快地增大。材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定3 對(duì)于細(xì)長(zhǎng)的壓桿對(duì)于細(xì)長(zhǎng)的壓桿(大柔度壓桿大柔度壓桿)，最終會(huì)因?yàn)閺椥?，最終會(huì)因?yàn)閺椥缘膫?cè)向位移過大而喪失承載能力

3、；的側(cè)向位移過大而喪失承載能力； 對(duì)于中等細(xì)長(zhǎng)的壓桿對(duì)于中等細(xì)長(zhǎng)的壓桿(中等柔度壓桿中等柔度壓桿)則當(dāng)側(cè)向位則當(dāng)側(cè)向位移增大到一定程度時(shí)會(huì)在彎壓組合變形下發(fā)生強(qiáng)度移增大到一定程度時(shí)會(huì)在彎壓組合變形下發(fā)生強(qiáng)度破壞破壞(壓潰壓潰)。 對(duì)于實(shí)際細(xì)長(zhǎng)壓桿的上述力對(duì)于實(shí)際細(xì)長(zhǎng)壓桿的上述力學(xué)行為，如果把初彎曲和材質(zhì)不學(xué)行為，如果把初彎曲和材質(zhì)不均勻的影響都?xì)w入偶然偏心的影均勻的影響都?xì)w入偶然偏心的影響，則可利用大柔度彈性直桿受響，則可利用大柔度彈性直桿受偏心壓力作用這一力學(xué)模型來研偏心壓力作用這一力學(xué)模型來研究。究。材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定4 圖圖(a)為下端固定，上端自由

4、的為下端固定，上端自由的實(shí)際壓桿的力學(xué)模型；為列出用來實(shí)際壓桿的力學(xué)模型；為列出用來尋求尋求Fd d 關(guān)系所需撓曲線近似微分關(guān)系所需撓曲線近似微分方程而計(jì)算橫截面上的彎矩時(shí)方程而計(jì)算橫截面上的彎矩時(shí), ,需把需把側(cè)向位移考慮在內(nèi)，即側(cè)向位移考慮在內(nèi)，即 M( (x)=)=F( (e+ +d d- -w) )，這樣得到的撓曲線近似微分方程這樣得到的撓曲線近似微分方程EIz w= =F( (e+d d - -w) )和積分后得到的撓曲線方程便反映和積分后得到的撓曲線方程便反映了大柔度桿偏心受壓時(shí)側(cè)向位移的了大柔度桿偏心受壓時(shí)側(cè)向位移的影響。影響。(a)材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定

5、壓桿的穩(wěn)定5 按照這一思路求得的細(xì)長(zhǎng)壓桿在不同偏心距按照這一思路求得的細(xì)長(zhǎng)壓桿在不同偏心距 e 時(shí)時(shí)偏心壓力偏心壓力F 與最大側(cè)向位移與最大側(cè)向位移d 的關(guān)系曲線的關(guān)系曲線,如圖如圖b所示。所示。(b) 由圖可見雖然偶然偏心的程度不同由圖可見雖然偶然偏心的程度不同 (e3e2e1)，但該細(xì)長(zhǎng)壓桿喪失承載能力時(shí)偏心壓力但該細(xì)長(zhǎng)壓桿喪失承載能力時(shí)偏心壓力Fcr卻相同。卻相同。其它桿端約束情況下細(xì)長(zhǎng)壓桿的其它桿端約束情況下細(xì)長(zhǎng)壓桿的F-d d 關(guān)系曲線其特關(guān)系曲線其特點(diǎn)與圖點(diǎn)與圖b相同。相同。材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定6抽象的細(xì)長(zhǎng)中心受壓直桿抽象的細(xì)長(zhǎng)中心受壓直桿 由由

6、圖圖b可知，當(dāng)偶然偏心的偏心距可知，當(dāng)偶然偏心的偏心距e0時(shí)，細(xì)時(shí)，細(xì)長(zhǎng)壓桿的長(zhǎng)壓桿的F- -d d 關(guān)系曲線就逼近折線關(guān)系曲線就逼近折線OAB，而如果把，而如果把細(xì)長(zhǎng)壓桿抽象為無初彎曲，軸向壓力無偏心，材料細(xì)長(zhǎng)壓桿抽象為無初彎曲，軸向壓力無偏心，材料絕對(duì)均勻的理想中心壓桿，則它的絕對(duì)均勻的理想中心壓桿，則它的F-d d 關(guān)系曲線將關(guān)系曲線將是折線是折線OAB。(b)材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定7 由此引出了關(guān)于壓桿失穩(wěn)由此引出了關(guān)于壓桿失穩(wěn)( (buckling) )這一抽象這一抽象的概念：當(dāng)細(xì)長(zhǎng)中心壓桿上的軸向壓力的概念：當(dāng)細(xì)長(zhǎng)中心壓桿上的軸向壓力F小于小于Fc

7、r時(shí)，時(shí)，桿的直線狀態(tài)的平衡是穩(wěn)定的；當(dāng)桿的直線狀態(tài)的平衡是穩(wěn)定的；當(dāng)FFcr時(shí)桿既可時(shí)桿既可在直線狀態(tài)下保持平衡在直線狀態(tài)下保持平衡( (d d0) )，也可以在微彎狀態(tài)，也可以在微彎狀態(tài)下保持平衡，也就是說下保持平衡，也就是說FFcr時(shí)理想中心壓桿的直時(shí)理想中心壓桿的直線平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定線平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的的，壓桿在軸向壓力，壓桿在軸向壓力Fcr作用下作用下會(huì)喪失原有的直線平會(huì)喪失原有的直線平衡狀態(tài)，即發(fā)生失穩(wěn)。衡狀態(tài)，即發(fā)生失穩(wěn)。 Fcr則是壓桿直線狀態(tài)的平衡由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定的臨則是壓桿直線狀態(tài)的平衡由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定的臨界力界力(critical force)。材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教

8、案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定8 從另一個(gè)角度來看，此處中心受壓桿的臨界力從另一個(gè)角度來看，此處中心受壓桿的臨界力又可理解為：桿能保持微彎狀態(tài)時(shí)的軸向壓力。又可理解為：桿能保持微彎狀態(tài)時(shí)的軸向壓力。 顯然，理想中心壓桿是有偶然偏心等因素的實(shí)顯然，理想中心壓桿是有偶然偏心等因素的實(shí)際壓桿的一種抽象。際壓桿的一種抽象。材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定9細(xì)長(zhǎng)中心受壓直桿失穩(wěn)現(xiàn)象細(xì)長(zhǎng)中心受壓直桿失穩(wěn)現(xiàn)象材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定10壓桿的截面形式及支端約束壓桿的截面形式及支端約束 壓桿的臨界力既然與彎曲變形有關(guān)，因此壓桿壓桿的臨界力既然與彎曲變形有

9、關(guān)，因此壓桿橫截面的彎曲剛度應(yīng)盡可能大；橫截面的彎曲剛度應(yīng)盡可能大； 圖圖a為鋼桁架橋上弦桿為鋼桁架橋上弦桿(壓桿壓桿)的橫截面，的橫截面， 圖圖b為廠房建筑中鋼柱的橫截面。在可能條件為廠房建筑中鋼柱的橫截面。在可能條件下還要盡量改善壓桿的桿端約束條件，例如限制甚下還要盡量改善壓桿的桿端約束條件，例如限制甚至阻止桿端轉(zhuǎn)動(dòng)。至阻止桿端轉(zhuǎn)動(dòng)。材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定119-2 細(xì)長(zhǎng)中心受壓直桿臨界力的歐拉公式細(xì)長(zhǎng)中心受壓直桿臨界力的歐拉公式 本節(jié)以兩端球形鉸支本節(jié)以兩端球形鉸支( (簡(jiǎn)稱兩簡(jiǎn)稱兩端鉸支端鉸支) )的細(xì)長(zhǎng)中心受壓桿件的細(xì)長(zhǎng)中心受壓桿件( (圖圖a) )

10、為例，按照對(duì)于理想中心壓桿來說為例，按照對(duì)于理想中心壓桿來說臨界力就是桿能保持微彎狀態(tài)時(shí)的臨界力就是桿能保持微彎狀態(tài)時(shí)的軸向壓力這一概念，來導(dǎo)出求臨界軸向壓力這一概念，來導(dǎo)出求臨界力的歐拉力的歐拉( (L.Euler) )公式。公式。材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定12 在圖在圖a所示微彎狀態(tài)下，所示微彎狀態(tài)下，兩端鉸支壓桿任意兩端鉸支壓桿任意x截面的撓截面的撓度度( (側(cè)向位移側(cè)向位移) )為為w，該截面上，該截面上的彎矩為的彎矩為M(x)=Fcrw（圖圖b）。桿的撓曲線近似微分方程為桿的撓曲線近似微分方程為 (a) crwFxMwEI 上式中負(fù)號(hào)是由于在圖示坐上式中

11、負(fù)號(hào)是由于在圖示坐標(biāo)中，對(duì)應(yīng)于正值的撓度標(biāo)中，對(duì)應(yīng)于正值的撓度w，撓曲線切線斜率的變化率撓曲線切線斜率的變化率 為負(fù)的緣故。為負(fù)的緣故。 xyxwdddd材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定13令令k2=Fcr /EI，將撓曲線近似微分方程，將撓曲線近似微分方程(a)改寫成改寫成該二階常系數(shù)線性微分方程該二階常系數(shù)線性微分方程(b)的通解為的通解為02 wkw(b)kxBkxAwcossin (c)此式中有未知量此式中有未知量A和和B以及隱含有以及隱含有Fcr的的k，但現(xiàn)在能，但現(xiàn)在能夠利用的邊界條件只有兩個(gè)，即夠利用的邊界條件只有兩個(gè)，即x=0，w=0 和和 x=l，w=

12、0，顯然這不可能求出全部三個(gè)未知量。這種不，顯然這不可能求出全部三個(gè)未知量。這種不確定性是由確定性是由F = Fcr時(shí)桿可在任意微彎狀態(tài)下時(shí)桿可在任意微彎狀態(tài)下(d可為可為任意微小值任意微小值)保持平衡這個(gè)抽象概念所決定的。事保持平衡這個(gè)抽象概念所決定的。事實(shí)上，對(duì)于所研究的問題來說只要能從實(shí)上，對(duì)于所研究的問題來說只要能從(c)式求出式求出與臨界力相關(guān)的未知常數(shù)與臨界力相關(guān)的未知常數(shù)k就可以了。就可以了。材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定14 將邊界條件將邊界條件x=0，w=0代入式代入式(c)得得B=0。于是根據(jù)。于是根據(jù)(c)式并利用邊式并利用邊界條件界條件x=l，

13、w=0得到得到0sin klA注意到已有注意到已有B=0，故上式中的，故上式中的A不可不可能等于零，否則能等于零，否則(c)式將成為式將成為w 0而而壓桿不能保持微彎狀態(tài)，也就是桿并壓桿不能保持微彎狀態(tài)，也就是桿并未達(dá)到臨界狀態(tài)。由此可知，欲使未達(dá)到臨界狀態(tài)。由此可知，欲使(c)成立，則必須成立，則必須sinkl=0kxBkxAwcossin (c)材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定15滿足此條件的滿足此條件的kl為為，2 ,0 kl或即或即，2 0cr lEIF 由于由于 意味著臨界力意味著臨界力Fcr 0，也就是桿，也就是桿根本未受軸向壓力，所以這不是真實(shí)情況。在根本

14、未受軸向壓力，所以這不是真實(shí)情況。在kl0的解中，最小解的解中，最小解 klp p 相應(yīng)于最小的臨界力，這是相應(yīng)于最小的臨界力，這是工程上最關(guān)心的工程上最關(guān)心的臨界力臨界力。0cr lEIF由由klp p有有cr lEIF22cr lEIF亦即亦即材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定16從而得到求兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)中心壓桿臨界力的歐拉從而得到求兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)中心壓桿臨界力的歐拉公式：公式：22crlEIF 此時(shí)桿的撓曲線方程可如下導(dǎo)出。前已求得此時(shí)桿的撓曲線方程可如下導(dǎo)出。前已求得B=0，且取且取klp p，以此代入式，以此代入式(c)得得xlAw sin注意到當(dāng)注意到當(dāng)x= l

15、/2 時(shí)時(shí) w=d d，故有，故有 A=d d。從而知，對(duì)應(yīng)。從而知，對(duì)應(yīng)于于klp p，亦即對(duì)應(yīng)于，亦即對(duì)應(yīng)于Fcr=p p2EI/l 2，撓曲線方程為，撓曲線方程為lxwsind d 可見此時(shí)的撓曲線為半波正弦曲線?？梢姶藭r(shí)的撓曲線為半波正弦曲線。材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定17需要指出的是，盡管上面得到了需要指出的是，盡管上面得到了A=d d，但因?yàn)闂U在任意微彎狀態(tài)下保持平衡但因?yàn)闂U在任意微彎狀態(tài)下保持平衡時(shí)時(shí)d d為不確定的值，故不能說未知量為不確定的值，故不能說未知量A已確定。已確定。事實(shí)上，在推導(dǎo)任何桿端約束情況的事實(shí)上，在推導(dǎo)任何桿端約束情況的細(xì)長(zhǎng)中心

16、壓桿歐拉臨界力時(shí)，撓曲線細(xì)長(zhǎng)中心壓桿歐拉臨界力時(shí)，撓曲線近似微分方程的通解中，凡與桿的彎近似微分方程的通解中，凡與桿的彎曲程度相關(guān)的未知量總是不確定的。曲程度相關(guān)的未知量總是不確定的。材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定18 思考：思考： 在上述推導(dǎo)中若取在上述推導(dǎo)中若取kl2p p，試問相應(yīng)的，試問相應(yīng)的臨界力是取臨界力是取klp p時(shí)的多少倍？該臨界力所對(duì)應(yīng)的撓時(shí)的多少倍？該臨界力所對(duì)應(yīng)的撓曲線方程和撓曲線形狀又是怎樣的？曲線方程和撓曲線形狀又是怎樣的？材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定199-3 不同桿端約束下細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力不同桿端約束下細(xì)長(zhǎng)壓桿

17、臨界力的歐拉公式的歐拉公式壓桿的長(zhǎng)度因數(shù)壓桿的長(zhǎng)度因數(shù) 現(xiàn)在通過兩個(gè)例題來推導(dǎo)另一些桿端約束條件現(xiàn)在通過兩個(gè)例題來推導(dǎo)另一些桿端約束條件下求細(xì)長(zhǎng)中心壓桿臨界力的歐拉公式。下求細(xì)長(zhǎng)中心壓桿臨界力的歐拉公式。材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定20 試推導(dǎo)下端固定、上端試推導(dǎo)下端固定、上端自由的等直細(xì)長(zhǎng)中心壓桿臨自由的等直細(xì)長(zhǎng)中心壓桿臨界力的歐拉公式，并求壓桿界力的歐拉公式，并求壓桿失穩(wěn)時(shí)的撓曲線方程。圖中失穩(wěn)時(shí)的撓曲線方程。圖中xy平面為桿的彎曲剛度最小平面為桿的彎曲剛度最小的平面。的平面。例題例題 9-1材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定21根據(jù)該壓桿

18、失穩(wěn)后符合桿端約束條件的撓曲線的大根據(jù)該壓桿失穩(wěn)后符合桿端約束條件的撓曲線的大致形狀可知，任意致形狀可知，任意x 橫截面上的彎矩為橫截面上的彎矩為 wFxM d dcr桿的撓曲線近似微分方程則為桿的撓曲線近似微分方程則為 wFxMwEI d dcr)(將上式改寫為將上式改寫為)1(crcrd d EIFwEIFw1. 建立壓桿撓曲的近似微分方程建立壓桿撓曲的近似微分方程例題例題 9-1解解:材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定22令令 由由(1)式得式得EIFkcr2 d d22kwkw 此微分方程的通解為此微分方程的通解為)2(cossind d kxBkxAw一階導(dǎo)數(shù)為

19、一階導(dǎo)數(shù)為)3(sincoskxBkkxAkw 根據(jù)邊界條件根據(jù)邊界條件x=0，w =0由由(3)式得式得Ak=0，注意注意到到 不會(huì)等于零，故知不會(huì)等于零，故知A0。再利用邊界條再利用邊界條件件x=0，w=0由由(1)式得式得B=-d d。將。將A=0， B=-d d代入代入(1)式得式得EIFkcr (4) cos1kxw d d2. 求解撓曲線的近似微分方程，并求臨界力求解撓曲線的近似微分方程，并求臨界力例題例題 9-1材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定23利用利用 x = l 時(shí)時(shí) w = d d 這一關(guān)系，這一關(guān)系，由由(4)式式得出得出從式從式(4)可知可知d

20、 d不可能等于零，否則不可能等于零，否則w將恒等于零，將恒等于零，故上式中只能故上式中只能coskl = 0。滿足此條件的。滿足此條件的kl的最小值的最小值為為 kl = p p/2，亦即亦即 從而得到求此壓桿臨界力的歐拉公式：從而得到求此壓桿臨界力的歐拉公式：2cr lEIF 2222cr24lEIlEIF klcos1 d dd d0cos kld d亦即亦即例題例題 9-1材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定24 以以 kl = p p/2 亦即亦即 k = p p/(2l)代入式代入式(4)便得到壓桿失穩(wěn)時(shí)的撓曲線方便得到壓桿失穩(wěn)時(shí)的撓曲線方程為程為 lxw2cos

21、1d d例題例題 9-1材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定25 試推導(dǎo)下端固定、上端鉸試推導(dǎo)下端固定、上端鉸支的等直細(xì)長(zhǎng)中心壓桿臨界力支的等直細(xì)長(zhǎng)中心壓桿臨界力的歐拉公式，并求該壓桿失穩(wěn)的歐拉公式，并求該壓桿失穩(wěn)時(shí)的撓曲線方程。圖時(shí)的撓曲線方程。圖(a)中的中的xy平面為桿的最小彎曲剛度平面。平面為桿的最小彎曲剛度平面。例題例題 9-2材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定26 1. 桿端約束力分析桿端約束力分析 圖圖b示出了該壓桿可能的微彎狀示出了該壓桿可能的微彎狀態(tài)，與此相對(duì)應(yīng)，態(tài)，與此相對(duì)應(yīng)，B處應(yīng)有逆時(shí)針處應(yīng)有逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的約束力偶矩轉(zhuǎn)向的約束力偶

22、矩MB，根據(jù)平衡根據(jù)平衡方程方程S SMB 0可知，桿的上端必有可知，桿的上端必有向右的水平約束力向右的水平約束力Fy；從而亦知桿從而亦知桿的下端有向左的水平約束力的下端有向左的水平約束力Fy 。例題例題 9-2解解:材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定27桿的任意桿的任意x截面上的彎矩為截面上的彎矩為 xlFwFxMy cr從而有撓曲線近似微分方程：從而有撓曲線近似微分方程： crxlFwFwEIy 2. 建立壓桿撓曲線的近似微分方建立壓桿撓曲線的近似微分方程程例題例題 9-2上式等號(hào)右邊的負(fù)號(hào)是因?yàn)閷?duì)應(yīng)于上式等號(hào)右邊的負(fù)號(hào)是因?yàn)閷?duì)應(yīng)于正值的正值的w, w 是負(fù)而加的。是

23、負(fù)而加的。材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定28令令 k2=Fcr /EI，將上式改寫為將上式改寫為 xlEIFwkwy 2亦即亦即 xlFFkwkwy cr22此微分方程的通解為此微分方程的通解為 (a) cossincrxlFFkxBkxAwy 其一階導(dǎo)數(shù)為其一階導(dǎo)數(shù)為(b) sincoscrFFkxBkkxAkwy 式中共有四個(gè)未知量：式中共有四個(gè)未知量：A，B，k，F(xiàn)y。3. 求臨界力求臨界力Fcr例題例題 9-2材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定29 (c) cossin1cr xlkxlkxkFFwy再利用邊界條件再利用邊界條件x=l，w

24、=0，由上式得由上式得0cossin1cr kllklkFFy 由邊界條件由邊界條件x=0，w =0 得得 A=Fy /(kFcr)。又由邊界條件又由邊界條件x=0，w=0 得得 B=- -Fy l /Fcr。將以上將以上A和和B的表達(dá)的表達(dá)式代入式式代入式(a)有有例題例題 9-2材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定30由于桿在微彎狀態(tài)下保持平衡時(shí)，由于桿在微彎狀態(tài)下保持平衡時(shí)，F(xiàn)y不可能等不可能等于零，故由上式得于零，故由上式得 滿足此條件的最小非零解為滿足此條件的最小非零解為k l=4.49，亦亦即即 ，從而得到此壓桿臨界力的歐拉公，從而得到此壓桿臨界力的歐拉公式為式

25、為49. 4cr lEIF 2222cr7 . 049. 4lEIlEIF 0cossin1 kllklkklkl tan亦即亦即例題例題 9-2材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定31 4. 將將 kl = 4.49，亦即亦即 k = 4.49/l 代入式代入式(c)即得此即得此壓桿對(duì)應(yīng)于上列臨界力的壓桿對(duì)應(yīng)于上列臨界力的撓曲線方程撓曲線方程： lxkxkxFlFwy1cos49. 4sincr利用此方程還可以進(jìn)一步求得利用此方程還可以進(jìn)一步求得該壓桿在上列臨界力作用下?lián)显搲簵U在上列臨界力作用下?lián)锨€上的拐點(diǎn)在曲線上的拐點(diǎn)在 x = 0.3l 處處( (圖圖b) )。例題

26、例題 9-2材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定32壓桿的長(zhǎng)度因數(shù)和相當(dāng)長(zhǎng)度壓桿的長(zhǎng)度因數(shù)和相當(dāng)長(zhǎng)度材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定33 表表9- -1中列出了幾種典型的理想桿端約束條件下，中列出了幾種典型的理想桿端約束條件下，等截面細(xì)長(zhǎng)中心受壓直桿的歐拉公式。從表中可見，等截面細(xì)長(zhǎng)中心受壓直桿的歐拉公式。從表中可見，桿端約束越強(qiáng)，壓桿的臨界力也就越高。桿端約束越強(qiáng)，壓桿的臨界力也就越高。表中將求臨界力的歐拉公式寫成了同一的形式：表中將求臨界力的歐拉公式寫成了同一的形式： 22cr lEIF 式中，式中， 稱為壓桿的長(zhǎng)度因數(shù)，它與桿端約束情況稱為壓桿

27、的長(zhǎng)度因數(shù)，它與桿端約束情況有關(guān)；有關(guān)； l 稱為壓桿的相當(dāng)長(zhǎng)度稱為壓桿的相當(dāng)長(zhǎng)度( (equivalent length) )，它表示某種桿端約束情況下幾何長(zhǎng)度為它表示某種桿端約束情況下幾何長(zhǎng)度為l的壓桿，其的壓桿，其臨界力相當(dāng)于長(zhǎng)度為臨界力相當(dāng)于長(zhǎng)度為 l 的兩端鉸支壓桿的臨界力。的兩端鉸支壓桿的臨界力。表表9- -1的圖中從幾何意義上標(biāo)出了各種桿端約束情況的圖中從幾何意義上標(biāo)出了各種桿端約束情況下的相當(dāng)長(zhǎng)度下的相當(dāng)長(zhǎng)度 l。材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定34 運(yùn)用歐拉公式計(jì)算臨界力時(shí)需要注意：運(yùn)用歐拉公式計(jì)算臨界力時(shí)需要注意：(1)當(dāng)桿端約束情況在各個(gè)縱向平面內(nèi)

28、相同時(shí)當(dāng)桿端約束情況在各個(gè)縱向平面內(nèi)相同時(shí)(例如球例如球形鉸形鉸)，歐拉公式中的，歐拉公式中的 I 應(yīng)是桿的橫截面的最小形應(yīng)是桿的橫截面的最小形心主慣性矩心主慣性矩 Imin。(2)當(dāng)桿端約束在各個(gè)縱向平面內(nèi)不同時(shí)，歐拉公式當(dāng)桿端約束在各個(gè)縱向平面內(nèi)不同時(shí)，歐拉公式中所取用的中所取用的I應(yīng)與失穩(wěn)應(yīng)與失穩(wěn)(或可能失穩(wěn)或可能失穩(wěn))時(shí)的彎曲平面相時(shí)的彎曲平面相對(duì)應(yīng)。例如桿的兩端均為如圖所示柱形鉸的情況下：對(duì)應(yīng)。例如桿的兩端均為如圖所示柱形鉸的情況下：xyz軸銷軸銷材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定35對(duì)應(yīng)于桿在對(duì)應(yīng)于桿在xy平面內(nèi)失穩(wěn)，桿端約束接近于兩端固平面內(nèi)失穩(wěn)，桿端約束接

29、近于兩端固定，定， 22cr5 . 0lEIFz 對(duì)應(yīng)于桿在對(duì)應(yīng)于桿在xz平面內(nèi)的失穩(wěn)，桿端約束相當(dāng)于兩端平面內(nèi)的失穩(wěn)，桿端約束相當(dāng)于兩端鉸支，鉸支，22crlEIFy 而取用的臨界力值應(yīng)是上列兩種計(jì)算值中的較小而取用的臨界力值應(yīng)是上列兩種計(jì)算值中的較小者。者。xyz軸銷軸銷材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定36 思考：思考： 圖圖a、b所示細(xì)所示細(xì)長(zhǎng)中心壓桿均與基礎(chǔ)剛性長(zhǎng)中心壓桿均與基礎(chǔ)剛性連接，但圖連接，但圖a所示桿的基礎(chǔ)所示桿的基礎(chǔ)置于彈性地基上，圖置于彈性地基上，圖b所示所示桿的基礎(chǔ)則置于剛性地基桿的基礎(chǔ)則置于剛性地基上。試問兩壓桿的臨界力上。試問兩壓桿的臨界力是

30、否均為是否均為 ？為什么？并由此判斷壓桿為什么？并由此判斷壓桿的長(zhǎng)度因數(shù)的長(zhǎng)度因數(shù) 是否可能大是否可能大于于2。 2min2cr2lEIF 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定379-4 歐拉公式的應(yīng)用范圍歐拉公式的應(yīng)用范圍臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力總圖I. . 歐拉公式應(yīng)用范圍歐拉公式應(yīng)用范圍 在推導(dǎo)細(xì)長(zhǎng)中心壓桿臨界力的歐拉公式時(shí)，應(yīng)在推導(dǎo)細(xì)長(zhǎng)中心壓桿臨界力的歐拉公式時(shí)，應(yīng)用了材料在線彈性范圍內(nèi)工作時(shí)的撓曲線近似微分用了材料在線彈性范圍內(nèi)工作時(shí)的撓曲線近似微分方程，可見歐拉公式只可應(yīng)用于壓桿橫截面上的應(yīng)方程，可見歐拉公式只可應(yīng)用于壓桿橫截面上的應(yīng)力不超過材料的比例極限力不超過材

31、料的比例極限s sp的情況。的情況。 按照抽象的概念，細(xì)長(zhǎng)中心壓桿在臨界力按照抽象的概念，細(xì)長(zhǎng)中心壓桿在臨界力Fcr作作用時(shí)可在直線狀態(tài)下維持不穩(wěn)定的平衡，故其時(shí)橫用時(shí)可在直線狀態(tài)下維持不穩(wěn)定的平衡，故其時(shí)橫截面上的應(yīng)力可按截面上的應(yīng)力可按s scrFcr /A來計(jì)算，亦即來計(jì)算，亦即 (a) /222222crcr s sEilEAlEIAF 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定38式中，式中，s scr稱為臨界應(yīng)力；稱為臨界應(yīng)力； 為壓桿橫截面為壓桿橫截面對(duì)于失穩(wěn)時(shí)繞以轉(zhuǎn)動(dòng)的形心主慣性軸的慣性半徑；對(duì)于失穩(wěn)時(shí)繞以轉(zhuǎn)動(dòng)的形心主慣性軸的慣性半徑； l /i為壓桿的相當(dāng)長(zhǎng)度與

32、其橫截面慣性半徑之比，為壓桿的相當(dāng)長(zhǎng)度與其橫截面慣性半徑之比，稱為壓桿的長(zhǎng)細(xì)比稱為壓桿的長(zhǎng)細(xì)比(slenderness)或柔度，記作或柔度，記作 ，即，即AIi/ il 根據(jù)歐拉公式只可應(yīng)用于根據(jù)歐拉公式只可應(yīng)用于s scrs sp的條件，由式的條件，由式(a)知該應(yīng)用條件就是知該應(yīng)用條件就是p22crs s s s E亦即亦即 p2s s E p 或?qū)懽骰驅(qū)懽鞑牧狭W(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定39可見可見 就是可以應(yīng)用歐拉公式的壓桿最小柔就是可以應(yīng)用歐拉公式的壓桿最小柔度。度。對(duì)于對(duì)于Q235鋼，按照鋼，按照 E206 GPa，s sp 200 MPa，有，有p2ps

33、s E 100Pa10200Pa10206692p2p s s E 通常把通常把 p的壓桿，亦即能的壓桿，亦即能夠應(yīng)用歐拉公式求臨界力夠應(yīng)用歐拉公式求臨界力Fcr的壓的壓桿，稱為大柔度壓桿或細(xì)長(zhǎng)壓桿，桿，稱為大柔度壓桿或細(xì)長(zhǎng)壓桿，而把而把 p的壓桿，亦即不能應(yīng)用的壓桿，亦即不能應(yīng)用歐拉公式的壓桿，稱為小柔度壓歐拉公式的壓桿，稱為小柔度壓桿。桿。p22crs s s s E材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定40 圖中用實(shí)線示出了歐圖中用實(shí)線示出了歐拉公式應(yīng)用范圍內(nèi)拉公式應(yīng)用范圍內(nèi)( p)的的s scr - 曲線，它是一條雙曲線，它是一條雙曲線，稱為歐拉臨界力曲曲線，稱為歐拉

34、臨界力曲線，簡(jiǎn)稱歐拉曲線。線，簡(jiǎn)稱歐拉曲線。需要需要指出的是，由于實(shí)際壓桿指出的是，由于實(shí)際壓桿都有初彎曲，偶然偏心和都有初彎曲，偶然偏心和材質(zhì)不勻，所以從實(shí)驗(yàn)數(shù)材質(zhì)不勻，所以從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來分析，可以應(yīng)用歐拉據(jù)來分析，可以應(yīng)用歐拉公式求臨界力的最小柔度公式求臨界力的最小柔度比這里算得的比這里算得的 p要大一些。要大一些。材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定41* *II. . 研究小柔度壓桿臨界力的折減彈性模量理論研究小柔度壓桿臨界力的折減彈性模量理論 工程中的絕大部分壓桿為小柔度壓桿，不能應(yīng)工程中的絕大部分壓桿為小柔度壓桿，不能應(yīng)用歐拉公式。研究小柔度壓桿用歐拉公式。研究小

35、柔度壓桿（ p）臨界應(yīng)力的臨界應(yīng)力的理論很多，此處介紹的折減彈性模量理論是其中之理論很多，此處介紹的折減彈性模量理論是其中之一。一。 現(xiàn)先以矩形截面小柔度鋼壓桿在現(xiàn)先以矩形截面小柔度鋼壓桿在xy平面內(nèi)失穩(wěn)平面內(nèi)失穩(wěn)為例來探討。為例來探討。材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定42 圖圖a所示為鋼在壓縮時(shí)的所示為鋼在壓縮時(shí)的s s- -e e 曲線。曲線。 當(dāng)加載過程中應(yīng)力當(dāng)加載過程中應(yīng)力s s 超過比例極限時(shí)，材料在超過比例極限時(shí)，材料在某一應(yīng)力水平下的彈性模量可應(yīng)用切線模量某一應(yīng)力水平下的彈性模量可應(yīng)用切線模量Es s； 而卸載時(shí)，材料的彈性模量由卸載規(guī)律可知，而卸載時(shí)，材

36、料的彈性模量由卸載規(guī)律可知，它與初始加載時(shí)的彈性模量它與初始加載時(shí)的彈性模量E 相同。相同。材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定43(1) 橫截面上應(yīng)力的變化情況橫截面上應(yīng)力的變化情況 按抽象的概念，小柔度按抽象的概念，小柔度中心壓桿與大柔度中心壓桿中心壓桿與大柔度中心壓桿一樣，當(dāng)一樣，當(dāng)F=Fcr時(shí)桿既可在時(shí)桿既可在直線狀態(tài)下保持平衡，也可直線狀態(tài)下保持平衡，也可在微彎狀態(tài)下保持平衡。在微彎狀態(tài)下保持平衡。小柔度壓桿在直線狀態(tài)下保小柔度壓桿在直線狀態(tài)下保持平衡時(shí)其橫截面上的應(yīng)力持平衡時(shí)其橫截面上的應(yīng)力是均勻的，其值為是均勻的，其值為s scr = Fcr/A（圖（圖b）。

37、）。材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定44 當(dāng)壓桿在此應(yīng)力水平下發(fā)生微彎時(shí)，中性軸一當(dāng)壓桿在此應(yīng)力水平下發(fā)生微彎時(shí)，中性軸一側(cè)側(cè)( (圖圖b中中 z 軸右側(cè)軸右側(cè)) )橫截面上產(chǎn)生附加拉應(yīng)力，使橫截面上產(chǎn)生附加拉應(yīng)力，使原有的壓應(yīng)力原有的壓應(yīng)力s scr減小，故屬于減載，附加彎曲拉減小，故屬于減載，附加彎曲拉應(yīng)力為應(yīng)力為s st=Ey/r r (x) )；中性軸另一側(cè)橫截面上產(chǎn)生中性軸另一側(cè)橫截面上產(chǎn)生附加應(yīng)力，使原有的壓應(yīng)力附加應(yīng)力，使原有的壓應(yīng)力s scr 增大，故屬于加載，附加增大，故屬于加載，附加彎曲壓應(yīng)力為彎曲壓應(yīng)力為s sc=Es s y/r r (x)。因?yàn)?/p>

38、因?yàn)镋Es s，故微彎時(shí)中性軸，故微彎時(shí)中性軸不通過橫截面形心，它離左不通過橫截面形心，它離左邊緣的距離為邊緣的距離為h1，離右邊緣，離右邊緣的距離為的距離為h2。材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定45(2) 中性軸的具體位置中性軸的具體位置 根據(jù)壓桿由于微彎產(chǎn)生的正應(yīng)力在橫截面上不應(yīng)根據(jù)壓桿由于微彎產(chǎn)生的正應(yīng)力在橫截面上不應(yīng)組成合力有組成合力有0dd21tcN AAAAFs ss s即應(yīng)有即應(yīng)有 0dd21 AAAxyEAxyEr rr rs s亦即要求亦即要求0222211 hbhEhbhEs s材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定46這就要求這就

39、要求02221 EhhEs s注意到注意到h1+h2=h，由上式可解得，由上式可解得(a) 21hEEEhhEEEhs ss ss s 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定47(3) 橫截面上彎矩橫截面上彎矩M(x)與曲率與曲率r(x)的關(guān)系的關(guān)系根據(jù)根據(jù) 有有 AzAyMds s 3311 dddd32312122tc2121bhEbhExEIIExAxyAxyEAyAyxMzzAAAAs ss ss sr rr rr rr rs ss s，上式中，上式中，Iz,1=bh13/3和和Iz,2=bh23/3都都是是z軸一側(cè)的矩形對(duì)軸一側(cè)的矩形對(duì)z軸的慣性矩。軸的慣性矩。材料

40、力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定48由上式可得由上式可得 234121s ss sr rEEEEbhxxM為了表達(dá)方便，用為了表達(dá)方便，用I 來表示來表示bh3/12，于是有，于是有 24s ss sr rEEEExIxM為將上式表達(dá)為一般彎曲問題中為將上式表達(dá)為一般彎曲問題中 的形的形式，引入折減彈性模量式，引入折減彈性模量Er： EIxMx r r1 2r4s ss sEEEEE (b)材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定49于是有于是有 xIExMr rr 亦即亦即 IExMxr1 r r或者說，撓曲線的近似微分方程為或者說，撓曲線的近似微分方程為

41、 對(duì)于非矩形截面的小柔度壓桿，其折減彈性模對(duì)于非矩形截面的小柔度壓桿，其折減彈性模量可類似于上面所述的方法求得，而撓曲線方程的量可類似于上面所述的方法求得，而撓曲線方程的形式仍如式形式仍如式(c)所示。所示。 IExMwr (c)材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定50(4) 小柔度壓桿的臨界力和臨界應(yīng)力表達(dá)式小柔度壓桿的臨界力和臨界應(yīng)力表達(dá)式 小柔度壓桿的撓曲線近似微分方程小柔度壓桿的撓曲線近似微分方程(c)與大柔度壓與大柔度壓桿的桿的 wM(x)/EI 完全一致，可見對(duì)不同桿端完全一致，可見對(duì)不同桿端約束下各種截面形狀的小柔度壓桿都有如下公式：約束下各種截面形狀的小柔度

42、壓桿都有如下公式：臨界力臨界力 2r2cr lIEF 臨界應(yīng)力臨界應(yīng)力 2r22r2cr/ s sEilE 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定51III. . 壓桿的臨界應(yīng)力總圖壓桿的臨界應(yīng)力總圖 臨界應(yīng)力總圖是指同一材料制作的壓桿，其臨界臨界應(yīng)力總圖是指同一材料制作的壓桿，其臨界應(yīng)力應(yīng)力s scr隨柔度隨柔度 變化的關(guān)系曲線。變化的關(guān)系曲線。 在在 p的部分，有的部分，有歐拉公式歐拉公式s scr p p2E/ 2表表達(dá)達(dá)s scr 關(guān)系；關(guān)系；但在壓桿但在壓桿柔度柔度 很小時(shí)，由于該理論存在的不足，計(jì)算很小時(shí)，由于該理論存在的不足，計(jì)算所得所得s scr可能會(huì)大于材料

43、的屈服極限可能會(huì)大于材料的屈服極限s ss，故取，故取s scr s ss。 在在 p的范圍內(nèi)可的范圍內(nèi)可利用折減彈性模量理論利用折減彈性模量理論公式公式s scr p p2Er / 2表達(dá)表達(dá)s scr 關(guān)系；關(guān)系；材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定52此外，該此外，該理論公式中有與截面形狀相關(guān)的折減彈性理論公式中有與截面形狀相關(guān)的折減彈性模量模量Er，故，故 91，穩(wěn)定，穩(wěn)定因數(shù)為因數(shù)為109. 01602800280022 j j扒桿的扒桿的許用壓力為許用壓力為 kN77m3 . 04Pa1010109. 0262 AFs sj j例題例題 9-4材料力學(xué)材料力學(xué)(

44、)電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定714. 確定扒桿所能承受的許用壓力確定扒桿所能承受的許用壓力F因?yàn)橐驗(yàn)?F2F1所以所以 F=77kN例題例題 9-4材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定72 廠房的鋼柱由兩根槽鋼組成，廠房的鋼柱由兩根槽鋼組成，并由綴板和綴條聯(lián)結(jié)成整體，承并由綴板和綴條聯(lián)結(jié)成整體，承受軸向壓力受軸向壓力F=270 kN。根據(jù)桿。根據(jù)桿端約束情況，該鋼柱的長(zhǎng)度因數(shù)端約束情況，該鋼柱的長(zhǎng)度因數(shù)取為取為 1.3。鋼柱長(zhǎng)鋼柱長(zhǎng)7 m，材料材料為為Q235鋼，強(qiáng)度許用應(yīng)力鋼，強(qiáng)度許用應(yīng)力s s=170 MPa。該柱屬于。該柱屬于b類類截面中心壓桿。由于桿端連接

45、的需要，其同一橫截截面中心壓桿。由于桿端連接的需要，其同一橫截面上有面上有4個(gè)直徑為個(gè)直徑為d0=30 mm的釘孔。試為該鋼柱選的釘孔。試為該鋼柱選擇槽鋼號(hào)碼。擇槽鋼號(hào)碼。例題例題 9-5材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定731. 按穩(wěn)定條件選擇槽鋼號(hào)碼按穩(wěn)定條件選擇槽鋼號(hào)碼假設(shè)假設(shè)j j0.50，得到壓桿的穩(wěn)定許用應(yīng)力為，得到壓桿的穩(wěn)定許用應(yīng)力為 MPa85MPa17050. 0st s sj js s 按穩(wěn)定條件選擇槽鋼的號(hào)碼，就是先由穩(wěn)定條件按穩(wěn)定條件選擇槽鋼的號(hào)碼，就是先由穩(wěn)定條件 ，得，得 ，然后由，然后由A的值查型鋼表的值查型鋼表選擇槽鋼號(hào)碼?，F(xiàn)在的問題是槽鋼

46、的號(hào)碼未定，慣選擇槽鋼號(hào)碼?，F(xiàn)在的問題是槽鋼的號(hào)碼未定，慣性半徑性半徑i未知，不能由未知，不能由 算出算出 值，也無法確定值，也無法確定j j。通常用試算法選擇槽鋼號(hào)碼。通常用試算法選擇槽鋼號(hào)碼。s sj js s AFs sj jFA il 例題例題 9-5解：解：材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定74因而按穩(wěn)定條件算得每根槽鋼所需橫截面面積為因而按穩(wěn)定條件算得每根槽鋼所需橫截面面積為 2463stm109 .15Pa10852/N102702/ s sFA由型鋼表查得，由型鋼表查得，14a號(hào)槽鋼的橫截面面積為號(hào)槽鋼的橫截面面積為 A =18.51 cm218.5110

47、-4 m2，而它對(duì)，而它對(duì)z軸的慣性半軸的慣性半徑為徑為iz=5.52 cm=55.2 mm。 下面來檢查采用兩根下面來檢查采用兩根14a號(hào)槽鋼的組合截面柱號(hào)槽鋼的組合截面柱其穩(wěn)定因數(shù)其穩(wěn)定因數(shù)j j 是否不小于假設(shè)的是否不小于假設(shè)的j j 0.5。例題例題 9-5材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定75165m102 .55m73 . 13 zil 注意到此組合截面對(duì)于注意到此組合截面對(duì)于z 軸軸的慣性矩的慣性矩 Iz 和面積和面積 A 都是單根都是單根槽鋼的兩倍，故組合截面的槽鋼的兩倍，故組合截面的iz 值值就等于單根槽鋼的就等于單根槽鋼的iz 值。于是有值。于是有該組

48、合截面壓桿的柔度：該組合截面壓桿的柔度：例題例題 9-5材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定76由表由表9- -3(孫訓(xùn)方，孫訓(xùn)方，材料力學(xué)材料力學(xué))查得，查得，Q235鋼鋼b類類截面中心壓桿相應(yīng)的穩(wěn)定因數(shù)為截面中心壓桿相應(yīng)的穩(wěn)定因數(shù)為j j0.262。顯然，。顯然，前面假設(shè)的前面假設(shè)的j j0.5這個(gè)值過大，需重新假設(shè)這個(gè)值過大，需重新假設(shè)j j 值再值再來試算；重新假設(shè)的來試算；重新假設(shè)的j j 值大致上取前面假設(shè)的值大致上取前面假設(shè)的j j0.5和所得的和所得的j j0.262的平均值為基礎(chǔ)稍偏于所得的平均值為基礎(chǔ)稍偏于所得j j 的值。的值。重新假設(shè)重新假設(shè)j j0

49、.35，于是有，于是有 MPa5 .59MPa17035. 0st s sj js s 2463stm107 .22Pa105 .59N101352/ s sFA例題例題 9-5材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定77試選試選16號(hào)槽鋼，其號(hào)槽鋼，其 A=25.1510-4 m2，iz=61 mm，從而有組合截面壓桿的柔度：從而有組合截面壓桿的柔度：2 .149m1061m73 . 13 由表由表9-3得得j j 0.311，它略小于假設(shè)的它略小于假設(shè)的j j0.35?，F(xiàn)按?，F(xiàn)按采用采用2根根16號(hào)槽鋼的組合截面柱而號(hào)槽鋼的組合截面柱而j j0.311進(jìn)行穩(wěn)定進(jìn)行穩(wěn)定性校核

50、。此時(shí)穩(wěn)定許用應(yīng)力為性校核。此時(shí)穩(wěn)定許用應(yīng)力為 MPa9 .52MPa170311. 0st s sj js s例題例題 9-5材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定78按橫截面毛面積算得的工作應(yīng)力為按橫截面毛面積算得的工作應(yīng)力為MPa7 .53m1015.25N101352/243 AFs s 雖然工作應(yīng)力超過了穩(wěn)定許用應(yīng)力，但僅超雖然工作應(yīng)力超過了穩(wěn)定許用應(yīng)力，但僅超過過1.5，這是允許的。這是允許的。例題例題 9-5材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定792. 計(jì)算鋼柱兩槽鋼的合理間距計(jì)算鋼柱兩槽鋼的合理間距 為了使組合截面壓桿在為了使組合截面壓桿在

51、xy和和xz平面內(nèi)有相同穩(wěn)定平面內(nèi)有相同穩(wěn)定性。又由于鋼柱的桿端約性。又由于鋼柱的桿端約束在各縱向平面內(nèi)相同，束在各縱向平面內(nèi)相同，故要求組合截面的慣性矩故要求組合截面的慣性矩Iy = Iz。例題例題 9-5材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定80 如果如果z0，Iy0，Iz0，A0分別代表單根槽鋼的形分別代表單根槽鋼的形心位置和自身的形心主慣性矩以及橫截面面積則心位置和自身的形心主慣性矩以及橫截面面積則IyIz的條件可表達(dá)為的條件可表達(dá)為 20022200hzAIIyz亦即亦即 20202022200hziAiAyz消去公因子消去公因子2A0后有后有例題例題 9-52022200 hziiyz材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案壓桿的穩(wěn)定壓桿的穩(wěn)定812022200 hziiyz在選用在選用16號(hào)槽鋼的情況下，上式為號(hào)槽鋼的情況下，上式為 2222mm5 .17