第14講線性系統(tǒng)的頻域分析法20131124

1、第第5章章 線性系統(tǒng)的頻域分析法線性系統(tǒng)的頻域分析法Frequency-response analysis頻域分析法頻域分析法頻率特性及其表示法頻率特性及其表示法典型環(huán)節(jié)的頻率特性典型環(huán)節(jié)的頻率特性穩(wěn)定裕度和判據(jù)穩(wěn)定裕度和判據(jù)頻率特性指標頻率特性指標 應用頻率特性研究線性系統(tǒng)的經(jīng)典方法稱為應用頻率特性研究線性系統(tǒng)的經(jīng)典方法稱為頻域分析法頻域分析法。 5.15.1頻率特性及其表示法頻率特性及其表示法5.1.1 5.1.1 頻率特性的基本概念頻率特性的基本概念頻率特性頻率特性又稱又稱頻率響應頻率響應，它是系統(tǒng)（或元件）對不同頻，它是系統(tǒng)（或元件）對不同頻率率正弦輸入信號正弦輸入信號的響應特性。的響

2、應特性。 00.511.522.53-2-1.5-1-0.500.511.52線性系統(tǒng)00.511.522.53-5-4-3-2-1012345輸出的輸出的振幅振幅和和相位相位一般均不同于輸入量，且隨著輸入信一般均不同于輸入量，且隨著輸入信號頻率的變化而變化號頻率的變化而變化 設系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為設系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為)()()()()(sVsUsGsRsC已知輸入已知輸入)sin()(tAtr系統(tǒng)輸出系統(tǒng)輸出為為:jAeeAjAeeAeaaetctjjtjjtjtj2)(2)()()()()(sin()(tAA-線性系統(tǒng)的線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出穩(wěn)態(tài)輸出線性系統(tǒng)的線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出穩(wěn)態(tài)輸出是和輸入具有相

3、同頻率的正弦信號，是和輸入具有相同頻率的正弦信號，其輸出與輸入的幅值比為其輸出與輸入的幅值比為)()(jGA輸出與輸入的相位差輸出與輸入的相位差)()(jG說明說明A A為常量為常量 ()SjG jG S)(jG 稱為電路的稱為電路的頻率特性頻率特性。)(jG是是)(jG的幅值的幅值)(是是)(jG的相角的相角)(jG和和)(都是輸入信號頻率都是輸入信號頻率故它們分別被稱為電路的故它們分別被稱為電路的幅頻特性幅頻特性和和相頻特性相頻特性。它由該電路的結構和參數(shù)決定，與輸入信號的幅值與相位無關。它由該電路的結構和參數(shù)決定，與輸入信號的幅值與相位無關。它表示在穩(wěn)態(tài)時，電路的輸出與輸入的它表示在穩(wěn)態(tài)

4、時，電路的輸出與輸入的幅值之比幅值之比。它表示在穩(wěn)態(tài)時，輸出信號與輸入信號的它表示在穩(wěn)態(tài)時，輸出信號與輸入信號的相位差相位差。由于由于的函數(shù)的函數(shù) ()SjG jG S5頻率特性的頻率特性的物理意義物理意義是：當一頻率為是：當一頻率為 的正弦信號加到的正弦信號加到電路的輸入端后電路的輸入端后，在在穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài)時，電路的輸出與輸入之比；時，電路的輸出與輸入之比；或者說輸出與輸入的幅值之比和相位之差或者說輸出與輸入的幅值之比和相位之差。 下面以下面以R-C電路為例，說明頻率特性的電路為例，說明頻率特性的物理意義。圖所示電路的傳遞函數(shù)為物理意義。圖所示電路的傳遞函數(shù)為 R圖5-3 R-C電路CiuouR

5、CssGsUsUio11)()()(設輸入電壓)sin()(tAtui由復阻抗的概念求得TjRCjjGjUjUio1111)()()()()()(jejGjG式中RCT 2211)(TjGarctgT)( 電路的輸出與輸入的幅值之比電路的輸出與輸入的幅值之比 (a) 幅頻特性幅頻特性 (b)相頻特性相頻特性 輸出與輸入的相位之差輸出與輸入的相位之差 RCssGsUsUio11)()()(TjRCjjGjUjUio1111)()()(頻率特性與傳遞函數(shù)具有十分相的形式頻率特性與傳遞函數(shù)具有十分相的形式 比較比較jssGjG)()(頻率特性系統(tǒng)傳遞函數(shù)微分方程jspjpsdtdp 5.1.2 頻率

6、特性的表示法 (1)1)極坐標圖極坐標圖 (Polar plot)(2)對數(shù)坐標圖對數(shù)坐標圖 (Bode diagram or logarithmic plot)(3)對數(shù)幅相圖對數(shù)幅相圖 (Log-magnitude versus phase plot)1. 極坐標圖極坐標圖(乃奎斯特圖乃奎斯特圖或乃氏圖或或乃氏圖或Nyquist圖圖)-幅相頻率特性曲線幅相頻率特性曲線 系統(tǒng)頻率特性可表示為系統(tǒng)頻率特性可表示為 用一向量表示某一頻率用一向量表示某一頻率 下的下的 向量向量的長度的長度 ，向量極坐標角為，向量極坐標角為 ， 的正方向取為逆時針方向，選極坐標與直角的正方向取為逆時針方向，選極坐標

7、與直角坐標重合，極坐標的頂點在坐標原點。坐標重合，極坐標的頂點在坐標原點。 ()() |( )|jG jGe i)(ijG|()|iG)(i)(極坐標圖極坐標圖 頻率特性頻率特性G(j)是輸入頻率是輸入頻率的復變函數(shù)，的復變函數(shù)，是一種變換，當頻率是一種變換，當頻率由由00時，時，G G( (jj) )變化變化的曲線，即向量端點軌跡就稱為極坐標圖。的曲線，即向量端點軌跡就稱為極坐標圖。 極坐標圖在極坐標圖在 時，在實軸上的投影時，在實軸上的投影為為實頻特性實頻特性 ，在虛軸上的投影為，在虛軸上的投影為虛頻特虛頻特性性 。i)(ip)(i)(i)(ip2. 對數(shù)坐標圖對數(shù)坐標圖(Bode圖圖)

8、Bode Bode圖由圖由對數(shù)幅頻特性對數(shù)幅頻特性和和對數(shù)相頻特對數(shù)相頻特性兩性兩張圖組成。張圖組成。 對 數(shù) 幅 頻 特 性對 數(shù) 幅 頻 特 性 是 頻 率 特 性 的 對 數(shù) 值是 頻 率 特 性 的 對 數(shù) 值 L()=20=20lg|G() |（dB）與頻率與頻率的關系曲線；的關系曲線； 對數(shù)相頻特性對數(shù)相頻特性是頻率特性的相角是頻率特性的相角 ( (度度) )與與頻率頻率的關系曲線。的關系曲線。 )(Bode圖坐標系圖坐標系 對數(shù)幅頻特性的縱對數(shù)幅頻特性的縱軸為軸為L()=2020lg|G()|采 用采 用 線 性 分 度線 性 分 度 ， |G()|每增加每增加1010倍，倍，L

9、()增加增加20dB20dB；橫坐；橫坐標采用標采用對數(shù)分度對數(shù)分度lg，即橫軸上的即橫軸上的取對數(shù)取對數(shù)后為等分點。后為等分點。 對數(shù)相頻特性橫軸對數(shù)相頻特性橫軸采用采用對數(shù)分度對數(shù)分度，縱軸，縱軸為為線性分度線性分度，單位為，單位為度。度。 0 00 0)()()()(21jGjGjGjGn )()(2)(1)()()(21njnjjeAeAeA )(.)()(2121)()()(njneAAA n個環(huán)節(jié)串聯(lián)個環(huán)節(jié)串聯(lián) )()()(lg20)(lg20)(21nAAAjGL )(lg20)(lg20)(lg2021nAAA )()()(21nLLL )()()()()()(21njG 對數(shù)

10、相頻特性對數(shù)相頻特性 為為 對數(shù)幅頻特性對數(shù)幅頻特性L()為為對數(shù)幅相坐標系對數(shù)幅相坐標系3. 對數(shù)幅相圖對數(shù)幅相圖 對數(shù)幅相圖是將對數(shù)幅相圖是將對數(shù)幅頻特性對數(shù)幅頻特性和和相頻特相頻特性性兩張圖，在角頻率為參變量的情況下合兩張圖，在角頻率為參變量的情況下合成一張圖，如圖所示。成一張圖，如圖所示。 控制系統(tǒng)由若干典型環(huán)節(jié)組成，常見的控制系統(tǒng)由若干典型環(huán)節(jié)組成，常見的典型環(huán)節(jié)有典型環(huán)節(jié)有比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié) K，積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié) , ,慣性環(huán)慣性環(huán)節(jié)節(jié) ，比例微分環(huán)節(jié)比例微分環(huán)節(jié) 1+1+Ts，微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)s，振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié) ，滯后環(huán)節(jié)滯后環(huán)節(jié) 等。等。 下面分別討論典型環(huán)節(jié)的頻率特性。下面分

11、別討論典型環(huán)節(jié)的頻率特性。1/ s1/(1)Ts12122TssTse 5.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性L()=20lgA()1. 比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)：比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)： G(s)=K頻率特性：頻率特性：幅頻特性：幅頻特性：相頻特性：相頻特性： 對數(shù)幅頻特性：對數(shù)幅頻特性： KjG)(KA)(0)(KALlg20)(lg20)(比例環(huán)節(jié)幅相曲線比例環(huán)節(jié)幅相曲線 KA)(0)(KALlg20)(lg20)( 對數(shù)幅頻特性為一水平線，對數(shù)幅頻特性為一水平線，相頻特性與橫坐標重合。相頻特性與橫坐標重合。比例環(huán)節(jié)的極坐標圖為一點。比例環(huán)節(jié)的極坐標圖為一點。2. 積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的傳

12、遞函數(shù)：頻率特性：頻率特性： 幅頻特性：幅頻特性： 相頻特性：相頻特性： 對數(shù)幅頻特性：對數(shù)幅頻特性：ssG1)(211)(jejjG1)(A2)(lg20)(lg20)(AL積分環(huán)節(jié)的極坐標圖積分環(huán)節(jié)的極坐標圖積分環(huán)節(jié)的積分環(huán)節(jié)的Bode圖圖lg20)(lg20)(AL1)(A2)(3. 微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)純微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)： G(s)=s 頻率特性：頻率特性： 幅頻特性：幅頻特性：相頻特性：相頻特性： 對數(shù)幅頻特性：對數(shù)幅頻特性：2 )(jejjG)(A2)(lg20)(lg20)(AL純微分環(huán)節(jié)的極坐標圖純微分環(huán)節(jié)的極坐標圖純微分環(huán)節(jié)的純微分環(huán)節(jié)的Bode圖圖 lg20)(lg20)(A

13、L)(A2)(4. 慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)：慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)： 頻率特性：頻率特性： 幅頻特性：幅頻特性： 11)(TssGTjarctgeTTjjG2)(1111)(2222111TTjT2211)(TA相頻特性：相頻特性： 實頻特性：實頻特性： 虛頻特性：虛頻特性： 對數(shù)幅頻特性：對數(shù)幅頻特性：對數(shù)相頻特性：對數(shù)相頻特性：Tarctg)(2211)(Tp221)(TT221lg20)(lg20)(TALTarctg)(慣性環(huán)節(jié)極坐標圖慣性環(huán)節(jié)極坐標圖（1）當）當 時，對數(shù)幅頻特性可近時，對數(shù)幅頻特性可近似為似為 （2）當）當 時，對數(shù)幅頻特性可近時，對數(shù)幅頻特性可近似為似為慣

14、性環(huán)節(jié)的Bode圖22( )20lg 10LTdB TTLlg201lg20)(22T1T1221lg20)(lg20)(TAL 慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線近似為兩慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線近似為兩段直線。兩直線相交，交點處頻率段直線。兩直線相交，交點處頻率 ，稱，稱為為轉折頻率轉折頻率。 兩直線實際上是對數(shù)幅頻特性曲線的漸兩直線實際上是對數(shù)幅頻特性曲線的漸近線，故又稱為近線，故又稱為對數(shù)幅頻特性漸近線對數(shù)幅頻特性漸近線。 用漸近線代替對數(shù)幅頻特性曲線，最大用漸近線代替對數(shù)幅頻特性曲線，最大誤差發(fā)生在轉折頻率處，即誤差發(fā)生在轉折頻率處，即 處。處。 T1T1誤差為誤差為 dB TLLL1)()

15、()(漸03. 3 在高于轉折頻率一個倍頻處，即在高于轉折頻率一個倍頻處，即 的的誤差為誤差為 dBT2)()()(漸LLL97. 0lg201lg2022TT 誤差曲線如圖5-11所示。圖5-11 慣性環(huán)節(jié)的誤差曲線2)()(211nnjj22222)2()1 (log20)()(211log20)(nnnnjjL在低頻時，即當在低頻時，即當nndBnnlog40log2022低頻漸近線為一條低頻漸近線為一條0分貝的水平線分貝的水平線-20log1=0dB在高頻時，即當在高頻時，即當高頻時的對數(shù)幅頻特性曲線是一條斜率為高頻時的對數(shù)幅頻特性曲線是一條斜率為-40分貝分貝/十倍頻程的直線十倍頻程

16、的直線由于在由于在n時時dBn01log40log40所以高頻漸近線與低頻漸近線在所以高頻漸近線與低頻漸近線在n處相交。這個頻率稱為處相交。這個頻率稱為交接頻率交接頻率。5. 二階振蕩環(huán)節(jié)二階振蕩環(huán)節(jié)對于欠阻尼對于欠阻尼n時時21)(jjGn相角相角90)(jG的軌跡與虛軸交點的軌跡與虛軸交點處的頻率，就是無處的頻率，就是無阻尼自然頻率阻尼自然頻率n極坐標圖上，距原極坐標圖上，距原點最遠的頻率點，點最遠的頻率點，相應于諧振頻率相應于諧振頻率r這時這時)(jG可以用諧振頻率可以用諧振頻率r處的向量幅值，與處的向量幅值，與0處向量幅值之比來確定。處向量幅值之比來確定。當當Nyquist Diagr

17、amReal AxisImaginary Axis-3-2-10123-6-5-4-3-2-10n0的峰值的峰值過阻尼情況增加到遠大于1時，)(jG的軌跡趣近于半圓。這是因為對于強阻尼系統(tǒng)，特征方程的根為實根，并且其中一個根遠小于另一個根。對于足夠大的值，比較大的一個根對系統(tǒng)影響很小，因此系統(tǒng)的特征與一階系統(tǒng)相似。 當Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-3-2-10123-6-5-4-3-2-102 . 01 . 03 . 04 .40-30-20-1001020dB1 . 02 . 03 . 05 . 07 . 00 .

18、1圖5-13 二階因子的對數(shù)幅頻特性曲線 幅頻特性與 關系10-1100101-180-160-140-120-100-80-60-40-200degPhase of 2-order factor1 . 02 . 03 . 05 . 07 . 00 . 1圖5-13 二階因子的對數(shù)相頻特性曲線 相頻特性與 關系10-1100101-6-4-202468101214dB1 . 02 . 03 . 05 . 07 . 00 . 1圖5-14 二階因子的頻率響應曲線以漸近線表示時引起的對數(shù)幅值誤差幅值誤差與 關系 22221()(1)(2)nnAG j2222232222222214( )014nnnnndAd 21200.707221rrMA諧振頻率諧振頻率諧振頻率