大學物理馬文蔚課堂筆記課件

1、上海師范大學上海師范大學大學物理馬文蔚課堂筆記大學物理馬文蔚課堂筆記13.9 質心質心 質心運動定律質心運動定律 iiicmmmrmrmrmr2122111. 對于分立的質點系對于分立的質點系xzyOm2m1CmimNcrir2r1rnr 第一章和第二章學習了質點的運動學和動力學第一章和第二章學習了質點的運動學和動力學.本章的前幾節(jié)從能量及其守恒定律的角度學習了質點系的運動規(guī)律本章的前幾節(jié)從能量及其守恒定律的角度學習了質點系的運動規(guī)律.但對于但對于質點系質點系的運動學和動力學沒有討論的運動學和動力學沒有討論.因為質點系的運動學因為質點系的運動學方程組方程組和動力學方程組的求解太復雜和動力學方程

2、組的求解太復雜.換一個角度考慮換一個角度考慮, 質點系的運動可以看成是質點系的運動可以看成是質心的運動質心的運動和質點系中各和質點系中各質點質點相對于質心的運動相對于質心的運動.例如例如, 跳水運動員在空中的運動可以看成質心的運動和相對于質心的轉動跳水運動員在空中的運動可以看成質心的運動和相對于質心的轉動.一、質心的坐標一、質心的坐標iiiiimrm m 是質點系的總質量是質點系的總質量.mrmiii(1)/14上海師范大學上海師范大學大學物理馬文蔚課堂筆記大學物理馬文蔚課堂筆記23.9 質心質心 質心運動定律質心運動定律直角坐標系下：直角坐標系下：;mxmxiiic;mymyiiic2. 對

3、于質量連續(xù)分布的物體對于質量連續(xù)分布的物體xzyOm2m1C(xc,yc,zc )mimNcrir2r1rnr對于質量連續(xù)分布的物體對于質量連續(xù)分布的物體, 上面的求和要用上面的求和要用積分代替積分代替. 如右下圖所示如右下圖所示.xzyOCrcdmrdmdmrrc直角坐標系下：直角坐標系下：;mxdmxc;mydmycdVm是物體的是物體的總質量總質量.式中式中dVdm是質量元是質量元.mdmr(3)mzmziiic(2)mzdmzc(4)/14上海師范大學上海師范大學大學物理馬文蔚課堂筆記大學物理馬文蔚課堂筆記33.9 質心質心 質心運動定律質心運動定律下面通過兩個例子掌握質量分立和連續(xù)分

4、布體系的質心的求法下面通過兩個例子掌握質量分立和連續(xù)分布體系的質心的求法. 例例 1 水分子水分子H2O是由兩個氫原子和一個氧原子構成是由兩個氫原子和一個氧原子構成, 它們的結構如右下圖它們的結構如右下圖 所示所示. 每個氫原子與氧原子之間距離均為每個氫原子與氧原子之間距離均為d=1.0 10-10m, 氫原子與氧原氫原子與氧原 子兩條連線之間的夾角為子兩條連線之間的夾角為 =104.60. 求水分子的質心求水分子的質心.解解 如圖所示如圖所示, 將坐標原點建在氧原子的中心將坐標原點建在氧原子的中心.HOH52.3052.30Cxy根據(jù)對稱性可知根據(jù)對稱性可知, 質心的位置應該在對稱軸質心的位

5、置應該在對稱軸(x軸軸)上上. 密度均勻、形狀對稱分布的物體密度均勻、形狀對稱分布的物體, 其質心都在它的幾何中心處其質心都在它的幾何中心處.如質量均勻分布的圓環(huán)其質心在圓環(huán)中心如質量均勻分布的圓環(huán)其質心在圓環(huán)中心; 質量均勻分布的球其質心在球心等質量均勻分布的球其質心在球心等.即即0cy由質心的計算公式可得由質心的計算公式可得, iiiiicmxmxHOHHOHmmmxmxmxm321HOHHmmmdm2/cos211613 .52cos100 . 112010m12108 . 6即水分子的質心在對稱軸上即水分子的質心在對稱軸上距氧原子中心距氧原子中心6.8 10-12m處處./14上海師范

6、大學上海師范大學大學物理馬文蔚課堂筆記大學物理馬文蔚課堂筆記43.9 質心質心 質心運動定律質心運動定律例例 2 求半徑為求半徑為R的的勻質勻質半薄球殼的質心半薄球殼的質心.解解 如圖所示如圖所示, 將坐標原點建在球殼的球心將坐標原點建在球殼的球心.根據(jù)對稱性可知根據(jù)對稱性可知, 質心的位置應該在對稱軸質心的位置應該在對稱軸(z軸軸)上上. 即即0;0ccyx由質心的計算公式可得由質心的計算公式可得, mzdSmzdmzc22RSmdszzdm)sin()(cos202/0 dRRdR在在球坐標系球坐標系中進行計算中進行計算, 球坐標系中有球坐標系中有;cosRz )sin()(dRRddSy

7、z0 xCdS 設勻質薄球殼的質量面密度為設勻質薄球殼的質量面密度為 , 則半球殼的總質量為則半球殼的總質量為202/03sincosddR202/03sinsin ddR2/023sin212R3R/14上海師范大學上海師范大學大學物理馬文蔚課堂筆記大學物理馬文蔚課堂筆記53.9 質心質心 質心運動定律質心運動定律yz0 xdSC22Rm3Rzdm將將和和代入質心計算式代入質心計算式mzdmzc得得, 2223RRRmzdmzc由此可得由此可得, 質心的坐標為質心的坐標為(0,0, R/2), 質心在半球殼對稱軸上半徑的中點處質心在半球殼對稱軸上半徑的中點處.二、質心運動定律二、質心運動定律

8、以上討論的是如何確定任意體系的質心位置以上討論的是如何確定任意體系的質心位置.那么質心的運動遵守什么規(guī)律呢那么質心的運動遵守什么規(guī)律呢 ? 遵守牛頓定律嗎遵守牛頓定律嗎 ?niiicniiicrmrmmrmr11因為質點的質量及總質量是不變的因為質點的質量及總質量是不變的, 因此上式兩邊對時間求導數(shù)因此上式兩邊對時間求導數(shù), 得得iiicdtrdmdtrdm(5)設質點系由設質點系由n個質點組成個質點組成./14上海師范大學上海師范大學大學物理馬文蔚課堂筆記大學物理馬文蔚課堂筆記63.9 質心質心 質心運動定律質心運動定律niiicdtrdmdtrdm1(5)由速度的定義式可知由速度的定義式可

9、知trcdd是質心的運動速度是質心的運動速度; tridd是第是第i個質點的運動速度個質點的運動速度.因此因此, (5)式可以寫成式可以寫成, cniiniiicppmm11(6)(6)式表明式表明, 系統(tǒng)內各質點的動量的矢量和等于系統(tǒng)質心的速度乘以系統(tǒng)的質量系統(tǒng)內各質點的動量的矢量和等于系統(tǒng)質心的速度乘以系統(tǒng)的質量.即系統(tǒng)內各質點的動量的矢量和等于系統(tǒng)質心的動量即系統(tǒng)內各質點的動量的矢量和等于系統(tǒng)質心的動量.(6)式兩邊再對時間求導數(shù)得式兩邊再對時間求導數(shù)得,由質點系的動量定理由質點系的動量定理(P553-4b式式)tpFFniexiexdd1可得可得, ccexamdtdmtpFdd(7)

10、tptptmtmtmcniininiiiiicddddd)d(dddd111/14上海師范大學上海師范大學大學物理馬文蔚課堂筆記大學物理馬文蔚課堂筆記73.9 質心質心 質心運動定律質心運動定律ccexamdtdmtpFdd(7)(7)式表明式表明, 作用在系統(tǒng)上的合外力等于系統(tǒng)的總質量乘以系統(tǒng)質心的加速度作用在系統(tǒng)上的合外力等于系統(tǒng)的總質量乘以系統(tǒng)質心的加速度. -這一結論稱為質心運動定律這一結論稱為質心運動定律.(7)式形式上相當于質點系的所有質量都集中在質心上式形式上相當于質點系的所有質量都集中在質心上, 而所有外力都作用在而所有外力都作用在質心上時的牛頓第二定律質心上時的牛頓第二定律.

11、例例 3 設有一質量為設有一質量為2 m的彈丸的彈丸, 從地面斜拋出去從地面斜拋出去, 它飛行在最高點處爆炸成質量相等的兩個碎片它飛行在最高點處爆炸成質量相等的兩個碎片, 其其中一個碎片豎直自由下落中一個碎片豎直自由下落, 另一個碎片水平拋出另一個碎片水平拋出, 它們同時落地它們同時落地, 試問第二個碎片落地點在何處試問第二個碎片落地點在何處 ?mm分析分析, 本題可以用二種方法求解本題可以用二種方法求解:(ii) 直接用運動學方法求解直接用運動學方法求解.(i) 用質心運動定律求解用質心運動定律求解.下面用二種方法進行求解下面用二種方法進行求解.2mC/14上海師范大學上海師范大學大學物理馬

12、文蔚課堂筆記大學物理馬文蔚課堂筆記83.9 質心質心 質心運動定律質心運動定律2mCmm由質心坐標的計算公式可得由質心坐標的計算公式可得, 解法一解法一: 書上的解法書上的解法-用質心運動定律求解用質心運動定律求解.由于爆炸是屬于內力由于爆炸是屬于內力, 因此根據(jù)質心運動定律因此根據(jù)質心運動定律可知可知, 爆炸前后彈丸的質心運動軌跡是相同的爆炸前后彈丸的質心運動軌跡是相同的.建立坐標系如圖建立坐標系如圖, 以第一個碎片的落地點為坐標原點以第一個碎片的落地點為坐標原點.第二個碎片的落地點為第二個碎片的落地點為x2; 二碎片的質心坐標為二碎片的質心坐標為xc .xoxCx2)(2102122222

13、212211mmxmmxmmmxmxmxc由此可解得由此可解得, cxx22即第二個碎片的落地點與第一個碎片落地點之間的水平距離是碎片的質心即第二個碎片的落地點與第一個碎片落地點之間的水平距離是碎片的質心與第一個碎片落地點水平距離的兩倍與第一個碎片落地點水平距離的兩倍.質心的落地點就是彈丸不爆炸時的落地點質心的落地點就是彈丸不爆炸時的落地點./14上海師范大學上海師范大學大學物理馬文蔚課堂筆記大學物理馬文蔚課堂筆記93.9 質心質心 質心運動定律質心運動定律解法二解法二: 直接用運動學方法進行求解直接用運動學方法進行求解.設爆炸前彈丸的速度為設爆炸前彈丸的速度為v, 爆炸后第一個碎片爆炸后第一

14、個碎片的速度為的速度為v1, 第二個碎片的速度為第二個碎片的速度為v2.2mCmmxoxCx2v2V1=0由于爆炸過程中由于爆炸過程中, 內力遠大于外力內力遠大于外力, 因此動量守恒因此動量守恒. 題設爆炸后第一個碎片自由下落題設爆炸后第一個碎片自由下落, 因此因此V1=0.由此可得由此可得, 爆炸后第二個碎片的水平速度爆炸后第二個碎片的水平速度v2為為22設爆炸后碎片下落的時間為設爆炸后碎片下落的時間為 t, 則第二個碎片的落地點距第一個碎片落地點的距離為則第二個碎片的落地點距第一個碎片落地點的距離為ttx222如果彈丸不爆炸如果彈丸不爆炸, 則彈丸的下落時間也是則彈丸的下落時間也是 t,

15、因此彈丸因此彈丸(質心質心)落地點距離原點為落地點距離原點為txc212mmm即即由此可得由此可得, cxx22即第二個碎片的落地點與第一個碎片落地點之間的水平距離是碎片的質心即第二個碎片的落地點與第一個碎片落地點之間的水平距離是碎片的質心與第一個碎片落地點水平距離的兩倍與第一個碎片落地點水平距離的兩倍. 與方法一計算結果相同與方法一計算結果相同./14上海師范大學上海師范大學大學物理馬文蔚課堂筆記大學物理馬文蔚課堂筆記10習習 題題 課課/14P97 習題習題3-30:質量為質量為m1的彈丸的彈丸, 穿過如圖所示的擺錘后穿過如圖所示的擺錘后, 速率由速率由v減小到減小到v/2. 已知擺錘的質

16、量已知擺錘的質量為為m2, 擺擺線線長度為長度為L, 如果擺錘能在垂直平面內完成一個完全的圓周運動如果擺錘能在垂直平面內完成一個完全的圓周運動, 彈丸彈丸的速度的最小值應為多少的速度的最小值應為多少? vv/2lm1m2解解 本題分為兩個過程本題分為兩個過程: 過程一過程一: 彈丸與擺錘的碰撞過程彈丸與擺錘的碰撞過程; 過程二過程二: 擺錘在豎直平面內作圓周運動的過程擺錘在豎直平面內作圓周運動的過程; 碰撞過程中碰撞過程中, 彈丸與擺錘在水平方向合力為零彈丸與擺錘在水平方向合力為零, 因此水平方向動守恒因此水平方向動守恒. 02112mmm設碰撞后擺錘的速度為設碰撞后擺錘的速度為 , 由動量守

17、恒定律得由動量守恒定律得001221022mmmm即即0上海師范大學上海師范大學大學物理馬文蔚課堂筆記大學物理馬文蔚課堂筆記11習習 題題 課課/14碰撞后碰撞后,擺錘在豎直平面內作圓周運動擺錘在豎直平面內作圓周運動, glgmlmFHH2222)()(0因此因此 在最高點處有在最高點處有,nFmgFFn是擺錘作圓周運動所需的向心力是擺錘作圓周運動所需的向心力.vv/2lm1m20mgHFlmgmFH222)(由此可得由此可得最高點處的速率為最高點處的速率為 , 最高點處擺錘受到重力最高點處擺錘受到重力mg和繩子和繩子的拉力的拉力F的作用的作用, 如圖所示如圖所示H擺錘在豎直平面內作圓周運動的

18、過程中只有重力作功擺錘在豎直平面內作圓周運動的過程中只有重力作功,故機械能守恒故機械能守恒. 取最低點為勢能零取最低點為勢能零, 則有則有 )2()(21)(21222202lgmmmHglglglglHH544)()(220代入得將即即gl50glmmglmmmm5252212min12012由此可得子彈速度為由此可得子彈速度為上海師范大學上海師范大學大學物理馬文蔚課堂筆記大學物理馬文蔚課堂筆記12習習 題題 課課P97 習題習題3-34:如圖所示如圖所示, 一個質量為一個質量為m的小球的小球, 從內壁為半球形的容器邊緣點從內壁為半球形的容器邊緣點A滑下滑下, 設容器設容器質量為質量為 ,

19、半徑為半徑為R, 內壁光滑內壁光滑, 并放置在摩擦可以忽略的水平桌面上并放置在摩擦可以忽略的水平桌面上, 開始時開始時小球和容器都處于靜止狀態(tài)小球和容器都處于靜止狀態(tài), 當小球沿內壁滑到容器底的點當小球沿內壁滑到容器底的點B時時, 受到向上的支受到向上的支持力為多大持力為多大? mm AROB解解 桌面為參照系桌面為參照系 (1) 在小球下落過程中在小球下落過程中, 小球和容器所受的合外力等于小球和容器所受的合外力等于 零零, 因此小球和容器構成的系統(tǒng)動量守恒因此小球和容器構成的系統(tǒng)動量守恒.mm當小球下落到最低點當小球下落到最低點B時時, 小球的速度方向沿水平向左小球的速度方向沿水平向左. 設在設在B點時小球點時小球相對于桌面相對于桌面的速度為的速度為m由于動量守恒由于動量守恒, 容器將向右運動容器將向右運動, 設容器設容器相對于桌面相對于桌面的速度為的速度為m) 1 (0mmmm設向左方向為正設向左方向為正, 由動量守恒定律可得由動量守恒定律可得/