第 3 講控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

1、第第 3 講講 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性1.穩(wěn)定性的定義？穩(wěn)定性的定義？2.如何判別穩(wěn)定性？如何判別穩(wěn)定性？3.穩(wěn)定性的衡量指標？穩(wěn)定性的衡量指標？需要掌握內(nèi)容需要掌握內(nèi)容1.穩(wěn)定性的定義穩(wěn)定性的定義.2.勞斯穩(wěn)定判據(jù)及其應用勞斯穩(wěn)定判據(jù)及其應用.3.Nyquist穩(wěn)定判據(jù)及應用穩(wěn)定判據(jù)及應用.4.相角裕量及增益裕量含義相角裕量及增益裕量含義.5.閉環(huán)頻率特性各指標含義閉環(huán)頻率特性各指標含義.6.頻率特性指標與動態(tài)特性之間的關(guān)系頻率特性指標與動態(tài)特性之間的關(guān)系.3.13.1 穩(wěn)定性的重要性穩(wěn)定性的重要性開環(huán)不穩(wěn)定開環(huán)不穩(wěn)定閉環(huán)穩(wěn)定閉環(huán)穩(wěn)定閉環(huán)不穩(wěn)定閉環(huán)不穩(wěn)定1986.4.26烏克蘭硬件

2、沒有失效硬件沒有失效閥正常工作閥正常工作電控柜沒有停機電控柜沒有停機控制系統(tǒng)控制系統(tǒng)蒸汽越多蒸汽越多反應越強反應越強操作員沒有執(zhí)行操作員沒有執(zhí)行Power-hold mode操作員抽出控制棒操作員抽出控制棒使能量回復使能量回復蒸汽空間減至零，防止停蒸汽空間減至零，防止停機，繼續(xù)減小控制棒至機，繼續(xù)減小控制棒至6操作員減小供水流量，操作員減小供水流量，反應增加，處于不穩(wěn)反應增加，處于不穩(wěn)定狀態(tài)定狀態(tài)l不穩(wěn)定系統(tǒng)比穩(wěn)定系統(tǒng)更難控制不穩(wěn)定系統(tǒng)比穩(wěn)定系統(tǒng)更難控制l含有不穩(wěn)定元件的閉環(huán)系統(tǒng)只是含有不穩(wěn)定元件的閉環(huán)系統(tǒng)只是局部穩(wěn)定的。局部穩(wěn)定的。l不穩(wěn)定系統(tǒng)的控制器很關(guān)鍵。不穩(wěn)定系統(tǒng)的控制器很關(guān)鍵。更多請

3、參考更多請參考“Respect the unstable” by Gunter Stein, IEEE Control systems Magazine, 200312 穩(wěn)定是控制系統(tǒng)正常工作的首要條件穩(wěn)定是控制系統(tǒng)正常工作的首要條件, ,不穩(wěn)定的系統(tǒng)是無不穩(wěn)定的系統(tǒng)是無法正常工作的。法正常工作的。穩(wěn)定性定義穩(wěn)定性定義：如果在如果在擾動作用擾動作用下系統(tǒng)偏離了原來的平衡下系統(tǒng)偏離了原來的平衡狀態(tài)，當擾動消失后，系統(tǒng)能夠以狀態(tài)，當擾動消失后，系統(tǒng)能夠以足夠的精度恢復到足夠的精度恢復到原來的平衡狀態(tài)原來的平衡狀態(tài)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則，系統(tǒng)不穩(wěn)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。定。odf穩(wěn)定系統(tǒng)

4、穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)Mbcof 所謂穩(wěn)定性，是指系統(tǒng)在擾動消失后，由初始偏差狀態(tài)所謂穩(wěn)定性，是指系統(tǒng)在擾動消失后，由初始偏差狀態(tài)恢復到原平衡狀態(tài)的性能?；謴偷皆胶鉅顟B(tài)的性能。13條件穩(wěn)定系統(tǒng)條件穩(wěn)定系統(tǒng)a a、c c 允許偏差范圍允許偏差范圍d d、e e 規(guī)定偏差邊界規(guī)定偏差邊界141 1、系統(tǒng)的穩(wěn)定性分為、系統(tǒng)的穩(wěn)定性分為大范圍內(nèi)大范圍內(nèi)穩(wěn)定和穩(wěn)定和小范圍內(nèi)小范圍內(nèi)穩(wěn)定。穩(wěn)定。2 2、大范圍內(nèi)穩(wěn)定大范圍內(nèi)穩(wěn)定是指如果系統(tǒng)受到擾動后，不論它的初始偏是指如果系統(tǒng)受到擾動后，不論它的初始偏差多大，都能以足夠的精度恢復到初始平衡狀態(tài)。差多大，都能以足夠的精度恢復到初始平衡狀態(tài)。3 3、小

5、范圍內(nèi)穩(wěn)定小范圍內(nèi)穩(wěn)定是指如果系統(tǒng)受到擾動后，只有當它的初始是指如果系統(tǒng)受到擾動后，只有當它的初始偏差小于某一定值時，才能在取消擾動后恢復到初始平衡狀態(tài)。偏差小于某一定值時，才能在取消擾動后恢復到初始平衡狀態(tài)。4 4、穩(wěn)定的線性穩(wěn)定的線性系統(tǒng)必須在大范圍和小范圍內(nèi)都穩(wěn)定。而系統(tǒng)必須在大范圍和小范圍內(nèi)都穩(wěn)定。而非非線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)或者是線性化后的非線性系統(tǒng)只是在小范圍內(nèi)穩(wěn)定，或者是線性化后的非線性系統(tǒng)只是在小范圍內(nèi)穩(wěn)定，而在大范圍內(nèi)卻不穩(wěn)定。而在大范圍內(nèi)卻不穩(wěn)定。5、線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是、線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的固有特性系統(tǒng)自身的固有特性，它和系統(tǒng)的，它和系統(tǒng)的輸入信號無關(guān)，僅取決于特征方程的

6、根。輸入信號無關(guān)，僅取決于特征方程的根。15 平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性和系統(tǒng)的運動穩(wěn)定性平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性和系統(tǒng)的運動穩(wěn)定性 系統(tǒng)的運動穩(wěn)定性：即系統(tǒng)方程在不受任何外界系統(tǒng)的運動穩(wěn)定性：即系統(tǒng)方程在不受任何外界輸入作用下，輸入作用下，系統(tǒng)方程的解系統(tǒng)方程的解在時間在時間t t趨于無窮趨于無窮時的漸進行為。時的漸進行為。 嚴格地說，平衡狀態(tài)穩(wěn)定性與運動穩(wěn)定性并不是嚴格地說，平衡狀態(tài)穩(wěn)定性與運動穩(wěn)定性并不是一回事。但對于線性系統(tǒng)而言，運動穩(wěn)定性與平一回事。但對于線性系統(tǒng)而言，運動穩(wěn)定性與平衡狀態(tài)穩(wěn)定性是等價的。衡狀態(tài)穩(wěn)定性是等價的。3.2 BIBO穩(wěn)定穩(wěn)定 定義：定義： 若系統(tǒng)在任意有界輸入若系統(tǒng)在任意有界

7、輸入下，對應的輸出均為有界，下，對應的輸出均為有界，則稱系統(tǒng)有界輸入則稱系統(tǒng)有界輸入- -有界輸有界輸出穩(wěn)定。出穩(wěn)定。BIBOBIBO穩(wěn)定的充分必要條件穩(wěn)定的充分必要條件0|( ) |g tdt l對于對于LTILTI系統(tǒng)，其脈沖響應系統(tǒng)，其脈沖響應g(tg(t) )滿足滿足l 對于對于LTI系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)的所有極點都系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)的所有極點都具有負實部具有負實部18 s )(sG s19Xi(s)Xo(s)(1)ks Ts 圖圖3.1 3.1 系統(tǒng)傳遞框圖系統(tǒng)傳遞框圖 例：判斷如圖例：判斷如圖3.13.1所示單位負反饋系統(tǒng)是否穩(wěn)定。所示單位負反饋系統(tǒng)是否穩(wěn)定。 20其系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為其

8、系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 2( )(1)( )( )1(1)oikXsks TsG skX sTssks Ts特征方程為特征方程為 20Tssk特征方程的根為特征方程的根為 1.21142TksT 可見，此系統(tǒng)兩個根均具有負實部，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。可見，此系統(tǒng)兩個根均具有負實部，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。 從控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷上為什么不只用解方程穩(wěn)定從控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷上為什么不只用解方程穩(wěn)定判據(jù)，而提出其它穩(wěn)定性判據(jù)，其原因是求解三階以判據(jù)，而提出其它穩(wěn)定性判據(jù)，其原因是求解三階以上特征方程非常困難。上特征方程非常困難。21xo(0)xo(t)平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)xo(0)xo(t)平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)穩(wěn)定穩(wěn)定不穩(wěn)定

9、不穩(wěn)定從空間尺度來看：從空間尺度來看：22從時間尺度來看：從時間尺度來看：穩(wěn)定穩(wěn)定不穩(wěn)定不穩(wěn)定txo(t)txo(t)23222( )2nnnsss21,21nns 穩(wěn)定穩(wěn)定不穩(wěn)定不穩(wěn)定臨界穩(wěn)定臨界穩(wěn)定24左左 半半 平平 面面 0jnjn j右右 半半 平平 面面 00穩(wěn)定穩(wěn)定臨界臨界穩(wěn)定穩(wěn)定不穩(wěn)定不穩(wěn)定21,21nns 3.3 絕對穩(wěn)定性的判別絕對穩(wěn)定性的判別RouthRouth-Hurwitz-Hurwitz方法方法NyquistNyquist判據(jù)判據(jù)BodeBode圖判據(jù)圖判據(jù) Routh穩(wěn)定判據(jù) RouthRouth判據(jù)是根據(jù)系統(tǒng)特征方判據(jù)是根據(jù)系統(tǒng)特征方程的系數(shù)來判斷特征根實部的正

10、負程的系數(shù)來判斷特征根實部的正負系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件: :特征方程的系數(shù)全部為正特征方程的系數(shù)全部為正, ,且不為零且不為零. .120121( )nnnnnDsasasasa s a特征方程特征方程024113511232121101nnnsaaasaaasbbbseesfsgRouth陣列021311aaaaba 041521aaaaba 120121( )nnnnnD sa sasa sasaRouth判據(jù) 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為RouthRouth陣列陣列的第一列元素不改變符號的第一列元素不改變符號. . 若第一列元素改變符號若第一列元素改變符號, ,

11、則系統(tǒng)不則系統(tǒng)不穩(wěn)定穩(wěn)定. .且符號改變的次數(shù)等于正實部根且符號改變的次數(shù)等于正實部根的個數(shù)的個數(shù). .29s4s3s2 s1 s0解： 1）各項系數(shù)均大于零，滿足穩(wěn)定的必要條件； 2）列勞斯表 1 17 5 8 16 0勞斯表第一列元素均大于零，因此系統(tǒng)穩(wěn)定。 403158 17 161588 5 1 058 15 16 8 5 40153 40 3 5 0540 3 55 例例1 D(s) = s4 + 8s3 +17s2 + 16s + 5 = 0，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 0 0 30例例2已知控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳函為已知控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳函為3254323121720( )2148

12、8200800sssssssss用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性解：系統(tǒng)特征方程為：解：系統(tǒng)特征方程為：D(s)=s5+2s4+14s3+88s2+200s+800=0， 1）各項系數(shù)均大于零，滿足穩(wěn)定的必要條件；）各項系數(shù)均大于零，滿足穩(wěn)定的必要條件； 2）列勞斯表）列勞斯表s5s4s3 s2 s1s0 1 14 200 2 88 80074.7-302 14 883022 200 1 8002002 30 88 2 20074.730 121-200 0 800 0 800 30 800 0800300 74.7 200 30 80012174.7勞斯表第一列元素變號勞

13、斯表第一列元素變號2 2次次，有有2 2個正根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。個正根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 3101234sssss 3 3 1 1 1 0100 33 10勞斯判據(jù)的特殊情況勞斯判據(jù)的特殊情況1 1、勞斯陣列中某一行第一個元素為零，而該行、勞斯陣列中某一行第一個元素為零，而該行其余元素不全為零；其余元素不全為零；第一列元素符號改變兩次，系第一列元素符號改變兩次，系統(tǒng)有兩個右根，所以，系統(tǒng)統(tǒng)有兩個右根，所以，系統(tǒng)不穩(wěn)不穩(wěn)定定。解： 1）各項系數(shù)均大于零，滿足穩(wěn)定的必要條件； 2）列勞斯表處理方法處理方法：用一個很小的正數(shù)：用一個很小的正數(shù)代替第一零元素，計算勞斯表。代替第一零元素，計算勞斯表。 判斷系統(tǒng)

14、穩(wěn)定性判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性：例例 01s3ss3ssD4234 例例3320123ssss 2 2 1 1 00 判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性：例例 02ss2ssD523 第一列系數(shù)符號無改變，第一列系數(shù)符號無改變，故系統(tǒng)沒有正實部的根。故系統(tǒng)沒有正實部的根。2, 02s122 s223sjssssS 行全為行全為0 0，表明系統(tǒng)有一對共軛虛根，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。，表明系統(tǒng)有一對共軛虛根，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。 1s2解： 1）各項系數(shù)均大于零，滿足穩(wěn)定的必要條件； 2）列勞斯表例例433由該行的上一行元素來解決由該行的上一行元素來解決：（1）構(gòu)成輔助多項式，并求導，用其系數(shù)代替全為零的行；）構(gòu)成輔助多項式，

15、并求導，用其系數(shù)代替全為零的行；（2）構(gòu)成輔助方程，可以解出這些大小相等但位置徑向相反）構(gòu)成輔助方程，可以解出這些大小相等但位置徑向相反 的特征根。的特征根。 表明在表明在S S平面內(nèi)存在大小相等但位置徑向相反平面內(nèi)存在大小相等但位置徑向相反的根，即存在兩個大小相等、符號相反的實根的根，即存在兩個大小相等、符號相反的實根和（或）一對共軛虛根，和（或）一對共軛虛根，S顯然，這些根的數(shù)目一定是偶數(shù)。2 2、勞斯陣列中某一行所有元素均為零。、勞斯陣列中某一行所有元素均為零。346543210 sssssss1 8 20 16 2 12 16 2 12 160 0 0 016s16s20s12s8s2

16、ssD623456 ：例例例例5 8 24836 16 16解： 1）各項系數(shù)均大于零，滿足穩(wěn)定的必要條件； 2）列勞斯表042A(s) = 2s +12s +16列輔助多項式：列輔助多項式： 3dA s = 8s +24sds00第一列符號全為正，說明系統(tǒng)無右根，但有共軛虛根，系統(tǒng)第一列符號全為正，說明系統(tǒng)無右根，但有共軛虛根，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。臨界穩(wěn)定。2js2js4 . 32 . 1 2js2js4 . 32 . 1 可得到兩對共軛虛根：可得到兩對共軛虛根：42A(s) = 2s +12s +16由輔助方程：由輔助方程：35系統(tǒng)參數(shù)變化對穩(wěn)定性的影響系統(tǒng)參數(shù)變化對穩(wěn)定性的影響例例6- sXi

17、 sXo21sssK求求K K為何值時，系統(tǒng)穩(wěn)定？為何值時，系統(tǒng)穩(wěn)定？ K2s1ssK2s1ssK12s1ssKsXsXio 解：解：0K0K60 有：有：符號符號滿足勞斯陣列第一列滿足勞斯陣列第一列0123ssKs2s 3 1 3K6 K 32D s = s +3s +2s+K = 0 系統(tǒng)特征方程為：0 K必要條件： 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：0 0K g g ，則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定若若c c g g ，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定cgL/dB0c0-180gcgImRe 奈氏圖的單位圓對奈氏圖的單位圓對應于波德圖的應于波德圖的0dB0dB線線, , 奈氏圖的負實

18、軸對奈氏圖的負實軸對應于波德圖的應于波德圖的-線線L/dB0c0-180g對數(shù)判據(jù)對數(shù)判據(jù): :若系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定若系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定, ,則閉環(huán)穩(wěn)定的充則閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件為要條件為: :幅值幅值特性大于零的所特性大于零的所有頻率范圍內(nèi)有頻率范圍內(nèi), ,相頻特性曲線在相頻特性曲線在-線的上方線的上方. .3.4 系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量 實際系統(tǒng)由于以下原因，必須使得實際系統(tǒng)由于以下原因，必須使得系統(tǒng)具有一定的穩(wěn)定性裕量系統(tǒng)具有一定的穩(wěn)定性裕量（1 1）建立實際模型由于忽略某些因）建立實際模型由于忽略某些因素、線性化而引起的的誤差素、線性化而引起的的誤差（2 2）實際系統(tǒng)工作中由于元件老）實際系統(tǒng)

19、工作中由于元件老化、特性漂移引起的參數(shù)變化?；?、特性漂移引起的參數(shù)變化。臨界點臨界點（-1，j0) 開環(huán)頻率開環(huán)頻率特性曲線相對特性曲線相對于臨界點的位于臨界點的位置，即偏離臨置，即偏離臨界點的程度反界點的程度反映了系統(tǒng)的相映了系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。對穩(wěn)定性。 相位裕量相位裕量 在幅值穿越在幅值穿越頻率頻率c c上上, ,使系使系統(tǒng)達到不穩(wěn)定邊統(tǒng)達到不穩(wěn)定邊緣所需要的額外緣所需要的額外相位滯后量相位滯后量. .180()cPM 相位裕量相位裕量相位裕量相位裕量PM0-1800L/dBc相位裕量的含義：相位裕量的含義： 對于一個閉環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，如對于一個閉環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，如果系統(tǒng)開環(huán)相頻特性再滯后果系

20、統(tǒng)開環(huán)相頻特性再滯后度，度，則系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。則系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。增益裕量增益裕量 在相位等于在相位等于 -180-180的頻率上的頻率上, ,開環(huán)幅頻特性開環(huán)幅頻特性|GH|GH|的倒數(shù)。的倒數(shù)。1|()()|gggKG jH j增益裕量增益裕量1/Kg增益裕量的含義：增益裕量的含義： 對于閉環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，對于閉環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，如果系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性再增如果系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性再增大大KgKg倍，則系統(tǒng)將處于臨界倍，則系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。穩(wěn)定狀態(tài)。)20lg 20lg|()()|ggggKdBKG jH j （Kg0L/dB0-180g 在工程實際中，一般希望系統(tǒng)穩(wěn)定在工程實際中，

21、一般希望系統(tǒng)穩(wěn)定裕量滿足如下條件：裕量滿足如下條件：30 60PM 6dB (25)gK 對于標準二階系統(tǒng)，有如下近似關(guān)系對于標準二階系統(tǒng)，有如下近似關(guān)系100PM穩(wěn)定裕量（穩(wěn)定裕量（stability margin)sm:奈奎斯特曲線奈奎斯特曲線到臨界點的最短到臨界點的最短距離距離增益裕量和相位裕量好增益裕量和相位裕量好,但穩(wěn)定裕量較差的系統(tǒng)但穩(wěn)定裕量較差的系統(tǒng)220.38(0.10.55)( )(1)(0.060.5)ssG ss sssNyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-1-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10

22、-1-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10-100-50050Magnitude (dB)10-210-1100101102-180-135-90Phase (deg)Bode DiagramFrequency (rad/sec)PM=70，Kg=266Step ResponseTime (sec)Amplitude02040608010012014016018000.20.40.60.811.21.4sm=0.27sm一般應在一般應在0.80.5，sm小于0.3時系統(tǒng)不容易控制用奈奎斯特圖檢驗穩(wěn)定性能提供更完整的信息用奈奎斯特圖檢驗穩(wěn)定性能提供更完整的信息3.5 頻率特性指標頻率特性指