數(shù)學(xué)建模數(shù)值建模

1、1擬合與插值擬合與插值第第5 5章章 數(shù)值分析法建模數(shù)值分析法建模作業(yè)：習(xí)題5：1，2上機(jī)實(shí)驗(yàn)3：習(xí)題5：32擬合函數(shù)v已知函數(shù)f在離散樣本點(diǎn)集離散樣本點(diǎn)集M上的函數(shù)值y1,y2,yn，擬合是指選取含參數(shù)的函數(shù)形式f(x;a1,a2 ,am) ，通過調(diào)整待定參數(shù)a1,a2 ,am, 使得在樣本點(diǎn)集上的函樣本點(diǎn)集上的函數(shù)計(jì)算值與實(shí)際值誤差最小數(shù)計(jì)算值與實(shí)際值誤差最小。v如果選取線性函數(shù)f，則稱線性擬合或者線性回歸，否則稱為非線性擬合或者非線性回歸。v擬合特點(diǎn)：函數(shù)不要求經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)。因此當(dāng)測量值與真實(shí)值有誤差時(shí)，一般用數(shù)據(jù)擬合。3插值函數(shù)v插值是指已知某函數(shù)的在離散點(diǎn)集離散點(diǎn)集M上的函數(shù)值或者

2、導(dǎo)數(shù)信息，通過求解函數(shù)形式，使得函數(shù)在給定離散點(diǎn)上滿足一定約束條件。v如果約束條件中只有函數(shù)值的約束，叫作Lagrange插值，否則叫作Hermite插值 v插值函數(shù)特點(diǎn)：必須經(jīng)過所有樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)。因此當(dāng)測量值是準(zhǔn)確的，沒有誤差時(shí)，一般用插值。4曲線擬合步驟1.確定經(jīng)驗(yàn)公式形式確定經(jīng)驗(yàn)公式形式2.計(jì)算經(jīng)驗(yàn)公式中的參數(shù)計(jì)算經(jīng)驗(yàn)公式中的參數(shù)3.檢驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)公式有效性檢驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)公式有效性5 利用已知的結(jié)論曲線改直技術(shù)作散點(diǎn)圖法多項(xiàng)式近似6v最小二乘法原理就是找一組參數(shù) 使最小二乘誤差 最小。12,naa aa2( )Syf x數(shù)學(xué)模型TTA AaA y曲線擬合問題最常用的解法曲線擬合問題最常用的解法線性最小

3、二乘法線性最小二乘法的基本思路的基本思路選定一組基函數(shù)選定一組基函數(shù) r1(x), r2(x), rn(x), nm, 選取擬合函數(shù)形式為選取擬合函數(shù)形式為 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+ +anrn(x) ，其中其中 a1,a2, an 為待定系數(shù)。為待定系數(shù)。正規(guī)方程正規(guī)方程特例：多項(xiàng)式擬合模型求解1TTaA AA yMatlab求解：求解：aAy7v差分與差商概念差分與差商概念v一階前向差分 v二階前向差分 vvm階前向差分 v一階差商 v二階差商 vvm階差商 )()(11kkkkkxfxfyyy21kkkyyy , 2 , 1,111myyykmkmkmkkkkkxxyx

4、xf11,kkkkkkkkkxxxxfxxfxxxf212121,kmkmkkkmkkkmkkkxxxxxfxxxfxxxf,112118差商與導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系v若y=f(x)在a,b上m階可微，且 則bxxxxxamkkkkk321!)(,)(21mfxxxxfmmkkkk),(mkkxxv若節(jié)點(diǎn)為等距分布時(shí)，有 ，h為節(jié)點(diǎn)距，則khxxk0)(,!.)(1mmmkkkmkmfhxxxfhmyv定擬合多項(xiàng)式的最佳階數(shù)： 差分表/插商表波動(dòng)最小原則v等距節(jié)點(diǎn)用差分表，不等距節(jié)點(diǎn)用差商表9差分表差分表0123nxxxxx0123nf xf xf xf xf x0121nyyyy202122nyyy30

5、33nyy0ny23nxfffff10.xk f(xk) 一階差商一階差商 二階差商二階差商 三階差商三階差商 n 階差商階差商差商表差商表0123nxxxxx0123nf xf xf xf xf x0112231,nnf xxf x xf xxf xx01212321,nnnf xx xf x xxf xxx0123321 , , ,nnnnf x x xxf xxxx01 , , , nf x xx11與擬合有關(guān)的與擬合有關(guān)的MATLAB 函數(shù)函數(shù)vpolyfit:多項(xiàng)式擬合多項(xiàng)式擬合vpoly2sym:由多項(xiàng)式系數(shù)向量得多項(xiàng)式符號(hào)表達(dá)式由多項(xiàng)式系數(shù)向量得多項(xiàng)式符號(hào)表達(dá)式vpolyval:

6、計(jì)算多項(xiàng)式函數(shù)在指定處的函數(shù)值計(jì)算多項(xiàng)式函數(shù)在指定處的函數(shù)值vpoly:計(jì)算過固定點(diǎn)的多項(xiàng)式計(jì)算過固定點(diǎn)的多項(xiàng)式vlsqcurvefit, lsqnonlin非線性最小二乘擬合非線性最小二乘擬合vfit,fittype一般非線性擬合一般非線性擬合vcftool 擬合工具箱擬合工具箱 作多項(xiàng)式作多項(xiàng)式f(x)=anxn+ +a1x+a0擬合擬合, ,可利用可利用MatlabMatlab命令命令:a=polyfit(x,y,n)yy=polyval(a,xx)yy=polyval(a,xx). .計(jì)算多項(xiàng)式計(jì)算多項(xiàng)式a a在在xxxx處的值處的值12 當(dāng)精確函數(shù) y = f(x) 非常復(fù)雜或未知時(shí)

7、，在區(qū)間a,b上一系列節(jié)點(diǎn) x0 xm 處測得函數(shù)值 y0 = f(x0), , ym = f(xm)，由此構(gòu)造一個(gè)簡單易算的近似函數(shù) g(x) f(x)，滿足條件 g(xj) = f(xj) (j = 0, m) (*)這個(gè)問題稱為“插值問題”插值問題g(x) 稱為稱為f(x) 的的插值函數(shù)插值函數(shù),一般取一般取多項(xiàng)式函數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)。x0 xm稱為插值節(jié)點(diǎn)稱為插值節(jié)點(diǎn), 插值節(jié)點(diǎn)互不相同插值節(jié)點(diǎn)互不相同條件條件(*)稱為稱為插值條件插值條件，區(qū)間，區(qū)間a,b稱為稱為插值區(qū)間插值區(qū)間13x0 x0 x2xm-1xm xf(x)g(x)精確函數(shù) y = f(x) 非常復(fù)雜或未知g(x) 稱為稱為

8、f(x) 的的插值函數(shù)插值函數(shù) 節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn) x0 xm稱為插值節(jié)點(diǎn)稱為插值節(jié)點(diǎn)14基本思想：基本思想：在n次多項(xiàng)式空間Pn中找一組合適的基函數(shù)中找一組合適的基函數(shù) 0(x), 1(x), n(x),使使pn(x)=a0 0(x) +a1 1(x) +an n(x)不同的基函數(shù)的選取導(dǎo)致不同的不同的基函數(shù)的選取導(dǎo)致不同的插值方法插值方法 無論是從理論和計(jì)算的角度,還是從應(yīng)用的角度看,多項(xiàng)式都是最簡單的函數(shù),因此,多項(xiàng)式插值是最基本的插值方法15根據(jù)插值條件，應(yīng)有0111)(axaxaxaxLnnnnnniyxLiin, 2 , 1 , 0,)(1001112111011,1nnnnnnnnnnnx

9、xayayxxAaYyaxx A aY0det()0ijj i nAxx 拉格朗日拉格朗日(Lagrange)插值插值16 稱為拉格朗日插值基函數(shù)拉格朗日插值基函數(shù)。0( )( )nniiiL xl xy拉格朗日插值多項(xiàng)式公式也可以通過構(gòu)造插值基函數(shù)方法直接得到:其中l(wèi)i(x) 為n次多項(xiàng)式 0,njjjixxx記拉格朗日拉格朗日(Lagrange)插值插值 0,1, 2,( )njjjjiiiixlxxxinxxx17拉格朗日拉格朗日(Lagrange)插值插值特別地特別地:兩點(diǎn)一次兩點(diǎn)一次(線性線性)插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式: 011010110 xxxxLxyyxxxx三點(diǎn)二次三點(diǎn)二次(拋物

10、線拋物線)插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式: 1202012012010210122021x xx xx xx xx xx xL xyyyxxxxx xx xxxxx 18 拉格朗日多項(xiàng)式插值的這種振蕩現(xiàn)象叫 Runge現(xiàn)象現(xiàn)象21( ),551f xxx 采用拉格朗日多項(xiàng)式插值：選取不同插值節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)n+1，其中n為插值多項(xiàng)式的次數(shù)，當(dāng)n分別取2,4,6,8,10時(shí)，繪出插值結(jié)果圖形.例例1ch.m1ch.m-505-1.5-1-0.500.511.52y=1/(1+x2)n=2n=4n=6n=8n=10( )( )( )?nnnRxLxf x 19 Newtons Interpolation基本原理基本

11、原理Lagrange Lagrange 插值雖然易算，但若要增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，全部插值雖然易算，但若要增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，全部基函數(shù)基函數(shù) li( (x x) ) 都需要重新計(jì)算都需要重新計(jì)算能否重新在能否重新在Pn中尋找新的基中尋找新的基函數(shù)？希望每加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，函數(shù)？希望每加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，只附加一項(xiàng)只附加一項(xiàng)上去即可上去即可2001020101( )()()() .().()nnnN xAA x xA x xx xA x xx x 選取選取1,1,x - x0 , (x - x0)(x - x1),(x-x0)(x-x1) (x-xn-1)構(gòu)成構(gòu)成Pn的一組基函數(shù)的一組基函數(shù) Newtons In

12、terpolation基本原理基本原理利用插值條件利用插值條件Nn(xj)=f(xj), j=0,1，n代入上式，代入上式，得關(guān)于得關(guān)于Ak (k=0,1，n)的線性代數(shù)方程組的線性代數(shù)方程組0010111000100()10()1()()nninniAf xxxAf xxxxxAf x當(dāng)當(dāng)xj 互異時(shí)，系數(shù)矩陣互異時(shí)，系數(shù)矩陣非奇異，方程有唯一解非奇異，方程有唯一解0100,0mi mkkkkmmiif xAf x xxknxx21Lagrange插值與Newton插值的異同點(diǎn)v兩者都是通過給定n+1個(gè)互異的插值節(jié)點(diǎn)，求一條n次多項(xiàng)式曲線近似地表示待插值的函數(shù)曲線vLagrange插值和Ne

13、wton法插值的結(jié)果和余項(xiàng)都是一致的，因?yàn)槎际抢胣次多項(xiàng)式插值v區(qū)別： Lagrange插值法在求每個(gè)函數(shù)的時(shí)候要用到所有結(jié)點(diǎn)，因此如果需要再多加一個(gè)結(jié)點(diǎn)的話，需要重新求出函數(shù)才可，而這需要大工作量，于是數(shù)學(xué)家們就發(fā)明了Newton法。vLagrange插值法是通過構(gòu)造n+1個(gè)n次基函數(shù)，作線性組合而得到 Newton法插值是通過求各階差商，遞推得到公式 f(x)=f(x0)+(x-x0)fx0,x1+(x-x0)(x-x1)fx0,x1,x2.+(x-x0).(x-xn-1)fx0,x1.xn22 在數(shù)學(xué)上，光滑程度的定量描述是：函數(shù)(曲線)的k階導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，則稱該曲線具有k階光滑性。

14、 光滑性的階次越高，則越光滑。是否存在較低次的 分 段 多 項(xiàng) 式 達(dá) 到 較 高 階 光 滑 性 的 方 法 ？三次樣條插值就是一個(gè)很好的例子。三次樣條插值三次樣條插值23Cubic Spline LagrangeInterpolation Interpolation24 , 1,),()(1nixxxxsxSiii,)()3), 1 ,0()()2), 1()()10223niiiiiiixxCxSniyxSnidxcxbxaxs(0)(0)(0)(0) ,(1,1)(0)(0)iiiiiiS xS xSxSxinSxSx04)()()0 (nSxSx自 然 邊 界 條 件 ）)(,)4)

15、3)2xSdcbaiiiif( (x) )為被插值函數(shù)為被插值函數(shù)插值條件連接條件25yi=interp1(x，y，xi，method)插值方法插值方法被插值點(diǎn)被插值點(diǎn)插值節(jié)點(diǎn)插值節(jié)點(diǎn)xixi處的插處的插值結(jié)果值結(jié)果nearest ：最鄰近插值：最鄰近插值linear ： 線性插值；線性插值；spline ： 三次樣條插值；三次樣條插值；cubic ： 立方插值。立方插值。缺省時(shí)：缺省時(shí)： 線性插值。線性插值。 插值方法要求插值方法要求x x是單調(diào)的，且是單調(diào)的，且xi不能夠超過不能夠超過x的范圍。的范圍。用用MATLABMATLAB作一維插值計(jì)算作一維插值計(jì)算擴(kuò)展材料261. 1. 拉格朗日

16、插值拉格朗日插值: :自編程序自編程序2. 2. 分段線性插值分段線性插值: :已有程序已有程序 y=interp1(x0,y0,x)3. 3. 三次樣條插值三次樣條插值: :已有程序已有程序 y=interp1(x0,y0,x,spline) 或或 y=spline(x0,y0,x) 注意：幾乎所有的插值方法都注意：幾乎所有的插值方法都要求要求x0單調(diào)單調(diào)，并且，并且x不不能夠超過能夠超過x0的范圍的范圍。interp2,interp3,interpn多元函數(shù)插值多元函數(shù)插值27pp=spline (x,y) ：樣條函數(shù)的表示（樣條函數(shù)的表示（PP結(jié)構(gòu)）結(jié)構(gòu)）pp=cscvn(x,y): 自

17、然樣條函數(shù)的表示（不要求x單調(diào)?。﹜i=ppval(pp,xx)或 yi=spline(x,y,xx)：樣條函數(shù)求值樣條函數(shù)求值fprime = fnder(pp), fprime = fnder(pp,dorder) 樣條函數(shù)求導(dǎo)樣條函數(shù)求導(dǎo)inters = fnint(pp) , intgrf = fnint(pp,value)樣條函數(shù)積分樣條函數(shù)積分fnplt(pp)樣條函數(shù)繪圖樣條函數(shù)繪圖樣條函數(shù)的相關(guān)樣條函數(shù)的相關(guān)MATLABMATLAB命令命令28v用程控銑床加工機(jī)翼斷面的下輪廓線時(shí)用程控銑床加工機(jī)翼斷面的下輪廓線時(shí)v每一刀只能沿每一刀只能沿x x方向和方向和y y方向走非常小的一

18、步。方向走非常小的一步。v表表3-13-1給出了下輪廓線上的部分?jǐn)?shù)據(jù)給出了下輪廓線上的部分?jǐn)?shù)據(jù)v但工藝要求銑床沿但工藝要求銑床沿x x方向每次只能移動(dòng)方向每次只能移動(dòng)0.10.1單位單位. . v這時(shí)需求出當(dāng)這時(shí)需求出當(dāng)x x坐標(biāo)每改變坐標(biāo)每改變0.10.1單位時(shí)的單位時(shí)的y y坐標(biāo)。坐標(biāo)。v試完成加工所需的數(shù)據(jù)，畫出曲線試完成加工所需的數(shù)據(jù)，畫出曲線. .29x0=0 3 5 7 9 11 12 13 14 15 ;y0=0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6 ;x=0:0.1:15;y=interp1(x0,y0,x,spline);plot(x0,y0

19、,k+,x,y,r)grid on05101500.511.522.530 例例1 1：每隔：每隔1 1小時(shí)測量一次溫度，測得的小時(shí)測量一次溫度，測得的1212個(gè)溫度個(gè)溫度依次為：依次為：5 5，8 8，9 9，1515，2525，2929，3131，3030，2222，2525，2727，2424。試估計(jì)每隔。試估計(jì)每隔6 6分鐘的溫度值。分鐘的溫度值。Temp.mhours=1:12;temps=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24;h=1:0.1:12;t=interp1(hours,temps,h,spline); (直接輸出數(shù)據(jù)將是很多的)plot(hou

20、rs,temps,+,h,t,hours,temps,r:) %作圖xlabel(Hour),ylabel(Degrees Celsius)31 要求要求x0,y0 x0,y0單調(diào)；單調(diào)；x x，y y可取為矩陣，或可取為矩陣，或x x取行向量，取行向量，y y取為列向量，取為列向量，x,yx,y的值分別的值分別不能超出不能超出x0,y0 x0,y0的范圍。的范圍。z=interp2(x0,y0,z0,x,y,method)被插值點(diǎn)插值方法插值節(jié)點(diǎn)被插值點(diǎn)的函數(shù)值nearestnearest 最鄰近插值最鄰近插值linearlinear 雙線性插值雙線性插值cubiccubic 雙三次插值雙三

21、次插值缺省時(shí)缺省時(shí), , 雙線性插值雙線性插值用用MATLABMATLAB作網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值作網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值( (二維二維) )32 cz =griddata（x，y，z，cx，cy，method） 要求要求cxcx取行向量，取行向量，cycy取為列向量。取為列向量。被插值點(diǎn)插值方法插值節(jié)點(diǎn)被插值點(diǎn)的函數(shù)值nearestnearest 最鄰近插值最鄰近插值linearlinear 雙線性插值雙線性插值cubiccubic 雙三次插值雙三次插值v4 Matlab提供的插值方法提供的插值方法缺省時(shí)缺省時(shí), , 雙線性插值雙線性插值用用MATLABMATLAB作散點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值計(jì)算作散點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值計(jì)算33v某海域上頻繁地有各種噸位的船只經(jīng)過。v為保證船只的航行安全，有關(guān)機(jī)構(gòu)在低潮時(shí)對(duì)水深進(jìn)行了測量,下表是測量數(shù)據(jù)：表3 水道水深的測量數(shù)據(jù)x 129.0 140.0 103.5 88.0 185.5 195.0 105.5y 7.5 141.5 23.0 147.0 22.5 137.5 85.5z 4 8 6 8 6 8 8x 157.5 107.5 77.0 81.0 162.0 162.0 117.5y -6.5 -81.0 3.0 56.5 -66.5 84.0 -33.5z 9 9 8 8 9 4 934v其中（其中