q第十七章普遍原理與拉氏方程

1、 如何研究較復(fù)雜的非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問題？ 引言12擺長不定，如何確定其擺動(dòng)規(guī)律？K混沌擺問題多桿擺問題達(dá)朗伯（1717-1785）通過引入慣性力的概念，建立了著名的達(dá)朗伯原理（用靜力學(xué)建立平衡方程的方法處理動(dòng)力學(xué)問題）；約翰伯努利（1667-1748）于1717年精確表述了虛位移原理（建立虛位移、虛功的概念，用動(dòng)力學(xué)的方法研究靜力學(xué)中的平衡問題）；拉格朗日應(yīng)用達(dá)朗伯原理，把虛位移原理推廣到非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問題中，建立了動(dòng)力學(xué)普遍方程，進(jìn)一步導(dǎo)出了拉格朗日方程。 引言17-1 動(dòng)力學(xué)普遍方程 動(dòng)力學(xué)普遍方程是虛位移原理與達(dá)朗伯原理簡(jiǎn)單 結(jié)合的產(chǎn)物。設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為

2、mi，受力加速度為ai虛加上其慣性力Fgi=miai則根據(jù)達(dá)朗伯原理， Fi 、FNi 與Fgi應(yīng)組成形式上的平衡力系，即Fi + FNi +Fgi= 0若質(zhì)點(diǎn)系受理想約束作用，應(yīng)用虛位移原理，有或(171)FiFNiFgiaiMFNiFNiMMFgiaiFgiaiFiFi約束反力FNi主動(dòng)力Fi在理想約束條件下，質(zhì)點(diǎn)系的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)在任意瞬時(shí)所受的主動(dòng)力和虛加的慣性力在任一虛位移上所做虛功之和等于零。即則D-L方程的坐標(biāo)分解式為若動(dòng)力學(xué)普遍方程或達(dá)朗伯-拉格朗日方程（D-L方程）(172)例17-1 兩均質(zhì)輪質(zhì)量皆為m1，半徑皆為r，對(duì)輪心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J；中心用質(zhì)量為m2的連桿連接，在傾角為的斜

3、面上純滾動(dòng)。求連桿的加速度。 見后續(xù)例17-1續(xù)已知輪m1，r，J，純滾；桿m2，求桿a。解：研究整個(gè)系統(tǒng)，進(jìn)行受力分析；m2gm1gm1gN1N2F1F2Fg1Fg2Fg1MgMg虛加各剛體的慣性力。設(shè)桿的加速度為a，則Fg1= m1a，F(xiàn)g2= m2a，a給連桿以平行于斜面向下的虛位移s，則相應(yīng)地兩輪有轉(zhuǎn)角虛位移，且根據(jù)動(dòng)力學(xué)普遍方程，得s于是解得m2gm1gm1gN1N2F1F2Fg1Fg2Fg1MgMgasm2gm1gm1gN1N2F1F2Fg1Fg2Fg1MgMgm2gm1gm1gN1N2F1F2Fg1Fg2Fg1MgMgas解畢。解畢。17-2 拉格朗日方程將動(dòng)力學(xué)普遍方程用獨(dú)立的

4、廣義坐標(biāo)表示，即可推導(dǎo)出 第二類拉格朗日方程。拉格朗日拉格朗日 （Lagrange 1736 1813）法籍意大利人，數(shù)學(xué)家、力學(xué)家、天文學(xué)家，十九歲成為數(shù)學(xué)教授，與歐拉共同創(chuàng)立變分法，是十八世紀(jì)繼歐拉后偉大的數(shù)學(xué)家。 設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成， 用q1，q2，qN表示系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，D-L方程可寫成對(duì)上式求變分得 ri= ri(q1，q2，qN，t)(173)上式中(174)第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為mi，矢徑為ri。則具有s個(gè)完整理想約束，則有N=3n-s個(gè)自由度（廣義坐標(biāo)）。廣義力 根據(jù)虛位移原理中廣義力與廣義虛位移的表示形式，有 因?yàn)橄到y(tǒng)為完整約束，廣義坐標(biāo)相互獨(dú)立，所以廣標(biāo)的變分qk是任意的，為

5、使上式恒成立，須有(175)廣義慣性力以廣義坐標(biāo)表示的達(dá)朗伯原理廣義力廣義虛位移(k =1，2，N)對(duì)式(176)中廣義慣性力進(jìn)行變換：將下列兩個(gè)恒等式（有關(guān)證明請(qǐng)參閱教材P282）代入得(177)(178)(1710)所以將式（17-10）代入式（17-5）得 這就是第二類拉格朗日方程，(1711) 若作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力均為有勢(shì)力（保守力），于是，對(duì)保守系統(tǒng)，拉格朗日方程可寫成(1712)是一個(gè)方程組，該方程組的數(shù)目等于質(zhì)點(diǎn)系的自由度數(shù)，各方程均為二階常微分方程。揭示了系統(tǒng)動(dòng)能的變化與廣義力之間的關(guān)系。則廣義力Qk可寫成質(zhì)點(diǎn)系勢(shì)能表達(dá)的形式用函數(shù)L表示系統(tǒng)的動(dòng)能T與勢(shì)能V之差，即L = T

6、V(1713)L稱為拉格朗日函數(shù)或動(dòng)勢(shì)。勢(shì)能V僅僅是廣義坐標(biāo)qk的函數(shù)，而與廣義速度無關(guān)，有 于是，在保守系統(tǒng)中，用動(dòng)勢(shì)表示的拉格朗日方程的形式為(1714)對(duì)保守系統(tǒng)，拉格朗日方程可寫成 拉格朗日方程的形式 在保守系統(tǒng)中，用動(dòng)勢(shì)表示的拉格朗日方程的形式為 拉格朗日方程是解決具有完整約束的質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問題的普遍方程，是分析力學(xué)中重要的方程。 拉格朗日方程形式簡(jiǎn)潔，應(yīng)用時(shí)只需計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能和廣義力；對(duì)于保守系統(tǒng)，只需計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能。 拉格朗日方程是標(biāo)量方程，以動(dòng)能為方程的基本變量，是用廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)微分方程。對(duì)受完整約束的多自由度質(zhì)點(diǎn)系的平衡問題，根據(jù)虛位移原理，采用廣義坐標(biāo)，得

7、到與自由度相同的一組獨(dú)立平衡方程。這種用分析方法建立的平衡條件，避開了未知的約束反力，使非自由質(zhì)點(diǎn)系的平衡問題的求解變得簡(jiǎn)單。同理，對(duì)受完整約束的多自由度質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問題，可以根據(jù)能量原理，采用廣義坐標(biāo)，推導(dǎo)出與自由度相同的一組獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)微分方程。這種用廣義坐標(biāo)表示的動(dòng)力學(xué)普遍方程，稱為拉格朗日第二類方程，或簡(jiǎn)稱拉格朗日方程。拉格朗日方程概述拉格朗日方程概述拉格朗日方程是著眼于整個(gè)系統(tǒng)，避開約束反力，用分析方法給出了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問題的統(tǒng)一表述，為處理受約束的復(fù)雜的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問題開辟了新的捷徑。這里從能量原理中的功率方程出發(fā)，采用廣義坐標(biāo)，推導(dǎo)拉格朗日方程。由于拉格朗日方程是用廣義坐標(biāo)且從能量的

8、觀點(diǎn)研究系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問題，而能量是自然界各種不同物理形態(tài)的物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)一度量，因此，拉格朗日方程的應(yīng)用就具有較大的普遍性，它不僅適用于機(jī)械系統(tǒng)，也適用于電學(xué)系統(tǒng)和機(jī)電系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問題。拉格朗日方程概述續(xù)設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，各質(zhì)點(diǎn)系的速度則為jq 所以vi是廣義速度的齊次線性函數(shù)。其中是廣義坐標(biāo)的函數(shù)，設(shè)質(zhì)點(diǎn)系中第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為mi，位置矢徑為ri，系統(tǒng)受s個(gè)定常的完整的理想約束， 因此有N =3n-s個(gè)自由度。用k個(gè)廣義坐標(biāo)q1、q2、qn表示質(zhì)點(diǎn)的位置。由于約束是定常的，所以矢徑ri 僅是廣義坐標(biāo)的函數(shù)用功率方程推導(dǎo)拉格朗日方程用功率方程推導(dǎo)拉格朗日方程又系統(tǒng)的動(dòng)能T為其中 稱為廣義質(zhì)

9、量，是廣義坐標(biāo)的函數(shù)?，F(xiàn)令系統(tǒng)的動(dòng)能為T，功率為P，則功率方程為所以，在定常約束中，動(dòng)能T不是時(shí)間t的函數(shù)，僅是廣義坐標(biāo)和廣義速度的函數(shù)。將上式對(duì)時(shí)間求全微商，有又由于動(dòng)能T僅含的二次項(xiàng)，代入上式可得根據(jù)歐拉齊次函數(shù)定理將系統(tǒng)的動(dòng)能T寫成一般式是廣義速度 的齊二次函數(shù)。再看功率方程的右邊，功率為根據(jù)虛位移原理中廣義力Qk的表達(dá)式可知所以將(3) (4)式代入(2)式并移項(xiàng)可得將(5)式改寫成對(duì)受定常約束的系統(tǒng)，微小的實(shí)位移必為虛位移中之一，即dqk必為qk之一，但因各廣義坐標(biāo)qk是彼此獨(dú)立的，為使上式在各qk具有任何值都能滿足，必須即上式即為以廣義坐標(biāo)表達(dá)的質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)微分方程，稱為拉格朗日方程

10、。為了使系統(tǒng)在任何初始條件下可能發(fā)生的位移都能滿足方程（6），就必須用拉格朗日方程解題的步驟： 確定系統(tǒng)的自由度數(shù)（廣義坐標(biāo)數(shù)）； 選廣義坐標(biāo)； 計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能T，且用廣義速度來表示動(dòng)能； 計(jì)算廣義力（對(duì)保守系統(tǒng)可計(jì)算勢(shì)能）； 代入拉格朗日方程即可得質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)微分方程。例17-2 位于水平面內(nèi)的行星輪機(jī)構(gòu)中，質(zhì)量為m1的均質(zhì)系桿OA，可繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端裝有質(zhì)量為m2、半徑為r的均質(zhì)小齒輪，小齒輪沿半徑為R的固定大齒輪純滾動(dòng)。當(dāng)系桿受力偶M的作用時(shí)，求系桿的角加速度。 見后續(xù)rRMMO AM例17-2續(xù) 已知桿m1；輪m2，r；R；力偶M。求OA。解：研究整個(gè)系統(tǒng)，選廣義坐標(biāo)，則行星輪瞬心為P

11、，系統(tǒng)的動(dòng)能為T = TOA+ T輪ARMrO 見后續(xù)P P P角速度為vAvAvA例17-2續(xù)已求得用廣義坐標(biāo)表示的系統(tǒng)動(dòng)能為O AvARMr又關(guān)于廣義坐標(biāo)的廣義力為代入Lagrange方程：于是得解畢。解畢。O例17-3 質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)懸在不計(jì)質(zhì)量的軟線上，線的另一端繞在半徑為R的固定圓柱上。設(shè)在平衡位置時(shí)，線的下垂部分長度為l。求此擺的運(yùn)動(dòng)微分方程。 見后續(xù)Rml l lRlO例17-3續(xù)1m已知m；R ； l；求擺的運(yùn)動(dòng)微分方程。m解：此擺為單自由度保守系統(tǒng)，選廣義坐標(biāo)，系統(tǒng)的動(dòng)能為選=0處為系統(tǒng)勢(shì)能的零勢(shì)點(diǎn)，則V = mg（l+Rsin）（lR）cos系統(tǒng)的動(dòng)勢(shì)為 見后續(xù)例17-3續(xù)

12、2已求得將式、代入保守系統(tǒng)的拉氏方程得擺的運(yùn)動(dòng)微分方程解畢。O O O例17-4 已知質(zhì)量為m1的三棱柱放在光滑水平面上，質(zhì)量為m2的均質(zhì)圓柱體O由靜止沿三棱柱的斜面向下純滾動(dòng)；求三棱柱的加速度。 見后續(xù)OO解(設(shè)圓柱O的半徑為r)選x1、x2為廣義坐標(biāo)，x1x2O則三棱柱速度為圓柱中心的速度為 圓柱的角速度為vO系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，o1o2所以，系統(tǒng)的動(dòng)能為 見后續(xù)加速度為例18-4續(xù)1 已知三棱柱m1；圓柱m2，純滾動(dòng)；求三棱柱的加速度。x1x2vOx1x2vOx1x2vOx2x2x2x2系統(tǒng)關(guān)于廣義坐標(biāo)x1 、x2的廣義力分別為：系統(tǒng)受力如圖，例17-4續(xù)2已求得系統(tǒng)的動(dòng)能為x1x2Oo

13、1o2m1gFNm2gx1聯(lián)立解得：代入L程：m1gFNm2gx1m1gFNm2gx1m1gFNm2gx1例17-5 圖示均質(zhì)桿AB質(zhì)量為m1，長為3l，B端鉸接一質(zhì)量為m2，半徑為r的均質(zhì)圓盤。桿AB在O處為鉸支，兩彈簧的剛性系數(shù)均為k；桿在水平位置平衡。求系統(tǒng)的微幅振動(dòng)的固有頻率。 見后續(xù)Okkllll2rACB例17-5續(xù)1 已知桿m1，長3l；盤m2，半徑r，彈簧k。求：系統(tǒng)微幅振動(dòng)的固有頻率。解系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，且為保守系統(tǒng)。選1、2為廣義坐標(biāo)，OkkllllACB2r12則桿的角速度為圓盤的角速度為 所以，系統(tǒng)的動(dòng)能為 見后續(xù)1212系統(tǒng)的勢(shì)能為OkACkllll2rB2m1gm

14、1gm1gm1gm2gm2gm2gm2g1l1l1F1F2l1l1l1l1重力與振動(dòng)方向相同，系統(tǒng)受力如圖，例17-5續(xù)2 已求得系統(tǒng)的動(dòng)勢(shì)為 見后續(xù)F1F2F1F2F1F2取平衡位置處為零勢(shì)點(diǎn)，彈性力變形從平衡位置處計(jì)算，可以不計(jì)重力勢(shì)能！例18-5續(xù)3已求得代入保守系統(tǒng)的拉氏方程可見，圓盤的角加速度為零！圓盤作平動(dòng)！得所以系統(tǒng)的固有頻率為圓盤作平動(dòng)！圓盤作平動(dòng)！解畢。解畢。OkACkllll2rB2m1gm2g1l1l1F1F2*例17-6 桿OA與AB以鉸鏈相連，且OA=a，AB=b，O懸掛于圓柱鉸鏈上， A、B處質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量分別為 m1和m2，各處摩擦及兩桿質(zhì)量均不計(jì)，求系統(tǒng)微幅擺動(dòng)的微分

15、方程。 見后續(xù)m1bam2OABvAvAvAvA例17-6續(xù)1 已知OA=a，AB=b； m1、m2，求系統(tǒng)微擺方程。baOAB12解選1、2為廣義坐標(biāo)，則系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，系統(tǒng)動(dòng)能為 見后續(xù)vAvB2 1vBA12vAvB2 1vBA12vAvB2 1vBA12vAvB2 1vBA系統(tǒng)作微幅擺動(dòng)，cos(21)11221例17-6續(xù)2已求得求系統(tǒng)關(guān)于廣義坐標(biāo)1的廣義力：系統(tǒng)受力如圖。m2g求系統(tǒng)關(guān)于廣義坐標(biāo)2的廣義力：112XOYOm2gm1g2m1gm2gXOYOm1gYOm2gXOm1gm2gYOm1gXO1122b2b2b2a1a1a1a1a1a1 見后續(xù)給1，則給2，則例17-6續(xù)3已求得代入Lagrange方程：化簡(jiǎn)得解畢。解畢。 本章小結(jié) 動(dòng)力學(xué)普遍方程是將虛位移原理與達(dá)朗伯原理結(jié)合起來，形成如下的方程