層次分析法步驟解析—根法、和法、冪法

1、百度文庫(kù)層次分析法(AHP)AHP(Analytic Hierarchy Process) 方法，是由20世紀(jì)70年代由美國(guó)著名運(yùn)籌學(xué)學(xué)家 T.L.Satty 提出的。它是指將決策問題的有關(guān)元素分解成目標(biāo)、準(zhǔn)則、方案等層次，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行定性分析和定量分析的一種決策方法。這一方法的特點(diǎn)，是在對(duì)復(fù)雜決策問題的本質(zhì)、影響因素及其內(nèi)在關(guān)系等進(jìn)行深入分析之后，構(gòu)建一個(gè)層次結(jié)構(gòu)模型，然后利用較少的定量信息，把決策的思維過程數(shù)學(xué)化，從而為求解多準(zhǔn)則或無結(jié)構(gòu)特性的復(fù)雜決策問題提供了一種簡(jiǎn)便的決策方法。AH計(jì)分適用于具有定性的，或定性定量兼有的決策分析。這是一種十分有效的系統(tǒng)分析和科學(xué)決策方法，現(xiàn)在已廣泛地應(yīng)

2、用在企業(yè)信用評(píng)級(jí)、經(jīng)濟(jì)管理規(guī)劃、能源開發(fā)利用與資源分析、城市產(chǎn)業(yè)規(guī)劃、企業(yè)管理、人才預(yù)測(cè)、科研管理、交通運(yùn)輸、 水資源分析利用等方面。一、遞階層次結(jié)構(gòu)的建立一般來說，可以將層次分為三種類型：(1)最高層：只包含一個(gè)元素，表示決策分析的總目標(biāo)，因此也稱為總目標(biāo)層。(2)中間層：包含若干層元素，表示實(shí)現(xiàn)總目標(biāo)所涉及的各子目標(biāo)，包含各種準(zhǔn)則、約束、策略等，因此也稱為目標(biāo)層。(3)最低層：表示實(shí)現(xiàn)各決策目標(biāo)的可行方案、措施等，也稱為方案層。典型的遞階層次結(jié)構(gòu)如下：一個(gè)好的遞階層次結(jié)構(gòu)對(duì)解決問題極為重要，因此在建立遞階層次結(jié)構(gòu)時(shí)，應(yīng)注意到：(1)從上到下順序地存在支配關(guān)系，用直線段(作用線)表示上一層次

3、因素與下一層次因素之間的關(guān)系，同一層次及不相鄰元素之間不存在支配關(guān)系。(2)整個(gè)結(jié)構(gòu)不受層次限制。(3)最高層只有一個(gè)因素，每個(gè)因素所支配元素一般不超過9個(gè)，元素過多可進(jìn)一步分層。(4)對(duì)某些具有子層次結(jié)構(gòu)可引入虛元素，使之成為典型遞階層次結(jié)構(gòu)。二、構(gòu)造比較判斷矩陣設(shè)有mt目標(biāo)(方案或元素)，根據(jù)某一準(zhǔn)則，將這 m個(gè)目標(biāo)兩兩進(jìn)行比較，把第i個(gè)目標(biāo)(i=1,2,m)對(duì)第j個(gè)目標(biāo)的相對(duì)重要性記為a”，(j=1,2,m),這樣構(gòu)造的m階矩陣用于求解各個(gè)目標(biāo)關(guān)于某準(zhǔn)則的優(yōu)先權(quán)重，成為權(quán)重解析判斷矩陣， 簡(jiǎn)稱判斷矩陣，記作A=(aj)mxm。Satty于1980年根據(jù)一般人的認(rèn)知習(xí)慣和判斷能力給出了屬性

4、間相對(duì)重要性等級(jí)表(見表 4-4)。利用該表取a”的值, 稱為1-9標(biāo)度方法。表4-4目標(biāo)重要性判斷矩陣A中元素的取值相對(duì)重要性定義說明1同等重要兩個(gè)目標(biāo)同樣重要3略微重要由經(jīng)驗(yàn)或判斷，認(rèn)為一個(gè)目標(biāo)比另一個(gè)略微重要5相當(dāng)重要由經(jīng)驗(yàn)或判斷，認(rèn)為一個(gè)目標(biāo)比另一個(gè)重要7明顯重要深感一個(gè)目標(biāo)比另一個(gè)重要，且這種重要性已有實(shí)踐證明9絕對(duì)重要強(qiáng)烈地感到一個(gè)目標(biāo)比另一個(gè)重要得多2,4,6,8兩個(gè)相鄰判斷的中間值需要折中時(shí)采用若決策者能包準(zhǔn)確估計(jì) a”(i,j,k=1,2,m),則有:a =1/a ji aij= a ik . akj a =1定義 4-1 設(shè) A=(aij) mx m, A0,(即 aij

5、0;i,j=1,2,m),如果滿足條件(1)ai =1( i =1,2,m) ； (2)aij =1/a ji (i,j =1,2,m),則稱矩陣A為互反正矩陣。定義4-2設(shè)A=(a, )mxm, A0,如果滿足條件a,= a- akj (i,j,k=1,2,m)則稱矩陣A為一致性矩陣。定理4-1對(duì)于任彳一個(gè)m階互反正矩陣A,均有max上m,其中max是矩陣A的最大特征值。定理4-2 m階互反正矩陣A為一致性矩陣的充分必要條件是A的最大特征根為mo三、單準(zhǔn)則下的排序?qū)哟畏治龇ǖ男畔⒒A(chǔ)是比較判斷矩陣。由于每個(gè)準(zhǔn)則都支配下一層若干因素，這樣對(duì)于每一個(gè)準(zhǔn)則及它所支配的因素都可以得到一個(gè)比較判斷矩陣

6、。因此根據(jù)比較判斷矩陣如何求得各因素w,w2,wm對(duì)于71則A的相對(duì)排序權(quán)重的過程稱為單準(zhǔn)則下的排序。這里設(shè) A=(aj) mxm, A0o(一)本征向量法利用AW= W求出所有的值，其中 m%為的最大值，求出 ma*對(duì)應(yīng)的特征向量 W，然后把特征向量 W規(guī)一化為向xm axm ax量VV則W=ww2,w T為各個(gè)目標(biāo)的權(quán)重。求 需要解m次方程，當(dāng)3時(shí)，計(jì)算比較麻煩，可以利用matlab來求解。(二)判斷矩陣的近似解法判斷矩陣是決策者主觀判斷的定量描述，求解判斷矩陣不要求過高的精度。這里，介紹三種近似計(jì)算方法：根法、和法及幕 法。幕法適于在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算。1、根法 / : mT*(1) A中每仃

7、兀素連乘并開m次萬，得到向重 W (w),w2,，wm)其中，wim aij1.j 1 IJ3(2)對(duì) W歸一化處理，得到權(quán)重向量W=(w,w2,w)T,其中*wi*wi(3)對(duì)A中每列元素求和，得到向量S=(s 1,s 2, sm),其中 sjaaij(4)計(jì)算 max的值，maxsiwic 1SW = m2、和法將A的元素按列作歸一化處理,將Q的元素按行相加，得向量(3)得矩陣對(duì)向量 作歸一化處理，得權(quán)重向量(4)求出最大特征值maxQ=(q )m mo 其中，(AW)iwiqijaj1, 2,，m) 其中，W=(w,w2, w1)T,其中 wi1 m (AW)im i 1wiqji/k3

8、、幕法幕法是一種逐步迭代的方法，經(jīng)過若干次迭代計(jì)算，按照規(guī)定的精度，求出判斷矩陣A的最大特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量。定理3設(shè)矩陣A=(aij )mx m, a0,則limkkA e CW ,其中，W是A的最大特征值對(duì)應(yīng)的的特征向量，C為常I ke A e數(shù),向量 e=(1,1,1) T。幕法的計(jì)算步驟是:任取初始正向量X(o)=(xi(0)(0)m(0)T,計(jì)算mox(0)(0)(0)v (0) /maxx , YX /moi迭代計(jì)算,對(duì)于k=0,1,2,計(jì)算X(k 1)AY(k),mk 1X(k1)maxXi(k1)，Y(k1) X(k1)/mk1精度檢查。當(dāng)mk 1m時(shí),轉(zhuǎn)入步驟；否則，令

9、k=k+1,轉(zhuǎn)入步驟。求最大特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量，將Y(k+1)歸一化，即mWY(k1)/yi(k1), maxi 1mk 1百度文庫(kù)max mm123456789RI000.580.901.121.241.321.411.45max3.1164.275.456.627.798.9910.16表中當(dāng)n=1,2時(shí)，RI=0,這是因?yàn)?,2階判斷矩陣總是一致的。例判斷矩陣 12 1、A = 1/2 171/5 1/7 ,用幕法計(jì)算A的最大特征值m%及其對(duì)應(yīng)額特征向量。精度=0.0001。、mi ax解：取初始向量X0) =(1,1,1)T,迭代過程見下表k(k)X(k)Y011111118.00

10、008.50001.34290.941210.158023.73122. 57660.489110.69060.131133.03672.10830.426810.69430.141543.09612.18480.440610.70570.142353.12292.20180.443110.70500.141963.11952.19830.442610.70470.141973.11892.19800.442610.70470.141983.11892.19800.442610.70470.1419由上表看出，當(dāng) k=7 時(shí)，|m8-m7|=|3.1189-3.1189|=00.0001,迭代

11、終止，得至J max=3.1189 , W= (0.5415,0.3816,0.0769 )T四、單準(zhǔn)則下的一致性檢驗(yàn)由于客觀事物的復(fù)雜性，會(huì)使我們的判斷帶有主觀性和片面性，完全要求每次比較判斷的思維標(biāo)準(zhǔn)一致是不太可能的。因此在我們構(gòu)造比較判斷矩陣時(shí)，我們并不要求n(n-1)/2次比較全部一致。但這可能出現(xiàn)甲與乙相比明顯重要，乙與丙相比極端重要，丙與甲相比明顯重要，這種比較判斷會(huì)出現(xiàn)嚴(yán)重不一致的情況。我們雖然不要求判斷具有一致性，但一個(gè)混亂的，經(jīng)不起推敲的比較判斷矩陣有可能導(dǎo)致決策的失誤，所以我們希望在判斷時(shí)應(yīng)大體一致。而上述計(jì)算權(quán)重的方法，當(dāng)判斷矩陣過于偏離一致性時(shí)，其可靠程度也就值得懷疑了

12、。因此，對(duì)于每一層次作單準(zhǔn)則排序時(shí)，均需要作一致性的檢驗(yàn)。一致性指標(biāo)(Consistency Index,CI ) : CI隨機(jī)指標(biāo)(Random Index,RI )一致性比率(Consistency Rate,CR ) :CR=CI/RI當(dāng) CR取 0.1 時(shí)，最大特征值 max=CI (m-1)+m=0.1 RI - (m-1)+m表4-5 隨機(jī)指標(biāo)RI, m*取值表i m ax當(dāng)n上3時(shí)，若CR0.1即 max max,認(rèn)為比較判斷矩陣的一致性可以接受，否則應(yīng)對(duì)判斷矩陣作適當(dāng)?shù)男拚?，直?.一max小于 max通過一致性檢驗(yàn)時(shí)，求得的 W才有效。五、層次總排序計(jì)算同一層次中所有元素對(duì)最

13、高層(總目標(biāo))的相對(duì)重要性標(biāo)度(又稱權(quán)重向量)稱為層次總排序。1、層次總排序的步驟為：(1)計(jì)算同一層次所有因素對(duì)最高層相對(duì)重要性的權(quán)重向量，這一過程是自上而下逐層進(jìn)行；(2)設(shè)已計(jì)算出第k-1層上有n-i個(gè)元素相對(duì)總目標(biāo)的權(quán)重向量為wT =的(1) , w 2(k-1),w ns凹) ) T(3)第k層有個(gè)nk個(gè)元素，他們對(duì)于上一層次(第 k-1層)的某個(gè)元素j的單準(zhǔn)則權(quán)重向量為pF) =何 , w*,，wkj)(k)T (對(duì)于與k-1層第j個(gè)元素?zé)o支配關(guān)系的對(duì)應(yīng) w取值為0);(4)第k層相對(duì)總目標(biāo)的權(quán)重向量為 wk= (p 1(k), p 2(k),pk-1 (k),)w2、層次總排序的

14、一致性檢驗(yàn)人們?cè)趯?duì)各層元素作比較時(shí)，盡管每一層中所用的比較尺度基本一致，但各層之間仍可能有所差異，而這種差異將隨著層次總排序的逐漸計(jì)算而累加起來，因此需要從模型的總體上來檢驗(yàn)這種差異尺度的累積是否顯著，檢驗(yàn)的過程稱為層次總排序的一致性檢驗(yàn)。第k層的一致性檢驗(yàn)指標(biāo) CIk=(CI產(chǎn)，CI 2i ,，CIn K(k-1) )wiRIk=(RI 產(chǎn)) , RI 2(k-1),，RIn ， )w(k-1)cR=cR +CIk/RI k(3 vkvn)當(dāng)CR E。ABCDEB1234C1/2123D1/31/213/2E1/41/32/31BXYZX13/24/5Y2/318/15Z5/415/81CX

15、YZX13/21/2Y2/311/2Z221對(duì)于上述各比較判斷矩陣，用 Matlab數(shù)學(xué)軟件求出其最大特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量，將特征向量經(jīng)歸一化后，即可得相應(yīng)的層次單排序的相對(duì)重要性權(quán)重向量，以及一致性指標(biāo)CI和一致性比率CR列表如下：層次單排序及一致性計(jì)算結(jié)果矩陣層次單排序的權(quán)重向量maxmaxCI ( max m)/(m 1)RICR=CI/RIA(0.4694,0.2788,0.1491,0.1027) T4.01644.270.00550.900.0061B T(0.3429,0.2286,0.4286)33.11600.580C(0.2849,0.2174,0.4977) T3.0

16、1833.1160.00910.580.0158D_ T(0.5472,0.1897,0.2631)3.00153.1167.7081e-0040.580.0013E(0.2727,0.1818,0.5455) T3.00003.1162.2204e-0160.583.8284e-016由此可見，所有五個(gè)層次單排序的max的值均小于 max， CR的值均小于0.1 ,符合一致性要求。(4)層次總排序已知第二層(B、C、D、E)相對(duì)于總目標(biāo)層A的排序向量為W2)= (0.4694,0.2788,0.1491,0.1027)而第三層(X、Y、Z)以第二層各個(gè)因素為準(zhǔn)則的排序向量分別為:Pb(3)

17、= (0.3429,0.2286,0.4286)Pc(3) = (0.2849,0.2174,0.4977)Pd(3) = (0.5472,0.1897,0.2631)Pe(3) = (0.2727,0.1818,0.5455)則第三層(X、Y、Z)相對(duì)于總目標(biāo)的排序向量為W =( Pb(3), Pc(3), Pd(3), Pe(3)-W2)=(0.3500,0.2149,0.4352)(5)層次總排序的一致性檢驗(yàn)由于 CI=(CIb,CIc,CId,CIe)=(O,0.0091,0.0008,0.0000) /RI =(RIb,RIc,RId,RIe)=(0.5800,0.5800,0.58

18、00,0.5800)CR 2=CRa=0.0061因此，CI3= CI .WW =0.0027RI3= RI .WW =0.5800CR 3= CR2+ CI 3/ RI 3=0.01070.1當(dāng)CR XY應(yīng)該選擇企業(yè)Z作為結(jié)盟伙伴。利用MATLABt解例4-4(1)第二層對(duì)目標(biāo)層的權(quán)重與一致性檢驗(yàn)A=1 2 3 4;1/2 1 2 3;1/3 1/2 1 3/2;1/4 1/3 2/3 1 %輸入比較判斷矩陣 Aa=eig(A)%求出A的所有的特征值X,D=eig(A)%求出A的所有特征向量及對(duì)角矩陣a1=a(1,:)%在A的所有特征值中取出最大的特征值(第 1個(gè))a2=X(:,1)%求最大特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量a3=ones(1,4)%構(gòu)造一個(gè)其中元素全為1的1 X4矩陣a4=a3*a2%求出a2中所有元素的和W2=1/a4*a2%求出矩陣A的權(quán)重向量CIa=(a1-4)/3%求出A的一致性指標(biāo)CRa=CIa/0.90%求出A的一致性比率(2)求出第三層對(duì)第二層的各個(gè)因素的權(quán)重向量及一致性檢驗(yàn)程序基本和(1)中相似，求出B、C、D E的最大特征值、權(quán)重向量和一致性比率D d1 Pd CId CRdE e1 Pe CIe CReB b1 Pb CIb CRbC c1 Pc CIc CRc(3)總排序P=Pb Pc Pd