第五章 測量誤差的基本知識

1、第五章第五章 測量誤差的基本知識測量誤差的基本知識 建筑工程測量建筑工程測量 李仲李仲 主編主編本章要目本章要目n測量誤差的概述；測量誤差的概述；n衡量精度的指標(biāo)；衡量精度的指標(biāo)；n算術(shù)平均值及其中誤差；算術(shù)平均值及其中誤差；n誤差傳播定律的概念和應(yīng)用；誤差傳播定律的概念和應(yīng)用；5.1 5.1 測量誤差的概述測量誤差的概述引子：測量誤差及其來源引子：測量誤差及其來源1.1.兩個事實：兩個事實：重復(fù)重復(fù) 觀測值之間的差異觀測值之間的差異觀測值與理論值之間的差異觀測值與理論值之間的差異2.2.測量誤差的客觀性：測量誤差的客觀性： 用重復(fù)觀測、多余觀測導(dǎo)致的差異，發(fā)現(xiàn)或反用重復(fù)觀測、多余觀測導(dǎo)致的差

2、異，發(fā)現(xiàn)或反映了測量誤差的客觀存在。映了測量誤差的客觀存在。一、測量誤差產(chǎn)生的原因觀測者感官鑒別能力限制觀測者感官鑒別能力限制測量儀器制造工藝誤差：測量儀器制造工藝誤差：外界環(huán)境變化外界環(huán)境變化以上稱為觀測條件。以上稱為觀測條件。n觀測條件的客觀性決定測量誤差的客觀性。觀測條件的客觀性決定測量誤差的客觀性。n觀測條件相同，觀測值的精度相同，稱為同觀測條件相同，觀測值的精度相同，稱為同精度觀測值。精度觀測值。n否則是不等精度觀測。否則是不等精度觀測。研究測量誤差的目的研究測量誤差的目的n誤差不可避免。誤差不可避免。n測量的目標(biāo)：測量的目標(biāo)：n研究誤差的分類，針對不同誤差采取不同的措研究誤差的分類

3、，針對不同誤差采取不同的措施，以達(dá)到消除或減小誤差對測量成果的影響施，以達(dá)到消除或減小誤差對測量成果的影響的目的。的目的。二、二、 測量誤差的分類測量誤差的分類測量誤差按其對測量誤差按其對測量成果質(zhì)量測量成果質(zhì)量的影響性質(zhì)，分為的影響性質(zhì)，分為: :n系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差: :n偶然誤差偶然誤差: :n粗差粗差: :測量誤差按其表示形式，分為測量誤差按其表示形式，分為: :n絕對誤差絕對誤差: :n相對誤差相對誤差: :還可以按誤差來源、計算原理和應(yīng)用范圍等分類還可以按誤差來源、計算原理和應(yīng)用范圍等分類: :n儀器誤差、人為誤差、環(huán)境誤差；真誤差、最或是儀器誤差、人為誤差、環(huán)境誤差；真誤差、最或是

4、誤差、中誤差、極限誤差、容許誤差；測距誤差、誤差、中誤差、極限誤差、容許誤差；測距誤差、測角誤差、高差誤差、坐標(biāo)誤差、高程誤差等。測角誤差、高差誤差、坐標(biāo)誤差、高程誤差等。1 1、系統(tǒng)誤差、系統(tǒng)誤差: :2 2、偶然誤差、偶然誤差: :2 2、偶然誤差、偶然誤差: :另外，還有粗差：另外，還有粗差：測量平差測量平差n在觀測過程中，粗差、系統(tǒng)誤差和偶然誤差往在觀測過程中，粗差、系統(tǒng)誤差和偶然誤差往往是同時存在的。往是同時存在的。n對一組剔除了粗差的觀測值，首先應(yīng)尋找、判對一組剔除了粗差的觀測值，首先應(yīng)尋找、判斷和排除系統(tǒng)誤差，或?qū)⑵淇刂圃谠试S的范圍斷和排除系統(tǒng)誤差，或?qū)⑵淇刂圃谠试S的范圍內(nèi)，然后

5、根據(jù)內(nèi)，然后根據(jù)偶然誤差的特性偶然誤差的特性（？）對該組觀）對該組觀測值進(jìn)行數(shù)學(xué)處理，求出最接近未知量真值的測值進(jìn)行數(shù)學(xué)處理，求出最接近未知量真值的估值，稱為最或是值；同時，評定觀測結(jié)果質(zhì)估值，稱為最或是值；同時，評定觀測結(jié)果質(zhì)量的優(yōu)劣，即評定精度。量的優(yōu)劣，即評定精度。n這項工作在測量上稱為測量平差，簡稱平差。這項工作在測量上稱為測量平差，簡稱平差。 三、三、 偶然誤差的特性偶然誤差的特性次觀測值為三角形三個內(nèi)角的各、式中：iiiiiiicbacba1801.1.三角形內(nèi)角和觀測誤差三角形內(nèi)角和觀測誤差統(tǒng)計表統(tǒng)計表誤差區(qū)間d負(fù) 誤 差正 誤 差個數(shù)k相對個數(shù)個 數(shù)k相對個數(shù)0.00.20.2

6、0.40.40.60.60.80.81.01.01.21.21.41.41.61.6以上4540332317136400.1260.1120.0920.0640.0470.0360.0170.0110.0004641332116135200.1280.1150.0920.0590.0450.0360.0140.0060.000總和1810.5051770.495(頻頻率率) )nk0- 0.2-0.6-1.0-1.40.20.61.01.4 2.2.三角形內(nèi)角和觀測誤差三角形內(nèi)角和觀測誤差頻率直方圖頻率直方圖n有界性有界性：在一定觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值。n密集性密集性：

7、絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會多。 (趨向性)n對稱性對稱性：絕對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會相等。n抵償性抵償性：在相同觀測條件下（等精度觀測），偶然誤差的算術(shù)平均值隨著觀測次數(shù)的無限增多而趨于零。 0limlim21nnnnn偶然誤差的特性偶然誤差的特性：3.3.偶然誤差偶然誤差分布密度曲線分布密度曲線- -高斯正態(tài)分布高斯正態(tài)分布 22221)(ef理論分布函數(shù)：理論分布函數(shù)：第二節(jié)第二節(jié) 衡量精度的指標(biāo)衡量精度的指標(biāo) 什么是精度？什么是精度？在測量中，又稱精密度，對某一量多次觀測值之間在測量中，又稱精密度，對某一量多次觀測值之間的離散程度。集中則精密度高，離散精密度低。的離散

8、程度。集中則精密度高，離散精密度低。精度主要取決于偶然誤差。精度主要取決于偶然誤差。在相同的觀測條件下的一組觀測，都有相同的精度。在相同的觀測條件下的一組觀測，都有相同的精度。衡量觀測值精度的方法：衡量觀測值精度的方法：誤差分布表誤差分布表頻率直方圖頻率直方圖數(shù)值指標(biāo)數(shù)值指標(biāo)（衡量精度的指標(biāo)）（衡量精度的指標(biāo)） 設(shè)在同精度觀測下出現(xiàn)一組偶然誤差設(shè)在同精度觀測下出現(xiàn)一組偶然誤差 ,中誤差由各個真誤差平方的平均值計算，又稱標(biāo)中誤差由各個真誤差平方的平均值計算，又稱標(biāo)準(zhǔn)差。準(zhǔn)差。 n,21nm一、中誤差一、中誤差用真誤差計算中誤差用真誤差計算中誤差：必須知道真值。：必須知道真值。第一組觀測第二組觀測

9、次數(shù)觀測值真誤差次數(shù)觀測值真誤差118000002 -2118000001 -1218000003 -3217905958+2317905959 +1318000008-8417905957 +3418000002 -2518000001-1518000001-16180000000617905958+2718000003-3717905953+7817905957 +3818000000 0917905958 +2918000002 -21018000001-11017905959 +1n兩組觀測值中誤差：兩組觀測值中誤差：36 . 371 . 221 nmnm 第一組觀測值精度高于第二組。

10、中誤差能突出反映大誤差的影響。n根據(jù)偶然誤差的第一個特性，在一定觀測條件下，根據(jù)偶然誤差的第一個特性，在一定觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值，該限值偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值，該限值稱為極限誤差，簡稱限差。限差是偶然誤差限制稱為極限誤差，簡稱限差。限差是偶然誤差限制值，用作值，用作觀測成果取舍觀測成果取舍的標(biāo)準(zhǔn)。的標(biāo)準(zhǔn)。誤差出現(xiàn)在誤差出現(xiàn)在K K倍中誤差區(qū)間內(nèi)的倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率為：概率為：kmkmmdemkmP22221)(將將K=1K=1、2 2、3 3分別代入上式，可得到偶然誤差分別分別代入上式，可得到偶然誤差分別出現(xiàn)在一倍、二倍、三倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率：出現(xiàn)在一

11、倍、二倍、三倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率： P(|P(| | | m)=0.683=68.3 m)=0.683=68.3 P(| P(| | | 2m)=0.954=95.4 2m)=0.954=95.4 P(| P(| | | 3m)=0.997=99.7 3m)=0.997=99.7 在實際測量工作中由于觀測次數(shù)有限，絕對值大于三在實際測量工作中由于觀測次數(shù)有限，絕對值大于三倍中誤差的偶然誤差出現(xiàn)的機(jī)會很小，所以通常取倍中誤差的偶然誤差出現(xiàn)的機(jī)會很小，所以通常取三倍中誤差作為偶然誤差的極限誤差的三倍中誤差作為偶然誤差的極限誤差的估值估值。三、相對誤差三、相對誤差n絕對誤差：絕對誤差：在測量中不考慮

12、某量的大小，而只考慮該量的近似值對其準(zhǔn)確值的誤差本身的大小。真誤差、中誤差、極限誤差。即絕對誤差絕對誤差的大小不能反映與觀測量的大小的關(guān)系觀測量的大小的關(guān)系。所以，在有些情況下，絕對誤差并不能全面反映觀測精度。n例如：分別丈量兩段不同距離，一段為100m，一段為200m，中誤差都是0.02m。此時是否能認(rèn)為兩段距離觀測結(jié)果的精度相同？n必須引入相對誤差的概念，目的是為了更客觀地反映實際測量精度。絕對誤差的絕對值與觀測值之比，用分子為絕對誤差的絕對值與觀測值之比，用分子為1 1的分的分?jǐn)?shù)形式表示。無量綱。分母越大，相對誤差越小，數(shù)形式表示。無量綱。分母越大，相對誤差越小，精度越高。分子是中誤差則

13、有：精度越高。分子是中誤差則有：10000120002. 05000110002. 012211lmKlmKmllmK相對閉合差：距離往返測量的較差的絕對值為分子。相對閉合差：距離往返測量的較差的絕對值為分子。相對容許誤差：容許誤差的絕對值為分子。相對容許誤差：容許誤差的絕對值為分子。相對誤差（相對誤差（K K）的定義）的定義第三節(jié)第三節(jié) 觀測值的算術(shù)平均值及其中誤差觀測值的算術(shù)平均值及其中誤差 1 1、算術(shù)平均值、算術(shù)平均值XlXlXlnn.2211： Xnln當(dāng)觀測次數(shù)無限增大時，根據(jù)偶然誤差第四特性，當(dāng)觀測次數(shù)無限增大時，根據(jù)偶然誤差第四特性，有有 XnlXnlnnnnlim0)(lim

14、lim 當(dāng)觀測次數(shù)有限時，通常取算術(shù)平均值為最可最可靠值（最或是值）靠值（最或是值），作為測量的最終結(jié)果。算算術(shù)平均值一般用術(shù)平均值一般用 表示。表示。n或nlllXn.21 nlX X2 2、同精度測量成果的精度評定、同精度測量成果的精度評定（1 1）觀測值的精度評定：）觀測值的精度評定：1)(22nvvm或觀測值中誤差：觀測值中誤差： 1nvvm最或是誤差：最或是誤差：觀測值與最或然值的差值。用符號“v”表示。iilXv證明證明: :1122nnvXlvXlvXlL(1)(2)XlXlXlnn.22111122()()()nnvXXvXXvXX L1122()().()nnvX XvX X

15、vX X (3)(4)2()2 ()vvnXXXXv （4）式兩邊平方，求和因為：因為：v=0v=0， 所以：所以：所以所以22()()vvvvn XXXXnn 2xvvmnn22vvmmnn1nvvm2().xxXX用m 代替，其中m 為算術(shù)平均值中誤差計算觀測值中誤差例子 毫米16. 3232. 615401nvvm452.123/ nlLn一、已知真值X，則真誤差 n二、觀測值中誤差 XliinmilXivnlX1nvvmn一、真值不知，則 n二、觀測值中誤差 2 2、同精度測量成果的精度評定、同精度測量成果的精度評定第四節(jié)第四節(jié) 誤差傳播定律誤差傳播定律1.1.倍數(shù)函數(shù)倍數(shù)函數(shù)2.2.

16、和差函數(shù)和差函數(shù) 3.3.一般線性函數(shù)一般線性函數(shù)nnxZxZxZKKK.2211nKnxxZZ2nmnmxxxZZZ22222xZmKm xZKmm nnnyxZyxZyxZ.222111nnnnyxyyxxZZ222222222yxZyxyxZmmmmmnyxmmm222221.21nxxxZnmmmmxxxZxZxZmnmnmm22xxxxmmmmn.21nnxKxKxKZ.221122222112.nnZmKmKmKm ) 1(11.11.2222222221nnvvnmMmnmnmnmnMnlllXn推導(dǎo)結(jié)果：誤差傳播律：列函數(shù)式： 算術(shù)平均值中誤差與觀測次數(shù)的平方根成反比，算術(shù)平均

17、值的精度比各觀測值的精度提高了 倍。n算術(shù)平均值的精度評定：算術(shù)平均值的精度評定：nndxxfdxxfdxxfdZ.2211 由于非線性函數(shù)的真誤差關(guān)系式難于表達(dá)，考由于非線性函數(shù)的真誤差關(guān)系式難于表達(dá)，考慮到真誤差是個小量，真誤差關(guān)系式可用全微慮到真誤差是個小量，真誤差關(guān)系式可用全微分近似表達(dá)：分近似表達(dá)：nnZxxfxxfxxf.22112222222112.mxfmxfmxfmZ22222221212znnfffmmmmxxxL2222221212znnfffmmmmxxx L2221mm 22212nmmmL2222222121nnmKmKmK函 數(shù) 名 稱函 數(shù) 式中 誤 差 傳 播

18、 公 式倍數(shù)函數(shù)倍數(shù)函數(shù)和差函數(shù)和差函數(shù) 線性函數(shù)線性函數(shù)非線性函數(shù)非線性函數(shù)Z=KxZ=x1x2Z=x1x2xn Z=K1x1K2x2KnxnZ=f (x1,x2xn )mZ=Kmmz=mz=mz=2222222121nnmxfmxfmxfmz=誤差傳播定律的廣泛應(yīng)用：求觀測值函數(shù)的中誤差；誤差傳播定律的廣泛應(yīng)用：求觀測值函數(shù)的中誤差；研究容許誤差的確定；分析觀測可能達(dá)到的精度研究容許誤差的確定；分析觀測可能達(dá)到的精度四、誤差傳播定律的應(yīng)用四、誤差傳播定律的應(yīng)用例例1 1：倍數(shù)函數(shù)：倍數(shù)函數(shù)：量得量得 1:1000 1:1000 地形圖上兩點間長度地形圖上兩點間長度l l = =168.5mm168.5mm 0.2mm,0.2mm, 計算該兩點實地距離計算該兩點實地距離S S及其中誤差及其中誤差m ms s：m2 . 0m5 .168m2 . 0mm2002 . 01000100010001000SmmddlSlSlS解：解：列函數(shù)式列函數(shù)式: : 求全微分：求全微分： 中誤差式：中誤差式： 例例2 2：和差函數(shù)：和差函數(shù)：設(shè)對某一個三角形觀測了其中設(shè)對某一個三角形觀測了其中 ， 兩個角，測角中誤差兩個角，測角中誤差分別為分別為 ： 現(xiàn)按公式現(xiàn)按公式 =1