第7章非線性控制系統(tǒng)(2)

1、第七章第七章 非線性系統(tǒng)控制非線性系統(tǒng)控制Chapter 7 control of nonliner systems7.1 7.1 非線性控制系統(tǒng)概述非線性控制系統(tǒng)概述 7.2 7.2 常見非線性及其對系統(tǒng)運(yùn)動的影響常見非線性及其對系統(tǒng)運(yùn)動的影響7.3 7.3 描述函數(shù)法描述函數(shù)法 7.4 7.4 相平面法相平面法 7.5 Matlab7.5 Matlab 在本章中的應(yīng)用在本章中的應(yīng)用本章重點(diǎn)內(nèi)容本章重點(diǎn)內(nèi)容7.47.4相平面法相平面法7.4.1 7.4.1 相平面的基本概念相平面的基本概念 相平面：相平面：相軌跡：相軌跡：)1(5)( sssG系統(tǒng)變量及其導(dǎo)數(shù)系統(tǒng)變量及其導(dǎo)數(shù)隨時間變化隨時間

2、變化在相平面上描繪出來的軌跡在相平面上描繪出來的軌跡。cc ,由系統(tǒng)某變量及其導(dǎo)數(shù)由系統(tǒng)某變量及其導(dǎo)數(shù)( (如如 ) )構(gòu)成的用以描述系統(tǒng)狀態(tài)的平面。構(gòu)成的用以描述系統(tǒng)狀態(tài)的平面。例例1 1 單位反饋系統(tǒng)單位反饋系統(tǒng) 2236. 0236. 2 n)(1)(ttr 相平面、相軌跡和相軌跡圖相平面、相軌跡和相軌跡圖相軌跡圖：相軌跡圖：相平面相平面 + + 相軌跡簇相軌跡簇相平面法相平面法7.4.2 7.4.2 相軌跡的性質(zhì)相軌跡的性質(zhì)00 xx ( , )00dxf x xdxx 對于線性定常系統(tǒng)，對于線性定常系統(tǒng)，原點(diǎn)是唯一的平衡點(diǎn)原點(diǎn)是唯一的平衡點(diǎn)(3)(3)相軌跡的運(yùn)動方向相軌跡的運(yùn)動方向

3、上半平面上半平面: : 向右移動向右移動0 x 0 x 下半平面下半平面: : 向左移動向左移動順時針運(yùn)動順時針運(yùn)動(4)(4)相軌跡通過橫軸的方向相軌跡通過橫軸的方向( , )00f x xx (2)(2)相軌跡的奇點(diǎn)相軌跡的奇點(diǎn) (平衡點(diǎn)平衡點(diǎn))0),( xxfx 設(shè)非線性系統(tǒng)方程為：設(shè)非線性系統(tǒng)方程為：相軌跡上斜率不確定的點(diǎn)相軌跡上斜率不確定的點(diǎn)(1)(1)相軌跡的斜率相軌跡的斜率( , )dxdx dtf x xdxdx dtx ( , )dxdx dxdxxxf x xdtdx dtdx 相軌跡以相軌跡以90穿越穿越 x 軸軸( , )dxf x xdxx 繪制相繪制相相跡相跡的方法

4、有解析法和圖解法兩種。解的方法有解析法和圖解法兩種。解析法只適用于系統(tǒng)微分方程比較簡單的場合；對于析法只適用于系統(tǒng)微分方程比較簡單的場合；對于一般非線性系統(tǒng)的相軌跡，宜采用圖解法。一般非線性系統(tǒng)的相軌跡，宜采用圖解法。 ( (一一) )用解析法求相軌跡用解析法求相軌跡 用解析法繪制相跡的方法通常有兩種：一種是用解析法繪制相跡的方法通常有兩種：一種是對微分方程直接進(jìn)行積分。顯然，這種方法只適用對微分方程直接進(jìn)行積分。顯然，這種方法只適用于該式能用一般函數(shù)的場合。另一種方法是分別解于該式能用一般函數(shù)的場合。另一種方法是分別解出出x x1 1和和x x2 2對對t t的關(guān)系式，然后消去參變量的關(guān)系式

5、，然后消去參變量t t，求得，求得x x1 1和和x x2 2的關(guān)系式。的關(guān)系式。 二、相軌跡的繪制二、相軌跡的繪制例例2 2 設(shè)系統(tǒng)方程為設(shè)系統(tǒng)方程為 ， 試?yán)L制系統(tǒng)的相軌跡。試?yán)L制系統(tǒng)的相軌跡。02 xxn tdxdxdxdtdxdx 解解xxdxdxn2 xdxxdxn 2 Cxxn 222221 222222ACxxnn 122222 nAxAx 橢圓方程橢圓方程7.4.3 7.4.3 相軌跡的繪制相軌跡的繪制 解析法解析法解解例例3 3 系統(tǒng)方程系統(tǒng)方程 , ,用等傾斜線法繪制系統(tǒng)相軌跡圖。用等傾斜線法繪制系統(tǒng)相軌跡圖。0 xxx 系統(tǒng)方程系統(tǒng)方程0),( xxfx ),(xxfxd

6、xdxtdxdxdxdx xxxfxdxd),( xxxf),( )(xxxdxdxx xxx)( 1xx 等傾斜線方程等傾斜線方程等傾斜線等傾斜線 相軌跡斜率為常數(shù)的曲線相軌跡斜率為常數(shù)的曲線xx )1( 7.4.3 7.4.3 相軌跡的繪制相軌跡的繪制 等傾斜線法等傾斜線法7.27.2 相平面法相平面法（5 5） 75.3 19.2 58.1 18.1 82.0 42.0 19.0 75.1 1xx 75. 3 36. 0 2019. 2 84. 0 4058. 1 73. 1 6018. 1 67. 5 8082. 0 76. 5 10042. 0 73. 1 12019. 084. 0

7、 14075. 136. 0 160 00. 0 180 1 1 11arctan 7.4.4 7.4.4 由相軌跡求時間解由相軌跡求時間解 增量法增量法BAABABxxxxtt 2ABABxxx 2()BAABABxxtxx 相軌跡相軌跡A-B段的平均速度：段的平均速度： 相軌跡相軌跡A-B段所用的時間：段所用的時間： 極點(diǎn)分布極點(diǎn)分布(3) 二階系統(tǒng)的相軌跡二階系統(tǒng)的相軌跡奇點(diǎn)奇點(diǎn)相跡圖相跡圖（演示）（演示）中心點(diǎn)中心點(diǎn)穩(wěn)定的穩(wěn)定的 焦點(diǎn)焦點(diǎn)穩(wěn)定的穩(wěn)定的 節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)鞍鞍 點(diǎn)點(diǎn)不穩(wěn)定不穩(wěn)定的焦點(diǎn)的焦點(diǎn)不穩(wěn)定不穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)極點(diǎn)分布極點(diǎn)分布奇點(diǎn)奇點(diǎn)相跡圖相跡圖例例4 4 設(shè)系統(tǒng)方程為設(shè)系統(tǒng)方程

8、為 求系統(tǒng)的平衡點(diǎn)求系統(tǒng)的平衡點(diǎn)xe，并判定平衡點(diǎn)附近，并判定平衡點(diǎn)附近相軌跡的性質(zhì)。相軌跡的性質(zhì)。0)5 . 03(2 xxxxx 0 xx 解解 令令0)1(2 xxxx 1021eexx 不穩(wěn)定焦點(diǎn)不穩(wěn)定焦點(diǎn)線化線化 0)1()1(5 . 005 . 02xxxxxxx 121xxxxxxxxee 05 . 005 . 0 xxxxxx 015 . 0015 . 022ssss特征特征方程方程s = 0.25j0.970.78s =-1.28鞍點(diǎn)鞍點(diǎn)7.4.6 7.4.6 非線性系統(tǒng)的相平面分析非線性系統(tǒng)的相平面分析(1) (1) 非本質(zhì)非線性系統(tǒng)的相平面分析非本質(zhì)非線性系統(tǒng)的相平面分析

9、例例5 5 設(shè)系統(tǒng)方程為設(shè)系統(tǒng)方程為 ，求系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，求系統(tǒng)的平衡點(diǎn)xe， 并判定平衡點(diǎn)附近并判定平衡點(diǎn)附近相軌跡的性質(zhì)。相軌跡的性質(zhì)。0sin xx 0 xx 解解 令令當(dāng)當(dāng)xxxkx sin)2sin(sin 00 xxxx 010122ss特征特征方程方程 11sjs0sin x kxe ex k2xxx sinsin )12( k線化線化 中心點(diǎn)中心點(diǎn)鞍點(diǎn)鞍點(diǎn)例例1 1 系統(tǒng)方程為系統(tǒng)方程為 ，分析系統(tǒng)的自由響應(yīng)。，分析系統(tǒng)的自由響應(yīng)。0 xxx 解解 01II01I22ssss 62. 162. 0866. 05 . 02,12,1sjs特征特征方程方程 穩(wěn)定焦點(diǎn)穩(wěn)定焦點(diǎn)鞍點(diǎn)鞍點(diǎn)

10、II00I00 xxxxxxxx 0II0I21eexx奇點(diǎn)奇點(diǎn)極點(diǎn)極點(diǎn)開關(guān)線開關(guān)線(2) (2) 本質(zhì)非線性系統(tǒng)的相平面分析本質(zhì)非線性系統(tǒng)的相平面分析例例2 2 系統(tǒng)方程為系統(tǒng)方程為 ，分析系統(tǒng)的自由響應(yīng)。，分析系統(tǒng)的自由響應(yīng)。0sign xxx 解解 01II01I22ss 112,12,1jsjs特征特征方程方程 中心點(diǎn)中心點(diǎn) II001I001xxxxxx 1II1I21eexx奇點(diǎn)奇點(diǎn)極點(diǎn)極點(diǎn) 中心點(diǎn)中心點(diǎn)開關(guān)線開關(guān)線 劃分不同線性區(qū)域的邊界線劃分不同線性區(qū)域的邊界線平衡線平衡線（奇線奇線） 不同區(qū)域的相軌跡相互影響而產(chǎn)生不同區(qū)域的相軌跡相互影響而產(chǎn)生解解21)()(ssUsC 22

11、ee開關(guān)線方程開關(guān)線方程)()(tutc 線性部分線性部分 u非線性部分非線性部分 ececec 4)I(20 e)II(22 eeIII)(22 ee綜合點(diǎn)綜合點(diǎn)ccre 4 uce )I(20 e)II(22 eeIII)(22 ee例例3 3 系統(tǒng)如右，已知系統(tǒng)如右，已知 , ,確定開關(guān)線方程確定開關(guān)線方程, ,奇點(diǎn)位置和奇點(diǎn)位置和 類型類型, ,繪制相軌跡繪制相軌跡 圖。圖。 )(14)(0)0(ttrce e( , ) (3) (3) 非線性控制系統(tǒng)的相平面分析非線性控制系統(tǒng)的相平面分析 中心點(diǎn)中心點(diǎn) 中心點(diǎn)中心點(diǎn)0s 0 e 0e I21 s 區(qū)域區(qū)域 運(yùn)動方程運(yùn)動方程 奇點(diǎn)奇點(diǎn)

12、特征方程特征方程 極點(diǎn)極點(diǎn) 奇點(diǎn)性質(zhì)奇點(diǎn)性質(zhì)js s 01 2e 02-ee II22 js s 01 -2e 02ee III23 奇奇點(diǎn)點(diǎn)類類型型相軌跡相軌跡)II(以以 為中心的圓為中心的圓22 e以以 為中心的圓為中心的圓III)(23 e0)I( e Ce 水平線水平線響應(yīng)響應(yīng))(tccre eerc 4eTe1 開關(guān)線方程開關(guān)線方程)()(tutc 線性部分線性部分非線性部分非線性部分1 ededetdededede )I(01 eTeII)(01 eTe u比較點(diǎn)比較點(diǎn)ccre 1例例4 4 系統(tǒng)如右，系統(tǒng)如右， ， ，分別討論系統(tǒng)運(yùn)動。，分別討論系統(tǒng)運(yùn)動。)(1)(ttr 5

13、. 0, 0 T整理整理)I(01 eTeII)(01 eTe e 在在 I 區(qū)：區(qū)：22eeC I拋物線方程拋物線方程同理在同理在 II 區(qū)：區(qū)：22eeCII當(dāng)當(dāng) 時，開關(guān)線為時，開關(guān)線為： 5 . 00T eee20解解開關(guān)線開關(guān)線0 eTe( I )相軌跡圖相軌跡圖0 eTe( II )系統(tǒng)方程系統(tǒng)方程 eeT25 . 0 00eT1 e 22eeC I22eeCII1 e 周期運(yùn)動周期運(yùn)動收斂到平衡點(diǎn)收斂到平衡點(diǎn)非線性部分非線性部分 0,1ehehe 0,1ehehe u比較點(diǎn)比較點(diǎn)cre 例例5 5 系統(tǒng)如右，在系統(tǒng)如右，在 平面上分析系統(tǒng)的自由響應(yīng)運(yùn)動。平面上分析系統(tǒng)的自由響應(yīng)運(yùn)

14、動。)(cc整理整理sssUsC 21)()(線性部分線性部分解解ucc 11 ucc 0, chchc 0, chchc7.27.2 相平面法相平面法（1616） (I )1dcccccdc 11c 等傾斜線等傾斜線(II)1dcccccdc 11c I)(11 II)(11- 21 201121 03 21 2 1 23 2 2 1 21 0211221 0 1 3 2 23 21 0 1 3 2 2331 3131 2323 等傾斜線等傾斜線各各類類極極限限環(huán)環(huán)極限環(huán)極限環(huán) 對應(yīng)二階非線性系統(tǒng)的周期運(yùn)動對應(yīng)二階非線性系統(tǒng)的周期運(yùn)動穩(wěn)定的極限環(huán)穩(wěn)定的極限環(huán)不穩(wěn)定的極限環(huán)不穩(wěn)定的極限環(huán)半穩(wěn)定

15、的極限環(huán)半穩(wěn)定的極限環(huán)非線性部分非線性部分)I(1he )III(1he u比較點(diǎn)比較點(diǎn)ccre 例例6 6 系統(tǒng)如右，在系統(tǒng)如右，在 平面上分析系統(tǒng)的自由響應(yīng)運(yùn)動。平面上分析系統(tǒng)的自由響應(yīng)運(yùn)動。)(cc整理整理 ucc sssUsC 21)()(線性部分線性部分解解ucc )II(hee 1hc )I(c hc )II(1 hc )III(例例7 7 系統(tǒng)方程為系統(tǒng)方程為 ，繪制相軌跡圖；，繪制相軌跡圖； 分析系統(tǒng)的自由響應(yīng)運(yùn)動。分析系統(tǒng)的自由響應(yīng)運(yùn)動。0sin xx xxdxdxtdxdxdxdtdxdxsin 解解 xdxd 令令xxsin1 值值角角 1 1 45121 6 .2620

16、 0 21 6 .262 1 451 90041 14441 144 值值角角 1 1 45121 6.2620 0 21 6.262 1 451 90041 14441 144 sin0 xx 系統(tǒng)方程系統(tǒng)方程1sinxx 等傾斜線等傾斜線課程小結(jié)課程小結(jié) 7.17.1概述概述 7.1.17.1.1 非線性現(xiàn)象的普遍性非線性現(xiàn)象的普遍性 7.1.2 7.1.2 典型非線性特性典型非線性特性 7.1.3 7.1.3 非非線性系統(tǒng)運(yùn)動的特殊性線性系統(tǒng)運(yùn)動的特殊性 7.1.4 7.1.4 非非線性控制系統(tǒng)的分析方法線性控制系統(tǒng)的分析方法7.2 7.2 相平面法相平面法 7.2.1 7.2.1 相平面的基本概念相平面的基本概念 （相平面、相軌跡和相平面圖）（相平面、相軌跡和相平面圖） 7.2.27.2.2 相軌跡的性質(zhì)