概率論復(fù)習(xí)題及答案解析

1、u 第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念u 第四章第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征u 第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布u 第三章第三章 隨機(jī)向量及其分布隨機(jī)向量及其分布u 第五章第五章 大數(shù)定律及中心極限定理大數(shù)定律及中心極限定理概率論的基本概念概率論的基本概念第一章第一章 n 隨機(jī)事件隨機(jī)事件n 隨機(jī)事件的概率隨機(jī)事件的概率n 概率的公理化定義及其性質(zhì)概率的公理化定義及其性質(zhì)n 條件概率和乘法公式條件概率和乘法公式n 全概率公式與全概率公式與BayesBayes公式公式n 試驗(yàn)的獨(dú)立性與獨(dú)立試驗(yàn)概型試驗(yàn)的獨(dú)立性與獨(dú)立試驗(yàn)概型u確定性現(xiàn)象確定性現(xiàn)象n 在標(biāo)準(zhǔn)

2、大氣壓下，水加熱到在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100100必然沸騰必然沸騰n 垂直上拋一重物，該重物會垂直下落垂直上拋一重物，該重物會垂直下落 u隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象n拋擲一枚均勻的硬幣，會出現(xiàn)正面向上、反面向上拋擲一枚均勻的硬幣，會出現(xiàn)正面向上、反面向上 兩種不同的結(jié)果兩種不同的結(jié)果1.1 樣本空樣本空間間概率論就是研究概率論就是研究隨機(jī)隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科一、一、 隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象二、隨機(jī)試驗(yàn)二、隨機(jī)試驗(yàn)u 試驗(yàn)在相同的條件下可重復(fù)進(jìn)行；試驗(yàn)在相同的條件下可重復(fù)進(jìn)行；u 每次試驗(yàn)的結(jié)果可能不止一個(gè)，但在試驗(yàn)之前每次試驗(yàn)的結(jié)果可能不止一個(gè)，但在試驗(yàn)之前 可以確定試

3、驗(yàn)的可以確定試驗(yàn)的所有所有可能結(jié)果；可能結(jié)果；u 每次試驗(yàn)前不能確定這次試驗(yàn)會出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果每次試驗(yàn)前不能確定這次試驗(yàn)會出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果. . 上拋一枚硬幣上拋一枚硬幣在一條生產(chǎn)線上，檢測產(chǎn)品的等級情況在一條生產(chǎn)線上，檢測產(chǎn)品的等級情況 向一目標(biāo)射擊向一目標(biāo)射擊實(shí)例 試驗(yàn)所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合稱為試驗(yàn)的試驗(yàn)所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合稱為試驗(yàn)的樣本空間樣本空間， 記作記作 . .三三 、樣本空間、樣本空間n樣本點(diǎn)樣本點(diǎn)n 樣本空間樣本空間 試驗(yàn)中每一個(gè)可能出現(xiàn)的試驗(yàn)結(jié)果稱為這個(gè)試驗(yàn)試驗(yàn)中每一個(gè)可能出現(xiàn)的試驗(yàn)結(jié)果稱為這個(gè)試驗(yàn)的一個(gè)的一個(gè) 樣本點(diǎn)樣本點(diǎn) . .12,n 試驗(yàn)樣本空間中的每一個(gè)元素稱為一個(gè)試

4、驗(yàn)樣本空間中的每一個(gè)元素稱為一個(gè)樣本點(diǎn)樣本點(diǎn)，記作記作 . . E3：觀察一個(gè)新燈泡的壽命觀察一個(gè)新燈泡的壽命. .E2：擲兩枚均勻的硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的情況擲兩枚均勻的硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的情況. .E1：擲一顆均勻的色子，觀察色子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)擲一顆均勻的色子，觀察色子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù). .=正正，正反，反正，反反正正，正反，反正，反反=1，2，3，4，5，6 寫出下列試驗(yàn)的樣本空間寫出下列試驗(yàn)的樣本空間例例1:0tt 例例2擲兩顆均勻的色子，觀察色子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)擲兩顆均勻的色子，觀察色子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).例例3從從1、2、3、4、5中任取兩個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù).(1) 一次取兩個(gè)數(shù)，不計(jì)次序一次取兩個(gè)數(shù)，不

5、計(jì)次序.(2) 每次取一個(gè)，取后不放回，連取兩次每次取一個(gè)，取后不放回，連取兩次.(3) 每次取一個(gè)，取后放回，連取兩次每次取一個(gè)，取后放回，連取兩次.例例4將將n張電影票平均分發(fā)給張電影票平均分發(fā)給n個(gè)人個(gè)人.例例5一尺長木棒任意折成三段一尺長木棒任意折成三段.樣本點(diǎn)：樣本點(diǎn)：n張戲票的一個(gè)排列張戲票的一個(gè)排列.樣本空間：樣本空間：n張戲票的所以排列張戲票的所以排列.樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)：樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)：!n( ,) : 01, 01,1x yxyxy 設(shè)最左側(cè)一段長度為設(shè)最左側(cè)一段長度為 ，中間一段長度為，中間一段長度為 ，則，則yx 樣本空間樣本空間 中，具有某種性質(zhì)的樣本點(diǎn)構(gòu)成的中，具有某種性質(zhì)的樣

6、本點(diǎn)構(gòu)成的集合叫做集合叫做隨機(jī)事件隨機(jī)事件，簡稱，簡稱事件事件 隨機(jī)事件是樣本空間的子集合，常用大寫英文字隨機(jī)事件是樣本空間的子集合，常用大寫英文字母母A, B, C等表示等表示例如： 在拋擲一枚均勻硬幣的試驗(yàn)中，在拋擲一枚均勻硬幣的試驗(yàn)中，“正面向上正面向上”是是一一 個(gè)隨機(jī)事件，可用個(gè)隨機(jī)事件，可用A正面向上正面向上表示表示 擲骰子，擲骰子，“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”是一個(gè)隨機(jī)事件，試驗(yàn)是一個(gè)隨機(jī)事件，試驗(yàn)結(jié)果為結(jié)果為2 2，4 4或或6 6點(diǎn)，都導(dǎo)致點(diǎn)，都導(dǎo)致“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”發(fā)生。發(fā)生。 四四 、隨機(jī)事件、隨機(jī)事件 在試驗(yàn)中，在試驗(yàn)中，事件事件是由若干個(gè)基本事件組成的是由若干個(gè)基本

7、事件組成的A 1. 1. 事件是樣事件是樣本空間本空間的子集的子集, ,即即 例如，拋擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，那么例如，拋擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，那么“出現(xiàn)出現(xiàn)1 1點(diǎn)點(diǎn)”、“出現(xiàn)出現(xiàn)2 2點(diǎn)點(diǎn)”、.、“出現(xiàn)出現(xiàn)6 6 點(diǎn)點(diǎn)”為為 該試驗(yàn)的基本事件該試驗(yàn)的基本事件 2.2.事件事件A A發(fā)生：屬于事件發(fā)生：屬于事件A A的樣本點(diǎn)出現(xiàn)的樣本點(diǎn)出現(xiàn). . 基本事件：基本事件：由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集. 注：注：3. 3. 每次試驗(yàn)只出現(xiàn)一個(gè)樣本點(diǎn)，但可能有許多事每次試驗(yàn)只出現(xiàn)一個(gè)樣本點(diǎn)，但可能有許多事件發(fā)生件發(fā)生. .4. 4. 特例特例必然事件必然事件n 必然事件

8、必然事件包含所有樣本點(diǎn)，它在每次試驗(yàn)中必然發(fā)生包含所有樣本點(diǎn)，它在每次試驗(yàn)中必然發(fā)生. .“拋一顆骰子拋一顆骰子, ,出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過6”6”為必然事件為必然事件. .記作記作 例：例：5. 5. 特例特例不可能事件不可能事件n 不可能事件不可能事件 記作記作空集空集不包含任何樣本點(diǎn)，它在每次試驗(yàn)中都不包含任何樣本點(diǎn)，它在每次試驗(yàn)中都不可能發(fā)生不可能發(fā)生. . 例：例：“拋一顆骰子拋一顆骰子, ,出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于6”6”為不可能事件為不可能事件. . 試驗(yàn)：擲一枚硬幣三次，觀察它出現(xiàn)正面或反面的情況試驗(yàn)：擲一枚硬幣三次，觀察它出現(xiàn)正面或反面的情況. .例例1=HHH

9、,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTTA=“正面出現(xiàn)兩次正面出現(xiàn)兩次” =HHT,HTH,THHB=“反面出現(xiàn)三次反面出現(xiàn)三次” =TTTC=“正反次數(shù)相等正反次數(shù)相等”= D=“正反次數(shù)不等正反次數(shù)不等” =試驗(yàn)：拋擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)試驗(yàn)：拋擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù). .A=“點(diǎn)數(shù)之和等于點(diǎn)數(shù)之和等于3 3”=（1 1，2 2），（），（2 2，1 1） B=“B=“點(diǎn)數(shù)之和大于點(diǎn)數(shù)之和大于11 11” =(6=(6，6)6)C=“C=“點(diǎn)數(shù)之和不小于點(diǎn)數(shù)之和不小于2 2”D=“D=“點(diǎn)數(shù)之和大于點(diǎn)數(shù)之和大于1212” = = =例例2例例3一尺長木棒任意折成三段

10、，事件一尺長木棒任意折成三段，事件A表示表示“三段三段能構(gòu)成三角形能構(gòu)成三角形”.( ,) : ( ,),1, 1,1.x yx yxyxyAxxyy yxyx 111( ,) : 0, 0,1.222x yxyxy五五 、事件的關(guān)系與運(yùn)算、事件的關(guān)系與運(yùn)算 給定一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，設(shè)給定一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，設(shè)為其樣本空間，事件為其樣本空間，事件，A Ak k ( k =1 , 2 , 3 , . ) ( k =1 , 2 , 3 , . ) 都是都是的子集的子集事件事件事件之間的關(guān)系與事件的運(yùn)算事件之間的關(guān)系與事件的運(yùn)算集合集合集合之間的關(guān)系與集合的運(yùn)算集合之間的關(guān)系與集合的運(yùn)算u 事件事件發(fā)生必然導(dǎo)致

11、事件發(fā)生必然導(dǎo)致事件發(fā)生發(fā)生 1.子事件子事件 (事件的包含事件的包含)ABBABAu 事件事件的樣本點(diǎn)都是事件的樣本點(diǎn)都是事件的樣本點(diǎn)的樣本點(diǎn)例如例如: :拋擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)拋擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)A=A=出現(xiàn)出現(xiàn)1 1點(diǎn)點(diǎn) B=B=出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn) 事件事件A A是事件是事件B B的的子事件子事件 記作記作AB注：注：相等事件相等事件BAAB且A=BBA事件事件A A與事件與事件B B含有相同的樣本點(diǎn)含有相同的樣本點(diǎn) 例如：在投擲一顆骰子的試驗(yàn)中，事件例如：在投擲一顆骰子的試驗(yàn)中，事件“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)” 與事件與事件“出現(xiàn)出現(xiàn)2 2，4 4或或6 6點(diǎn)點(diǎn)”是相等事件

12、。是相等事件。u 事件事件A A與事件與事件B B至少有一個(gè)發(fā)生至少有一個(gè)發(fā)生ABAB2. 并事件并事件121nniiAAAA=121niiAAAA=u 由事件由事件A A與事件與事件B B所有樣本點(diǎn)組成所有樣本點(diǎn)組成u 多個(gè)事件的并多個(gè)事件的并并事件并事件ABAB發(fā)生發(fā)生3. 交事件交事件(積事件積事件)BAn1iin21AAAA1iin21AAAAu 多個(gè)事件的積多個(gè)事件的積u 由事件由事件和事件和事件的公共樣本點(diǎn)組成的公共樣本點(diǎn)組成 交事件交事件ABAB發(fā)生發(fā)生u 事件事件A A和事件和事件B B同時(shí)發(fā)生同時(shí)發(fā)生4. 互斥事件互斥事件 (互不相容事件互不相容事件)ABu 事件事件A A與

13、事件與事件B B不能同時(shí)發(fā)生不能同時(shí)發(fā)生u 事件事件A A與事件與事件B B沒有公共的樣本點(diǎn)沒有公共的樣本點(diǎn)事件事件A A與事件與事件B B互斥互斥 AB= A ;AA( ).AA ;AA AA5. 對立事件對立事件u 事件事件A A不發(fā)生不發(fā)生u 是由所有不屬于是由所有不屬于A的樣本點(diǎn)組成的樣本點(diǎn)組成u 性質(zhì)性質(zhì)cA記作記作 6. 差事件差事件ABu 由屬于事件由屬于事件A A但不屬于事件但不屬于事件B B的樣本點(diǎn)組成的樣本點(diǎn)組成,ABA B差事件差事件A-BA-B發(fā)生發(fā)生性質(zhì)性質(zhì) ABAABu 事件事件A A發(fā)生且事件發(fā)生且事件B B不發(fā)生不發(fā)生7. 完備事件組完備事件組121,nA AA

14、（ ）互不相容122nAAA （ ）12,nA AA完備事件組完備事件組: : 1A2A3A4A概率論概率論 集合論集合論樣本空間樣本空間( (必然事件必然事件) ) 全集全集不可能事件不可能事件 空集空集子事件子事件 ABB 子集子集ABB并事件并事件 ABB 并集并集ABB交事件交事件 ABB 交集交集ABB 差事件差事件 A-B-B 差集差集A-B-B 對立事件對立事件 補(bǔ)集補(bǔ)集 AA事件之間的運(yùn)算律事件之間的運(yùn)算律u 交換律交換律 ABBAABBAu 結(jié)合律結(jié)合律 ()()A BC AB Cu 分配律分配律 ()()()A BCABAC)CA)(BA()BC(Au 摩根律摩根律 BAA

15、BBABA某射手向目標(biāo)射擊三次，用某射手向目標(biāo)射擊三次，用 表示第表示第 次擊中目標(biāo)次擊中目標(biāo)iAi試用試用 及其運(yùn)算符表示下列事件及其運(yùn)算符表示下列事件：1,2,3,i iA(1)(1)三次都擊中目標(biāo)三次都擊中目標(biāo)： 123A A A(2)(2)至少有一次擊中目標(biāo)：至少有一次擊中目標(biāo)： 123AAA(3)(3)恰好有兩次擊中目標(biāo)：恰好有兩次擊中目標(biāo)： 123123123A A AA A AA A A (4) (4)最多擊中一次：最多擊中一次： 121323A AA AA A (5) (5)至少有一次沒有擊中目標(biāo)至少有一次沒有擊中目標(biāo)： 123123AAAA A A (6) (6)三次都沒有擊中目標(biāo)三次都沒有擊中目標(biāo)： 123123A A AAAA例例1A,B,CA,B,C為同一樣本空間的隨機(jī)事件，為同一樣本空間的隨機(jī)事件，試用試用A A，B B，C C的運(yùn)算表示下列事件的運(yùn)算表示下列事件1)1) A A，B B，C C 不都發(fā)生不都發(fā)生2)2) A A與與B B發(fā)生，發(fā)生，C C不發(fā)生不發(fā)生3)3) A A，B B，C C 至少有一個(gè)發(fā)生至少有一個(gè)發(fā)生4)4)A A，B B，C C