Ch08二元關(guān)系

1、離散數(shù)學(xué)離散數(shù)學(xué)智能科學(xué)系智能科學(xué)系馮寅馮寅EmailEmail：FengYFengY2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-2第第8 8章二元關(guān)系章二元關(guān)系8.1.18.1.1 序偶與序偶與笛卡爾乘積笛卡爾乘積 定義定義8.18.1由兩個元素由兩個元素x,yx,y按照一定的次序組成的二元按照一定的次序組成的二元組稱為組稱為有序偶對有序偶對，簡稱，簡稱序偶序偶, ,記作記作,其中，稱其中，稱x x為為的第一元素，的第一元素，y y為為的第二元素。的第二元素。例例8.18.1平面上點的坐標平面上點的坐標，x,yRx,yR；中國地處亞洲中國地處亞洲 ， , , 等都是等都是序偶序偶。 這這條單

2、地址指令條單地址指令也是也是序偶。序偶。性質(zhì)性質(zhì)8.18.1（1 1） x,y（當當xyxy時時) ) （2 2） x,y當且僅當當且僅當x xu,yu,yv v。8.18.1二元關(guān)系及其表示法二元關(guān)系及其表示法2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-3n n重有序組重有序組定義定義8.28.2由由n n個元素個元素a a1 1,a,a2 2,a,a3 3, ,a,an n按照一定的次按照一定的次序組成的序組成的n n元組稱為元組稱為n n重有序組重有序組，記作，記作a 即：即：a a,a,an n 。例例8.28.2a a年年b b月月c c日日d d時時e e分分f f秒可用下述六重有

3、序組秒可用下述六重有序組來描述：來描述：。性質(zhì)性質(zhì)8.28.2a b 當且當且僅當僅當a ai ib bi i（i i1,2,3,1,2,3,n,n）。2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-4定義定義8.38.3設(shè)設(shè)A,BA,B是兩個集合，稱集合是兩個集合，稱集合A AB B|(xA)(yB)|(xA)(yB)為為集合集合A A與與B B的的笛卡笛卡兒兒積積。特別，記特別，記A AA A為為A A2 2。笛卡兒積笛卡兒積BA1 12 23 34 4a ab bc cd dD DC CA AB B|(xA)(yB)|(xA)(yB)C CD D|(xC)(yD)|(xC)(yD),2022

4、-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-5設(shè)設(shè)A A1,2,B1,2,Ba,ba,b例例8 8.3.3則則A AB B,；B BA A,。由于由于1,a,，知：知：A ABBBBA A但但| |A AB|B|B|BA|A|A|A|B|B|。因此，一般情況下，對任何兩個集合因此，一般情況下，對任何兩個集合A A、B B，當當ABAB時，有：時，有：A ABBBBA A。2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-6定義定義8.48.4設(shè)設(shè)A A1 1,A,A2 2, ,A,An n是是n n個集合，稱集合個集合，稱集合A A1 1A A2 2A An na|(a|(ai iAAi i)i1,2,)i

5、1,2,n,n為為集合集合A A1 1,A,A2 2,A,A3 3, ,A,An n的的笛卡兒積笛卡兒積。推廣推廣當當A A1 1A A2 2A An nA A時，記時，記A A1 1A A2 2A An n為為A An n。當當A A1 1,A,A2 2, ,A,An n都是有限集時，都是有限集時，|A|A1 1A A2 2A An n| |A|A1 1| |A|A2 2| |A|An n| |。2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-7例例8.48.4 假設(shè)我們在上假設(shè)我們在上“離散數(shù)學(xué)離散數(shù)學(xué)”課時，教室里共有課時，教室里共有n n8.1.28.1.2關(guān)系的引入關(guān)系的引入s1s2sm

6、c1c2c3cn0s3把椅子，聽課的學(xué)生共有把椅子，聽課的學(xué)生共有m m個（個（mnmn），每個學(xué)生坐一把），每個學(xué)生坐一把椅子。此時，學(xué)生與椅子之間有一定的從屬關(guān)系。椅子。此時，學(xué)生與椅子之間有一定的從屬關(guān)系。設(shè)分別用兩個集合設(shè)分別用兩個集合A A，B B來表示教室里所有椅子的集合來表示教室里所有椅子的集合和學(xué)生的集合，即和學(xué)生的集合，即A=cA=c1 1,c,c2 2,c,c3 3, ,c,cn n ，B=sB=s1 1,s,s2 2,s,s3 3, , ,s sm m 。此時，若將它們用坐標描述出來即為下圖。此時，若將它們用坐標描述出來即為下圖。若若s si i坐坐c cj j，則可在坐

7、標的交叉部分標，則可在坐標的交叉部分標上紅點，由于只能是學(xué)生坐椅子，而非椅上紅點，由于只能是學(xué)生坐椅子，而非椅子坐學(xué)生，因此，學(xué)生子坐學(xué)生，因此，學(xué)生s si i與椅子與椅子c cj j有一定有一定的順序，此時無法用單純的集合的順序，此時無法用單純的集合ssi i,c,cj j 來來表示兩者的關(guān)系，而必須用一種有序的形表示兩者的關(guān)系，而必須用一種有序的形式表示。另外，圖中的所有紅點的集合實式表示。另外，圖中的所有紅點的集合實際上正好反應(yīng)了際上正好反應(yīng)了m m個學(xué)生坐個學(xué)生坐n n把椅子的全部把椅子的全部就座情況。就座情況。2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-8定義定義8.58.5設(shè)設(shè)A

8、 A1 1,A,A2 2, ,A,An n為為n n個非空集合，稱個非空集合，稱8.1.38.1.3關(guān)系的定義關(guān)系的定義A A1 1A A2 2A An n的任意子集的任意子集R R為以為以A A1 1A A2 2A An n為基的為基的n n元關(guān)系元關(guān)系。特別：特別：當當R R時，則稱時，則稱R R為為空關(guān)系空關(guān)系；當當R RA A1 1A A2 2A An n時，則稱時，則稱R R為為全關(guān)系全關(guān)系。由于由于A A1 1A A2 2A An n的任何子集都是一個的任何子集都是一個n n元元關(guān)系，按照子集的定義，關(guān)系，按照子集的定義，A A1 1A A2 2A An n共有共有2 2|A|A1

9、 1A A2 2A An n| |個不同的子集。因此，個不同的子集。因此，以以A A1 1A A2 2A An n為基的為基的不不同關(guān)系共有同關(guān)系共有2 2|A|A1 1A A2 2A An n| |個。個。2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-9例例3.1.53.1.5在下列數(shù)據(jù)庫中，常將用表格的方式表示出來的文件看在下列數(shù)據(jù)庫中，常將用表格的方式表示出來的文件看作是關(guān)系作是關(guān)系R R，如下表是一個學(xué)生學(xué)籍管理的一個數(shù)據(jù)庫：，如下表是一個學(xué)生學(xué)籍管理的一個數(shù)據(jù)庫：則此時有關(guān)系則此時有關(guān)系R R A A1 1A A2 2A A6 6，其中，其中A1A194081-1,94081-1,94

10、081-2,94081-2,94081-3,94081-3, ，A2A21,2,3,1,2,3, ，A3A3 王雷王雷, ,李華李華, ,張江張江, ,趙小容趙小容, ,陳濤陳濤, ,黃靜黃靜, , ，A4A4 男，女男，女,A5A517,18,19,20,2117,18,19,20,21，A6A6 四川四川, ,北京北京, ,江蘇江蘇, ,云南云南, ,廣東廣東, ,山東山東, , 。系別與班級系別與班級 學(xué)號學(xué)號姓名姓名性別性別 年齡年齡 籍貫籍貫94081-11王王 雷雷男男18 四川四川94081-13李李 華華男男19 江蘇江蘇94081-22張張 江江男男17 北京北京94082-

11、14趙小容趙小容女女18 云南云南94082-22陳陳 濤濤男男19 廣東廣東94082-31黃黃 靜靜女女19 山東山東2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-10定義定義8.68.6設(shè)設(shè)A A，B B為兩個集合，為兩個集合，A AB B的任何一個子的任何一個子集集R R所定義的二元關(guān)系稱為所定義的二元關(guān)系稱為從從A A到到B B的的二元關(guān)系二元關(guān)系，簡稱，簡稱關(guān)關(guān)系系。如。如R R是從是從A A到到A A的二元關(guān)系，則稱的二元關(guān)系，則稱R R為為A A上的上的二元關(guān)系二元關(guān)系。8.1.48.1.4二元關(guān)系二元關(guān)系由于任何由于任何A AB B的子集都是一個二元關(guān)系，按照子集的的子集都是一

12、個二元關(guān)系，按照子集的定義，知定義，知A AB B共有共有2 2|A|B|A|B|個不同的子集。因此，從個不同的子集。因此，從A A到到B B不不同的關(guān)系共有同的關(guān)系共有2 2|A|B|A|B|個。個。設(shè)有一序偶：設(shè)有一序偶：RR，常把這一事實記為常把這一事實記為xRyxRy，讀作讀作“x x對對y y有關(guān)系有關(guān)系R R”。如如 x,y R R，則記為則記為xRyxRy，讀作讀作“x x對對y y沒有關(guān)系沒有關(guān)系R R”。2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-11域域滿足：滿足：C Cx|x| RR，D Dy|y| RR。稱稱C C為為R R的的定義域定義域，記為記為C CdomRdom

13、R；稱稱D D為為R R的的值域值域，記記D DranRranR；稱稱fldRfldRdomRranRdomRranR為為R R的的域域。稱稱A A為為R R的的前域前域，稱，稱B B為為R R的的后后域域，C C A A，D D B B2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-12設(shè)設(shè)R R1 1|(x,y|(x,y I)(xy)I)(xy)；R R2 2|(x,y|(x,y I)(xI)(x2 2+y+y2 21)1)；R R3 3|(x,y|(x,y I)(yI)(y2x)2x)；R R4 4|(x,y|(x,y I)(|x|I)(|x|y|y|3)3)。都是定義在整數(shù)集都是定義在整數(shù)

14、集I I上的關(guān)系，求它們的定義域上的關(guān)系，求它們的定義域和值域。和值域。例例.6.6解解domRdomR1 1I,ranRI,ranR1 1I I；domRdomR2 20,1,-1,ranR0,1,-1,ranR2 20,1,-10,1,-1；domRdomR3 3I,ranRI,ranR3 3E E；domRdomR4 43,-3,ranR3,-3,ranR1 13,-33,-3。2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-138.1.58.1.5關(guān)系的表示法關(guān)系的表示法1.1.集合表示法集合表示法由于關(guān)系也是一種特殊的集合，所以集合的由于關(guān)系也是一種特殊的集合，所以集合的兩種基本的表示法

15、也可以用到關(guān)系的表示中。即兩種基本的表示法也可以用到關(guān)系的表示中。即可用枚舉法和敘述法來表示關(guān)系?？捎妹杜e法和敘述法來表示關(guān)系。例例3.1.73.1.7 設(shè)設(shè)A A2,B2,B3,3,關(guān)系關(guān)系R R 如定義集合如定義集合N N上的上的“小于等于小于等于”關(guān)系：關(guān)系：R R|(x,y|(x,y N)(xy)N)(xy) 。2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-142.2.關(guān)系圖法關(guān)系圖法設(shè)設(shè)A Aaa1 1,a,a2 2,a,a3 3,.,a,.,an n,B,Bbb1 1,b,b2 2,b,b3 3,.,b,.,bm m ，R R是是 設(shè)設(shè)a a1 1,a,a2 2,a,a3 3,.,a

16、,.,an n和和b b1 1,b,b2 2,b,b3 3,.,b,.,bm m分別為圖中的節(jié)點，分別為圖中的節(jié)點，用用“。”表示表示； 如如 R,R,則從則從a ai i到到b bj j可用一有向邊可用一有向邊a ai ib bj j相連。相連。a 為對應(yīng)圖中的有向邊。為對應(yīng)圖中的有向邊。從從A A到到B B的一個二元關(guān)系，則對應(yīng)于關(guān)系的一個二元關(guān)系，則對應(yīng)于關(guān)系R R之關(guān)系圖有如下之關(guān)系圖有如下規(guī)定：規(guī)定：如如R R是定義在是定義在A Aa 上的關(guān)系，則對上的關(guān)系，則對應(yīng)于關(guān)系應(yīng)于關(guān)系R R有如下規(guī)定：有如下規(guī)定： 設(shè)設(shè)a a1 1,a,a2 2,.,a,.,an n為圖中節(jié)點，用為圖中節(jié)

17、點，用“?！北肀硎尽Ｊ?。 如如 R,R,則從則從a ai i到到a aj j可用一有向邊可用一有向邊a ai ib bj j相連。相連。a 為對應(yīng)圖中的有向邊；為對應(yīng)圖中的有向邊； 如如a R,R,則從則從a ai i到到a ai i用一帶箭頭的小圓環(huán)表示用一帶箭頭的小圓環(huán)表示a ai i 2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-15設(shè)設(shè)A AP 是六個程序，考慮它之間的是六個程序，考慮它之間的一種調(diào)用關(guān)系一種調(diào)用關(guān)系R R，如，如P Pi i可調(diào)用可調(diào)用P Pj j, ,則有則有P R,R,現(xiàn)假現(xiàn)假設(shè)設(shè)R RP,P則此關(guān)系則此關(guān)系R R的關(guān)系圖如下：的關(guān)系圖如下：例例8.88.82022

18、-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-162 2）設(shè)設(shè)A Aaa1 1,a,a2 2,a,a3 3, ,a,a6 6是六個人，是六個人，B B11，2 2，3 3是是三套房間，考慮三套房間，考慮A A到到B B之間的一種住宿關(guān)系之間的一種住宿關(guān)系R R，如，如a ai i住房住房間間j,j,則有則有a,j R,R,現(xiàn)假設(shè)：現(xiàn)假設(shè)：R Ra,2則此關(guān)系則此關(guān)系R R的關(guān)系圖如下：的關(guān)系圖如下：例例3.1.7(3.1.7(續(xù)續(xù)) )2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-17設(shè)設(shè)A Aaa1 1,a,a2 2,a,a3 3,.,a,.,an n ，B Bbb1 1,b,b2 2,b,b3 3,.

19、,b,.,bm m ，R R是從是從A A到到B B的一個二元關(guān)系，的一個二元關(guān)系， 稱稱矩陣矩陣M MR R(r(rijij) )n nm m為關(guān)系為關(guān)系R R的的關(guān)系矩陣關(guān)系矩陣或或鄰接矩陣鄰接矩陣，其中：，其中：)m,.,3 , 2 , 1j ;n,.,3 , 2 , 1i (Rb,a, 0Rb,a , 1rjijiij 3.3.關(guān)系矩陣關(guān)系矩陣顯然，顯然，關(guān)系矩陣是布爾矩陣關(guān)系矩陣是布爾矩陣。注意注意 在寫關(guān)系矩陣時，首先應(yīng)對集合在寫關(guān)系矩陣時，首先應(yīng)對集合A A和和B B中的元中的元素進行素進行排序排序，不同的排序會得到不同的關(guān)系矩陣。當集，不同的排序會得到不同的關(guān)系矩陣。當集合以枚

20、舉法表示時，如果沒有對集合的元素排序，則默合以枚舉法表示時，如果沒有對集合的元素排序，則默認枚舉的次序為元素的排序。認枚舉的次序為元素的排序。 2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-18設(shè)設(shè)A A22，3 3，4 4，B B11，2 2，4 4?？紤]?？紤]從從A A到到B B的的“大于等于大于等于”關(guān)系關(guān)系R R和和“小于等于小于等于”關(guān)關(guān)系系S S：R R,，S S,。寫出寫出R R，S S的關(guān)系矩陣。的關(guān)系矩陣。 111011011MR 100100110MS例例8.98.9解：解：根據(jù)定義，由于根據(jù)定義，由于A AB B是相對于是相對于R R的全集，所以的全集，所以A AB-R,B

21、-R,且且R RA AB,B,RR。2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-19設(shè)設(shè)R R，S S都是集合都是集合A A到到B B的兩個關(guān)系，則：的兩個關(guān)系，則：RSRS|(xRy)(xSy)|(xRy)(xSy)RSRS|(xRy)(xSy)|(xRy)(xSy)R - SR - S | ( x R y ) ( x S y ) | ( x R y ) ( x S y ) |(x|(xy)y)R 8.28.2關(guān)系的運算關(guān)系的運算8.2.18.2.1關(guān)系的交、并、補、差運算關(guān)系的交、并、補、差運算RRRR2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-20設(shè)設(shè)A Aa,b,c,Ba,b,c,B1

22、,21,2，R R,，S S,，則：則： RSRSRSRSR-SR-S例例8.8.1 10 0,，；,；,A AB-RB-R。R2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-21關(guān)系關(guān)系的的復(fù)合運算復(fù)合運算設(shè)設(shè) R R 是 一 個 從 集 合是 一 個 從 集 合 A A 到 集 合到 集 合 B B 的 二 元 關(guān)的 二 元 關(guān)系，系，S S是從集合是從集合B B到集合到集合C C的二元關(guān)系的二元關(guān)系( (也可也可簡單地描述為簡單地描述為R R：ABAB，S S：BC)BC)，則，則R R與與S S的的復(fù)合關(guān)系復(fù)合關(guān)系（合成關(guān)系合成關(guān)系）R R S S是從是從A A到到C C的關(guān)系，的關(guān)系，并

23、并且：且：R R S S|(xA)(zC)|(xA)(zC)( ( y)y)(yB)(xRy)(ySz)(yB)(xRy)(ySz)運算運算“ ”稱為稱為復(fù)合運算復(fù)合運算。注意，在復(fù)合關(guān)系中，注意，在復(fù)合關(guān)系中，R R的后域的后域B B一定是一定是S S的的前域前域B B，否則，否則R R和和S S是不可復(fù)合的。復(fù)合的結(jié)果是不可復(fù)合的。復(fù)合的結(jié)果R R S S的前域就是的前域就是R R的前域的前域A A，后域就是，后域就是S S的后域的后域C C。如果。如果對任意的對任意的xAxA和和zCzC，不存在，不存在yByB，使得，使得xRyxRy和和ySzySz同時成立，則同時成立，則R R S S

24、為空，否則為非空。并且，為空，否則為非空。并且， R=RR=R = = 。 2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-22例例8.118.11某人某人a a與與c c有外祖父的關(guān)系，則一定存在一個有外祖父的關(guān)系，則一定存在一個b b，使使得得a a與與b b有父女關(guān)系而有父女關(guān)系而b b與與c c有母子關(guān)系。有母子關(guān)系。某人某人a a與與b b有有“兄妹兄妹”關(guān)系，關(guān)系，b b和和c c有有“母子母子”關(guān)系，則關(guān)系，則a a與與c c有有“舅甥舅甥”關(guān)系。關(guān)系。例例8.128.12設(shè)設(shè)R R,S S,，分別是定義為從分別是定義為從ABAB和從和從BCBC的關(guān)系，的關(guān)系，其中其中A AB BC

25、 C1,2,3,41,2,3,4。 用集合方法求用集合方法求R R S S，S S R R，R R R R，S S S S。則：則：R R S S,；S S R R,；R R R R,；S S S S,。例例8.118.112022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-23 R R S S R R。S SA AB BC CA AC C1 1。1 1。1 11 1。1 12 2。2 2。2 22 2。2 23 3。3 3。3 33 3。3 34 4。4 4。4 44 4。4 4用 關(guān) 系 圖 求用 關(guān) 系 圖 求R R S S。例例8.128.12用關(guān)系矩陣求用關(guān)系矩陣求R R S S。 0000

26、100000100010M MR R S S M MR R M MS S 00000010010001000010000101000000 2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-240 否則否則記為記為 AB2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-25設(shè)設(shè)I I是整數(shù)集合，是整數(shù)集合，R R，S S是是I I到到I I的兩個關(guān)系：的兩個關(guān)系：R R|xI|xI；S S|xI|xI。則：則： R R S SS S R RR R R RS S S S(R(R R)R) R R(R(R S)S) R R例例8 8.13.13|xI|xI|xI|xI|xI|xI|xI|xI|xI|xI|xI

27、|xI2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-26定義定義8.88.8設(shè)設(shè)R R是一個從集合是一個從集合A A到集合到集合B B的二元的二元關(guān)系，則從關(guān)系，則從B B到到A A的關(guān)系的關(guān)系R R-1-1| RR稱為稱為R R的的逆關(guān)系逆關(guān)系, ,運算運算“-1-1”稱為稱為逆運算逆運算。8.2.38.2.3關(guān)系的關(guān)系的逆逆運算運算注意：關(guān)系是一種集合，逆關(guān)系也是一種集注意：關(guān)系是一種集合，逆關(guān)系也是一種集合，因此，如果合，因此，如果R R是一個關(guān)系，則是一個關(guān)系，則R R-1-1和都是關(guān)和都是關(guān)系，但系，但R R-1-1和是完全不同的兩種關(guān)系，千萬不要和是完全不同的兩種關(guān)系，千萬不要混淆。

28、混淆。RR2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-27設(shè)設(shè)A Aa,b,c,d,Ba,b,c,d,B1,2,3,R1,2,3,R是從是從A A到到B B的一個關(guān)系，的一個關(guān)系，R R,，則：則：R R-1-1例例8.148.14 如用關(guān)系圖表示逆關(guān)系，則僅將關(guān)系圖中的有如用關(guān)系圖表示逆關(guān)系，則僅將關(guān)系圖中的有向邊的方向改變成相反方向。向邊的方向改變成相反方向。 如用關(guān)系矩陣表示逆關(guān)系，則如用關(guān)系矩陣表示逆關(guān)系，則M MR R-1-1M MR RT T。R,。2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-28關(guān)系圖和關(guān)系矩陣如下：關(guān)系圖和關(guān)系矩陣如下：例例8.14(8.14(續(xù)續(xù)) )-110

29、0011100000111000110101010100010101RRRMMM，2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-29定理定理8.18.1設(shè)設(shè)R,S,TR,S,T分別是從集合分別是從集合A A到集合到集合B B，集合，集合B B到到集合集合C C，集合，集合C C到集合到集合D D的二元關(guān)系，則：的二元關(guān)系，則：1)1)(R(R S)S) T TR R (S(S T)T)2)2)(R(R S)S)-1-1S S-1-1 R R-1-18.2.48.2.4關(guān)系運算的性質(zhì)關(guān)系運算的性質(zhì)證明證明1)1)設(shè)設(shè)(R(R S)S) T T，cC,cC,使得：使得：RR S S，TT。則由復(fù)合運

30、算知則由復(fù)合運算知, ,至少存在至少存在RR (S(S T),T),又對于又對于RR S S，則至少存一個，則至少存一個bBbB，使得，使得RR，SS。因此因此, ,由由S,T,S,T,有有SS T T，又由，又由RR和和SS T T，知：，知：所以所以(R(R S)S) T T R R (S(S T)T)。同理可證：同理可證：R R (S(S T)T) (R(R S)S) T T。由集合性質(zhì)知：由集合性質(zhì)知：(R(R S)S) T TR R (S(S T)T)。2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-302)2). .任取任取(R(R S)S)-1-1，則，則RR S S由由“ ”的定義

31、知：則至少存一個的定義知：則至少存一個bB,bB,使得：使得：RR，SS，即：即：RR-1-1,S,S-1-1。由由SS-1-1和和RR-1-1, ,有：有：SS-1-1 R R-1-1，所以，所以，(R(R S)S)-1-1 S S-1-1 R R-1-1。反之，任取反之，任取SS-1-1 R R-1-1，由，由“ ”的定義知：則至的定義知：則至少存一個少存一個bB,bB,使得：使得：SS-1-1和和RR-1-1，所以：所以：RR，SS。由由“ ”知：知：RR S S。即有：。即有：(R(R S)S)-1-1。所以，所以，S S-1-1 R R-1-1 (R(R S)S)-1-1。由集合的定

32、義知：由集合的定義知：(R(R S)S)-1-1S S-1-1 R R-1-1。定理定理8.1(8.1(續(xù)續(xù)) )2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-31定義定義8.98.9設(shè)設(shè)R R是集合是集合A A上的二元關(guān)系，則可上的二元關(guān)系，則可定義定義R R的的n n次冪次冪R Rn n, ,該該R Rn n也是也是A A上的二元關(guān)系，定義上的二元關(guān)系，定義如下：如下：1.R1.R0 0I IA A|aA|aA；2.R2.R1 1；3.3.R Rn+1n+1R Rn n R RR R R Rn n。關(guān)系的關(guān)系的冪冪顯然，顯然，R Rm m R Rn nR Rm+nm+n,(R,(Rm m)

33、)n nR Rmnmn。2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-32例例8.158.15設(shè)設(shè)A Aa,b,c,d,e,f,a,b,c,d,e,f,定義在定義在A A上的關(guān)系上的關(guān)系R R,，S S,求求R Rn n和和S Sn n。解解R R1 1R R，R R2 2R R R R,，R R3 3R R R R R RR R2 2 R R,，R R4 4R R3 3 R R,，R R5 5R R4 4 R R,，R R6 6R R5 5 R R,R R5 5，R R7 7R R6 6 R RR R5 5，R Rn nR R5 5(n(n5)5)。2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-

34、33S S1 1S,S,例例8.15(8.15(續(xù)續(xù)) )S S2 2S S S S,，S S3 3S S S S S SS S2 2 S S,，S S4 4S S3 3 S S,，S S5 5S S4 4 S S，S S6 6S S5 5 S S，S S7 7，S Sn n(n(n5)5)。2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-34證明證明顯然，顯然， 。下面證：下面證：設(shè)設(shè)A A是有限集合，且是有限集合，且| |A|A|n n，R R是是A A上的二元關(guān)上的二元關(guān)系，則：系，則：RRin1ii1i RRin1ii1i RRi1iin1i RRRi1niin1ii1i Rin1i 定理

35、定理8.28.2由于，由于， 為此，只要證明對任意的為此，只要證明對任意的k kn n，有有R Rk k 即可。即可。對任意對任意 Ra,bRk k，則由，則由“ ”的定義知，存在的定義知，存在a a1 1,a,a2 2, ,，a ak-k-1 1AA（為了統(tǒng)一，并假設(shè)（為了統(tǒng)一，并假設(shè)a a0 0a,a,a ak kb)b)，使得：，使得：aRR，aRR，aRR，,a,RR。2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-35由于由于| |A|A|n n，所以所以由鴿籠原理知：由鴿籠原理知： k+1k+1個元素中至少有個元素中至少有兩個兩個以上以上元素相同元素相同，不不妨妨假設(shè)假設(shè)a ai ia

36、 aj j(i(ij)j)，則可在，則可在aRR，aRR，aRR，,a,RR中刪去中刪去 RR，aRR，,a,RR后仍有后仍有 RR，aRR，aRR，,a,RR，aRR，,a,RR由關(guān)系的復(fù)合運算得，由關(guān)系的復(fù)合運算得，=a=RRkk，其中，其中k kk-(j-i)k-(j-i)，此時：，此時：定理定理8.28.2( (續(xù)續(xù)1)1)2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-36若若knkn，則：，則： ；Rin1i Rin1i Rin1i RRin1ii1i RRin1ii1i 定理定理8.28.2( (續(xù)續(xù)2)2)若若kkn n，則重復(fù)上述做法，最終總能找到則重復(fù)上述做法，最終總能找到kn

37、kn，使得：使得： a,baRRkk，所以，所以， 。即有：即有： ，由此有：由此有：R Rk k 。由由k k的任的任意性知：意性知： ，2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-37設(shè)設(shè)R R是從集合是從集合A A到集合到集合B B的關(guān)系，的關(guān)系，S S1 1,S,S2 2是從集合是從集合B B到集到集合合C C的關(guān)系，的關(guān)系，T T是從集合是從集合C C到集合到集合D D的關(guān)系，則：的關(guān)系，則：R R (S(S1 1SS2 2) )(R(R S S1 1)(R)(R S S2 2) )R R (S(S1 1SS2 2) ) (R(R S S1 1)(R)(R S S2 2) )(S(S

38、1 1SS2 2) ) T T(S(S1 1 T)(ST)(S2 2 T)T)1)1) (S(S1 1SS2 2) ) T T (S(S1 1 T)(ST)(S2 2 T)T)定理定理8.38.3證明證明4)4)對任意對任意(S(S1 1SS2 2) ) T T，則由復(fù)合運算知，則由復(fù)合運算知，至少存在至少存在cC,cC,使得：使得：(S(S1 1SS2 2) )，TT。即：。即：SS1 1, ,且且SS2 2。因此，由因此，由SS1 1, ,且且TT，則有：，則有：(S(S1 1 T),T),由由SS2 2, ,且且TT，則有：，則有：(S(S2 2 T)T)。所以，所以，(S(S1 1 T

39、)(ST)(S2 2 T)T)。即，即，( (S S1 1SS2 2) ) T T (S(S1 1 T)(ST)(S2 2 T)T)。2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-38設(shè)設(shè)A Aa,Ba,Bbb1 1,b,b2 2,C,Cc,c,關(guān)系關(guān)系S S1 1，S S2 2，T T定定義如下：義如下：S S1 1a,b,S S2 2a,b,T Tb,c。例例8.168.16 則由于：則由于：S S1 1SS2 2,所以：所以：(S(S1 1SS2 2) ) T T T T,但：但：S S1 1 T T，S S2 2 T T，所以：所以：( (S S1 1 T)(ST)(S2 2 T)T)，

40、(S(S1 1 T)(ST)(S2 2 T)T)(S(S1 1SS2 2) ) T T，即：即：( (S S1 1 T)(ST)(S2 2 T)(ST)(S1 1SS2 2) ) T T。2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-39說明說明如果說明某事實一定成立，則一定加以證明。如果說明某事實一定成立，則一定加以證明。 如要說明某一事實不一定成立，則可舉一反如要說明某一事實不一定成立，則可舉一反例加以說明。例加以說明。 如要說明某事實一定不成立，則也一定加以如要說明某事實一定不成立，則也一定加以證明。證明。2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-40設(shè)設(shè)R R，S S是從集合是從集合A

41、 A到集合到集合B B的二元關(guān)系，則有：的二元關(guān)系，則有：1)1) ；( (雙重否定律雙重否定律) )R定理定理8.48.4SRRS RR1 ( (R R-1-1) )-1-1R R；(RS)(RS)-1-1R R-1-1SS-1-1；( (分配性分配性) )(RS)(RS)-1-1R R-1-1SS-1-1；(R-S)(R-S)-1-1R R-1-1-S-S-1-1；( () )-1-1 ；( (可換性可換性) )-1-1；(A(AB)B)-1-1(B(BA)A)；S S R R S S-1-1 R R-1-1；( (單調(diào)性單調(diào)性) ) ；domRdomR-1-1ranR,ranRranR,

42、ranR-1-1domRdomR。2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-418.38.3關(guān)系的性質(zhì)關(guān)系的性質(zhì)8.3.18.3.1自反性與反自反性自反性與反自反性 定義定義8.108.10設(shè)設(shè)R R是集合是集合A A上的二元關(guān)系，上的二元關(guān)系，對任意的對任意的xA,xA,都滿足都滿足 Rx,xR，則稱則稱R R是是自反的自反的，或或稱稱R R具有具有自反性自反性，即，即R R在在A A上是自反的上是自反的( ( x)(xA)(R)=1x)(xA)(R)=1對任意的對任意的xA,xA,都滿足都滿足 x,x R R，則稱則稱R R是是反自反的反自反的，或稱或稱R R具有具有反自反性反自反性，即

43、，即R R在在A A上是反自反的上是反自反的( ( x)(xA)(x)(xA)(R)=1R)=1 2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-42設(shè)設(shè)A=a,b,c,dA=a,b,c,d， 例例8 8. .1717 R=,R=,。1001010100100001RM因為因為A A中每個元素中每個元素x x，都有，都有RR，所以，所以R R是是自反的。自反的。R R的關(guān)系圖的關(guān)系圖R R的關(guān)系矩陣的關(guān)系矩陣2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-43S=,S=,。例例8 8. .17(17(續(xù)續(xù)1 1) ) 0101001110000010SMS S的關(guān)系圖的關(guān)系圖S S的關(guān)系矩陣的關(guān)系矩陣

44、因為因為A A中每個元素中每個元素x x，都有，都有S S，所以，所以S S是是反自反的。反自反的。2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-44T=,T=,。例例8 8. .17(17(續(xù)續(xù)2 2) ) 1110000110100010TM因為因為A A中有元素中有元素b b，使，使T T，所以，所以T T不是自不是自反的；因為反的；因為A A中有元素中有元素a a，使，使TT，所以，所以T T不是反自反的。不是反自反的。T T的關(guān)系圖的關(guān)系圖T T的關(guān)系矩陣的關(guān)系矩陣2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-45任何不是自反的關(guān)系未必一定是反自反的關(guān)任何不是自反的關(guān)系未必一定是反自反的

45、關(guān)系，反之亦然。即存在既不是自反的也不是系，反之亦然。即存在既不是自反的也不是反自反的關(guān)系。反自反的關(guān)系。表現(xiàn)在關(guān)系圖上：表現(xiàn)在關(guān)系圖上：關(guān)系關(guān)系R R是自反的，當且僅當是自反的，當且僅當其關(guān)系圖中每個結(jié)點都有環(huán)；關(guān)系其關(guān)系圖中每個結(jié)點都有環(huán)；關(guān)系R R是反自反是反自反的，當且僅當其關(guān)系圖中每個結(jié)點都無環(huán)。的，當且僅當其關(guān)系圖中每個結(jié)點都無環(huán)。表現(xiàn)在關(guān)系矩陣上：表現(xiàn)在關(guān)系矩陣上：關(guān)系關(guān)系R R是自反的，當且僅是自反的，當且僅當其關(guān)系矩陣的主對角線上全為當其關(guān)系矩陣的主對角線上全為1 1；關(guān)系；關(guān)系R R是是反自反的當且僅當其關(guān)系矩陣的主對角線上反自反的當且僅當其關(guān)系矩陣的主對角線上全為全為0

46、0。 結(jié)論結(jié)論2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-468.3.28.3.2對稱性與反對稱性對稱性與反對稱性定義定義8.118.11 設(shè)設(shè)R R是集合是集合A A上的二元關(guān)系，上的二元關(guān)系，對任意的對任意的x,yAx,yA，如果，如果RR，那么，那么RR，則，則稱關(guān)系稱關(guān)系R R是是對稱的對稱的，或稱，或稱R R具有具有對稱性對稱性，即，即R R在在A A上是對稱的上是對稱的 ( ( x)(x)( y)(xA)y)(xA)(yA)(R)(R)=1(yA)(R)(R)=1對任意的對任意的x,yx,y A A，如果，如果RR且且RR，那么，那么x=yx=y，則稱關(guān)系，則稱關(guān)系R R是是反對稱

47、的反對稱的，或稱，或稱R R具有具有反對稱性反對稱性，即即R R在在A A上是反對稱的上是反對稱的 ( ( x)(x)( y)(xA)y)(xA)(yA)(R)(R)(x=y)=1(yA)(R)(R)(x=y)=12022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-47設(shè)設(shè)A=a,b,c,dA=a,b,c,d， 例例8 8. .1818 R R1 1=,=,1101000100RM R R2 2=, =, 2101000000RMR R1 1的關(guān)系圖的關(guān)系圖R R1 1的關(guān)系矩陣的關(guān)系矩陣是對稱的是對稱的是反對稱的是反對稱的R R2 2的關(guān)系圖的關(guān)系圖R R2 2的關(guān)系矩陣的關(guān)系矩陣2022-5-16

48、智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-48R R3 3=,=,例例8 8. .18(18(續(xù)續(xù)1 1) )3111000100RM R R4 4=,=,4100000001RM 既不是對稱既不是對稱的，也不是反對稱的的，也不是反對稱的R R3 3的關(guān)系圖的關(guān)系圖R R3 3的關(guān)系矩陣的關(guān)系矩陣既是對稱的，也是反對稱的既是對稱的，也是反對稱的R R3 3的關(guān)系圖的關(guān)系圖R R3 3的關(guān)系矩陣的關(guān)系矩陣2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-49任何不是對稱的關(guān)系未必一定是反對稱的關(guān)系，反任何不是對稱的關(guān)系未必一定是反對稱的關(guān)系，反之亦然。即存在既不是對稱的也不是反對稱的關(guān)系，之亦然。即存在既不是對稱的也

49、不是反對稱的關(guān)系，也存在既是對稱的也是反對稱的關(guān)系。也存在既是對稱的也是反對稱的關(guān)系。表現(xiàn)在關(guān)系圖上：表現(xiàn)在關(guān)系圖上：關(guān)系關(guān)系R R是對稱的當且僅當其關(guān)系圖是對稱的當且僅當其關(guān)系圖中，任何一對結(jié)點之間，要么有方向相反的兩條邊，中，任何一對結(jié)點之間，要么有方向相反的兩條邊，要么無任何邊；關(guān)系要么無任何邊；關(guān)系R R是反對稱的當且僅當其關(guān)系圖是反對稱的當且僅當其關(guān)系圖中，任何一對結(jié)點之間，至多有一條邊。中，任何一對結(jié)點之間，至多有一條邊。表現(xiàn)在關(guān)系矩陣上：表現(xiàn)在關(guān)系矩陣上：關(guān)系關(guān)系R R是對稱的當且僅當其關(guān)系是對稱的當且僅當其關(guān)系矩陣為對稱矩陣，即矩陣為對稱矩陣，即r rijij=r=rjiji，

50、i,j=1,2, i,j=1,2, ,n,n；關(guān)系；關(guān)系R R是反對稱的當且僅當其關(guān)系矩陣為反對稱矩陣，即是反對稱的當且僅當其關(guān)系矩陣為反對稱矩陣，即r rijijr rjiji=0=0，i,j=1,2,i,j=1,2,n,n，ijij。 結(jié)論結(jié)論2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-508.3.38.3.3傳遞性傳遞性定義定義8.128.12 設(shè)設(shè)R R是集合是集合A A上的二元關(guān)系，對任上的二元關(guān)系，對任意的意的x,y,zAx,y,zA，如果，如果RR且且RR，那么，那么RR，則稱關(guān)系，則稱關(guān)系R R是是傳遞的傳遞的，或稱，或稱R R具有具有傳遞傳遞性性，即，即R R在在A A上是傳

51、遞的上是傳遞的( ( x)(x)( y)(y)( z)(xA)(yA)(zA)z)(xA)(yA)(zA)(R)(R)(R)=1(R)(R)(R)=1 2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-51設(shè)設(shè)A=a,b,c,dA=a,b,c,d， 例例8 8. .1 1 R R1 1=,=, R R2 2=11110001000000000RM20100000000000000RM是傳遞的是傳遞的R R1 1的關(guān)系圖的關(guān)系圖R R1 1的關(guān)系矩陣的關(guān)系矩陣是傳遞的是傳遞的R R2 2的關(guān)系圖的關(guān)系圖R R2 2的關(guān)系矩陣的關(guān)系矩陣2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-52R R3 3=,=,

52、例例8 8. .19(19(續(xù)續(xù)1 1) ) R R4 4=,=,31100001000000000RM40110001000010000RM不是傳遞的不是傳遞的R R3 3的關(guān)系圖的關(guān)系圖R R3 3的關(guān)系矩陣的關(guān)系矩陣不是傳遞的不是傳遞的R R3 3的關(guān)系圖的關(guān)系圖R R3 3的關(guān)系矩陣的關(guān)系矩陣2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-53表現(xiàn)在關(guān)系圖上：表現(xiàn)在關(guān)系圖上：關(guān)系關(guān)系R R是傳遞的當且僅當其是傳遞的當且僅當其關(guān)系圖中，任何三個結(jié)點關(guān)系圖中，任何三個結(jié)點x,y,zx,y,z（可以相同）（可以相同）之間，若從之間，若從x x到到y(tǒng) y有一條邊存在，從有一條邊存在，從y y到到z

53、 z有一有一條邊存在，則從條邊存在，則從x x到到z z一定有一條邊存在。一定有一條邊存在。表現(xiàn)在關(guān)系矩陣上：表現(xiàn)在關(guān)系矩陣上：關(guān)系關(guān)系R R是傳遞的當且僅當是傳遞的當且僅當其關(guān)系矩陣中，對任意其關(guān)系矩陣中，對任意i,j,k1,2,3,i,j,k1,2,3,n,n，若若r rijij=1=1且且r rjkjk=1=1，必有，必有r rikik=1=1。結(jié)論結(jié)論2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-54在整數(shù)集在整數(shù)集I I上定義的上定義的“小于等于小于等于”關(guān)系是自反的、反對關(guān)系是自反的、反對稱的、傳遞的關(guān)系；稱的、傳遞的關(guān)系；“小于小于”關(guān)系是反自反的、反對稱關(guān)系是反自反的、反對稱的、

54、傳遞的關(guān)系；的、傳遞的關(guān)系；“等于等于”關(guān)系是自反的、反對稱的、關(guān)系是自反的、反對稱的、對稱的、傳遞的關(guān)系。對稱的、傳遞的關(guān)系。例例8 8.20.20例例8.218.21設(shè)設(shè)A A1,2,3,41,2,3,4，R R,，是是A A上的關(guān)系上的關(guān)系。冪集上的冪集上的“包含包含”關(guān)系關(guān)系是自反的、反對稱的、傳遞關(guān)系關(guān)系是自反的、反對稱的、傳遞的關(guān)系；的關(guān)系；“真包含真包含”關(guān)系是反自反的、反對稱的、傳遞關(guān)系是反自反的、反對稱的、傳遞的關(guān)系；的關(guān)系；“相等相等”關(guān)系是自反的、反對稱的、對稱的、關(guān)系是自反的、反對稱的、對稱的、傳遞的關(guān)系。傳遞的關(guān)系。則則R R即不是自反的，又非反自反的；即不是對稱的，

55、也非即不是自反的，又非反自反的；即不是對稱的，也非反對稱的；也不是傳遞的。即不具備關(guān)系的任何性質(zhì)。反對稱的；也不是傳遞的。即不具備關(guān)系的任何性質(zhì)。2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-55設(shè)設(shè)A A是任意的集合，是任意的集合，A A上的全關(guān)系上的全關(guān)系A(chǔ) AA A是自反的、對稱的、傳遞的是自反的、對稱的、傳遞的關(guān)系；關(guān)系；A A上的空關(guān)系上的空關(guān)系是反自反的、反對稱的、對稱是反自反的、反對稱的、對稱的、傳遞的關(guān)系；的、傳遞的關(guān)系；1)1) A A上的恒等關(guān)系上的恒等關(guān)系I IA A是自反的、對稱的、反對稱是自反的、對稱的、反對稱的、傳遞的關(guān)系。的、傳遞的關(guān)系。例例8.228.22例例8.

56、238.23 朋友關(guān)系是自反的、對稱的、而非傳遞的關(guān)系；朋友關(guān)系是自反的、對稱的、而非傳遞的關(guān)系；1)1) 父子關(guān)系是反自反的、反對稱的、而非傳遞的父子關(guān)系是反自反的、反對稱的、而非傳遞的關(guān)系關(guān)系. .2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-56設(shè)設(shè)A A1,2,3,1,2,3,試判斷如下圖所示試判斷如下圖所示A A上關(guān)系的上關(guān)系的性質(zhì)：性質(zhì)：例例8.248.242022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-57解解：從關(guān)系圖易判斷上述關(guān)系之性質(zhì)如下：從關(guān)系圖易判斷上述關(guān)系之性質(zhì)如下：圖圖a)a)的關(guān)系是自反的、對稱的、反對稱的、傳遞的關(guān)系；的關(guān)系是自反的、對稱的、反對稱的、傳遞的關(guān)系；圖圖

57、b)b)的關(guān)系是具備反自反的、對稱的、反對稱的、傳遞的的關(guān)系是具備反自反的、對稱的、反對稱的、傳遞的關(guān)系；關(guān)系；圖圖c)c)的關(guān)系是具備對稱的、反對稱的、傳遞的關(guān)系；的關(guān)系是具備對稱的、反對稱的、傳遞的關(guān)系；圖圖d)d)的關(guān)系是不具備任何的性質(zhì)關(guān)系；的關(guān)系是不具備任何的性質(zhì)關(guān)系；圖圖e)e)的關(guān)系是具備自反的、對稱的、傳遞的關(guān)系；的關(guān)系是具備自反的、對稱的、傳遞的關(guān)系；圖圖f)f)的關(guān)系是具備反自反的、反對稱的、傳遞的關(guān)系；的關(guān)系是具備反自反的、反對稱的、傳遞的關(guān)系；圖圖g)g)的關(guān)系是具備反自反的、反對稱的關(guān)系；的關(guān)系是具備反自反的、反對稱的關(guān)系；1)1)圖圖h)h)的關(guān)系是具備反自反的、反

58、對稱的、傳遞的關(guān)系。的關(guān)系是具備反自反的、反對稱的、傳遞的關(guān)系。例例8.24(8.24(續(xù)續(xù)1)1)2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-58圖a之例例8.24(8.24(續(xù)續(xù)2)2)100010001RM000000000RM圖b之100000000RM110001110RM1 1 11 1 11 1 1RM011001000RM010001100RM011000000RM圖c之圖d之圖e之圖f之圖g之圖h之2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-59設(shè)設(shè)R R,是定義在是定義在A Aa,ba,b上的二元關(guān)上的二元關(guān)系，系，S S,是定義在是定義在B Ba,b,ca,b,c上的二元

59、關(guān)上的二元關(guān)系系, ,試判斷試判斷R R，S S具備何種性質(zhì)。具備何種性質(zhì)。例例8.258.25解：解：1.1.由于由于R R,是定義在是定義在A Aa,ba,b上的關(guān)上的關(guān)系，所以，對任意的系，所以，對任意的xA,xA,都滿足都滿足 Rx,xR，則則R R是自反是自反的關(guān)系；另外，的關(guān)系；另外，R R也是對稱的、反對稱的和傳遞的也是對稱的、反對稱的和傳遞的. .2.2.S S,雖然與雖然與R R完全相等完全相等( (從集合的觀點從集合的觀點) )，但它卻是定義在但它卻是定義在B Ba,b,ca,b,c上的二元關(guān)系。由于上的二元關(guān)系。由于cBcB，但但 c,c S,S,所以，所以，S S不是不

60、是B B上的自反關(guān)系；另外，上的自反關(guān)系；另外，S S也是對也是對稱的、反對稱的和傳遞的。稱的、反對稱的和傳遞的。注意：注意：一個關(guān)系具備何種性質(zhì)與他的基集密切相關(guān)，對一個關(guān)系具備何種性質(zhì)與他的基集密切相關(guān)，對同一個關(guān)系如果定義在不同的基集上，可能產(chǎn)生不同的同一個關(guān)系如果定義在不同的基集上，可能產(chǎn)生不同的特性。所以，我們絕對不能脫離基集來談?wù)撽P(guān)系的性質(zhì)。特性。所以，我們絕對不能脫離基集來談?wù)撽P(guān)系的性質(zhì)。 2022-5-16智能科學(xué)系智能科學(xué)系95-60關(guān)系性質(zhì)的邏輯表示關(guān)系性質(zhì)的邏輯表示設(shè)設(shè)R R是集合是集合A A上的二元關(guān)系，上的二元關(guān)系，1)1) R R是自反的是自反的)Rx, x()Ax