典型時間函數(shù)拉普拉斯變換

1、典型時間函數(shù)典型時間函數(shù)拉普拉斯變換拉普拉斯變換拉普拉斯變換拉普拉斯變換 系統(tǒng)的數(shù)學模型以微分方程的形式表達輸出與輸入的關系統(tǒng)的數(shù)學模型以微分方程的形式表達輸出與輸入的關系。經(jīng)典控制理論的系。經(jīng)典控制理論的：時域法、頻域法。：時域法、頻域法。2. 數(shù)學模型與傳遞函數(shù) 頻域分析法是經(jīng)典控制理論的核心，被廣泛采用，該方頻域分析法是經(jīng)典控制理論的核心，被廣泛采用，該方法間接地運用系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性分析閉環(huán)響應。法間接地運用系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性分析閉環(huán)響應。復數(shù)和復變函數(shù)復數(shù)和復變函數(shù) 復數(shù)復數(shù) （有一個實部（有一個實部 和一個虛部和一個虛部 ， 和和 均為實數(shù)）均為實數(shù)） 兩個復數(shù)相等：當且僅當它們的

2、實部和虛部分別相等。兩個復數(shù)相等：當且僅當它們的實部和虛部分別相等。 一個復數(shù)為零：當且僅當它的實部和虛部同時為零。一個復數(shù)為零：當且僅當它的實部和虛部同時為零。 2.2 拉普拉普拉斯變換拉斯變換1j稱為稱為 對于復數(shù)對于復數(shù) ：以：以為橫坐標為橫坐標(實軸實軸)、 為縱坐標為縱坐標(虛軸虛軸)所構成所構成的平面稱為復平面或的平面稱為復平面或 平面。復數(shù)平面。復數(shù) 可在復平面可在復平面 中用中用點點()表示：一個復數(shù)對應于復平面上的一個點。表示：一個復數(shù)對應于復平面上的一個點。 2.2.1 復數(shù)和復變函數(shù)復數(shù)和復變函數(shù) o復平面復平面 1 2j 1 2s1= 1+j 1s2= 2+j 2 復數(shù)

3、復數(shù) 可以用從原點指向點可以用從原點指向點()的向量表示。的向量表示。 向量的長度稱為復數(shù)的模：向量的長度稱為復數(shù)的模： 2.2.1 復數(shù)和復變函數(shù)復數(shù)和復變函數(shù) o 1 2j s1s2r1=|s1|r2=|s2|22 rs 向量與向量與軸的夾角軸的夾角稱稱為復數(shù)為復數(shù) 的復角：的復角：)/arctan( 根據(jù)復平面的圖示可得：根據(jù)復平面的圖示可得：，2.2.1 復數(shù)和復變函數(shù)復數(shù)和復變函數(shù) o 1 2j s1s2r1=|s1|r2=|s2|歐拉公式：歐拉公式：sinjcosje：jres 以復數(shù)以復數(shù)為自變量構成的函數(shù)為自變量構成的函數(shù)稱為復變函數(shù)：稱為復變函數(shù)： ：分別為復變函數(shù)的實部和虛

4、部。分別為復變函數(shù)的實部和虛部。2.2.1 復數(shù)和復變函數(shù)復數(shù)和復變函數(shù)(a) 當當時，時，則，則稱為稱為的的 ； 通常，在線性控制系統(tǒng)中，復變函數(shù)通常，在線性控制系統(tǒng)中，復變函數(shù)是復數(shù)是復數(shù) 的單值的單值函數(shù)。即：對應于函數(shù)。即：對應于 的一個給定值，的一個給定值，就有一個唯一確定的就有一個唯一確定的值與之相對應。值與之相對應。)()()(jipszsksG 當復變函數(shù)表示成當復變函數(shù)表示成(b) 當當時，時，則，則稱為稱為的的 。當當時，求復變函數(shù)時，求復變函數(shù) 的實部的實部 和虛部和虛部 。2.2.1 復數(shù)和復變函數(shù)復數(shù)和復變函數(shù)復變函數(shù)的實部復變函數(shù)的實部122u復變函數(shù)的虛部復變函數(shù)

5、的虛部2v： 拉普拉斯變換的定義拉普拉斯變換的定義 拉氏變換是控制工程中的一個基本數(shù)學方法，其優(yōu)點是能拉氏變換是控制工程中的一個基本數(shù)學方法，其優(yōu)點是能將時間函數(shù)的導數(shù)經(jīng)拉氏變換后，變成復變量將時間函數(shù)的導數(shù)經(jīng)拉氏變換后，變成復變量 的乘積，將時的乘積，將時間表示的微分方程，變成以間表示的微分方程，變成以 表示的代數(shù)方程。表示的代數(shù)方程。2.2 拉普拉普拉斯變換拉斯變換0d)()()(tetftfLsFst復變量復變量原函數(shù)原函數(shù)象函數(shù)象函數(shù)拉氏變換符號拉氏變換符號：在一定條件下，把實數(shù)域中的實變函數(shù)：在一定條件下，把實數(shù)域中的實變函數(shù) f(t) 變變換到復數(shù)域內(nèi)與之等價的復變函數(shù)換到復數(shù)域內(nèi)

6、與之等價的復變函數(shù) F(s) 。 設有時間函數(shù)設有時間函數(shù) f(t)，當，當 t a的所有復數(shù)的所有復數(shù)s (Res表示表示s的實部的實部)都都使積分式絕對收斂，故使積分式絕對收斂，故Res a是拉普拉斯變換的定義域，是拉普拉斯變換的定義域， a稱稱為收斂坐標。為收斂坐標。：M、a為實常數(shù)。為實常數(shù)。典型時間函數(shù)的拉普拉斯變換典型時間函數(shù)的拉普拉斯變換 (1) 單位階躍函數(shù)定義：單位階躍函數(shù)定義：2.2 拉普拉普拉斯變換拉斯變換0, 10, 0)( 1ttt0001dd)( 1)( 1stststestetettL：sesesstt111lim0 單位脈沖函數(shù)定義：單位脈沖函數(shù)定義：2.2.3

7、 典型時間函數(shù)的拉普拉斯變換典型時間函數(shù)的拉普拉斯變換1d)(tt且：且：0, 00,)(ttt(0)d)()(fttft：1d)()(00tststetettL 單位速度函數(shù)定義：單位速度函數(shù)定義：2.2.3 典型時間函數(shù)的拉普拉斯變換典型時間函數(shù)的拉普拉斯變換0,00)(ttttf： 00d1dststetsttetL2020011d11sestese tsststst 指數(shù)函數(shù)表達式：指數(shù)函數(shù)表達式：2.2.3 典型時間函數(shù)的拉普拉斯變換典型時間函數(shù)的拉普拉斯變換atetf)(式中：式中：a是常數(shù)。是常數(shù)。：asteteeeLtasstatat1dd0)(0 正弦信號函數(shù)定義：正弦信號函

8、數(shù)定義：2.2.3 典型時間函數(shù)的拉普拉斯變換典型時間函數(shù)的拉普拉斯變換0,sin00)(ttttf由歐拉公式，正弦函數(shù)表達為：由歐拉公式，正弦函數(shù)表達為：tjtjj21sin-eetttesinjcostjtte-sinjcostj兩式相減兩式相減：0tjtj0dj21dsinsinteeetettLst-st220t )j(t )j(j1j1j21dj21sss-tees-s- 余弦信號函數(shù)定義：余弦信號函數(shù)定義：2.2.3 典型時間函數(shù)的拉普拉斯變換典型時間函數(shù)的拉普拉斯變換0,cos00)(ttttf由歐拉公式，余弦函數(shù)表達為：由歐拉公式，余弦函數(shù)表達為：tjtj21cos-eettt

9、esinjcostjtte-sinjcostj兩式相加兩式相加：0tjtj0d21dcoscosteeetettLst-st220t )j(t )j(j1j121d21ssss-tees-s-2.2.3 典型時間函數(shù)的拉普拉斯變換典型時間函數(shù)的拉普拉斯變換序號序號原函數(shù)原函數(shù) f(t) (t 0)象函數(shù)象函數(shù) F(s)=Lf(t)11 (單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù))1s2 (t) (單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù))13K (常數(shù)常數(shù))Ks4t (單位斜坡函數(shù)單位斜坡函數(shù))1s22.2.3 典型時間函數(shù)的拉普拉斯變換典型時間函數(shù)的拉普拉斯變換序號序號原函數(shù)原函數(shù) f(t) (t 0)象函數(shù)象函數(shù) F(s

10、) = Lf(t)5t n (n=1, 2, )n!s n+16e -at1s + a7tn e -at (n=1, 2, )n!(s+a) n+18 1 T1Ts + 1tTe2.2.3 典型時間函數(shù)的拉普拉斯變換典型時間函數(shù)的拉普拉斯變換序號序號原函數(shù)原函數(shù) f(t) (t 0)象函數(shù)象函數(shù) F(s) = Lf(t)9sin t s2+ 210cos tss2+ 211e -at sin t (s+a)2+ 212e -at cos ts+a(s+a)2+ 22.2.3 典型時間函數(shù)的拉普拉斯變換典型時間函數(shù)的拉普拉斯變換序號序號原函數(shù)原函數(shù) f(t) (t 0)象函數(shù)象函數(shù) F(s) =

11、 Lf(t)13 (1- -e -at )1s(s+a)14 (e -at - -e -bt )1(s+a) (s+b)15 (b be -bt - -ae at )s(s+a) (s+b)16sin( t + ) cos + s sin s2+ 21a1b- -a1b- -a2.2.3 典型時間函數(shù)的拉普拉斯變換典型時間函數(shù)的拉普拉斯變換序號序號原函數(shù)原函數(shù) f(t) (t 0)象函數(shù)象函數(shù) F(s) = Lf(t)17 e -nt sin n 1- - 2 t n2s2+2ns+ n218 e -nt sin n 1- - 2 t1s2+2ns+ n219 e -nt sin( n 1- - 2 t - - )ss2+2ns+ n2 = arctan n1- - 21 n 1- - 211- - 21- - 2 2.2.3 典型時間函數(shù)的拉普拉斯變換典型時間函數(shù)的拉普拉斯變換序