三大統(tǒng)計分布

1、6.2 三大統(tǒng)計分布三大統(tǒng)計分布 本節(jié)介紹數(shù)理統(tǒng)計中的三個著名分布，本節(jié)介紹數(shù)理統(tǒng)計中的三個著名分布，它們在參數(shù)估計和假設檢驗等統(tǒng)計推斷問它們在參數(shù)估計和假設檢驗等統(tǒng)計推斷問題中有廣泛應用題中有廣泛應用. 一、一、X平方平方-分布分布定義定義6.1 設隨機變量設隨機變量 獨立且服從相同獨立且服從相同分布分布 ，則稱，則稱 (6-8) 所服從的分布是所服從的分布是自由度為自由度為n n的的 - -分布分布，記為記為 ，稱，稱 為為 -變量變量. 為紀念英國著為紀念英國著名統(tǒng)計學家皮爾（名統(tǒng)計學家皮爾（K.Pearson，1857-1936）nXXX,21) 1 , 0 (NnininXXXX12

2、2221222)(22nn2n2- 分布也稱為皮爾遜分布也稱為皮爾遜 -分布分布. 這是數(shù)理統(tǒng)計中這是數(shù)理統(tǒng)計中一個十分重要的概率分布一個十分重要的概率分布. 根據(jù)獨立隨機變量和的密度公式根據(jù)獨立隨機變量和的密度公式(3-27)和數(shù)學和數(shù)學歸納法，可以證明：歸納法，可以證明： -分布的概率密度函分布的概率密度函數(shù)為（詳見數(shù)為（詳見5） ，（，（6-9）其中其中 是是 -函數(shù)，定義見第四章附錄函數(shù)，定義見第四章附錄2 圖圖6.1是是 -變量的概率密度函數(shù)變量的概率密度函數(shù)(6-9)在幾種不在幾種不同參數(shù)下的圖像同參數(shù)下的圖像. 22)(2n0, 00,)(21)(22212xxexxfxnnnn

3、)( x2特別地，當特別地，當 時，時， 服從參數(shù)服從參數(shù) 的指數(shù)的指數(shù)分布分布. 此外，此外， -分布具有以下性質：分布具有以下性質：（1）數(shù)字特征）數(shù)字特征. 若若 ，則，則 ， . （2）可加性）可加性. 若若 且且 與與 獨立，則獨立，則. (6-10) 2n22212)(22nnnEn2nDn22)(121nX)(222nX1X2X)(21221nnXX 為便于今后的應用，現(xiàn)在我們引入為便于今后的應用，現(xiàn)在我們引入上側分上側分位數(shù)位數(shù)的概念的概念. 所謂一個分布的所謂一個分布的 -上側分位數(shù)上側分位數(shù)就是指這樣一個數(shù)，它使相應分布的隨機就是指這樣一個數(shù)，它使相應分布的隨機變量不小于該

4、數(shù)的概率為變量不小于該數(shù)的概率為 . 比如，若記比如，若記 -變量變量 的的 -上側分位數(shù)為，則滿足（見圖上側分位數(shù)為，則滿足（見圖6.2）. 22n對不太大的對不太大的n，如，如 60，可用附表，可用附表3查查 的的值，而對較大的值，而對較大的n，則可用（，則可用（6-11）近似計）近似計算算 , (6-12) 其中其中 是標準正態(tài)分布是標準正態(tài)分布 的的 -上側分位上側分位數(shù)，可通過附表數(shù)，可通過附表2查出查出. n)(2nUnnn 2)(2U) 1 , 0 (N二、二、t t - -分布分布定義定義6.2 設設 ， ，X與與Y獨立，獨立，則稱則稱 (6-13) 所服從的分布是所服從的分布

5、是自由度為自由度為n n的的t t- -分布分布，記作，記作 . t -分布分布也稱為也稱為學生分布學生分布，是英國統(tǒng)計學家戈塞特，是英國統(tǒng)計學家戈塞特（Goset，1876-1937）在）在1908年年“Student”的筆名首次發(fā)表的，這個分布在數(shù)理統(tǒng)計的筆名首次發(fā)表的，這個分布在數(shù)理統(tǒng)計中也占有重要的地位中也占有重要的地位. 根據(jù)獨立隨機變量商的密度公式根據(jù)獨立隨機變量商的密度公式(3-32)，可以證明（過程從略）：可以證明（過程從略）：(6-13)中的中的 概率密度函數(shù)為概率密度函數(shù)為) 1 , 0 (NX)(2nYnYXTn/)( ntTnnT 根據(jù)獨立隨機變量商的密度公式根據(jù)獨立隨

6、機變量商的密度公式(3-32)，可，可以證明（過程從略）：以證明（過程從略）：(6-13)中中 的概率的概率密度函數(shù)為密度函數(shù)為 , . (6-14) 另外，另外，t -分布具有以下性質：分布具有以下性質：（1）（近似標準正態(tài)）（近似標準正態(tài)） 當當 時，時， 這就是說，當這就是說，當n充分大時，充分大時，t -分布分布 近似于近似于標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布 ，但如果，但如果n較小，這兩較小，這兩個分布的差別還是比較大的，見圖個分布的差別還是比較大的，見圖6.3， nT21 22211 )( )()(nnnnnxnxfxn2 221)()(xnexxf)(nt) 1 , 0 (N 其中粗虛線是

7、其中粗虛線是 的密度函數(shù)的密度函數(shù) . 我們我們看到，所有的看到，所有的t -分布密度函數(shù)值在分布密度函數(shù)值在 附近附近均未超過的值，而在兩邊的尾部均超過均未超過的值，而在兩邊的尾部均超過 了的值了的值. 這就是統(tǒng)計學中所謂的這就是統(tǒng)計學中所謂的“重尾重尾”（Heavy Trails）現(xiàn)象）現(xiàn)象. ) 1 , 0(N)(x0 x)(x（2）（數(shù)字特征）若）（數(shù)字特征）若 ， ，則，則 順便指出，自由度為順便指出，自由度為1的的t -分布也稱為分布也稱為柯西柯西（Cauchy）分布分布，它以其數(shù)學期望和方差，它以其數(shù)學期望和方差均不存在而聞名（見例均不存在而聞名（見例4.3）. 記記t -分布分

8、布 的的 -上側分位數(shù)為上側分位數(shù)為 ，附表，附表4給出了不同給出了不同n和和 所對應的所對應的 數(shù)值數(shù)值. 另外，另外，由性質（由性質（1）知，對較大的）知，對較大的n（比如（比如 60） ，可用下式近似，可用下式近似. (6-15) )(ntTn2 n.2 , 0nnDTETnn)(nt)(nt)(ntnUnt)(三、三、F -分布分布定義定義6.3 設設 且且X與與Y獨立，則稱獨立，則稱 (6-16) 所服從的分布是所服從的分布是自由度為自由度為 的的F F- -分布分布，記作記作 ，這是為紀念英國著名統(tǒng)計學家費歇，這是為紀念英國著名統(tǒng)計學家費歇（R.A. Fisher，1890-196

9、2）而命名的）而命名的F-分布也分布也是數(shù)理統(tǒng)計的一個重要分布是數(shù)理統(tǒng)計的一個重要分布. 注意到注意到(6-16)的商結構，則根據(jù)隨機變量商的的商結構，則根據(jù)隨機變量商的密度計算公式（密度計算公式（3-34）可求得）可求得F-分布分布 的概率密度函數(shù)為（過程從略，詳見的概率密度函數(shù)為（過程從略，詳見3, 4）)( ),(2212nYnX21/nYnXF ),(21nn),(21nnFF),(21nnF , (6-17) 圖圖6.4是四組不同參數(shù)下該密度函數(shù)的圖像是四組不同參數(shù)下該密度函數(shù)的圖像. 0, 00,1)()()()(22121212121 2112121222,xxxnnxnnnnxfnnnnnnnnn另外，由定義另外，由定義6.3，立即有以下結論：，立即有以下結論：若若 ，則，則 .這個結論可用于計算分布這個結論可用于計算分布 的的 -上側上側分位數(shù)分位數(shù) . 具體地說，我們有具體地說，我們有. (6-18) 事實上，由事實上，由 、 以及上以及上側分位數(shù)的定義可推出側分位數(shù)的定義可推出),(21nnFF),(112nnFF),(112nnFF),(21nnF),(1),(12121nnFnnFa),(21nnFF),(112nnFF),(1 ),(1 121121nnFFPnnFFP),(1 11