初中數(shù)學(xué)-等腰三角形及直角三角形有關(guān)定理的證明與運(yùn)用

1、初中數(shù)學(xué)初中數(shù)學(xué)一一.定理及其證明定理及其證明二二.定理的運(yùn)用定理的運(yùn)用.三三.思考題思考題.一一. .定理及其證明定理及其證明( (一一) )關(guān)于等腰三角形關(guān)于等腰三角形1.1.定義定義: :有兩邊相等的三角形叫等腰三角形有兩邊相等的三角形叫等腰三角形. .2.2.判定判定: :有兩個角相等的三角形是等腰三角形有兩個角相等的三角形是等腰三角形. .ABC即:在ABC中,若B=C,則AB=AC.在同一個三角形中，等角對等邊等角對等邊.D3.3.性質(zhì)性質(zhì): :(1).(1).等腰三角形的兩底角相等等腰三角形的兩底角相等( (等邊對等角等邊對等角) )(2).(2).等腰三角形頂角的平分線等腰三角

2、形頂角的平分線, ,底邊上的底邊上的高高, ,底邊的中線底邊的中線, ,三線合一三線合一. .(3)(3)有一個角是有一個角是6060的等腰三角形是等邊三角形的等腰三角形是等邊三角形( (二二) )關(guān)于直角三角形關(guān)于直角三角形. .1.1.勾股定理勾股定理: :在直角三角形中在直角三角形中, ,斜邊的平方等于兩直角邊的平和斜邊的平方等于兩直角邊的平和. .如圖;在RtABC中,C=90.則222cba證明(法一):(古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯證法)以三角形兩直角邊的和a+b為邊作正方形DEFH.在四條邊上分別截取:EQ=FR=HM=DP=a連結(jié)PQ,QR,RM,MP,可證所得四個三角形全等,所以四

3、邊形PQRM為正方形.S大正=4S+S小正abcCBA22214)(cabba222cba證法證法( (二二):():(中國古代數(shù)學(xué)家趙中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的證法爽的證法) )以直角三角形的斜邊以直角三角形的斜邊為邊作正方形為邊作正方形, ,向里作四個與原向里作四個與原直角三角形全等的三角形直角三角形全等的三角形( (略略) )證法證法( (三三):():(美國第美國第2020任任總統(tǒng)伽菲爾德的證法總統(tǒng)伽菲爾德的證法) )abbaccMNDEF2.(2.(角的關(guān)系角的關(guān)系) )直角三角形兩銳角余直角三角形兩銳角余. .如圖如圖: :以以c c為直角邊作等腰直為直角邊作等腰直角三角形角三角形DEF

4、,DEF,分別以分別以DF,DEDF,DE為為斜邊作兩個與原三角形全等斜邊作兩個與原三角形全等的直角三角形的直角三角形NDFNDF和和MED,MED,首先可證首先可證N,D,MN,D,M三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線. .再利用面積可證勾股定理再利用面積可證勾股定理. .3.(3.(邊角關(guān)系邊角關(guān)系),),直角三角形中直角三角形中,30,30角角所對的直角邊是斜邊的一半所對的直角邊是斜邊的一半. .ABC在RtABC中,C=90,若B=30,則AC= AB21D3030證明:(講解略寫)4.4.直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半. .DACB證明:(兩種證法:講解略寫)EF

5、二二.運(yùn)用運(yùn)用:例例1.如圖如圖,在在ABC中中,C=90D,E是是AB邊上兩點(diǎn)邊上兩點(diǎn),且且AE=AC,BD=BC,則則DCE等于等于EDCBA(A).30 (B).45 (C).60 (D).與A ,B的度數(shù)有關(guān)解:AE=AC1221801A同理:21802B21802180218021BABA452)21(180BADCE注注:通過此題熟練等腰三通過此題熟練等腰三角形三個角之間的關(guān)系角形三個角之間的關(guān)系.例例2:已知等腰直角三角形已知等腰直角三角形ABC中中,AB=AC= 1 ,將三角形沿斜將三角形沿斜邊上的高邊上的高AD對折對折,得三角形得三角形ADC,再沿斜邊上的高再沿斜邊上的高DE

6、對對折折,.依次進(jìn)行依次進(jìn)行,則對折四次后的三角形直角邊長等于則對折四次后的三角形直角邊長等于解:對折后的三角形與原三角形都是等腰直角三角形, 它們都是相似三角形, 對折后的三角形的面積總是前一次面積的一半, 對折四次后三角形的面積是原面積的 相似三角形的面積比等于相似比的平方, 第四次后的等腰直角三角形的直角邊為16141注注:相似三角形的面積比等于相似比的平方相似三角形的面積比等于相似比的平方例例3.如圖在如圖在ABC中中,AB=5,AC=6BC=7,求求ABC的面積的面積.BCAD567x7-x解:過A作ADBC于D,設(shè)BD=x,則DC=7-x222222)7(65xADxAD2222)

7、7(65xx7193814xx7612719522AD66761272121ADBCSABC注注:一般三角形邊的計算問題通過作一般三角形邊的計算問題通過作高轉(zhuǎn)化為直角三角形問題高轉(zhuǎn)化為直角三角形問題.3 B C D A例例4.4.如圖已知四邊形如圖已知四邊形ABCD中中，A=120ABC=90,AD=3,BC=3 ,BD=7,求求:AB,CD的長的長解解: :過過D D作作BABA的垂線交的垂線交BABA的延長線于的延長線于E,E,DAB=120DAB=1201=601=60, 2=30, 2=30E122321ADAE3232332222AEADDE21332372222DEBDBE5232

8、13AEBEAB過D作DFBC于FF32332333EDBCBFBCFC7DBDCBCDFFCBF，75DCAB，綜上得：注注: :將求線段的問題轉(zhuǎn)化為將求線段的問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題解直角三角形問題例例5.如圖如圖,矩形矩形ABCD中，折疊中，折疊AD邊，使點(diǎn)邊，使點(diǎn)D落在落在BC邊上邊上的的F點(diǎn)處，若這痕點(diǎn)處，若這痕AE= cm,且且 ,求矩形求矩形ABCD的周長的周長.5543FCECABCDEF3k4k5k5k8k6k10k解解: :由已知設(shè)由已知設(shè)EC=3k,FC=4k,EC=3k,FC=4k,則則:EF=5k, AB=DC=8k:EF=5k, AB=DC=8kAFE=D=901

9、+2=90123 1+3=902=3,而B=C=90ECFFBAFCECABBFkBFkBF6,438kkkAE55)5()10(22cmDCABBCADkk368101,5555矩形周長為注注: :折疊得全等折疊得全等例例6.6.如圖如圖, ,梯形梯形ABCDABCD中，中，ADBC,AB=DC,DBC=45ADBC,AB=DC,DBC=45, ,翻折翻折梯形使點(diǎn)梯形使點(diǎn)B B與點(diǎn)與點(diǎn)D D重合，折痕交重合，折痕交ABAB于于F,F,交交BCBC于于E,E,若若AD=2,BC=8,AD=2,BC=8,試求試求BE,EFBE,EF的長的長. .BCADFEG解:連結(jié)AC,由等腰梯形ABCD得:

10、AC=BD,過D作DGAC交BC的延長線于G.則得:平行四邊形ADGC,DG=AC=BD,CG=ADDBG=45BDG=90.EF垂直平分BDFEDG,且FE平分BD,BE=EG,)(2121CGBCBGBE5)28(21)(21ADBC(口述求FE)注注: :梯形問題通梯形問題通過平移對角線或過平移對角線或腰將其轉(zhuǎn)化為三腰將其轉(zhuǎn)化為三角形問題角形問題例例7.7.在在ABCABC中，中，ABAC,ABAC,求證求證:CB.:CB.ABCD12證明: ABAC 在AB線段上截取AD=AC連結(jié)DC,則1=2ACB1=2ABC ACB ABC證法(二):(講解略寫)E注注: :角的不等問題一般角的不

11、等問題一般要用三角形的外角性要用三角形的外角性質(zhì)質(zhì). .邊的不等問題要用邊的不等問題要用三角形任意兩邊之和三角形任意兩邊之和大于第三邊大于第三邊. .例例8.8.在在ABCABC中，中，D D是是BCBC的中點(diǎn)的中點(diǎn)EDDFEDDF分別交分別交AB,ACAB,AC于于E,F.E,F.連結(jié)連結(jié)EF.EF.(1)(1)試探究并證明線段試探究并證明線段EFEF與與BE+FCBE+FC的長度的長度 關(guān)系關(guān)系. .(2)(2)若若ABCABC滿足滿足AB=AC,BAC=90AB=AC,BAC=90其它條件不變其它條件不變, , 則則EF EF 與與BE,FCBE,FC又有什么關(guān)系又有什么關(guān)系? ?ADB

12、CEFHEDBCAFH(1)猜想: BE+FCEF證明:延長FD到點(diǎn)H,使DH=DF連結(jié)BH,又BD=DC,BDH=FDCBDHCDF BH=CF連結(jié)EH,因為ED垂直平分HFEH=EF在BEH中BE+BHEHBE+FCEF(2)222EFFCBE 總總 結(jié)結(jié) 有中點(diǎn)的條件有中點(diǎn)的條件,一般要倍長過中點(diǎn)的線段一般要倍長過中點(diǎn)的線段.利用三角形全等利用三角形全等,或等腰三角形或線段的中或等腰三角形或線段的中垂線等性質(zhì)轉(zhuǎn)化邊垂線等性質(zhì)轉(zhuǎn)化邊,轉(zhuǎn)化角轉(zhuǎn)化角; 求線段的長求線段的長, 可通過作高將問題轉(zhuǎn)化為可通過作高將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的求邊問題直角三角形中的求邊問題; 證明角的不等關(guān)系一般要用三角形的外證明角的不等關(guān)系一般要用三角形的外角性質(zhì)角性質(zhì);證明邊的不等關(guān)系一般要用三角形證明邊的不等關(guān)系一般要用三角形兩邊之和大于第三邊兩邊之和大于第三邊.GEFBACD思考題思考題1.1.已知平行四邊形已知平行四邊形ABCDABCD中，中，AEAE平分平分DABDAB交交CDCD于于E,