大學(xué)物理下量子力學(xué)基礎(chǔ)06

1、0)()41(2)(2022rreEmr定態(tài)薛定諤方程為：定態(tài)薛定諤方程為：1、 氫原子的定態(tài)薛定諤方程氫原子的定態(tài)薛定諤方程rerV2041)( 氫原子中電子繞原子核的運(yùn)動(dòng)，相當(dāng)于核不動(dòng)，電子氫原子中電子繞原子核的運(yùn)動(dòng)，相當(dāng)于核不動(dòng)，電子繞核作圓周運(yùn)動(dòng)。若其半徑為繞核作圓周運(yùn)動(dòng)。若其半徑為r，則其勢(shì)能函數(shù)為則其勢(shì)能函數(shù)為由于勢(shì)能只與由于勢(shì)能只與r有關(guān)，是球?qū)ΨQ的，而與方向無(wú)關(guān)，為了計(jì)有關(guān)，是球?qū)ΨQ的，而與方向無(wú)關(guān)，為了計(jì)算方便，采用球坐標(biāo)。球坐標(biāo)下的拉普拉斯算符為：算方便，采用球坐標(biāo)。球坐標(biāo)下的拉普拉斯算符為：在球坐標(biāo)系下：在球坐標(biāo)系下：,cossin rx,sinsin ry,cosrz

2、zryx22222222sin1)(sinsin1)(1rrrrrr0)4(2sin1)(sinsin1)(10222222222reEmrrrrrr在球坐標(biāo)系下的薛定諤方程：在球坐標(biāo)系下的薛定諤方程：此偏微分方程可以用分離變數(shù)法化成常微分方程求解，此偏微分方程可以用分離變數(shù)法化成常微分方程求解，即設(shè)即設(shè) 代入上式得：代入上式得：)()()(rR)3(0) 1(242)(1)2(0sin) 1()(sinsin1) 1 (0220222222222RrllmreEmdrdRrdrdrmllddddmddll方程（方程（1）的解為）的解為:2, 1, 0)(limmAel方程（方程（2）的解為）

3、的解為:)(coscos)cos1 ()(2/2lmmmPddlll由標(biāo)準(zhǔn)化條件決定：由標(biāo)準(zhǔn)化條件決定：l=0,1,2, , 同時(shí)限定給定一同時(shí)限定給定一 l,ml只能只能取下列取下列2l+1lml2, 1, 0是連帶的勒讓德函數(shù)是連帶的勒讓德函數(shù))(coslP角度部角度部分的解：分的解：imlmmmlmePddNYlll)(coscos)cos1 (),(2/2方程（方程（3）的解為）的解為:)2()2(01200narLnareNRllnlnarnlnl其中：其中：Nnl為歸一化常數(shù)，為歸一化常數(shù)， 為一常數(shù)，為一常數(shù)，220mea12 llnL為締合勒蓋爾多項(xiàng)式。為締合勒蓋爾多項(xiàng)式。同時(shí)

4、規(guī)定了同時(shí)規(guī)定了 l 的取值范圍，即對(duì)于某一確定的取值范圍，即對(duì)于某一確定n ,l可能取可能取n個(gè)值：個(gè)值：l=0,1,2,n-1氫原子的波函數(shù)：氫原子的波函數(shù)：),()(),(lmnlnlmYrRr為主量子數(shù)或稱能量量子數(shù)為主量子數(shù)或稱能量量子數(shù)。n在求解方程（在求解方程（3）時(shí)，電子處于束縛態(tài)時(shí)，）時(shí)，電子處于束縛態(tài)時(shí)，E只能取只能取一些分立的負(fù)值，即：一些分立的負(fù)值，即：, 2 , 1132222024nnmeEn能級(jí)公式能級(jí)公式n=1的能級(jí)稱為基態(tài)能級(jí)的能級(jí)稱為基態(tài)能級(jí)eVmeE6 .1332220241n1的能級(jí)稱為激發(fā)態(tài)能級(jí)的能級(jí)稱為激發(fā)態(tài)能級(jí),取值如下：取值如下：0544. 05

5、/85. 04/51. 13/4 . 32/6 .132152142132121EeVEEeVEEeVEEeVEEeVE如圖所示，如圖所示，n增大增大時(shí)，時(shí)， 能級(jí)間隔減小能級(jí)間隔減小；n很大時(shí)間隔非很大時(shí)間隔非常小，可看成連續(xù)常小，可看成連續(xù)變化。變化。126 534氫原子能級(jí)圖氫原子能級(jí)圖-13.6eV-3.39eV-1.51eV-0.85eVEnl主量子數(shù)主量子數(shù) n方程（方程（2）得到的波函數(shù)）得到的波函數(shù) ( )表明：電子繞核轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量是表明：電子繞核轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量是量子化的，其大小為：量子化的，其大小為：1, 2 , 1 , 0) 1(nlllL其中：其中：l 稱為稱為角量子數(shù)或稱

6、副量子數(shù)角量子數(shù)或稱副量子數(shù)。用來(lái)描述波函數(shù)。用來(lái)描述波函數(shù) 的空間對(duì)稱性。的空間對(duì)稱性。 說(shuō)明：說(shuō)明：1、L只能取由只能取由l 決定的一系列分立值，即量子化。決定的一系列分立值，即量子化。 2、不同的、不同的 n 值，只要值，只要 l=0，則則L=0 3、對(duì)于同一對(duì)于同一n值，值，l 不同時(shí)，不同時(shí)，L有不同的值。所以有不同的值。所以 氫原子內(nèi)電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)必須同時(shí)用氫原子內(nèi)電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)必須同時(shí)用n, l 才能才能 確切地表征。確切地表征。 一般一般s、p、d、f、g等字母表示等字母表示 l=0,1,2, ，顯顯然，對(duì)于然，對(duì)于s 態(tài)的電子來(lái)說(shuō)，其動(dòng)量矩態(tài)的電子來(lái)說(shuō)，其動(dòng)量矩L=0.方程（

7、方程（1）得到的波函數(shù)）得到的波函數(shù) ( )表明：電子繞核轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量表明：電子繞核轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量空空間取向間取向是量子化的，是量子化的，設(shè)：外磁場(chǎng)方向?yàn)樵O(shè)：外磁場(chǎng)方向?yàn)閆軸方向，軸方向，Lz表示表示L在在外場(chǎng)方向投影大小，則外場(chǎng)方向投影大小，則lmmLllz, 2, 1, 0這里的這里的 ml即為前面講的即為前面講的m，稱為稱為磁量子數(shù)磁量子數(shù)。對(duì)應(yīng)一個(gè)。對(duì)應(yīng)一個(gè) l，ml有有2l+1個(gè)值，即角動(dòng)量的空間取向有個(gè)值，即角動(dòng)量的空間取向有2l+1種可能。種可能。索末菲在索末菲在1915-1916年提出：氫原子中的電子繞核作圓周軌道年提出：氫原子中的電子繞核作圓周軌道運(yùn)動(dòng)，軌道平面在空間的取向不是

8、任意的，而只能取有限的運(yùn)動(dòng)，軌道平面在空間的取向不是任意的，而只能取有限的特定方位，這既是軌道空間量子化假設(shè)。特定方位，這既是軌道空間量子化假設(shè)。ml=Lz/h1-100011-1-1-2-2223-3 電子具有自旋是由施特恩和蓋拉赫用實(shí)驗(yàn)證明的。在相電子具有自旋是由施特恩和蓋拉赫用實(shí)驗(yàn)證明的。在相對(duì)論動(dòng)力學(xué)中，由理論推導(dǎo)電子必須具有自旋；但在非相對(duì)對(duì)論動(dòng)力學(xué)中，由理論推導(dǎo)電子必須具有自旋；但在非相對(duì)論動(dòng)力學(xué)中，電子的自旋是根據(jù)實(shí)驗(yàn)引進(jìn)的。論動(dòng)力學(xué)中，電子的自旋是根據(jù)實(shí)驗(yàn)引進(jìn)的。KBNSPK原子射線；原子射線；B狹縫；狹縫；NS磁場(chǎng)；磁場(chǎng)；P照相板照相板結(jié)果：無(wú)外場(chǎng)時(shí)，結(jié)果：無(wú)外場(chǎng)時(shí)，P上沉積

9、一上沉積一 條正對(duì)條正對(duì)B的痕跡；有外的痕跡；有外 場(chǎng)時(shí)，出現(xiàn)幾條不連場(chǎng)時(shí)，出現(xiàn)幾條不連 續(xù)的線狀痕跡。續(xù)的線狀痕跡。此實(shí)驗(yàn)最初用此實(shí)驗(yàn)最初用s態(tài)銀原子進(jìn)行，態(tài)銀原子進(jìn)行，原子射線分裂為二條，且二者原子射線分裂為二條，且二者偏轉(zhuǎn)上下對(duì)稱。偏轉(zhuǎn)上下對(duì)稱。 因因s態(tài)原子態(tài)原子l=0本身無(wú)動(dòng)量矩和磁矩。本身無(wú)動(dòng)量矩和磁矩。1925年倫貝克提出：電子不能看成簡(jiǎn)單的點(diǎn)電荷，除繞核的年倫貝克提出：電子不能看成簡(jiǎn)單的點(diǎn)電荷，除繞核的磁矩外，還有固有磁矩，該磁矩稱自旋磁矩。磁矩外，還有固有磁矩，該磁矩稱自旋磁矩。量子力學(xué)的計(jì)算：自旋動(dòng)量矩量子力學(xué)的計(jì)算：自旋動(dòng)量矩S為為為自旋量子數(shù)sssS23) 121(21

10、) 1(自旋動(dòng)量矩也是量子化的，它在外場(chǎng)方向投影自旋動(dòng)量矩也是量子化的，它在外場(chǎng)方向投影Sz只能有如下兩種取值：只能有如下兩種取值：為自旋磁量子數(shù)sssmmmS21確定氫原子的狀態(tài)的四個(gè)量子數(shù)確定氫原子的狀態(tài)的四個(gè)量子數(shù)slmmln、主量子數(shù)主量子數(shù) 決定電子的能量。決定電子的能量。, 3 , 2 , 1n2220421)4(2nheEn) 1( llL角量子數(shù)角量子數(shù) 決定電子軌道角動(dòng)量決定電子軌道角動(dòng)量, 1, 2 , 1 , 0nl磁量子數(shù)磁量子數(shù) 決定軌道角動(dòng)量決定軌道角動(dòng)量的空間取向，的空間取向，, 2, 1, 0lml; lZmL 自旋磁量子數(shù)自旋磁量子數(shù) 決定自旋角動(dòng)量的空決定自

11、旋角動(dòng)量的空間取向，間取向， 。sZmS 21sm為正時(shí)，稱為自旋向上。為正時(shí)，稱為自旋向上。為負(fù)時(shí)，稱為自旋向下。為負(fù)時(shí)，稱為自旋向下。填空題：填空題：1. 原子內(nèi)電子的量子態(tài)由原子內(nèi)電子的量子態(tài)由n、l、ml及及ms四個(gè)量子數(shù)表征。當(dāng)四個(gè)量子數(shù)表征。當(dāng)n、l、ml一定時(shí)，不同的量子態(tài)數(shù)目為一定時(shí)，不同的量子態(tài)數(shù)目為 ；當(dāng)；當(dāng)n、l一一定時(shí)，不同的量子態(tài)數(shù)目為定時(shí)，不同的量子態(tài)數(shù)目為 ；當(dāng)；當(dāng)n一定時(shí)，不同一定時(shí)，不同的量子態(tài)數(shù)目為的量子態(tài)數(shù)目為 .2. 根據(jù)量子力學(xué)理論，氫原子中電子的動(dòng)量矩在外磁場(chǎng)方向上根據(jù)量子力學(xué)理論，氫原子中電子的動(dòng)量矩在外磁場(chǎng)方向上的投影為的投影為 ，當(dāng)角量子數(shù)，當(dāng)

12、角量子數(shù)l=2時(shí)，時(shí)，Lz的可能取值為的可能取值為 .lzmL 3. 根據(jù)量子力學(xué)理論，氫原子中電子的動(dòng)量矩為，當(dāng)主量子根據(jù)量子力學(xué)理論，氫原子中電子的動(dòng)量矩為，當(dāng)主量子數(shù)數(shù)n=3時(shí)，電子動(dòng)量矩的可能取值為時(shí)，電子動(dòng)量矩的可能取值為 .光的波光的波粒二象性小結(jié)粒二象性小結(jié)光光的的波波粒粒二二象象性性光電效應(yīng)光電效應(yīng)康普頓散射康普頓散射當(dāng)光照在金屬時(shí)，金屬板將釋放電子當(dāng)光照在金屬時(shí)，金屬板將釋放電子即光電子的現(xiàn)象。即光電子的現(xiàn)象。aeUeKmV2021實(shí)驗(yàn)規(guī)律實(shí)驗(yàn)規(guī)律愛因斯坦方程愛因斯坦方程WhmV2021hW0遏止頻率遏止頻率 在散射光中除有與入射波長(zhǎng)相同的射線在散射光中除有與入射波長(zhǎng)相同的射

13、線外，還有波長(zhǎng)比入射波長(zhǎng)更長(zhǎng)的射線外，還有波長(zhǎng)比入射波長(zhǎng)更長(zhǎng)的射線 . .mcmheee122201043. 22sin22sin2粒子的波粒二象性小結(jié)粒子的波粒二象性小結(jié)粒粒子子的的波波粒粒二二象象性性2201cvmmmvh德布羅意波德布羅意波粒子的波粒二象性粒子的波粒二象性實(shí)驗(yàn)證明：實(shí)驗(yàn)證明： 戴維孫戴維孫- -革末實(shí)驗(yàn)革末實(shí)驗(yàn)meUh2微觀解釋：而對(duì)多數(shù)粒子來(lái)說(shuō)，在空間不同位置出微觀解釋：而對(duì)多數(shù)粒子來(lái)說(shuō)，在空間不同位置出 現(xiàn)的幾率遵從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律（幾率波）現(xiàn)的幾率遵從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律（幾率波）不確定關(guān)系不確定關(guān)系hpzhpyhpxzyx2mcEhEph氫原子的玻爾理論小結(jié)氫原子的玻爾理

14、論小結(jié)氫氫原原子子的的玻玻爾爾理理論論玻爾理論玻爾理論實(shí)驗(yàn)規(guī)律實(shí)驗(yàn)規(guī)律理論計(jì)算理論計(jì)算)11(122nmR2, 1, 3 , 2 , 1mmnmm=1，賴曼系，賴曼系m=2，巴耳末系（可見光），巴耳末系（可見光）m=3，帕邢系，帕邢系（1）定態(tài)假設(shè)）定態(tài)假設(shè)hEEmn（2）躍遷假設(shè)：）躍遷假設(shè)：（3）角動(dòng)量量子化假設(shè)）角動(dòng)量量子化假設(shè)3 , 2 , 1nnLmrnrnmenron1011222210529. 0), 3 , 2 , 1(4), 3 , 2 , 1(6 .13)8(12122nneVrenEon量量子子力力學(xué)學(xué)小小結(jié)結(jié)波函數(shù)波函數(shù) 是一個(gè)復(fù)指數(shù)函數(shù)，本身無(wú)物理意義是一個(gè)復(fù)指數(shù)函數(shù)

15、，本身無(wú)物理意義),(tr波函數(shù)應(yīng)滿足單值、有限、連續(xù)的標(biāo)準(zhǔn)條件波函數(shù)應(yīng)滿足單值、有限、連續(xù)的標(biāo)準(zhǔn)條件12dV波函數(shù)歸一化條件波函數(shù)歸一化條件薛定諤方程：薛定諤方程：)()()()(2222xExxVdxxdm 波函數(shù)模的平方波函數(shù)模的平方 代表時(shí)刻代表時(shí)刻t 在在 r 處粒子出現(xiàn)的幾率密度。即：處粒子出現(xiàn)的幾率密度。即：t 時(shí)刻出現(xiàn)在時(shí)刻出現(xiàn)在 空間（空間（x,y,z）點(diǎn)的單位體積內(nèi)的幾率點(diǎn)的單位體積內(nèi)的幾率*2| 薛定諤方程的應(yīng)用：薛定諤方程的應(yīng)用：一維無(wú)限深方勢(shì)阱一維無(wú)限深方勢(shì)阱氫原子四個(gè)量子數(shù)的物理意義氫原子四個(gè)量子數(shù)的物理意義1. 波長(zhǎng)為波長(zhǎng)為 的單色光照射某金屬的單色光照射某金屬M(fèi)

16、表面發(fā)生光電效應(yīng)，發(fā)射表面發(fā)生光電效應(yīng)，發(fā)射的光電子的光電子(電荷絕對(duì)值為電荷絕對(duì)值為e，質(zhì)量為，質(zhì)量為m)經(jīng)狹縫經(jīng)狹縫 S 后垂直進(jìn)入磁后垂直進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為的均勻磁場(chǎng)感應(yīng)強(qiáng)度為的均勻磁場(chǎng)(如圖示如圖示)，今已測(cè)出電子在該磁場(chǎng)中，今已測(cè)出電子在該磁場(chǎng)中作圓運(yùn)動(dòng)的最大半徑為作圓運(yùn)動(dòng)的最大半徑為R求求 (1) 金屬材料的逸出功金屬材料的逸出功A； (2) 遏止電勢(shì)差遏止電勢(shì)差U B eMs解：解：(1) 由由 和和 RmeB/2vv mReB / )(v代入：代入： Amh2v21可得可得: 222221mBemRhcAmBeRhc2222 (2) 221mvUemeBRemvU222222.設(shè)

17、康普頓效應(yīng)中入射設(shè)康普頓效應(yīng)中入射X射線射線(倫琴射線倫琴射線)的波長(zhǎng)的波長(zhǎng) =0.700 ，散射的，散射的X射線與入射的射線與入射的X射線垂直，求：射線垂直，求： (1) 反沖電子的動(dòng)能反沖電子的動(dòng)能EK (2) 反沖電子運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量及動(dòng)量方向與入射的反沖電子運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量及動(dòng)量方向與入射的X射線之間的夾射線之間的夾角角 解：令、解：令、 和和 、 分別為入射與散射光子的動(dòng)量分別為入射與散射光子的動(dòng)量和頻率，和頻率， 為反沖電子的動(dòng)量為反沖電子的動(dòng)量(如圖如圖)因散射線與入因散射線與入射線垂直，散射角射線垂直，散射角 ，因此可求得散射因此可求得散射X射線的射線的波長(zhǎng)波長(zhǎng) ：ppvm2/p pmvc

18、mhe= 0.724 (1) 根據(jù)能量守恒定律根據(jù)能量守恒定律 22mchhcme22cmmcEeK)/()(hchhEK= 9.4210-17 J vmpp2222)/()/(hhppmv2222)/h()/h(ppmv2)/(1121)/(11cos44.0 3.在在B =1.2510-2 T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中沿半徑為的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中沿半徑為R =1.66 cm的圓軌的圓軌道運(yùn)動(dòng)的電子的德布羅意波長(zhǎng)是多少道運(yùn)動(dòng)的電子的德布羅意波長(zhǎng)是多少? (普朗克常量普朗克常量h =6.6310-34 Js，e =1.6010-19 C)evBRvm2eRBmv eRBhmvh=0. 2A解：電子的軌跡為圓，則：解：電子的軌跡為圓，則： 4. 已知第一玻爾軌道半徑已知第一玻爾軌道半徑a，試計(jì)算當(dāng)氫原子中電子沿第，試計(jì)算當(dāng)氫原子中電子沿第n玻玻爾軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，其相應(yīng)的德布羅意波長(zhǎng)是多少？爾軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，其相應(yīng)的德布羅意波長(zhǎng)是多少？ )/(/vmhph解：解：)2/(nahmv故故:namh2)/( v得得:因?yàn)槿綦娮釉诘谝驗(yàn)槿綦娮釉诘趎玻爾軌道運(yùn)動(dòng)，其軌道半徑和動(dòng)量矩玻爾軌道運(yùn)動(dòng)，其軌道半徑和動(dòng)量矩分別為：分別為： anrn2)2/( nhrmLnv5. 假設(shè)電子繞氫核旋轉(zhuǎn)的玻爾軌道的圓周長(zhǎng)剛好為電子物質(zhì)假設(shè)電子繞氫核旋轉(zhuǎn)的玻爾軌道的圓周長(zhǎng)剛好為電子物質(zhì)