第三章 可靠性概率分布

1、可靠性的概率分布可靠性的概率分布1. 了解二項分布、泊松分布的含義和計算了解二項分布、泊松分布的含義和計算 2. 掌握指數(shù)分布、正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布掌握指數(shù)分布、正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布和威布爾分布的特性以及特征值的獲取和威布爾分布的特性以及特征值的獲取 3. 會查標準正態(tài)分布表會查標準正態(tài)分布表主要內(nèi)容主要內(nèi)容 離散型離散型隨機變量的幾種常見分布隨機變量的幾種常見分布n兩點分布兩點分布n二項分布二項分布n泊松分布泊松分布n幾何分布和負二項分布幾何分布和負二項分布n超幾何分布超幾何分布 連續(xù)型連續(xù)型隨機變量的幾種常見分布隨機變量的幾種常見分布n正態(tài)分布正態(tài)分布n截尾正態(tài)分布截尾正態(tài)分布n對數(shù)正

2、態(tài)分布對數(shù)正態(tài)分布n指數(shù)分布指數(shù)分布n伽瑪分布伽瑪分布n威布爾分布威布爾分布可靠性的概率分布可靠性的概率分布 可靠性工程以產(chǎn)品的壽命特征為主要研究對象。產(chǎn)品的壽命特征一般是連續(xù)的隨機變量，例如產(chǎn)品故障時間和維修時間等。處理這種問題可利用概率統(tǒng)計方法，找出它們的概率分布和概率密度函數(shù)，有了確定的分布就可以求出該分布特征統(tǒng)計量，如正態(tài)分布的均值及標準差。即使不知道具體的分布函數(shù)，也可以通過對分布的參數(shù)估計求得某些特征量的估計值。這些分布及概率密度函數(shù)，不僅描述了壽命的內(nèi)在規(guī)律，而且分布的參數(shù)還決定了產(chǎn)品的壽命特征。因此必須對失效分布作較深入的研究 離散型隨機變量的幾種常見分布離散型隨機變量的幾種常

3、見分布 可靠性抽樣試驗以及產(chǎn)品質量保證等大量工程實際問題需要用到離散模型離散模型。主要有n兩點分布n二項分布n泊松分布n幾何分布與負二項分布n超幾何分布 兩點分布又稱（0，1）分布 數(shù)學模型的隨機試驗只可能有兩種試驗結果 兩點分布的分布列或分布律也可寫成: 也可表示為 :111 , 0)1 (poqpxqpxXPkkkxxk兩點分布兩點分布 兩點分布兩點分布數(shù)字特征:兩點分布可以作為描繪從一批產(chǎn)品中任意抽取一件一件得到的“合格品”或“不合格品”的概率分布模型 pqppppXDpqpXE)1 ()(01)(2二項分布又稱貝努里分布。二項分布滿足以下基本假定：n 試驗次數(shù)n是一定的；n 每次試驗的

4、結果只有兩種，成功或失?。籲 每次試驗的成功概率和失敗概率相同，即p和q是常數(shù)；n 所有試驗是獨立的。 所謂獨立試驗是指將試驗A重復做n次，若各次試驗的結果互不影響，即每次試驗結果出現(xiàn)的概率都與其他各次試驗結果無關，則稱這n次試驗是獨立的，并稱它們構成一個序列二項分布二項分布 在二項分布中，若一次試驗中， ,則在n次獨立地重復試驗中，試驗A發(fā)生的概率為:上式為二項概率公式。若用X表示在n次重復試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，顯然，X是一個隨機變量，X的可能取值為0,1,2,n，則 隨機變量X的分布律為： 此時，稱隨機變量X服從二項分布B（n,p）。 當n=1時，二項分布簡化為兩點分布即：), 2 ,

5、1 , 0()(nkqpCkPknkknn), 2 , 1 , 0()(nkqpCkXPknkkn1 , 0,1kqpkXpkk二項分布二項分布 pAPpAP1)(,)( 隨機變量X取值不大于k的累積分布函數(shù)為: X的數(shù)學期望與方差分別為: 二項分布用來計算冗余系統(tǒng)的可靠度，也可用于計算一次性使用裝置或系統(tǒng)的可靠度估計 比如汽車上的雙管路制動系統(tǒng)nrrnrrnqpCkXPkF0)()(nknkpnpnpqkXPXEkXDnpkXkPxE020)1 ()()()()()(二項分布二項分布 在二項分布中，如果 （常數(shù)），則二項分布可表示為： 此時，稱隨機變量X服從參數(shù)為的泊松分布。泊松分布可認為是

6、當n無限大時二項分布的推廣。當n很大、p很小時，可用泊松分布近似代替二項分布。一般地，當n20,p0.05時，近似程度較好。 隨機變量X取值不大于k次的累積分布函數(shù)為： X的期望與方差分別為： nnplim)0,2, 1 , 0(!)(nkekkXPkkrrerkXPkF0!)()(020)()()()()(kkKXPXEkXDkXkPXE泊松分布泊松分布 泊松分布，經(jīng)過適當?shù)奶幚砜沙蔀橹笖?shù)分布。假泊松分布，經(jīng)過適當?shù)奶幚砜沙蔀橹笖?shù)分布。假定：定：n在互不相交的時間區(qū)間內(nèi)所發(fā)生的失效是統(tǒng)計獨立的；n單位時間內(nèi)的平均失效次數(shù)為常數(shù)，而與所考慮的時間區(qū)間無關。泊松過程有下面兩個重要性質: (1)設

7、t是時間區(qū)間的長度，則在此區(qū)間內(nèi)發(fā)生失效的次數(shù)X是一個整數(shù)型的隨機變量，在此時間區(qū)間內(nèi)，發(fā)生k次失效的概率服從一個均值為t的泊松分布: (2)在任意兩次相鄰的失效之間的時間T是獨立的連續(xù)型的隨機變量，服從參數(shù)為的指數(shù)分布 : )0(!)()(kektkXPtktetRtTP)()(泊松分布泊松分布 兩次失效的平均時間為 ,泊松過程適合于建模有較多的元件傾向于失效，而每個元件失效的概率比較小的情況1泊松分布泊松分布 例：有人打靶，每次命中率均為0.7，現(xiàn)獨立射擊5次，求恰好命中2次的概率？解：每次射擊有“擊中”和“未擊中”兩個可能，設 ，“恰好有兩次幾種”的情況有 種共有C25543215432

8、154321,.AA,AA,AAAAAAAAAAA3254321543213 . 07 . 03 . 03 . 03 . 07 . 07 . 0)()()()()()AA(APAPAPAPAPAAAP1323.03.07.0)(3225CCknkknqPAP二項分布實例二項分布實例次擊中第iAi如果要求命中不少于2次的概率？例：一架飛機有三個著陸輪胎，若不多于一個輪胎爆破，飛機便能安全著陸。試驗表明，每一千次著陸發(fā)生一次輪胎爆破。求飛機安全著陸的概率？解： 99999.0999.0001.0999.0001.0)()()(21133003）（）（）（）（只有一個輪胎爆破沒有輪胎著陸安全著陸CC

9、PPP二項分布實例二項分布實例思考：假如只有兩個輪胎，安全著陸的概率？ 正態(tài)分布正態(tài)分布 對數(shù)正態(tài)分布對數(shù)正態(tài)分布 指數(shù)分布指數(shù)分布 伽瑪分布伽瑪分布 威布爾分布威布爾分布連續(xù)型隨機變量的幾種常見分布連續(xù)型隨機變量的幾種常見分布指數(shù)分布指數(shù)分布1.1.指數(shù)分布指數(shù)分布 在數(shù)學上易處理成直觀的曲線在數(shù)學上易處理成直觀的曲線 失效率反映了特征參數(shù)失效率反映了特征參數(shù) 單參數(shù)分布單參數(shù)分布 最基本最常用的分布最基本最常用的分布 若產(chǎn)品的壽命或某一特征值若產(chǎn)品的壽命或某一特征值t的的故障密度故障密度為為 則稱則稱t服從參數(shù)服從參數(shù)的指數(shù)分布的指數(shù)分布( )(0,0)tf tet 指數(shù)分布的特征量函數(shù):

10、n不可靠度（失效）函數(shù)n可靠度函數(shù)n平均壽命 ( )tR tettedttftF01)()(1)(00dttedtttfEt指數(shù)分布指數(shù)分布n 中位壽命：r=0.5 n 特征壽命： n 壽命方差： n 標準差： te5.07E.06971.0ln0.5t5 .0368. 0er1t1ee1t368.0 220221E-dttft1指數(shù)分布性質指數(shù)分布性質 指數(shù)分布性質指數(shù)分布性質指數(shù)分布的一個重要性質是指數(shù)分布的一個重要性質是無記憶性無記憶性。無記憶性是產(chǎn)。無記憶性是產(chǎn)品在經(jīng)過一段時間品在經(jīng)過一段時間t0工作之后的剩余壽命仍然具有原來工作之后的剩余壽命仍然具有原來工作壽命相同的分布，而與工作壽

11、命相同的分布，而與t無關。這個性質說明，無關。這個性質說明，壽壽命分布為指數(shù)分布的產(chǎn)品，過去工作了多久對現(xiàn)在和命分布為指數(shù)分布的產(chǎn)品，過去工作了多久對現(xiàn)在和將來的壽命分布不發(fā)生影響將來的壽命分布不發(fā)生影響在在“浴盆曲線浴盆曲線”中，它是屬于偶發(fā)期這一時段的中，它是屬于偶發(fā)期這一時段的 指數(shù)分布的特點指數(shù)分布的特點n 只含單一參數(shù)，形式簡單n 平均壽命、特征壽命、標準離差相等，為n 故障率越小，平均壽命越大，但越大，分布越分散n 平均壽命大于中位壽命1發(fā)動機中有四種故障的壽命概率分布屬于指數(shù)分布發(fā)動機中有四種故障的壽命概率分布屬于指數(shù)分布n 受受隨機性沖擊隨機性沖擊時產(chǎn)生的故障：故障與使用時間無

12、關，時產(chǎn)生的故障：故障與使用時間無關，僅與外界超強度的沖擊力隨機到來和內(nèi)部潛伏的隱患僅與外界超強度的沖擊力隨機到來和內(nèi)部潛伏的隱患偶然爆發(fā)有關，它們是隨機性偶然發(fā)生故障，如內(nèi)燃偶然爆發(fā)有關，它們是隨機性偶然發(fā)生故障，如內(nèi)燃機超載下工作或過熱造成的故障機超載下工作或過熱造成的故障n 正常使用下的正常使用下的突發(fā)故障突發(fā)故障：常載下往復運動零件損傷，：常載下往復運動零件損傷，或人為失誤造成的故障，或偶然性操作不當或人為失誤造成的故障，或偶然性操作不當n 浴盆曲線的浴盆曲線的階段（使用壽命期）階段（使用壽命期）n 發(fā)動機返復多次維修期間所發(fā)生的故障可考慮為指數(shù)發(fā)動機返復多次維修期間所發(fā)生的故障可考慮

13、為指數(shù)分布故障分布故障例：內(nèi)燃機增壓器處于使用壽命期中工作，根據(jù)以往經(jīng)驗知，壽命服從指數(shù)分布，在100小時工作內(nèi)有1%發(fā)生故障，求可靠度R（2000）， 的使用壽命？ 解：先求 F（100）=0.01 01. 0e11000001005. 00.991ln10018187.0e)2000(R2000小時69316971.0t5.0 10489 .01ln1t9 .0小時9.05.0tt和指數(shù)分布例題指數(shù)分布例題例：一元件壽命服從指數(shù)分布，其平均壽命()為2000小時，求故障率及求可靠度R (100)=? R(1000)=?解： 此元件在100小時時的可靠度為0.95，而在1000小時時的可靠度

14、為0.60 410520001195. 0)100(05. 01004105eeR60. 0)1000(5 . 010001054eeR正態(tài)分布正態(tài)分布 正態(tài)分布在機械可靠性設計中大量應用，如材料強度、正態(tài)分布在機械可靠性設計中大量應用，如材料強度、磨損壽命、齒輪輪齒彎曲、疲勞強度以及難以判斷其分布磨損壽命、齒輪輪齒彎曲、疲勞強度以及難以判斷其分布的場合。的場合。屬于屬于遞增型故障率遞增型故障率的概率分布。它的分布曲線處的概率分布。它的分布曲線處于浴盆曲線的于浴盆曲線的耗損階段耗損階段 若產(chǎn)品壽命或某特征值有故障密度若產(chǎn)品壽命或某特征值有故障密度 22()21( )(0,0,0)2tf tet

15、正態(tài)分布正態(tài)分布正態(tài)分布的特征量函數(shù): 不可靠度 查附表2 可靠度 故障率 平均壽命 E=E= tdt) t (f) t (Ft t1tF1tR t1t21exp21tRtft2n可靠壽命 n特征壽命 n中位壽命 rt134. 0t1e5 . 0t 在柴油機或機械系統(tǒng)中，有些零件故障是由幾種相對獨立的微小主導因素迭加而成的如氣缸、活塞、齒輪和軸類零件 因磨損引起的故障，以及管、閥系統(tǒng)的腐蝕性故障，燃油傳給系統(tǒng)沉淀性故障都屬正態(tài)分布正態(tài)分布正態(tài)分布例例：有兩種內(nèi)燃機配套機構，A種壽命分布是指數(shù)型，其平均壽命為1000h；B種壽命分布是正態(tài)型，其平均壽命為900h，標準離差= 400h，求：在10

16、0小時使用期內(nèi)，盡量不發(fā)生故障，求哪種設計為好？ 100011000,tA905. 0e100R1000100A解：A：400,900tB9772. 0214009001001100RBB： 對數(shù)正態(tài)分布是自變量取對數(shù)自變量取對數(shù)時，其故障密度函數(shù)符合正態(tài)分布的一種偏態(tài)性偏態(tài)性概率分布。它的故障率其本屬于遞增型的，但遞增的速度是變化的，先快后慢然后趨于平穩(wěn) 對數(shù)均值，對數(shù)標準離差 222lntexpt21tf對數(shù)正態(tài)分布對數(shù)正態(tài)分布對數(shù)正態(tài)分布的特征量 不可靠度函數(shù) 可靠度函數(shù) 故障率函數(shù) -lntdttftFt lnt1tR lnt1lnt21expt21tRtft2n平均壽命E n特征壽命

17、 34. 0eet1 -22eE 對數(shù)變換可將較大的數(shù)縮小為較小的數(shù)，且愈大的數(shù)縮小得愈多，這一特性可以使較為分散的數(shù)據(jù)通過對數(shù)變換相對的集中起來，所以常把跨幾個數(shù)量級的數(shù)據(jù)用對數(shù)正態(tài)跨幾個數(shù)量級的數(shù)據(jù)用對數(shù)正態(tài)分布去擬合分布去擬合。 在機械零件及材料的疲勞壽命中，對數(shù)正態(tài)分布應用得較多。05.0對數(shù)正態(tài)分布對數(shù)正態(tài)分布 例：例：一般氣動彈簧承載 次后要更換，已知服從對數(shù)正態(tài)分布，系數(shù)=25,=1.4問：更換彈簧前，故障的可能性多大？ 解：內(nèi)燃機在 次后，氣動彈簧的不可靠度: 即 次更換前，故障的可能性為7.9%。 079. 04 . 14 . 125ln1010F10101010101010

18、10 威布爾分布應用比較廣泛，常用來描述材料疲勞失效、軸承失效等壽命分布的。分布包括了產(chǎn)品壽命周期三個階段的失效分布特征。 威布爾分布是遞增型、恒定型、遞減型多種故障概率分布，威布爾分布是從考慮鏈式強度模型提出來的，當“鏈條”中“環(huán)”的強度低于隨機應力時，某一“環(huán)”便可能發(fā)生斷裂，只要某一薄弱環(huán)發(fā)生故障則會整體失效，因此最弱“環(huán)”的壽命即是產(chǎn)品的壽命。 威布爾分布是用三個參數(shù)來描述，這三個參數(shù)分別是尺度參數(shù)，形狀參數(shù)m、位置參數(shù)，其概率密度函數(shù)為： ()1( )()(,0,0)mtmm tf tetm威布爾分布威布爾分布不同m值的威布爾分布 （=1，=0）m =3m =1/2m=2m =1f(

19、t)t形狀參數(shù)m的大小決定威布爾分布的形狀，當m1，密度函數(shù)曲線呈單峰型，且隨m的減小峰高逐漸降低，當m=3.5時，接近正態(tài)分布；當m=1時，密度函數(shù)曲線就是指數(shù)分布的密度函數(shù)曲線；當m1時，密度函數(shù)曲線漸進直線t=不同值的威布爾分布 （=2，=0）=1/3=1/2=2=1f(t)t隨著尺度參數(shù)的減小，曲線由同一原點向右擴展，最大值減小。不同 值的威布爾分布 （ =1， =2） =0=0.5= - 0.5 =1f(t)t位置參數(shù)的大小反映了密度函數(shù)曲線起始點的位置在橫坐標上的變化 當m和不變，威布爾分布曲線的形狀不變。隨著的減小，曲線由同一原點向右擴展，最大值減小。 當和不變，m變化時，曲線形狀隨m而變化。當m值約為3.5時，威布爾分布接近正態(tài)分布。 當和m不變時，威布爾分布曲線的形狀和尺度都不變，它的位置隨的增加而向右移動。 威布爾分布其它一些特點，m1時，表示磨損失效；m=1時，表示恒定的隨機失效，