第2章數(shù)字邏輯基礎(chǔ)

1、EABCY1.與邏輯關(guān)系與邏輯關(guān)系 ： 當(dāng)決定事件的當(dāng)決定事件的各個(gè)條件全部具備之后，事件各個(gè)條件全部具備之后，事件才會發(fā)生。才會發(fā)生。ABCY00000000000111100001111010101011與門真值表與門真值表ABCYY=ABC&與門邏輯符號與門邏輯符號邏輯式邏輯式2 .2 .或邏輯關(guān)系：或邏輯關(guān)系：當(dāng)決定事件的各個(gè)條件中當(dāng)決定事件的各個(gè)條件中有一個(gè)或一個(gè)以上具備之后，事件就會發(fā)生。有一個(gè)或一個(gè)以上具備之后，事件就會發(fā)生。AEBCYYABC 1Y=A+B+C 或門邏輯符號或門邏輯符號或門邏輯式或門邏輯式1A BCY000101111101111000011110101

2、01011或門真值表或門真值表EY3 . 非邏輯關(guān)系：非邏輯關(guān)系：決定事件的條件只有一個(gè)，決定事件的條件只有一個(gè)，當(dāng)條件具備時(shí)，事件不會發(fā)生，條件不存在當(dāng)條件具備時(shí)，事件不會發(fā)生，條件不存在時(shí)，事件發(fā)生。時(shí)，事件發(fā)生。ARAY0011非門真值表非門真值表A1YY = A非門邏輯符號非門邏輯符號非門邏輯式非門邏輯式1.基本運(yùn)算規(guī)則基本運(yùn)算規(guī)則 基本運(yùn)算規(guī)則是由定義得出的?；具\(yùn)算規(guī)則是由定義得出的。00 = 001 = 10 = 011 = 1與與0+0 = 00+1 = 1+0 = 11+1 = 1或或非非0 = 11 = 00 = 11.基本運(yùn)算規(guī)則基本運(yùn)算規(guī)則 2.邏輯代數(shù)的邏輯代數(shù)的基本

3、定律基本定律 . 代數(shù)代數(shù)定律定律在邏輯代數(shù)中，有的定律在邏輯代數(shù)中，有的定律與普通代數(shù)中的定律相似與普通代數(shù)中的定律相似 。 交換律：交換律： A+B=B+A A B=B A結(jié)合律：結(jié)合律： A+(B+C)=(A+B)+C A (B C)=(A B) C分配律：分配律： A(B+C)=A B+A C A+B C=(A+B) (A+C). 特有特有定律定律反映了在邏輯代數(shù)中，常反映了在邏輯代數(shù)中，常量和變量間的關(guān)系量和變量間的關(guān)系 。以上表達(dá)式反映了變量和變量之間的關(guān)系以上表達(dá)式反映了變量和變量之間的關(guān)系 01律：律： 0 A= 0 1+A= 1 自等律：自等律： 1 A= A 0+A= A

4、互補(bǔ)律：互補(bǔ)律： A A= 0 A+A= 1 重疊律：重疊律： A A= A A+A= A 否定否定律：律： A = A 反演律：反演律： A B = A+B A + B = A B反演律是著名的反演律是著名的得得.摩根定理（摩根定理（De Morgan），非常重要。切記：非常重要。切記：A+B A+B，AB=AB反演定律還可以推廣到兩個(gè)以上變量的情況反演定律還可以推廣到兩個(gè)以上變量的情況A B C = A+B+C+ A + B + C + = A B CA + B + C + = A B CA + B + C + = A B CA + B + C + = A B CA + B + C + =

5、 A B CA + B + C + = A B C反演定律的證明：反演定律的證明：ABABA+BA+BABABAB001111001100101100110000該方法該方法是證明是證明定理的定理的基本方基本方法法特別注意：特別注意：1、在邏輯代數(shù)中不會出現(xiàn)指數(shù)和系數(shù)、在邏輯代數(shù)中不會出現(xiàn)指數(shù)和系數(shù)即：即：AA A2；A+A 2A2、在邏輯代數(shù)中沒有減法和除法、在邏輯代數(shù)中沒有減法和除法即：即：不能由等式不能由等式A（A+B）= A兩邊同兩邊同除以除以A，得出，得出A+B = 1也也不能由等式不能由等式A+AB = A+B兩邊同時(shí)減兩邊同時(shí)減去去A，得出，得出AB = B3.三個(gè)重要規(guī)則三個(gè)重

6、要規(guī)則 . 吸收規(guī)則吸收規(guī)則邏輯表達(dá)式中的某些項(xiàng)邏輯表達(dá)式中的某些項(xiàng)（或某些因子）可能被其它項(xiàng)所吸收（或某些因子）可能被其它項(xiàng)所吸收 。該規(guī)則為邏輯代數(shù)取別于該規(guī)則為邏輯代數(shù)取別于普通代數(shù)的一個(gè)重要特點(diǎn)普通代數(shù)的一個(gè)重要特點(diǎn)A+AB=A A（A+B）=AA+AB=A+B A（A+B）=AB證明證明A+AB=A（1+B）=A1=AA（A+B）=A+B =A證明證明A+AB=A+B =（A+A）（A+B） =1（A+B）=A+BA（A+B）=AA+AB =AB 這說明在一個(gè)與或表達(dá)式中，如果一項(xiàng)這說明在一個(gè)與或表達(dá)式中，如果一項(xiàng)的反是另一個(gè)乘積項(xiàng)的因子，則該因子是的反是另一個(gè)乘積項(xiàng)的因子，則該因子

7、是可以被吸收的，這種情況又被稱作反變量可以被吸收的，這種情況又被稱作反變量的吸收。的吸收。利用吸收規(guī)則還可以推出一些其它公式：利用吸收規(guī)則還可以推出一些其它公式：AB+AC+BC = AB+ACAB+AC+BCD = AB+AC. 反演規(guī)則反演規(guī)則對于任意一個(gè)邏輯函數(shù)式對于任意一個(gè)邏輯函數(shù)式F F，若把式中所有的若把式中所有的“”換成換成“+”，“+”換成換成“”；0換成換成1，1換成換成0；原變量換成反變量，反變量；原變量換成反變量，反變量換成原變量，那末所得之的新?lián)Q成原變量，那末所得之的新表達(dá)式就是表達(dá)式就是F的反函數(shù)，記為的反函數(shù)，記為F。特特別別注注意意決不能打亂原式的運(yùn)算順序；決不能

8、打亂原式的運(yùn)算順序；不屬于單變量上的非號應(yīng)保留不變。不屬于單變量上的非號應(yīng)保留不變。例如例如F = A + B + C + D + EF = A + B + C + D + EF = A + B + C + D + EF = A + B + C + D + EF = A B C D E（3）. 對偶式對偶式對于任意一個(gè)邏輯函數(shù)式對于任意一個(gè)邏輯函數(shù)式F F，若把式中所有的若把式中所有的“”換成換成“+”，“+”換成換成“”；0換成換成1，1換成換成0；而變量保持不變，；而變量保持不變，那末所得之的新表達(dá)式就是那末所得之的新表達(dá)式就是F的對偶式，記為的對偶式，記為F 。 對偶規(guī)則對偶規(guī)則如果兩個(gè)

9、邏輯函數(shù)相等，如果兩個(gè)邏輯函數(shù)相等，則它們的對偶式也相等則它們的對偶式也相等。即：若即：若F = G，則，則F = G 特別注意：特別注意：一般情況下：一般情況下：F F 4.復(fù)合運(yùn)算和復(fù)合門復(fù)合運(yùn)算和復(fù)合門 與非、或非、與或非運(yùn)算與非、或非、與或非運(yùn)算即：即：F = AB；F= A+B；F=AB+CD。即：即：F = AB；F= A+B；F=AB+CD。即：即：F = AB；F= A+B；F=AB+CD。FAB+FAB+FABCD非門非門或門或門與或與或非門非門 異或和同或運(yùn)算異或和同或運(yùn)算 異或運(yùn)算異或運(yùn)算異或運(yùn)算的定義為：異或運(yùn)算的定義為：F = A B = AB +AB真值表真值表AB

10、F000011101110異或運(yùn)算有兩個(gè)重要特性：異或運(yùn)算有兩個(gè)重要特性：異或運(yùn)算具有因果互異或運(yùn)算具有因果互換關(guān)系換關(guān)系A(chǔ) B = CA C = BB C = A多變量異或運(yùn)算，其結(jié)果取絕于變量為多變量異或運(yùn)算，其結(jié)果取絕于變量為1的個(gè)數(shù)，而于的個(gè)數(shù)，而于0的個(gè)數(shù)無關(guān)。如果變量為的個(gè)數(shù)無關(guān)。如果變量為1的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，其結(jié)果為的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，其結(jié)果為1；若；若1的個(gè)數(shù)是的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則結(jié)果是偶數(shù)，則結(jié)果是0。1 0 1 1 0 = 11 1 0 0 0 = 0 FAB異或門符號異或門符號可以利用結(jié)合律實(shí)現(xiàn)多變可以利用結(jié)合律實(shí)現(xiàn)多變量異或運(yùn)算，即：量異或運(yùn)算，即：F=（A B） （C D） = A

11、 B C D 同或運(yùn)算同或運(yùn)算同或運(yùn)算的定義為：同或運(yùn)算的定義為：F = AB = AB +AB真值表真值表ABF000011101110可以證明兩變量的異或函可以證明兩變量的異或函數(shù)和同或函數(shù)既互補(bǔ)又對數(shù)和同或函數(shù)既互補(bǔ)又對偶，是一對特殊函數(shù)。偶，是一對特殊函數(shù)。AB = A B A B = AB 同或運(yùn)算也有兩個(gè)重要特性：同或運(yùn)算也有兩個(gè)重要特性：一類似異或一類似異或多變量同或運(yùn)算，其結(jié)果取絕于變量為多變量同或運(yùn)算，其結(jié)果取絕于變量為0的個(gè)數(shù)，而于的個(gè)數(shù)，而于1的個(gè)數(shù)無關(guān)。如果變量為的個(gè)數(shù)無關(guān)。如果變量為0的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，其結(jié)果為的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，其結(jié)果為1；若；若0的個(gè)數(shù)是的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則結(jié)果

12、是奇數(shù)，則結(jié)果是0。一一. 最小項(xiàng)和最大項(xiàng)最小項(xiàng)和最大項(xiàng) . 最小項(xiàng)最小項(xiàng)n個(gè)變量的最小項(xiàng)是個(gè)變量的最小項(xiàng)是n個(gè)變量的個(gè)變量的積積，其中每一個(gè)變量都以原變量或反變量的，其中每一個(gè)變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次。形式出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次。 n個(gè)變量則有個(gè)變量則有2n個(gè)最小項(xiàng)個(gè)最小項(xiàng)最小項(xiàng)的概念是邏輯代數(shù)中的一個(gè)重要概念最小項(xiàng)的概念是邏輯代數(shù)中的一個(gè)重要概念NOABCABC ABC ABCABC ABC ABCABCABCm0m1m2m3m4m5m6m7000 01123456700 101 00 1 11 0 01 0 111 01 1 100000000100000000

13、1000000001000000001000000001000000001000000001ABCABCABC ABCABC ABCABCABC三變量最小項(xiàng)的真值表三變量最小項(xiàng)的真值表最小項(xiàng)具有下列三個(gè)性質(zhì)：最小項(xiàng)具有下列三個(gè)性質(zhì)：對于任意一個(gè)最小項(xiàng)，只有一組變量的對于任意一個(gè)最小項(xiàng)，只有一組變量的取值使它的值為取值使它的值為1，而當(dāng)變量取其它各組，而當(dāng)變量取其它各組值時(shí)，該最小項(xiàng)的值都是值時(shí)，該最小項(xiàng)的值都是0。任意兩個(gè)最小項(xiàng)的乘積恒為任意兩個(gè)最小項(xiàng)的乘積恒為0。全體最小項(xiàng)之和為全體最小項(xiàng)之和為1。特別注意：特別注意： 一個(gè)邏輯函數(shù)只有一個(gè)最小項(xiàng)之一個(gè)邏輯函數(shù)只有一個(gè)最小項(xiàng)之和的表達(dá)式。和的

14、表達(dá)式。. 最大項(xiàng)最大項(xiàng)n個(gè)變量的最大項(xiàng)是個(gè)變量的最大項(xiàng)是n個(gè)變量的個(gè)變量的和和，其中每一個(gè)變量都以原變量或反變量的，其中每一個(gè)變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次。形式出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次。 n個(gè)變量則有個(gè)變量則有2n個(gè)最大項(xiàng)個(gè)最大項(xiàng)最大項(xiàng)具有下列三個(gè)性質(zhì)：最大項(xiàng)具有下列三個(gè)性質(zhì)：每一個(gè)最大項(xiàng)僅和一組變量的取值相對應(yīng)，每一個(gè)最大項(xiàng)僅和一組變量的取值相對應(yīng)，只有該組取值使其值為只有該組取值使其值為0，在其余取值下它，在其余取值下它皆為皆為1。n個(gè)變量的任意兩個(gè)不同最大項(xiàng)之和為個(gè)變量的任意兩個(gè)不同最大項(xiàng)之和為1。n個(gè)變量的全體最大項(xiàng)之和恒為個(gè)變量的全體最大項(xiàng)之和恒為0。二二. 兩

15、者的關(guān)系兩者的關(guān)系 變量數(shù)相同，編號相同的最小項(xiàng)和最大變量數(shù)相同，編號相同的最小項(xiàng)和最大項(xiàng)之間存在互補(bǔ)關(guān)系。項(xiàng)之間存在互補(bǔ)關(guān)系。min = MinMin = min三三. 標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式和真值表標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式和真值表 . 最小項(xiàng)之和式最小項(xiàng)之和式例如例如F（A，B，C）= ABC+ABC+ABCF（A，B，C）= m3+m5+m6 = （3，5，6）（2）. 最大項(xiàng)之積式最大項(xiàng)之積式例如例如G（A，B，C）= （A+B+C）（）（A+B+C）（A+B+C）（）（A+B+C）G（A，B，C）= M0+M3+M5 +M6 = （0，3，5，6）標(biāo)準(zhǔn)與或式標(biāo)準(zhǔn)與或式標(biāo)準(zhǔn)或與式標(biāo)準(zhǔn)或與式（3）. 由真值表寫標(biāo)

16、準(zhǔn)表達(dá)式由真值表寫標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式例如例如三人表決邏輯三人表決邏輯真值表真值表ABF000011101110CNO0012345600001107110010111101F的最小項(xiàng)之和表達(dá)式為：的最小項(xiàng)之和表達(dá)式為：F（A，B，C）= （3，5，6，7）= ABC+ABC+ABC+ABCF（A，B，C）= （3，5，6，7）= ABC+ABC+ABC+ABCF（A，B，C）= （3，5，6，7）= ABC+ABC+ABC+ABCG（A，B，C）= （0，1，2，4）= （A+B+C）（）（A+B+C）（A+B+C）（）（A+B+C）（4）. 兩種標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式間的轉(zhuǎn)換兩種標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式間的轉(zhuǎn)換可以發(fā)現(xiàn)，兩種

17、表達(dá)式所含的編號是互可以發(fā)現(xiàn)，兩種表達(dá)式所含的編號是互相補(bǔ)充的，即最大項(xiàng)之積式中的最大項(xiàng)相補(bǔ)充的，即最大項(xiàng)之積式中的最大項(xiàng)編號正好是最小項(xiàng)之和式中未包含的號編號正好是最小項(xiàng)之和式中未包含的號碼，反之亦然。碼，反之亦然。F（A，B，C，D）= （0，2，3，5，9，12）F（A，B，C，D）= （1，4，6，8，10，11，13，14，15）則：則：任何函數(shù)兩種標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式之間的轉(zhuǎn)換非常簡便任何函數(shù)兩種標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式之間的轉(zhuǎn)換非常簡便代數(shù)化簡法代數(shù)化簡法就是反復(fù)運(yùn)用基本公式和就是反復(fù)運(yùn)用基本公式和 常用公式消去多余項(xiàng)和多余因子，以便求常用公式消去多余項(xiàng)和多余因子，以便求得最簡表達(dá)式。得最簡表達(dá)式。例如例如（1）. 并項(xiàng)法：并項(xiàng)法：ABC+ABC =（A+A）BC = BC利用互補(bǔ)律：利用互補(bǔ)律：A+A=1（2）. 吸收法：吸收法：例如例如AC+ABCD（E+F） = AC利用吸收規(guī)則：利用吸收規(guī)則：A+AB =A（3）. 消去法：消去法：利用吸收規(guī)則：利用吸收規(guī)則：A+AB = A+B例如例如A+ABC+B =A+B+C（4）. 配項(xiàng)法：配項(xiàng)法：利用互補(bǔ)律：利用互補(bǔ)律：A+A = 1利用重疊律：利用重疊律：A+A = A，AA=A利