固體物理經(jīng)典復(fù)習(xí)題及答案

1、一、簡答題1.理想晶體答：內(nèi)在結(jié)構(gòu)完全規(guī)則的固體是理想晶體，它是由全同的結(jié)構(gòu)單元在空間無限重復(fù)排列而構(gòu)成的。2.晶體的解理性答：晶體常具有沿某些確定方位的晶面劈裂的性質(zhì)，這稱為晶體的解理性。3.配位數(shù)答: 晶體中和某一粒子最近鄰的原子數(shù)。4.致密度答：晶胞內(nèi)原子所占的體積和晶胞體積之比。5.空間點(diǎn)陣(布喇菲點(diǎn)陣) 答：空間點(diǎn)陣(布喇菲點(diǎn)陣)：晶體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)可以概括為是由一些相同的點(diǎn)子在空間有規(guī)則地做周期性無限重復(fù)排列，這些點(diǎn)子的總體稱為空間點(diǎn)陣(布喇菲點(diǎn)陣)，即平移矢量中取整數(shù)時(shí)所對應(yīng)的點(diǎn)的排列。空間點(diǎn)陣是晶體結(jié)構(gòu)周期性的數(shù)學(xué)抽象。6.基元答：組成晶體的最小基本單元，它可以由幾個(gè)原子(離子)組

2、成，整個(gè)晶體可以看成是基元的周期性重復(fù)排列而構(gòu)成。7.格點(diǎn)(結(jié)點(diǎn))答: 空間點(diǎn)陣中的點(diǎn)子代表著結(jié)構(gòu)中相同的位置，稱為結(jié)點(diǎn)。8.固體物理學(xué)原胞答：固體物理學(xué)原胞是晶格中的最小重復(fù)單元，它反映了晶格的周期性。取一結(jié)點(diǎn)為頂點(diǎn)，由此點(diǎn)向最近鄰的三個(gè)結(jié)點(diǎn)作三個(gè)不共面的矢量，以此三個(gè)矢量為邊作的平行六面體即固體物理學(xué)原胞。固體物理學(xué)原胞的結(jié)點(diǎn)都處在頂角位置上，原胞內(nèi)部及面上都沒有結(jié)點(diǎn)，每個(gè)固體物理學(xué)原胞平均含有一個(gè)結(jié)點(diǎn)。9.結(jié)晶學(xué)原胞答：使三個(gè)基矢的方向盡可能的沿空間對稱軸的方向，以這樣三個(gè)基矢為邊作的平行六面體稱為結(jié)晶學(xué)原胞，結(jié)晶學(xué)原胞反映了晶體的對稱性，它的體積是固體物理學(xué)原胞體積的整數(shù)倍,V=nW，

3、其中n是結(jié)晶學(xué)原胞所包含的結(jié)點(diǎn)數(shù), W是固體物理學(xué)原胞的體積。10.布喇菲原胞答：使三個(gè)基矢的方向盡可能的沿空間對稱軸的方向，以這樣三個(gè)基矢為邊作的平行六面體稱為布喇菲原胞，結(jié)晶學(xué)原胞反映了晶體的對稱性，它的體積是固體物理學(xué)原胞體積的整數(shù)倍,V=nW,其中n是結(jié)晶學(xué)原胞所包含的結(jié)點(diǎn)數(shù), W是固體物理學(xué)原胞的體積11.維格納-賽茲原胞(W-S原胞)答：以某一陣點(diǎn)為原點(diǎn)，原點(diǎn)與其它陣點(diǎn)連線的中垂面(或中垂線) 將空間劃分成各個(gè)區(qū)域。圍繞原點(diǎn)的最小閉合區(qū)域?yàn)榫S格納-賽茲原胞。 一個(gè)維格納-賽茲原胞平均包含一個(gè)結(jié)點(diǎn),其體積等于固體物理學(xué)原胞的體積。12. 簡單晶格答：當(dāng)基元只含一個(gè)原子時(shí)，每個(gè)原子的周

4、圍情況完全相同，格點(diǎn)就代表該原子，這種晶體結(jié)構(gòu)就稱為簡單格子或Bravais格子。13.復(fù)式格子答：當(dāng)基元包含2 個(gè)或2 個(gè)以上的原子時(shí)，各基元中相應(yīng)的原子組成與格點(diǎn)相同的網(wǎng)格，這些格子相互錯(cuò)開一定距離套構(gòu)在一起，這類晶體結(jié)構(gòu)叫做復(fù)式格子。顯然，復(fù)式格子是由若干相同結(jié)構(gòu)的子晶格相互位移套構(gòu)而成。14.晶面指數(shù)答：描寫晶面方位的一組數(shù)稱為晶面指數(shù)。設(shè)基矢，末端分別落在離原點(diǎn)距離為的晶面上，為整數(shù)，d為晶面間距，可以證明必是互質(zhì)的整數(shù)，稱3為晶面指數(shù)，記為。用結(jié)晶學(xué)原胞基矢坐標(biāo)系表示的晶面指數(shù)稱為密勒指數(shù)。15.倒格子(倒易點(diǎn)陣)答：設(shè)布喇菲格子(點(diǎn)陣)的基矢為，由決定的格子(點(diǎn)陣)稱為正格子。滿

5、足下述關(guān)系的稱為倒格子(易點(diǎn)陣)基矢。由,(其中為任意整數(shù))決定的格子稱為倒格子(倒易點(diǎn)陣)。16.布里淵區(qū)答：在倒格空間中，選取一倒格點(diǎn)為原點(diǎn)，原點(diǎn)與其它倒格點(diǎn)連線的垂直平分面的連線所組成的區(qū)域稱為布里淵區(qū)。17.n度旋轉(zhuǎn)對稱軸答：若晶體繞某一固定軸轉(zhuǎn)角度后自身重合，則此軸稱為n度旋轉(zhuǎn)對稱軸。18.4度旋轉(zhuǎn)對稱軸答：若晶體繞某一固定軸轉(zhuǎn)900角度后自身重合，則此軸稱為4度旋轉(zhuǎn)對稱軸。19.6度旋轉(zhuǎn)對稱軸答：若晶體繞某一固定軸轉(zhuǎn)600角度后自身重合，則此軸稱為6度旋轉(zhuǎn)對稱軸。20.3度旋轉(zhuǎn)反演軸答：若晶體繞某一固定軸轉(zhuǎn)角度后，再經(jīng)過中心反演，晶體能自身重合，則此軸稱為3度旋轉(zhuǎn)反演軸。21.2度

6、旋轉(zhuǎn)反演軸答：若晶體繞某一固定軸轉(zhuǎn)角度后，再經(jīng)過中心反演，晶體能自身重合，則此軸稱為3度旋轉(zhuǎn)反演軸。22.n度螺旋軸答：一個(gè)n度螺旋軸表示繞軸每轉(zhuǎn)角度后，在沿該軸的方向平移的L倍，則晶體中的原子和相同的原子重合（L為小于n的整數(shù)為沿軸方向上的周期矢量），則此軸稱為n度螺旋軸。23.晶體的對稱性答：晶體經(jīng)過某種對稱操作能夠自身重合的特性。24.原子散射因子答：原子內(nèi)所有電子的散射波的振幅的幾何和與一個(gè)電子的散射波的振幅之比。25.幾何結(jié)構(gòu)因子答：原胞內(nèi)所有原子的散射波,在所考慮方向上的振幅與一個(gè)電子的散射波的振幅之比。二、簡答題（59道題）1.試述晶態(tài)、非晶態(tài)、準(zhǔn)晶、多晶和單晶的特征性質(zhì)。 答：

7、晶態(tài)固體材料中的原子有規(guī)律的周期性排列，稱為長程有序；非晶態(tài)固體材料中的原子不是長程有序地排列，但在幾個(gè)原子的范圍內(nèi)保持著有序性，或稱為短程有序；準(zhǔn)晶態(tài)是介于晶態(tài)和非晶態(tài)之間的固體材料，其特點(diǎn)是原子有序排列，但不具有平移周期性。 晶體又分為單晶體和多晶體：整塊晶體內(nèi)原子排列的規(guī)律完全一致的晶體稱為單晶體；而多晶體則是由許多取向不同的單晶體顆粒無規(guī)則堆積而成的。2.晶格點(diǎn)陣與實(shí)際晶體有何區(qū)別和聯(lián)系？ 答：晶體點(diǎn)陣是一種數(shù)學(xué)抽象，其中的格點(diǎn)代表基元中某個(gè)原子的位置或基元質(zhì)心的位置，也可以是基元中任意一個(gè)等價(jià)的點(diǎn)。當(dāng)晶格點(diǎn)陣中的格點(diǎn)被具體的基元代替后才形成實(shí)際的晶體結(jié)構(gòu)。晶格點(diǎn)陣與實(shí)際晶體結(jié)構(gòu)的關(guān)系

8、可總結(jié)為：晶格點(diǎn)陣基元實(shí)際晶體結(jié)構(gòu)。3.簡述晶體的特征。答：1）長程有序與周期性2）自限性3）各向異性4.什么是空間點(diǎn)陣?它與晶體結(jié)構(gòu)有什么不同?它能確定一個(gè)晶體結(jié)構(gòu)的什么特性而忽略了晶體結(jié)構(gòu)的什么特性?答：1) 晶體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)可以概括為由一些相同的點(diǎn)子在空間有規(guī)律地做周期性無限分布，這些點(diǎn)子的總體稱為空間點(diǎn)陣。 2) 晶體結(jié)構(gòu)中的點(diǎn)是與原子、分子或其基團(tuán)相對應(yīng)的，空間點(diǎn)陣的點(diǎn)則是和晶體中一族晶面相對應(yīng)的；晶體結(jié)構(gòu)中的點(diǎn)是位于位置空間或坐標(biāo)空間內(nèi)的，其線度量綱為長度，而空間點(diǎn)陣中的點(diǎn)是在倒格空間和傅里葉空間內(nèi)的，其線度量綱為。3) 空間點(diǎn)陣反映了晶體結(jié)構(gòu)的周期性，忽略了晶體結(jié)構(gòu)的具體內(nèi)容。5.

9、 六角密積結(jié)構(gòu)是復(fù)式格子還是簡單格子，平均每個(gè)原胞包含幾個(gè)原子，屬于哪種晶系?答：六角密積結(jié)構(gòu)是復(fù)式格子，平均每個(gè)原胞包含2個(gè)原子，屬于六角晶系。6. 試解釋“基元+點(diǎn)陣=晶格結(jié)構(gòu)”的公式要求說明：1)什么是布喇菲點(diǎn)陣？2)什么是基元？3)點(diǎn)陣和結(jié)構(gòu)間的區(qū)別和聯(lián)系。答：理想的晶體結(jié)構(gòu)是由相同的物理單元放置在布喇菲點(diǎn)陣的陣點(diǎn)上構(gòu)成，這些物理單元稱為基元，它可以是原子、分子或分子團(tuán)，將基元平移布喇菲點(diǎn)陣的所有點(diǎn)陣矢量，就得到晶體結(jié)構(gòu)，這就是“基元點(diǎn)陣晶體結(jié)構(gòu)”的含義，布喇菲點(diǎn)陣是一個(gè)抽象的幾何點(diǎn)的周期列陣，而晶體結(jié)構(gòu)則是一個(gè)物理實(shí)體，當(dāng)基元以相同的方式放置在布喇菲點(diǎn)陣的陣點(diǎn)上時(shí)，才得到晶體結(jié)構(gòu)。7

10、.在結(jié)晶學(xué)中, 晶胞是按晶體的什么特性選取的?答：在結(jié)晶學(xué)中, 晶胞選取的原則是既要考慮晶體結(jié)構(gòu)的周期性又要考慮晶體的宏觀對稱性。8. 什么是布喇菲點(diǎn)陣？按順序?qū)懗鼍wSi、Cu、CsCL、NaCL和ZnS的布喇菲原胞名稱。答：晶體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)可以概括為是由一些相同的格點(diǎn)規(guī)則地做周期性無限重復(fù)排列，喇菲點(diǎn)陣是平移操作所聯(lián)系的諸點(diǎn)的列陣,喇菲點(diǎn)陣是晶體結(jié)構(gòu)周期性的數(shù)學(xué)抽象。 Si：面心立方；Cu：面心立方；CsCL：體心立方；NaCL：面心立方；ZnS：面心立方。9.如圖所示的點(diǎn)陣是布喇菲點(diǎn)陣（格子）嗎？為什么？如果是，指明它屬于那類布喇菲格子？如果不是，請說明這種復(fù)式格子的布喇菲格子屬哪類？答：

11、“面心體心”立方不是布喇菲格子。 從“面心體心”立方體的任一頂角上的格點(diǎn)看，與它最鄰近的有12個(gè)格點(diǎn)；從面心任一點(diǎn)看來，與它最鄰近的也是12個(gè)格點(diǎn)；但是從體心那點(diǎn)來看，與它最鄰近的有6 個(gè)格點(diǎn)，所以頂角、面心的格點(diǎn)與體心的格點(diǎn)所處的幾何環(huán)境不同，即不滿足所有格點(diǎn)完全等價(jià)的條件，因此不是布喇菲格子，而是復(fù)式格子，此復(fù)式格子屬于簡立方布喇菲格子。10. 如圖所示的點(diǎn)陣是布喇菲點(diǎn)陣（格子）嗎？為什么？如果是，指明它屬于那類布喇菲格子？如果不是，請說明這種復(fù)式格子的布喇菲格子屬哪類？答：“邊心”立方不是布喇菲格子。 從“邊心”立方體豎直邊心任一點(diǎn)來看，與它最鄰近的點(diǎn)子有八個(gè)；從“邊心”立方體水平邊心任

12、一點(diǎn)來看，與它最鄰近的點(diǎn)子也有八個(gè)。雖然兩者最鄰近的點(diǎn)數(shù)相同，距離相等，但他們各自具有不同的排列。豎直邊心點(diǎn)的最鄰近的點(diǎn)子處于相互平行、橫放的兩個(gè)平面上，而水平邊心點(diǎn)的最鄰近的點(diǎn)子處于相互平行、豎放的兩個(gè)平面上，顯然這兩種點(diǎn)所處的幾何環(huán)境不同，即不滿足所有格點(diǎn)完全等價(jià)的條件，因此不是布喇菲格子，而是復(fù)式格子，此復(fù)式格子屬于簡立方布喇菲格子。11. 如圖所示的點(diǎn)陣是布喇菲點(diǎn)陣（格子）嗎？為什么？如果是，指明它屬于那類布喇菲格子？如果不是，請說明這種復(fù)式格子的布喇菲格子屬哪類？答: “邊心+體心”立方不是布喇菲格子。從“邊心+ 體心”立方任一頂點(diǎn)來看，與它最鄰近的點(diǎn)子有6 個(gè)；從邊心任一點(diǎn)來看，與

13、它最鄰近的點(diǎn)子有2 個(gè)；從體心點(diǎn)來看，與它最鄰近的點(diǎn)子有12個(gè)。顯然這三種點(diǎn)所處的幾何環(huán)境不同，因而也不是布喇菲格子，而是屬于復(fù)式格子，此復(fù)式格子屬于簡立方布喇菲格子。12. 如圖所示的點(diǎn)陣是布喇菲點(diǎn)陣（格子）嗎？為什么？如果是，指明它屬于那類布喇菲格子？如果不是，請說明這種復(fù)式格子的布喇菲格子屬哪類？答：“面心四方”從“面心四方”任一頂點(diǎn)來看，與它最鄰近的點(diǎn)子有4 個(gè)，次最鄰近點(diǎn)子有 8 個(gè)；從“面心四方”任一面心點(diǎn)來看，與它最鄰近的點(diǎn)子有 4 個(gè)，次最鄰近點(diǎn)子有 8 個(gè)，并且在空間的排列位置與頂點(diǎn)的相同，即所有格點(diǎn)完全等價(jià)，因此“面心四方”格子是布喇菲格子，它屬于體心四方布喇菲格子。 13

14、. 基矢為, , 的晶體為何種結(jié)構(gòu)?為什么? 答：有已知條件, 可計(jì)算出晶體的原胞的體積.由原胞的體積推斷, 晶體結(jié)構(gòu)為體心立方.我們可以構(gòu)造新的矢量, , . 滿足選作基矢的充分條件.可見基矢為 , , 的晶體為體心立方結(jié)構(gòu)。14.金剛石晶體的基元含有幾？其晶胞含有幾個(gè)碳原子？原胞中有幾個(gè)碳原子？是復(fù)式格子還是簡單格子？答：金剛石晶體的基元含有2個(gè)原子，晶胞含有8碳原子，原胞中有2原子,復(fù)式格子.15.寫出金屬mg和GaAs晶體的結(jié)構(gòu)類型。答：六角密堆，金剛石。16.氯化鈉與金剛石型結(jié)構(gòu)是復(fù)式格子還是布拉維格子，各自的基元為何？寫出這兩種結(jié)構(gòu)的原胞與晶胞基矢，設(shè)晶格常數(shù)為a。答：氯化鈉與金剛

15、石型結(jié)構(gòu)都是復(fù)式格子。氯化鈉的基元為一個(gè)Na和一個(gè)Cl-組成的正負(fù)離子對。金剛石的基元是一個(gè)面心立方上的原子和一個(gè)體對角線上的原子組成的原子對。 由于NaCl和金剛石都由面心立方結(jié)構(gòu)套構(gòu)而成，所以，其元胞基矢都為：相應(yīng)的晶胞基矢都為：17.若在面心立方結(jié)構(gòu)的立方體心位置上也有一原子，試確定此結(jié)構(gòu)的原胞，每個(gè)原胞內(nèi)包含幾個(gè)原子，設(shè)立方邊長為a。 答：這種體心立方結(jié)構(gòu)中有五種不同的原子。頂角、體心上的原子是兩種不同的原子，另外，面心上的原子前后、上下、左右的原子兩兩一組，是互不相同的原子。故此種結(jié)構(gòu)共有五種不同的原子，整個(gè)面心立方就是一個(gè)原胞。每個(gè)原胞中的原子數(shù)為：18.底心立方（立方頂角與上、下

16、底心處有原子）、側(cè)心立方（立方頂角與四個(gè)側(cè)面的中心處有原子）與邊心立方（立方頂角與十二條棱的中點(diǎn)有原子）各屬何種布拉維格子？每個(gè)原胞包含幾個(gè)原子？ 答：這三種結(jié)構(gòu)都屬于簡立方結(jié)構(gòu)，原胞包含的原子數(shù)分別為：底心立方：側(cè)心立方：邊心立方: 19.試述晶胞與原胞的區(qū)別是什么?答：原胞是體積的最小重復(fù)單元，它反映的是晶格的周期性，原胞的選取不是唯一的，但是它們的體積都是相等的。結(jié)點(diǎn)在原胞的頂角上。為了同時(shí)反映晶體的對稱性，結(jié)晶學(xué)上所取的重復(fù)單元，體積不一定最小，結(jié)點(diǎn)不僅可以在頂角上，還可以在體心或者面心上，這種重復(fù)單元稱為晶胞。20.以堆積模型計(jì)算由同種原子構(gòu)成的同體積的體心和面心立方晶體中的原子數(shù)之

17、比.答：設(shè)原子的半徑為R, 體心立方晶胞的空間對角線為4R, 晶胞的邊長為, 晶胞的體積為, 一個(gè)晶胞包含兩個(gè)原子, 一個(gè)原子占的體積為,單位體積晶體中的原子數(shù)為; 面心立方晶胞的邊長為, 晶胞的體積為, 一個(gè)晶胞包含四個(gè)原子, 一個(gè)原子占的體積為, 單位體積晶體中的原子數(shù)為. 因此, 同體積的體心和面心立方晶體中的原子數(shù)之比為=0.272.21. 晶面指數(shù)表示的意義是什么?答：1)基矢 被平行的晶面等間距的分割成h1、h2、h3 等份； 2)以為各軸的長度單位所求得的晶面在坐標(biāo)軸上的截距倒數(shù)的互質(zhì)比；3)晶面的法線與基矢夾角的方向余弦的比值。22. 解理面是面指數(shù)低的晶面還是指數(shù)高的晶面？為

18、什么？答：晶體容易沿解理面劈裂，說明平行于解理面的原子層之間的結(jié)合力弱，即平行解理面的原子層的間距大. 因?yàn)槊骈g距大的晶面族的指數(shù)低, 所以解理面是面指數(shù)低的晶面.23.與晶列l(wèi)1l2l3垂直的倒格面的面指數(shù)是什么?答：正格子與倒格子互為倒格子. 正格子晶面(h1h2h3)與倒格式 h1 +h2 +h3 垂直, 則倒格晶面(l1l2l3)與正格矢 h1 + hl2 + h3 正交. 即晶列h1h2h3與倒格面(l1l2l3) 垂直。24.體心立方元素晶體, 111方向上的結(jié)晶學(xué)周期為多大? 實(shí)際周期為多大?答：結(jié)晶學(xué)的晶胞,其基矢為 ,只考慮由格矢 h +k +l構(gòu)成的格點(diǎn). 因此, 體心立方

19、元素晶體111方向上的結(jié)晶學(xué)周期為 , 但實(shí)際周期為 /2。25. 高指數(shù)的晶面族與低指數(shù)的晶面族相比, 對于同級衍射, 哪一晶面族衍射光弱? 為什么?答：對于同級衍射, 高指數(shù)的晶面族衍射光弱, 低指數(shù)的晶面族衍射光強(qiáng). 低指數(shù)的晶面族面間距大, 晶面上的原子密度大, 這樣的晶面對射線的反射(衍射)作用強(qiáng). 相反, 高指數(shù)的晶面族面間距小, 晶面上的原子密度小, 這樣的晶面對射線的反射(衍射)作用弱. 另外, 由布拉格反射公式 ，可知, 面間距 大的晶面, 對應(yīng)一個(gè)小的光的掠射角 . 面間距 小的晶面, 對應(yīng)一個(gè)大的光的掠射角 . 越大, 光的透射能力就越強(qiáng), 反射能力就越弱。26.晶面指數(shù)

20、為（123）的晶面ABC是離原點(diǎn)O最近的晶面，OA、OB和OC分別與基矢、和重合，除O點(diǎn)外,OA、OB和OC上是否有格點(diǎn)？ 若ABC面的指數(shù)為（234），情況又如何？答：晶面族（123）截、和分別為1、2、3等份，ABC面是離原點(diǎn)O最近的晶面，OA的長度等于的長度，OB的長度等于的長度的1/2，OC的長度等于的長度的1/3，所以只有A點(diǎn)是格點(diǎn). 若ABC面的指數(shù)為(234)的晶面族, 則A、B和C都不是格點(diǎn).27.驗(yàn)證晶面（），（）和（012）是否屬于同一晶帶. 若是同一晶帶, 其帶軸方向的晶列指數(shù)是什么?答：若（），（）和（012）屬于同一晶帶, 則由它們構(gòu)成的行列式的值必定為0.可以驗(yàn)證=

21、0,說明(），（）和（012）屬于同一晶帶.晶帶中任兩晶面的交線的方向即是帶軸的方向。 帶軸方向晶列l(wèi)1l2l3的取值為 l1=1, l2=2, l3=1。28.帶軸為001的晶帶各晶面，其面指數(shù)有何特點(diǎn)？答：帶軸為001的晶帶各晶面平行于001方向，即各晶面平行于晶胞坐標(biāo)系的軸或原胞坐標(biāo)系的軸，各晶面的面指數(shù)形為（hk0）或（h1h20）, 即第三個(gè)數(shù)字一定為0。29.與晶列l(wèi)1l2l3垂直的倒格面的面指數(shù)是什么?答：正格子與倒格子互為倒格子. 正格子晶面(h1h2h3)與倒格式h1+h2+h3垂直, 則倒格晶面(l1l2l3)與正格矢l1+ l2+ l3正交. 即晶列l(wèi)1l2l3與倒格面(

22、l1l2l3) 垂直.30.體心立方元素晶體, 111方向上的結(jié)晶學(xué)周期為多大? 實(shí)際周期為多大?答：結(jié)晶學(xué)的晶胞,其基矢為,只考慮由格矢h+k+l構(gòu)成的格點(diǎn). 因此, 體心立方元素晶體111方向上的結(jié)晶學(xué)周期為, 但實(shí)際周期為/2。31.面心立方元素晶體中最小的晶列周期為多大? 該晶列在哪些晶面內(nèi)?答：周期最小的晶列一定在原子面密度最大的晶面內(nèi). 若以密堆積模型, 則原子面密度最大的晶面就是密排面. 由圖1.9可知密勒指數(shù)(111)可以證明原胞坐標(biāo)系中的面指數(shù)也為(111)是一個(gè)密排面晶面族, 最小的晶列周期為. 根據(jù)同族晶面族的性質(zhì), 周期最小的晶列處于111面內(nèi)。32. 面心立方和體心立

23、方晶格中原子線密度最大的是哪個(gè)方向，面密度最大的是哪個(gè)晶面？答：面心立方線密度最大的方向是、，體心立方線密度最大的方向是、；面心立方面密度最大的晶面是，體心立方面密度最大的晶面是。33.倒格子的實(shí)際意義是什么？一種晶體的正格矢和相應(yīng)的倒格矢是否有一一對應(yīng)的關(guān)系？ 答：倒格子的實(shí)際意義是由倒格子組成的空間實(shí)際上是狀態(tài)空間（波矢 K 空間），在晶體的X 射線衍射照片上的斑點(diǎn)實(shí)際上就是倒格子所對應(yīng)的點(diǎn)子。 設(shè)一種晶體的正格基矢為 ，根據(jù)倒格子基矢的定義：式中 是晶格原胞的體積，即 ，由此可以唯一地確定相應(yīng)的倒格子空間。同樣，反過來由倒格矢也可唯一地確定正格矢。所以一種晶體的正格和相應(yīng)的倒格矢有一一對

24、應(yīng)的關(guān)系。34.分別指出簡單立方 體心立方 面心立方倒易點(diǎn)陣類型答：簡單立方 面心立方 體心立方35.簡述倒格矢與正格矢的關(guān)系。答：1）倒格矢與正格矢互為倒格矢；2）倒格原胞與正格原胞的體積比等于；3）倒格矢與正格子晶面族正交；4）倒格矢的模與晶面族的面間距成反比。(1)兩種點(diǎn)陣基矢間滿足以下關(guān)系：(2)兩種點(diǎn)陣位矢的點(diǎn)積是的整數(shù)倍；(3)除因子外，正格子原胞體積與倒格子原胞體積互為倒數(shù)；(4)倒格矢與正格子中晶面族正交，且其長度為。36.倒格點(diǎn)陣與正格點(diǎn)陣間的關(guān)系有哪些?答：1）倒格矢與正格矢互為倒格矢2）倒格原胞與正格原胞的體積比等于（2）33）倒格矢Kh=h1b1+h2b2+h3b3與正

25、格子晶面族（h1h2h3）正交。4）倒格矢Kh的模與晶面族（h1h2h3）的面間距成反比37.一個(gè)物體或體系的對稱性高低如何判斷？有何物理意義？一個(gè)正八面體有哪些對稱操作？ 答：對于一個(gè)物體或體系，我們首先必須對其經(jīng)過測角和投影以后，才可對它的對稱規(guī)律，進(jìn)行分析研究。如果一個(gè)物體或體系含有的對稱操作元素越多，則其對稱性越高；反之，含有的對稱操作元素越少，則其對稱性越低。 晶體的許多宏觀物理性質(zhì)都與物體的對稱性有關(guān)，例如六角對稱的晶體有雙折射現(xiàn)象。而立方晶體，從光學(xué)性質(zhì)來講，是各向同性的。 正八面體中有3 個(gè)4 度軸，其中任意 2 個(gè)位于同一個(gè)面內(nèi)，而另一個(gè)則垂直于這個(gè)面；6 個(gè)2 度軸；6 個(gè)

26、與2 度軸垂直的對稱面；3 個(gè)與4 度軸垂直的對稱面及一個(gè)對稱中心。38.晶體宏觀對稱性的基本對稱操作有哪些？（5分）答：有1、2、3、4和5次旋轉(zhuǎn)對稱軸及4次旋轉(zhuǎn)反演軸，中心反演操作i，鏡面操作m。39. 給出晶體可以獨(dú)立存在的8種對稱元素的名稱和符號。答：8種對稱元素為：(1)1次旋轉(zhuǎn)對稱軸，符號為1（）；(2)2次旋轉(zhuǎn)對稱軸，符號為2（）；(3)3次旋轉(zhuǎn)對稱軸，符號為3（）；(4)4次旋轉(zhuǎn)對稱軸，符號為4（）；(5)6次旋轉(zhuǎn)對稱軸，符號為6（）；(6)1次旋轉(zhuǎn)反演軸，符號為（）；(7)2次旋轉(zhuǎn)反演軸，符號為（m）；(8)4次旋轉(zhuǎn)反演軸，符號為（）。40.按對稱類型分類，布喇菲格子的種類有

27、幾種，晶格結(jié)構(gòu)的點(diǎn)群類型有幾種，空間群有幾種？答：按對稱類型分，有14種布喇菲格子，晶格結(jié)構(gòu)的點(diǎn)群有32種，空間群有230種。41. 三維晶格包括哪七大晶系？并寫出各晶系包含的布喇菲格子。答：七大晶系分別為三斜晶系、單斜晶系、正交晶系、三角晶系、四角晶系、六角晶系和正方晶系。 三斜晶系只包含簡單三斜；單斜晶系包含簡單單斜和底心單斜；正交晶系包含簡單正交、底心正交、體心正交和面心正交；三角晶系只包含三角格子；四角晶系包含簡單四角和體心四角；六角晶系只包含六角格子；立方晶系包含簡單立方、體心立方和面心立方。42.設(shè)有AB型化合物，在某一溫度范圍內(nèi)，具有CsCL結(jié)構(gòu)；在另一溫度范圍內(nèi)，處于中心位置的

28、B原子沿001方向發(fā)生小的位移；在第三溫度范圍內(nèi)，B原子則由中心沿111方向發(fā)生小的位移。試說明三種溫度范圍內(nèi)，該化合物的結(jié)構(gòu)屬于什么晶系，并扼要說明理由。答：當(dāng)具有CsCL結(jié)構(gòu)時(shí)，屬于立方晶系，因?yàn)閍=b=c，；若體心的B原子沿001方向有一微小位移，使晶體軸拉長，則此時(shí)晶體屬于四角晶系，因?yàn)?，；若體心B原子沿111方向發(fā)生一微小位移，即沿立方對角線發(fā)生位移，此時(shí)晶體屬于三角晶系，因?yàn)閍=b=c，。43.二維晶格包括哪幾種晶系？并分別寫出各晶系包含的布喇菲格子。答：二維晶格包含四種晶系，分別為斜方晶系、長方晶系、正方晶系和六角晶系。 斜方晶系只包含簡單斜方；長方晶系包含簡單長方和中心長方；正

29、方晶系只包含簡單正方；六角晶系只包含簡單六角。44.為什么正交晶系有簡單正交、底心正交、體心正交和面心正交四種格子，而四方晶系只有簡單四方和體心四方?jīng)]有底心四方和面心四方格子？答: 因?yàn)樵谒姆骄抵械仔乃姆胶兔嫘乃姆讲皇亲詈唵蔚乃姆礁褡?。底心四方可化為更簡單的簡單四方格子，而面心四方可化為更為簡單的體心四方格子。45.溫度升高時(shí), 衍射角如何變化? X光波長變化時(shí), 衍射角如何變化?答：溫度升高時(shí), 由于熱膨脹, 面間距 逐漸變大. 由布拉格反射公式可知,對應(yīng)同一級衍射, 當(dāng)X光波長不變時(shí), 面間距 逐漸變大, 衍射角 逐漸變小.所以溫度升高, 衍射角變小。當(dāng)溫度不變, X光波長變大時(shí), 對于

30、同一晶面族, 衍射角 隨之變大。46. 在晶體衍射中，為什么不能用可見光？答：晶體中原子間距的數(shù)量級為米，要使原子晶格成為光波的衍射光柵，光波的波長應(yīng)小于米. 但可見光的波長為7.64.0米, 是晶體中原子間距的1000倍. 因此, 在晶體衍射中，不能用可見光.47.高指數(shù)的晶面族與低指數(shù)的晶面族相比, 對于同級衍射, 哪一晶面族衍射光弱? 為什么?答：對于同級衍射, 高指數(shù)的晶面族衍射光弱, 低指數(shù)的晶面族衍射光強(qiáng). 低指數(shù)的晶面族面間距大, 晶面上的原子密度大, 這樣的晶面對射線的反射(衍射)作用強(qiáng). 相反, 高指數(shù)的晶面族面間距小, 晶面上的原子密度小, 這樣的晶面對射線的反射(衍射)作

31、用弱. 另外, 由布拉格反射公式可知, 面間距大的晶面, 對應(yīng)一個(gè)小的光的掠射角. 面間距小的晶面, 對應(yīng)一個(gè)大的光的掠射角. 越大, 光的透射能力就越強(qiáng), 反射能力就越弱.48.面心立方元素晶體, 密勒指數(shù)(100)和(110)面, 原胞坐標(biāo)系中的一級衍射, 分別對應(yīng)晶胞坐標(biāo)系中的幾級衍射? 答：對于面心立方元素晶體, 對應(yīng)密勒指數(shù)(100)的原胞坐標(biāo)系的面指數(shù)可以求得為(), p=1. 由(1.33)式可知, ；且求得; 再由(1.26)和(1.27)兩式可知, n=2n. 即對于面心立方元素晶體, 對應(yīng)密勒指數(shù)(100)晶面族的原胞坐標(biāo)系中的一級衍射, 對應(yīng)晶胞坐標(biāo)系中的二級衍射.對于面

32、心立方元素晶體, 對應(yīng)密勒指數(shù)(110)的原胞坐標(biāo)系的面指數(shù)可由(1.34)式求得為(001), p=2. 由(1.33)式可知, ; 由(1.16)和(1.18)兩式可知, ; 再由(1.26)和(1.27)兩式可知, n=n, 即對于面心立方元素晶體, 對應(yīng)密勒指數(shù)(110)晶面族的原胞坐標(biāo)系中的一級衍射, 對應(yīng)晶胞坐標(biāo)系中的一級衍射.49. 由KCl的衍射強(qiáng)度與衍射面的關(guān)系, 說明KCl的衍射條件與簡立方元素晶體的衍射條件等效。答：Cl 與K是原子序數(shù)相鄰的兩個(gè)元素, 當(dāng)Cl原子俘獲K原子最外層的一個(gè)電子結(jié)合成典型的離子晶體后, 與的最外殼層都為滿殼層, 原子核外的電子數(shù)和殼層數(shù)都相同,

33、 它們的離子散射因子都相同. 因此, 對X光衍射來說, 可把與看成同一種原子. KCl與NaCl結(jié)構(gòu)相同, 因此, 對X光衍射來說, KCl的衍射條件與簡立方元素晶體等效.由KCl的衍射強(qiáng)度與衍射面的關(guān)系也能說明KCl的衍射條件與簡立方元素晶體的衍射條件等效. 一個(gè)KCl晶胞包含4個(gè)離子和4個(gè)離子，它們的坐標(biāo)：（000）（）（）（）：（）（）（）（）由（1.45）式可求得衍射強(qiáng)度Ihkl與衍射面(hkl)的關(guān)系Ihkl=1+cos 由于等于, 所以由上式可得出衍射面指數(shù)全為偶數(shù)時(shí), 衍射強(qiáng)度才極大. 衍射面指數(shù)的平方和: 4, 8, 12, 16, 20, 24. 以上諸式中的n由決定. 如果

34、從X光衍射的角度把KCl看成簡立方元素晶體, 則其晶格常數(shù)為, 布拉格反射公式化為顯然, 衍射面指數(shù)平方和: 1, 2, 3, 4, 5, 6. 這正是簡立方元素晶體的衍射規(guī)律.50. 金剛石和硅、鍺的幾何結(jié)構(gòu)因子有何異同?答：取幾何結(jié)構(gòu)因子的(1.44)表達(dá)式,其中uj,vj,wj是任一個(gè)晶胞內(nèi),第j個(gè)原子的位置矢量在軸上投影的系數(shù). 金剛石和硅、鍺具有相同的結(jié)構(gòu), 盡管它們的大小不相同, 但第j個(gè)原子的位置矢量在軸上投影的系數(shù)相同. 如果認(rèn)為晶胞內(nèi)各個(gè)原子的散射因子都一樣, 則幾何結(jié)構(gòu)因子化為在這種情況下金剛石和硅、鍺的幾何結(jié)構(gòu)因子的求和部分相同. 由于金剛石和硅、鍺原子中的電子數(shù)和分布不

35、同, 幾何結(jié)構(gòu)因子中的原子散射因子不會(huì)相同。 兩者的幾何結(jié)構(gòu)因子相同。由公式可推出，金剛石和硅的每個(gè)原胞內(nèi)包含4個(gè)原子，且其晶體結(jié)構(gòu)相同，由定義，在所考慮的方向上，幾何結(jié)構(gòu)因子(表示原胞中第i個(gè)原子的散射因子) 由上式可得，均與a無關(guān)，所以兩者的幾何結(jié)構(gòu)因子相同。51.(a)列出簡單六角點(diǎn)陣以下點(diǎn)陣平面的等效平面數(shù)目：(100)，(110)，(111)，(001)，(120)，(hkl)。(b) 已知點(diǎn)群為6mmm的六角晶體中一個(gè)晶面的指數(shù)為(121)，試寫出全部與此等效的晶面指數(shù)。答: (a) 等效平面數(shù)目一對，(100)與 (001)。(b)與 晶面的指數(shù) (121) 等效的晶面指數(shù)有、。

36、52. 列出簡單立方點(diǎn)陣中以下各點(diǎn)陣平面的等效面數(shù)目：(001)，(011)，(111)，(210)，(211)，(hkl)。(b)列舉簡單立方點(diǎn)陣中以下各晶向的等效方向數(shù)目；001，011，111，210，211，hkl。答: (a)與(001) 平面的等效面數(shù)目為3個(gè)：(001)、 (100)、 (010)，與(011)， (111)，(210)，(211)平面的等效面數(shù)目分別為3個(gè)、1個(gè)、3個(gè)、3個(gè)。(b) 與001，011，111，210，211 平面的等效面數(shù)目分別為4個(gè)、2個(gè)、1個(gè)、2個(gè)、2個(gè)。53. 比較金剛石結(jié)構(gòu)，閃鋅礦結(jié)構(gòu)的平移群，點(diǎn)群和空間群。答:金剛石結(jié)構(gòu)與閃鋅礦結(jié)構(gòu)的基

37、元均含兩個(gè)原子，閃鋅礦結(jié)構(gòu)與金剛石結(jié)構(gòu)不同之處就是立方體頂角及面心上的碳原子為Zn原子代替，而體對角線上的碳原子為S原子代替。什么是布喇菲點(diǎn)陣? 為什么說布喇菲點(diǎn)陣是晶體結(jié)構(gòu)周期性的數(shù)學(xué)抽象？布喇菲點(diǎn)陣是平移操作所聯(lián)系的諸點(diǎn)的列陣，為了簡單地描述晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)的周期性,常把基元抽象成數(shù)學(xué)上的一點(diǎn)(這點(diǎn)可以是基元是 重心,也可以是任一位置),這個(gè)基元的代表點(diǎn) 稱為格點(diǎn) (或稱結(jié)點(diǎn))，因此布喇菲點(diǎn)陣是晶體結(jié)構(gòu)周期性的數(shù)學(xué)抽象。54. 什么是布喇菲點(diǎn)陣的初級矢量?就下圖的二維布喇菲點(diǎn)陣指出哪組矢量是初基的?哪組是非初基的。點(diǎn)陣矢量，其中，均為整， ，叫做布喇菲點(diǎn)陣的初級矢量，左邊三組矢量是初基的，兩組

38、是非初基的55. 試描述點(diǎn)陣和晶體結(jié)構(gòu)的區(qū)別。答：是空間點(diǎn)陣是抽象出來的,它其中每一個(gè)點(diǎn)都是代表實(shí)際很多東西,可以是原子,可以是分子,也可以是離子.晶體結(jié)構(gòu)是實(shí)際中真正存在的。56.為什么金剛石格子不是布喇菲點(diǎn)陣？為什么氯化鈉格子也不是布喇菲點(diǎn)陣？它們是什么樣的點(diǎn)陣?最小基元是什么？答：金剛石格子布喇菲晶格是面心立方格子，是復(fù)式格子，把0和（a/4）l兩碳原子作為基元，氯化鈉格子布喇菲晶格是面心立方格子，基元含兩個(gè)離子。57. 為什么正交晶系有四種布喇菲點(diǎn)陣：簡單正交，底心正交，面心正交和體心正交，但四角晶系只有簡單四角和體心四角兩種布喇菲點(diǎn)陣？答：正交晶系特點(diǎn)是沒有高次對稱軸，二次對稱軸和對

39、稱面總和不少于三個(gè)。晶體以這三個(gè)互相垂直的二次軸或?qū)ΨQ面法線為結(jié)晶軸。=90o；abc。故正交晶系有四種布喇菲點(diǎn)陣：簡單正交，底心正交，面心正交和體心正交假設(shè)存在面心立方，則可將其晶胞分割成體心四方的晶胞假設(shè)存在底心立方，則可將其晶胞分割成簡單四方的晶胞而簡單四方和體心四方的晶胞不能相互轉(zhuǎn)化，因此四方晶系中只有簡單四方和體心四方兩種點(diǎn)陣類型58. 從二維平面點(diǎn)陣作圖說明點(diǎn)陣不可能有七重旋轉(zhuǎn)對稱軸。解： 故點(diǎn)陣不可能有七重旋轉(zhuǎn)對稱軸59. 試討論金剛石結(jié)構(gòu)晶體的消光法則。解金剛石結(jié)構(gòu)的布喇菲點(diǎn)陣是面心立方，基元包含兩個(gè)原于，位于若把金剛石結(jié)構(gòu)的立方慣用晶胞中的8個(gè)原子選作基元，相應(yīng)地，金剛石結(jié)構(gòu)

40、可用帶基元的簡單立方點(diǎn)陣來描寫這8個(gè)原于的坐標(biāo)是：(000)、()、()、()、()、()、()、()。把這8個(gè)原子的坐標(biāo)代入結(jié)構(gòu)因子的表達(dá)式利用，計(jì)算得金剛石結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)因子為 經(jīng)整理后得其中正是在面心立方陣點(diǎn)上所放置的基元(000) ()的結(jié)構(gòu)因子。則正是面心立方點(diǎn)陣慣用晶胞中4個(gè)原子的幾何結(jié)構(gòu)因子（原子形狀因子為所代替）。由上結(jié)果可見，由于放置在面心立方點(diǎn)陣的陣點(diǎn)上的不再是 形狀因子為的同種原子，而是一個(gè)結(jié)構(gòu)因子為的基元，用這個(gè)基元的結(jié)構(gòu)因子代替原子的形狀因子就得到金剛石結(jié)構(gòu)立方慣用晶胞8個(gè)原子的結(jié)構(gòu)因子?，F(xiàn)將以上結(jié)果討論如下：當(dāng)全為偶數(shù)，且（n為整數(shù)），故。當(dāng)全為偶數(shù)，且（n為整數(shù)），故

41、。當(dāng)全為奇數(shù)，且，故。當(dāng)部分為偶數(shù)，部分為奇數(shù)時(shí)，故。所以，金剛石結(jié)構(gòu)允許的反射是所有指數(shù)均為偶數(shù)且，或者全為奇數(shù)可以看到，由于金剛石結(jié)構(gòu)放置在fcc點(diǎn)陣陣點(diǎn)上的不再是同種原子，而是一個(gè)由兩個(gè)原子組成的基元，此基元中兩個(gè)原子的散射波相互干涉的結(jié)果使fcc點(diǎn)陣所允許的反射又有一部分消失三、畫圖題（20道題）1.以二維有心長方晶格為例，畫出固體物理學(xué)原胞、結(jié)晶學(xué)原胞，并說出它們各自的特點(diǎn)。解：以下給出了了二維有心長方晶格示意圖： 由上圖，我們可給出其固體物理學(xué)原胞如下圖（a）所示，結(jié)晶學(xué)原胞如下圖（b）所示： 從上圖（a ）和（b ）可以看出，在固體物理學(xué)原胞中，只能在頂點(diǎn)上存在結(jié)點(diǎn)，而在結(jié)晶學(xué)原

42、胞中，既可在頂點(diǎn)上存在結(jié)點(diǎn)，也可在面心位置上存在結(jié)點(diǎn)。2. 在一個(gè)晶胞中分別畫出面心立方晶體的原胞。解：3. 在一個(gè)晶胞中分別畫出體心立方晶體的原胞。解：4.在一個(gè)晶胞中畫出金剛石的原胞。解：5.試?yán)L圖表示NaCl晶體的結(jié)晶學(xué)原胞、布拉菲原胞、基元和固體物理學(xué)原胞。解：結(jié)晶學(xué)原胞 布拉菲原胞 物理學(xué)原胞 基元6.試畫出體心立方的（100），（110 ）和（111）面上的格點(diǎn)分布。解：體心立方（100），（110 ）和（111）面上的格點(diǎn)分布為： 體心立方（100）面 體心立方（110）面 體心立方（111）面7. 試畫出面心立方的（100），（110 ）和（111）面上的格點(diǎn)分布。 解：面心立

43、方（100），（110 ）和（111）面上的格點(diǎn)分布為：面心立方（100）面 面心立方（110）面 面心立方（111）面8.在立方晶胞中，畫出（100）、（111）和（210）晶面。解：9.在立方晶胞中，畫出（）和（）晶面。解：OO10.在立方晶胞中，畫出（001）、（110）和（120）晶面。解： 11. 在立方晶胞中，畫出（）和（）晶面。解： 12. 畫出立方晶系中的下列晶向和晶面：001，210，（100），（110），（111）。13. 畫出邊長為a的二維正方形正格子的倒格子和前三個(gè)布里淵區(qū)。解: 正方格子的倒格子仍是正方格子。首先根據(jù)正格子原胞基矢計(jì)算倒格子原胞基矢（略），根據(jù)倒格子

44、原胞基矢畫出倒格子點(diǎn)陣，然后畫出前三個(gè)布里淵區(qū)。14. 試畫出二維長方格子的第一和第二布里淵區(qū)。、15.圖示并寫出立方晶格（111）面與（100）面的交線的晶向。16.畫出sc的（100），（110），（111），（121），（231）晶面。17.畫出面心立方晶格的單元結(jié)構(gòu)，并用陰影表示出（100）晶面，畫出該晶面上原子分布。解： 18.畫圖作出二維簡單六方晶格的前三個(gè)布里淵區(qū)。解：六角格子的倒格子仍是六角格子。19.畫出立方晶格（111）面、（100）面、（110）面，并指出（111）面與（100）面、（111）面與（110）面的交線的晶向。解： 1）(111)面與(100)面的交線的AB，

45、AB平移，A與O點(diǎn)重合，B點(diǎn)位矢：， (111)面與(100)面的交線的晶向，晶向指數(shù)。2） (111)面與(110)面的交線的AB，將AB平移，A與原點(diǎn)O重合，B點(diǎn)位矢：，(111)面與(110)面的交線的晶向，晶向指數(shù)。20. 二維布拉維點(diǎn)陣只有5種，試列舉并畫圖表示之。解：二維布拉維點(diǎn)陣只有五種類型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分別如圖所示：正方a=bab=90六方a=bab=120矩形abab=90帶心矩形a=bab=90平行四邊形abab90 四、證明題(共39道題)1.證明：用半徑不同的兩種硬球構(gòu)成下列穩(wěn)定結(jié)構(gòu)時(shí)小球半徑和大球半徑之比值分別為(1)體心立方（配位數(shù)為）：；(2

46、)簡單立方（配位數(shù)為）：。證明：半徑相同的原子才可能構(gòu)成密積結(jié)構(gòu)，配位數(shù)等于12。如原子球半徑不等，就不可能形成密積結(jié)構(gòu)，配位數(shù)必低于12。(1)體心立方設(shè)小球位于立方體中心，大球位于立方體頂角，立方體的邊長a=2R，空間對角線長為。當(dāng)小球恰與大球相切時(shí)，將形成穩(wěn)定的體心立方結(jié)構(gòu)。此時(shí)，小球的半徑2r=r=()R=0.73R因此，對于體心立方，1r/R0.73若r/Rr/R0.41。當(dāng)r/Rr/R0.23若r/Rr/R0.23(2)層狀結(jié)構(gòu)在層狀結(jié)構(gòu)中，當(dāng)半徑為R的三個(gè)大球A、B、C彼此相切，而間隙中又共同外切一半徑為r的小球時(shí)，結(jié)構(gòu)最穩(wěn)定。所以因此，對于層狀結(jié)構(gòu)，0.23r/R0.16。3.

47、如果將等體積球分別排成下列結(jié)構(gòu)，設(shè)x表示鋼球所占體積與總體積之比，證明：1）簡單立方的x=；2）體心立方的x=；3）面心立方的x=。證明：實(shí)驗(yàn)表明，很多元素的原子或離子都具有或接近于球形對稱結(jié)構(gòu)。因此，可以把這些原子或離子構(gòu)成的晶體看作是很多剛性球緊密堆積而成。這樣，一個(gè)單原子的晶體原胞就可以看作是相同的小球按點(diǎn)陣排列堆積起來的。它的空間利用率就是這個(gè)晶體原胞所包含的點(diǎn)的數(shù)目n和小球體積V所得到的小球總體積nV與晶體原胞體積Vc之比，即：晶體原胞的空間利用率， 1）對于簡立方結(jié)構(gòu)： a=2r， V=，Vc=a3，n=12）對于體心立方：晶胞的體對角線BG=n=2, Vc=a33）對于面心立方：

48、晶胞面對角線BC=n=4，Vc=a34.如果將等體積球分別排成下列結(jié)構(gòu)，設(shè)x表示鋼球所占體積與總體積之比，證明：1）六角密排的x=；2）金剛石的x=證明：實(shí)驗(yàn)表明，很多元素的原子或離子都具有或接近于球形對稱結(jié)構(gòu)。因此，可以把這些原子或離子構(gòu)成的晶體看作是很多剛性球緊密堆積而成。這樣，一個(gè)單原子的晶體原胞就可以看作是相同的小球按點(diǎn)陣排列堆積起來的。它的空間利用率就是這個(gè)晶體原胞所包含的點(diǎn)的數(shù)目n和小球體積V所得到的小球總體積nV與晶體原胞體積Vc之比，即：晶體原胞的空間利用率， 1）對于六角密排：a=2r晶胞面積：S=6=晶胞的體積：V=n=12=6個(gè) 2）對于金剛石結(jié)構(gòu)，晶胞的體對角線BG=

49、n=8, Vc=a35. 證明立方晶系的晶列hkl與晶面族(hkl)正交。證明：設(shè)晶面族(hkl)的面間距為d，法向單位矢為。按照密勒指數(shù)的意義，在立方晶系中，的方向余弦可寫成 , , 因此式中，分別為三個(gè)坐標(biāo)的單位方向矢量。晶列hkl的方向矢量為對比(1)、(2)兩式，顯然有即所以，晶列hkl垂直于晶面族(hkl)。6.證明在立方晶系中，面指數(shù)為和的兩個(gè)晶面之間的夾角滿足： 證明：在立方晶系中，如用a表示晶格常數(shù)，代表晶面族法向單位矢，為面間距，則有同樣，如晶格中另一晶面族的面間距為，這組晶面的法向單位矢為兩晶面族的夾角就是它們法向矢量的夾角，即由于立方晶系的面間距因此7. 若與平行, 是否

50、是的整數(shù)倍? 以體心立方結(jié)構(gòu)證明之。證明：若與平行, 一定是的整數(shù)倍. 對體心立方結(jié)構(gòu),可知, ,=h+k+l=(k+l)(l+h)(h+k)=p=p(l1+l2+l3), 其中p是(k+l)、(l+h)和(h+k)的公約(整)數(shù)。8. 若與平行, 是否是的整數(shù)倍? 以面心立方結(jié)構(gòu)證明之。證明：對于面心立方結(jié)構(gòu),可知, , , ,=h+k+l=(-h+k+l)+(h-k+l)+(h+k-l)=p= p(l1+l2+l3),其中p是(-h+k+l)、(-k+h+l)和(h-k+l)的公約(整)數(shù)。9.證明點(diǎn)陣平面上的陣點(diǎn)密度（單位面積上的陣點(diǎn)數(shù)），這里是初基晶胞的體積，d是該點(diǎn)陣平面所屬的平面族

51、中相鄰兩點(diǎn)陣平面之間的距離。證明：考慮晶體點(diǎn)陣中相鄰二平行點(diǎn)陣平面所構(gòu)成的平行六面體，如圖211所示設(shè)該平行六面體中包含n個(gè)陣點(diǎn)，它的體積為或?qū)憺槠渲蠥是所考慮的平行六面體底面的面積，d是它的高由以上二式得于是點(diǎn)陣平面上的密度為10.證明在二維格子中，倒格子原胞的面積與正格子原胞的面積互為倒數(shù)。證明：以表示正格子的基矢，正格子原胞的面積為式中，為間的夾角如表示垂直于所在平面的單位矢量，表示倒格子基矢，則二維倒格子基矢可寫成因而利用矢量乘積公式得到所以因?yàn)榇肷鲜降靡蚨垢褡釉拿娣e等于比較(1)、(2)兩式，即得11.證明三角布喇菲格子的倒格子仍為三角布喇菲格子，并且倒格子基矢間的夾角和基矢

52、長度分別滿足式中，和分別為正格子基矢的長度和基矢間的夾角。按照倒格子基矢的定義 (1)式中為正格子基矢。對于三角布喇菲格子，基矢的長度為，基矢間的夾角。從(1)式容易看出，倒格子基矢長度必為。應(yīng)用(1)式， (2) (3)式中表示倒格子基矢和間的夾角。把(3)式代入(2)式得到 (4)其中使用了三角轉(zhuǎn)換公式。輪換(4)式中各量的下標(biāo)，容易得到。結(jié)合前述結(jié)論，可見三角布喇菲格子的倒格子仍為三角布喇菲格子。其次，設(shè)基矢和所在晶面的法向單位矢為，它與基矢的夾角為。在圖中，過O點(diǎn)做，連接PQ，并過P點(diǎn)做。在中根據(jù)余弦定理，線段和的夾角的余弦從的幾何關(guān)系可得即 (5)(5)式中最后一個(gè)等式已使用式(4)進(jìn)行化簡。于是，三角布喇菲原胞的體積 (6)把(6)式代入式(3)并將等式兩邊開平方即得12.證明對于簡單單斜晶系，面間距d(hkl)為 證明：單斜點(diǎn)陣慣用晶腦的幾何特征是 初基晶胞的體積為(hkl)平面族的面間距為要計(jì)算d(hkl)，除了計(jì)算各倒易點(diǎn)陣基矢的長度外，還要求出它們之