平面任意力系 簡(jiǎn)化與平衡

1、力系中各力的作用線在同一平面內(nèi)，既不完全力系中各力的作用線在同一平面內(nèi)，既不完全交于一點(diǎn)也不完全相互平行分布交于一點(diǎn)也不完全相互平行分布平面任意力系：平面任意力系：本章討論平面任意力系的簡(jiǎn)化（合成）與平衡問題本章討論平面任意力系的簡(jiǎn)化（合成）與平衡問題平面任意力系實(shí)例平面任意力系實(shí)例FBAdFFFBdAFMBA BMFdMF第一節(jié)第一節(jié) 平面任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化平面任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化 作用于剛體上的力可等效地平移至任一指定點(diǎn)，但必須附加一力作用于剛體上的力可等效地平移至任一指定點(diǎn)，但必須附加一力一、力的平移定理一、力的平移定理偶，附加力偶的矩就等于原力對(duì)指定點(diǎn)的矩偶，附加力偶的矩就等于原力對(duì)

2、指定點(diǎn)的矩反之：同一平面內(nèi)的一個(gè)力和一個(gè)力偶可以合成為一個(gè)力反之：同一平面內(nèi)的一個(gè)力和一個(gè)力偶可以合成為一個(gè)力 FF2FnF1F3FOO二、平面任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化二、平面任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化 ORFOM1F2FnF1M2MnM11OMMF22OMMFOnnMMF11FF22FFnnFF3F3M33OMMF33FFO1F2FnF11FF22FFnnFF3F33FFO1M2MnM11OMMF22OMMFOnnMMF3M33OMMFORFOOMRiiFFF OiOiMMMF2FnF1F3FOO平面任意力系向其作用面內(nèi)任一點(diǎn)平面任意力系向其作用面內(nèi)任一點(diǎn) O 簡(jiǎn)化，結(jié)果一般為一個(gè)力和簡(jiǎn)化，結(jié)果一般為

3、一個(gè)力和一個(gè)力偶。一個(gè)力偶。矢；矢；稱為原力系的主矩。稱為原力系的主矩。RiFF 主矢：主矢： 主矩：主矩： OOiMMF2）主矩與簡(jiǎn)化中心的選擇有關(guān)）主矩與簡(jiǎn)化中心的選擇有關(guān)說明：說明：1）主矢與簡(jiǎn)化中心的選擇無關(guān)）主矢與簡(jiǎn)化中心的選擇無關(guān)ORFOM1F2FnF1M2MnM11OMMF22OMMFOnnMMF該力矢等于原力系中各力的矢量和，稱為原力系的主該力矢等于原力系中各力的矢量和，稱為原力系的主該力偶的矩等于原力系中各力對(duì)簡(jiǎn)化中心該力偶的矩等于原力系中各力對(duì)簡(jiǎn)化中心 O 的矩的代數(shù)和，的矩的代數(shù)和，11FF22FFnnFF3F3M33OMMF33FFyxO1O2F2F1F4F3例 如圖中

4、所示一個(gè)平面任意力系，其中F1=F， F2=22F，F(xiàn)3=2F，F(xiàn)4=3F，圖中每格距離為，圖中每格距離為a，求：1）力系分別向O1和O2的簡(jiǎn)化結(jié)果。三、平面任意力系簡(jiǎn)化結(jié)果的討論三、平面任意力系簡(jiǎn)化結(jié)果的討論 R0F 1）但但 MO 0 ：原力系合成為一個(gè)合力偶原力系合成為一個(gè)合力偶2FnF1F3FOOMRF三、平面任意力系簡(jiǎn)化結(jié)果的討論三、平面任意力系簡(jiǎn)化結(jié)果的討論 ORFR0F 2）但但 MO = 0 ：的合力的合力原力系合成為一個(gè)作用線通過簡(jiǎn)化中心原力系合成為一個(gè)作用線通過簡(jiǎn)化中心 OOM2FnF1F3F3）R0F 且且 MO 0 ：O 的合力的合力原力系合成為一個(gè)作用線不通過簡(jiǎn)化中心

5、原力系合成為一個(gè)作用線不通過簡(jiǎn)化中心ORFRFRFRFMdOd三、平面任意力系簡(jiǎn)化結(jié)果的討論三、平面任意力系簡(jiǎn)化結(jié)果的討論 2FnF1F3FOOMRF三、平面任意力系簡(jiǎn)化結(jié)果的討論三、平面任意力系簡(jiǎn)化結(jié)果的討論 R0F 4）且且 MO = 0 yxO1O2F2F1F4F3補(bǔ)充例1 如圖中所示一個(gè)平面任意力系，其中F1=F， F2=22F，F(xiàn)3=2F，F(xiàn)4=3F，圖中每格距離為，圖中每格距離為a，求：1）力系分別向O1和O2的簡(jiǎn)化結(jié)果；2）力系簡(jiǎn)化的最終結(jié)果。yxO1O2FR補(bǔ)充例2 在正方形木板上作用三個(gè)大小均為F的力，此三力首尾連接構(gòu)成一邊長(zhǎng)為a的等邊三角形， 求此力系合力。1F2F3FAB

6、CMlqAB2. 分布載荷的合成結(jié)果分布載荷的合成結(jié)果四、若干重要結(jié)論四、若干重要結(jié)論1. 平面固定端的約束力平面固定端的約束力平面固定端的約束力可表達(dá)為一對(duì)正交約束力和一個(gè)約束力偶平面固定端的約束力可表達(dá)為一對(duì)正交約束力和一個(gè)約束力偶qqlF/2llqAB2 /3l/2qqlFAAxFAyFAMAAMAF均布載荷均布載荷線性分布載荷線性分布載荷三、平面任意力系簡(jiǎn)化結(jié)果的討論三、平面任意力系簡(jiǎn)化結(jié)果的討論 RiiFFF OiOiMMMFR0F R0F 4）且且0OM0OMRxixixFFFRyiyiyFFF0ixF 0iyF 0OiMF第二節(jié)第二節(jié) 平面任意力系的平衡方程平面任意力系的平衡方程

7、 一、平面任意力系的平衡方程一、平面任意力系的平衡方程 1. 基本形式基本形式0ixF 0iyF 0OiMF1）可解）可解 3 個(gè)未知量個(gè)未知量說明：說明：兩投影一矩式兩投影一矩式 2）投影軸與矩心位置均可任意選擇）投影軸與矩心位置均可任意選擇0ixF 0BiMF2. 一投影兩矩式一投影兩矩式 0AiMF其中，其中，A、B 兩點(diǎn)連線不垂直于兩點(diǎn)連線不垂直于 x 軸軸0CiMF3. 三矩式三矩式0BiMF其中，其中，A、B、C 三點(diǎn)不共線三點(diǎn)不共線0AiMF二、平面平行力系的平衡方程二、平面平行力系的平衡方程nFxyiF2F1FO1. 基本形式基本形式0iyF 0OiMF2. 兩矩式兩矩式0Bi

8、MF0AiMF其中，其中，A、B 兩點(diǎn)連線不平行于兩點(diǎn)連線不平行于 y 軸軸1）可解）可解 2 個(gè)未知量個(gè)未知量說明：說明：2）矩心位置可任意選擇）矩心位置可任意選擇一投影一矩式一投影一矩式 BAqMFAyFAxFAM例例2 如圖，懸臂梁如圖，懸臂梁 AB 上作用有矩為上作用有矩為 M 的力偶和集度為的力偶和集度為 q 的均的均布載荷，在梁的自由端還受一集中力布載荷，在梁的自由端還受一集中力 F 的作用，梁長(zhǎng)為的作用，梁長(zhǎng)為 l ，試求，試求固定端固定端 A 處的約束力。處的約束力。 解：解：2）受力分析）受力分析BqlAMFa1）選取梁）選取梁 AB 為研究對(duì)象為研究對(duì)象3）選取坐標(biāo)軸，列平

9、衡方程）選取坐標(biāo)軸，列平衡方程0,ixF0,i yF()0,AiMF4）求解未知量）求解未知量0AxFAyFqlF22AqlMFlMBqlAMFaBAqMFAyFAxFAMqlxyO0AxF0AyFqlF02AlMqlFlM解得固定端解得固定端 A 處的約束力處的約束力BCA例例3 外伸梁外伸梁 AB 如圖所示，沿全長(zhǎng)有均布載荷如圖所示，沿全長(zhǎng)有均布載荷 q = 8 kN/m 作用，兩作用，兩支座中間有一集中力支座中間有一集中力 F = 8 kN 作用。已知作用。已知 a = 1 m ，若不計(jì)梁自重，若不計(jì)梁自重，試求鉸支座試求鉸支座 C、B 的約束力。的約束力。解：解：1）選?。┻x取外伸梁外

10、伸梁 AB 為研究對(duì)象為研究對(duì)象2）受力分析）受力分析CFqFBF3）選取坐標(biāo)軸，列平衡方程）選取坐標(biāo)軸，列平衡方程y()0,CiMF0,iyF2302BaFaF aqa30CBFFqaF4）求解未知量）求解未知量解得解得鉸支座鉸支座 C、B 的約束力的約束力分別為分別為10kNBF 22kNCF 3qaaqFaaCBAAB解：解：例例2-4 如圖，重如圖，重 P = 5 kN 的電動(dòng)機(jī)放在水平梁的電動(dòng)機(jī)放在水平梁 AB 的中央，梁的的中央，梁的 A 端受固定鉸支座的約束，端受固定鉸支座的約束，B 端以撐桿端以撐桿BC 支持。若不計(jì)梁與撐桿自重，支持。若不計(jì)梁與撐桿自重，試求鉸支座試求鉸支座

11、A 處的約束力以及撐桿處的約束力以及撐桿 BC 所受的力。所受的力。Pl/2lBAC30PAFBCFD2）受力分析）受力分析1）選?。┻x取 AB 梁梁（包括電動(dòng)機(jī)）（包括電動(dòng)機(jī)）為研究對(duì)象為研究對(duì)象ABPAFBCFD300,iyF 0,ixF 4）求解未知量）求解未知量5kNBCF解得解得FBC 為正值，表示其假設(shè)方向與實(shí)際方向相同，即桿為正值，表示其假設(shè)方向與實(shí)際方向相同，即桿 BC 受壓；受壓；而而 FA 為負(fù)值，則表明其假設(shè)方向與實(shí)際方向相反。為負(fù)值，則表明其假設(shè)方向與實(shí)際方向相反。3）選）選取坐標(biāo)取坐標(biāo)軸軸，列平衡方程列平衡方程yxcos30cos300ABCFFsin30sin300

12、ABCFFP5kNAF AB解：解：例例2-4 如圖，重如圖，重 P = 5 kN 的電動(dòng)機(jī)放在水平梁的電動(dòng)機(jī)放在水平梁 AB 的中央，梁的的中央，梁的 A 端受固定鉸支座的約束，端受固定鉸支座的約束，B 端以撐桿端以撐桿BC 支持。若不計(jì)梁與撐桿自重，支持。若不計(jì)梁與撐桿自重，試求鉸支座試求鉸支座 A 處的約束力以及撐桿處的約束力以及撐桿 BC 所受的力。所受的力。Pl/2lBAC30PBCF2）受力分析）受力分析1）選?。┻x取 AB 梁梁（包括電動(dòng)機(jī)）（包括電動(dòng)機(jī)）為研究對(duì)象為研究對(duì)象AxFAyF0,iyF 0,ixF 4）求解未知量）求解未知量5kNBCF解得解得3）選）選取坐標(biāo)取坐標(biāo)軸

13、軸，列平衡方程列平衡方程yxcos300AxBCFFsin300AyBCFFP5 3kN2AxF ABPBCFAxFAyF0,AMsin3002BCABFABP5kN2AyFDADB例例4 一重一重 P = 1.8 kN 的物塊懸掛在圖示構(gòu)架上。已知的物塊懸掛在圖示構(gòu)架上。已知 = 45，若，若不計(jì)構(gòu)架自重，試求支座不計(jì)構(gòu)架自重，試求支座 A 處的約束力以及桿處的約束力以及桿 BC 所受的力。所受的力。 解：解：2）受力分析）受力分析PAxFAyFBFTFrBADCP1m2m3m1）選取滑輪、桿）選取滑輪、桿 AB 與物塊組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象與物塊組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象ADBPAxFAyFBFT

14、F1m2m3m()0,AiMFTsin456310BFPF ()0,BiMFT6310AyFPF 0,ixFTcos450AxBFFF4）求解未知量）求解未知量2.4 kNAxF1.2 kNAyF0.85 kNBF 桿桿 BC 所受的力與所受的力與 FB 是作用力與反作用力的關(guān)系，即桿是作用力與反作用力的關(guān)系，即桿 BC 所受的所受的力為力為 0.85 kN，是拉力，是拉力3）選取坐標(biāo)軸，列平衡方程）選取坐標(biāo)軸，列平衡方程xy解得解得AB302m3m2m3m45BMA123F30例例5 橫梁橫梁 AB 用三根桿支撐，受圖示載荷。已知用三根桿支撐，受圖示載荷。已知 F = 10 kN， M =

15、50 kNm，若不計(jì)構(gòu)件自重，試求三桿，若不計(jì)構(gòu)件自重，試求三桿 所受的力。所受的力。 FM451F2F3F解：解：2）受力分析）受力分析1）選取橫梁）選取橫梁 AB 為研究對(duì)象為研究對(duì)象xy3）選取坐標(biāo)軸，列平衡方程）選取坐標(biāo)軸，列平衡方程()0,CiMF37sin302cos3050FFFM 0,ixF2cos45sin300FF0,iyF123sin45cos300FFFF4）求解未知量）求解未知量解得三桿所受的力分別為解得三桿所受的力分別為1()5.33kNF 壓2()7.07 kNF 拉3()8.33kNF 壓說明：說明：F30M45ABCD1F2F3F還可利用平衡方程還可利用平衡方

16、程MD ( Fi ) = 0 校核上述計(jì)算結(jié)果校核上述計(jì)算結(jié)果例例6 圖示塔式起重機(jī)，已知機(jī)架自重為圖示塔式起重機(jī)，已知機(jī)架自重為 G，作用線距右軌，作用線距右軌 B為為 e ；滿載時(shí)荷重為滿載時(shí)荷重為 P ，距右軌，距右軌 B 為為 l ；平衡塊重為；平衡塊重為 W ，距左軌，距左軌 A 為為 a ；軌道軌道 A、B 的間距為的間距為 b 。要保證起重機(jī)在空載和滿載時(shí)都不翻倒，試。要保證起重機(jī)在空載和滿載時(shí)都不翻倒，試問平衡塊重問平衡塊重 W 應(yīng)為多少？應(yīng)為多少？解：解：1）確定空載時(shí)平衡塊的重量）確定空載時(shí)平衡塊的重量當(dāng)空載時(shí)，當(dāng)空載時(shí)，P = 0。為使起重機(jī)不。為使起重機(jī)不繞點(diǎn)繞點(diǎn) A 翻倒，必須滿足翻倒，必須滿足FB 0()0,AiMF0BFbG ebW a 解得解得1BFG ebW ab列平衡方程列平衡方程 BFeGCalPWABb選取起重機(jī)整體為研究對(duì)象選取起重機(jī)整體為研究對(duì)象受力分析受力分析AF WG eba0,iBMF0AFb W abG eP l 解得解得1AFW abG eP lb 將其代入條件將其代入條件 FB 0，即，即得空載時(shí)平衡塊的重量應(yīng)滿足得空載時(shí)平衡塊的重量應(yīng)滿足2