向量組的秩-例題選講

1、1 = 0 0 , 2l 設有設有n維向量組成的向量組維向量組成的向量組: 1, 2, m(1)包含包含0向量向量線性相關線性相關(2)包含成比例的向量包含成比例的向量線性相關線性相關.(3)線性相關線性相關存在一個向量可由其余的存在一個向量可由其余的 向量線性表示向量線性表示.(4)線性無關線性無關任何向量都不能由其余的任何向量都不能由其余的 向量線性表示向量線性表示.(m 2)增加增加( (減少減少) )個數不改變相個數不改變相( (無無) )關性關性. .(5)(6)增加增加( (減少減少) )維數不改變無維數不改變無( (相相) )關性關性. .3(7) 向量組向量組 1, 2, m線

2、性相關性線性相關性x1 1+x2 2+xm m=0有非零解有非零解齊次線性方程組齊次線性方程組AX=0有非零解有非零解其中其中A=( 1 2 m), X=(x1,x2,xm)T(8)設有設有n個個n維向量維向量 1, 2, nu 1, 2, n線性相關線性相關| 1 2 n|=0u 1, 2, n線性無關線性無關| 1 2 n| 0(9) Rn中中 n+1個向量一定線性相關個向量一定線性相關(10)矩陣判別法矩陣判別法.45設設S S是是n維向量構成的向量組維向量構成的向量組, ,在在S S中中選取選取r個向量個向量 , ,如果滿足如果滿足r ,21,r 12(1) (1) 線性無關線性無關

3、, 12r(2)(2)任取任取 S S,總有總有 線性相關線性相關. .r ,21則稱向量組則稱向量組 為向量組為向量組S S的一個的一個( (簡稱簡稱).).r 記為記為r 或或= r6 1 = (1, 1, 1)T, 2 =(2,1, 0)T, 3 =(3,2,1)T 1 , 2 1 , 2, 1 , 3 2 , 3. . 1, 2 , 3 =2. 3 = 1+ 27 n 1, 2, m 1, 2, m , 1, 2, m 1, 2, m, 存在不全為零的數存在不全為零的數k1,k2,km,l 11220mmkkkll 08如果如果 l =0k1, k2,km 1, 2, , m l 0

4、11220mmkkk 1212mmkkklll 1, 2, , m9假若假若 有兩種表示法有兩種表示法, ,設設 1122mmkkk 1122mmlll()()() 1112220mmmklklkl 1, 2, m (1,2,)iiklim 1, 2, m 10n(I)(II)(I)(II).(I)(II)(I)(II).,;12(I) r,12(II) s12()s 11121212221212()ssrrrrskkkkkkkkk n;,(I)21r .,(II)21s rrssssrrrrkkkkkkkkk 22112222112212211111(, , ;, , )1 21 2ijk

5、ir js , ,rsK, , Bns =Anr r sK(II)(I)(I)12,rrm 121(I),r 12(II),(I)131101000rrmii (II)(I) i ( i = 1,2,r) (II)1 1, 2 , mr+1(I)(II) j (I)(I) j=1,r, j 1, 2 , r j=r+1,m, 1, 2 , r , j j ( j=r+1,m) 1, 2 , r 線性表示線性表示(I)(II)14(I) (II)1(I)(II)(I)(II)n : :12,;(I)r 12,(II)s (I)(I)(II) r s .151212( ,) ( ,)rs (I)(

6、II) 111212112211 rrssrsrskkkkkkr s,12 r111212122212rrsssrkkkkkkkkk12( ,)r r() r BK() r Ksr( (I) )(II)16若若(I)、(II)都線性無關都線性無關, ,且且(I)與與(II)等價等價, ,則則 r = s .向量組的向量組的兩個極大無關組所含向量個數相等兩個極大無關組所含向量個數相等若若(I)可由可由(II)線性表示線性表示, ,則則(I)(II) .(I)(II)r s(I)等價的無關向量組必然等秩等價的無關向量組必然等秩17(I)r(II)s( (I ) ),( (II ) )(I), (I

7、I)( (I ) ), ( (II ) )r s( (I ) )(I) (I)(II)(II)( (II ) ) ( (I ) )( (II ) )4.3r s等價的向量組等秩等價的向量組等. 1, 2, 3 1, 2, 3 1 1, 2 2, , 3 1, 2, 311231()2 21231(),2 31231()2 r( 1 2 3)=3r( 1 2 3 ) =3 1, 2, 3 191231231 0 1() 1 1 00 1 1 =(1 0 11 1 0200 1 112312311 0 1)() 1 1 00 1 1 ( 123123)()3.rr ( 1

8、, 2, 3 20m ,21r(Anm)=Ar(A)=r,r, m ,21 r. .m ,21r(A)= rAr Dr 012,riii Dr r 是是r 維維線性無關向量的接長線性無關向量的接長, ,仍線性無關仍線性無關. .riiij ,21, jA21 j 不不在在 i1 , i2 , ,ir 中中, , j 在在 i1 , i2 , ,ir 中中; ; 線性相關線性相關. .riiij ,21r+1r+1列對應的子矩陣記為列對應的子矩陣記為A1 ,r(A1) r(A)= r r +1riiij ,21 線性相關線性相關, ,12,riii 是一個極大無關組是一個極大無關組. .12(,

9、)( )m rrr Ar(A)= A= A由由 , ,又有又有 A 的行秩的行秩. . ( )()Tr Ar A( ) r A22AB=0B = 0l若若B的行向量組線性無關的行向量組線性無關, ,則則A 0.B 0 則則A的列向量組線性相關的列向量組線性相關. .l若若A 0 則則B的行向量組線性相關的行向量組線性相關. .B=(B1,B2,Bm), AB=0ABi=0.A的列向量組線性無關的列向量組線性無關AX=0Bi=0, i=1,mB=0其余情況可以類似得到其余情況可以類似得到23將將),(21m ),(21m A=B行行秩秩等等; ;極大無關組的位置對應相同極大無關組的位置對應相同;

10、 ;表示系數表示系數對應相同對應相同當當 時時, ,1mijjjj ik 1mijjjj ik n維列向量組維列向量組S:12,m 則則向量組向量組 與與12,m 12,m A24A123412 1 014 1 413 0 2 AA12 1 012 1 014 1 402 2 413 0 201 1 2A2512 1 012 1 0022 4011 2011 2000 012342r 32142132412, 1 0 3 41 03401 1 20 11200 0 00 000B261 1 10 01 10 0=，=2 1 11 10 00 03 =2 21 11 10 04 =0 00 01

11、 11 1， 求向量組的求向量組的(1)(1)秩秩;(;(2)2)極大無關組極大無關組; ;(3)(3)表示系數表示系數. .設設1 1 2 01 1 2 00 1 1 00 1 1 01 0 1 11 0 1 10 0 0 10 0 0 1),(4321 A=432, 是該向量組的一個極大無關組是該向量組的一個極大無關組. . 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 10 0 1D=1010由由而而|A|=0知秩知秩=3, ,27設設),(4321 A=1 1 2 01 1 2 00 1 1 00 1 1 01 0 1 11 0 1 10 0 0 10 0 0 1=1 1 2

12、 01 1 2 00 1 1 00 1 1 00 0 0 10 0 0 10 0 0 00 0 0 0行行A1 0 1 01 0 1 00 1 1 00 1 1 00 0 0 10 0 0 10 0 0 00 0 0 0行行),(4321 =B=421, (2) 是該向量組的一個極大無關組是該向量組的一個極大無關組, ,431, 432, ( ( 和和 也是也是) ). .31240 (3)(1) 秩秩 = 3; ;),(4321 28一、一、A=BC二、二、 S(1)(1)(2) (2) S, , (3) (3) S 極大無關組極大無關組(4) (4) S的各的各極大無關組含向量個數相等極大

13、無關組含向量個數相等 -秩秩三、三、重要結論重要結論Th4.2Th4.3(I)(II)(I)r s(I)(II)(I), ,(II)r = s推推2推推3(I)(II)秩秩(I)秩秩(II)組組(I)與與(II)等價等價秩秩(I) = 秩秩(II)四、四、Th4.42930e1,e2,2e2e1 e2, 2e2eii31 1, 2 1, 2 1+ 1, 2+ 2(1,0), (2,0)(0,1),(0,3)(1,1), (2,3) 1, 2, 3 3+ 1 1 2, 3 1+ 2, 2+ 3, 3+ 1 2, 332 1, 2, m 1, 2, m ,123101011 ,312, 123所以

14、所以 線性相關線性相關. 反例反例33 , , , , , , , , , , , , 34設向量組設向量組 與與 1, 2, m, 1, 2, m的秩相等的秩相等,證明兩向量組等價證明兩向量組等價. ( (I):): ( (II):): 1, 2, m, 1, 2, m ,R( (I)= )= R( (II)=)=r 1, 2, r( (I) )( (I) )( (II) ), 1, 2, r ( (II) ), , 1, 2, r 也能由也能由( (I) )所以所以( (I) )與與( (II) )等價等價.( (I) )能由能由( (II) ) ( (I) )35 1, 2, m 1, 2, s 1, 2, m 1, 2, s,. 設設( (I):): ( (II):): 1, 2, s 1, 2, m ,R( (I)=)=R( (II)=)=r( (I) )能由能由( (II) )( (I ) ) ( (II ) )( (I ):): 1, 2, r為為