彈性力學_第六章 平面問題的基本理論

1、彈性力學彈性力學第六章第六章 6-1 6-2 6-3 平面問題中一點的應力狀態(tài)平面問題中一點的應力狀態(tài)6-4 幾何方程幾何方程6-5 6-66-7 6-8 6-9 6-102022-5-123 xyxyyx、2022-5-1242022-5-125 圖圖 6-1 2tz0)(0)(0)(2tzyz2tzxz2tzz，000yzxzz，zxzy00，0,0zw但2022-5-126 2022-5-1272022-5-128 zxzyz=000，zxzy0,00w，)(yxz2022-5-129第六章第六章 6-1 6-2 6-3 平面問題中一點的應力狀態(tài)平面問題中一點的應力狀態(tài)6-4 幾何方程幾

2、何方程6-5 6-66-7 6-8 6-9 6-10 圖圖 6-32022-5-12112022-5-1212 0 xyF0F0,cM， 0Mc02dy1dx2dy1dx)dyy(2dx1dy2dx1dy)dxx(yxyxyxxyxyxyyxxy6-1 2022-5-12130Fx01dxdyf1dx1dx)dyy(1dy1dy)dxx(xyxyxyxxxx0Fy00yyxyxyxxfyxfyx 6-2 2022-5-1214xyyx2022-5-1215第六章第六章 6-1 6-2 6-3 平面問題中一點的應力狀態(tài)平面問題中一點的應力狀態(tài)6-4 幾何方程幾何方程6-5 6-66-7 6-8

3、6-9 6-10 設設x，y坐標面上一點坐標面上一點P的應力分量為的應力分量為 如圖如圖6-4a所示。在校核強度條件時，還需要求出通過此點所示。在校核強度條件時，還需要求出通過此點的任一斜面上的應力。在的任一斜面上的應力。在P點附近取一個平面點附近取一個平面AB，它平行于該斜面，并與經(jīng)過它平行于該斜面，并與經(jīng)過P點而垂直于點而垂直于x軸和軸和y軸的軸的兩個平面劃出一個微小的三棱柱兩個平面劃出一個微小的三棱柱PAB，圖，圖6-4b。當面。當面積積AB無限減小而趨于無限減小而趨于P點時，平面點時，平面AB上的應力就是上的應力就是P點在上述斜面上的應力?，F(xiàn)設斜面上的全應力點在上述斜面上的應力。現(xiàn)設斜

4、面上的全應力p可可以分解為沿坐標向的分量以分解為沿坐標向的分量 ，或沿法向和切向，或沿法向和切向的分量的分量 ，如圖，如圖 6-4b所示。所示。 ,xyxy,xypp,nn 2022-5-12176.3 平面問題中一點的應力狀態(tài)平面問題中一點的應力狀態(tài)圖圖 6- 4用用n代表斜面代表斜面AB的外法線方向，其方向余弦為：的外法線方向，其方向余弦為： mynlxn,cos,cos，2022-5-12186.3 平面問題中一點的應力狀態(tài)平面問題中一點的應力狀態(tài) 00yxFF，0 xxyxpABPAPB0yxyypABPBPAdsmdslds及2/ldsmdsxxxyyyxyplmpml 6-3 20

5、22-5-12196.3 平面問題中一點的應力狀態(tài)平面問題中一點的應力狀態(tài) 。,xyppxynyxnmplpmplp，xyyxnlmml222xyxynmllm226-4 6-5 nn及切應力。 2022-5-12206.3 平面問題中一點的應力狀態(tài)平面問題中一點的應力狀態(tài) ： mplpyx，2022-5-12216.3 平面問題中一點的應力狀態(tài)平面問題中一點的應力狀態(tài)lmyxyxyxlmlm， 022xyyxyxxyyxyx221226-6 yx216-7 （a） 2022-5-12226.3 平面問題中一點的應力狀態(tài)平面問題中一點的應力狀態(tài)1101111111cos 90sintancos

6、cosmlxyx11tan22yxy22tan（b） 2022-5-12236.3 平面問題中一點的應力狀態(tài)平面問題中一點的應力狀態(tài)再利用式（再利用式（6-7），可得：），可得： xxy12tan（c） 1tantan21 212022-5-12246.3 平面問題中一點的應力狀態(tài)平面問題中一點的應力狀態(tài) 1122210yxxy，（d） ：2212mln2022-5-12256.3 平面問題中一點的應力狀態(tài)平面問題中一點的應力狀態(tài)122ml2212)( lnn122022-5-12266.3 平面問題中一點的應力狀態(tài)平面問題中一點的應力狀態(tài)12221242122141llllmn2022-5-

7、120212ln22l221 276.3 平面問題中一點的應力狀態(tài)平面問題中一點的應力狀態(tài)第六章第六章 6-1 6-2 6-3 平面問題中一點的應力狀態(tài)平面問題中一點的應力狀態(tài)6-4 幾何方程幾何方程6-5 6-66-7 6-8 6-9 6-10 ,P A P B 圖 6-5 2022-5-12296.4 幾何方程幾何方程xuudxuuxdxx yvvdyvyvdyy2022-5-12306.4 幾何方程幾何方程 xyvuvvdxvvxdxx2022-5-12316.4 幾何方程幾何方程uy xyvuxyxvyuyvxuxyyx， 2022-5-12326.4 幾何方程幾何方程2022-5-1

8、2336.4 幾何方程幾何方程第六章第六章 6-1 6-2 6-3 平面問題中一點的應力狀態(tài)平面問題中一點的應力狀態(tài)6-4 幾何方程幾何方程6-5 6-66-7 6-8 6-9 6-1034 x xx xy yz zy yy yz zx xz zz zx xy yx x y yx x y yx x y yy y z zy y z zz z x xz z x x1 1= =- - + +E E1 1= =- - + +E E1 1= =- - + +E E2 21 1 + + 1 1= = =G GE E1 1= =G G1 1= =G G 6-10 2022-5-1235 )1 (2EG 20

9、22-5-1236 0, 0, 0zyzxzx xx xy yy yy yx xz zx xy yx x y yx x y yz z x xy y z z1 1= =- - E E1 1= =- - E E= = - -+ + E E2 21 1 + + = =E E= = 0 0= = 0 02022-5-1237： xyxyxyyyxxEEE12116-12 )(Eyxz 2022-5-1238 0, 0, 0zyzxz )(yxz2211112 1xxyyyxxyxyEEE2022-5-123911112 2E E =,E =,E =1-1-1-1-2022-5-1240 xyyx,xy

10、yx,第六章第六章 6-1 6-2 6-3 平面問題中一點的應力狀態(tài)平面問題中一點的應力狀態(tài)6-4 幾何方程幾何方程6-5 6-66-7 6-8 6-9 6-10 （1）位移邊界條件位移邊界條件 （2）應力邊界條件應力邊界條件 （3）混合邊界條件混合邊界條件 svvsuuss，6-14 us su sv2022-5-1242 s sfsfyx和xpyp sflmsfmlysxyyxsyxx6-15 2022-5-1243 ss,xypp,xyxy2022-5-1244 , l m2022-5-1245 2022-5-1246第六章第六章 6-1 6-2 6-3 平面問題中一點的應力狀態(tài)平面問題

11、中一點的應力狀態(tài)6-4 幾何方程幾何方程6-5 6-66-7 6-8 6-9 6-10 2022-5-1248 yfyfylxxyxlxx（a） 2022-5-1249xllh 2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/111111hhhhylxxyhhhhxlxxhhhhxlxxdyfdyydyfydydyfdy（b） 2022-5-1250 2022-5-1251第六章第六章 6-1 6-2 6-3 平面問題中一點的應力狀態(tài)平面問題中一點的應力狀態(tài)6-4 幾何方程幾何方程6-5 6-66-7 6-8 6-9 6-102022-5-12531. 求解平面問題的一般過程求解平面問題的一般

12、過程 00yyxyxyxxfyxfyx（1）平衡微分方程平衡微分方程 6-2 xyxyuxvyuvyx6-8 2022-5-1254 xyxyxyyyxxEEE12116-12 xyxyxy2yyx2xE)1 (2)1(E1)1(E16-13 2022-5-12552022-5-1256 svvsuuss，6-14 sflmsfmlysxyyxsyxx6-15 , uxyxyxyyyxxEEE1211222022-5-12572022-5-1258yuxvExuyvEyvxuExyyx121122 6-17 0f)yxu21x21y(1E0f)yx21yu21xu(1Ey222222x2222

13、226-18 sysxlflf)yux(21)xuy(m1E)xyu(21m)yxu(1E22 6-19 2022-5-1259 21EE換為2022-5-12601換為 2022-5-1261第六章第六章 6-1 6-2 6-3 平面問題中一點的應力狀態(tài)平面問題中一點的應力狀態(tài)6-4 幾何方程幾何方程6-5 6-66-7 6-8 6-9 6-10,xyxy2022-5-1263 xvyuyvxuxyyx，xy對對y的二階導數(shù)和的二階導數(shù)和對對x的二階導數(shù)相加，得：的二階導數(shù)相加，得： yxxvyuuxyxyyx2223232222yxyxyx即：2y22x2xy2xyyx（6-20） 上式稱

14、為變形協(xié)調(diào)方程或相容方程。它表示在連續(xù)假定條件下，上式稱為變形協(xié)調(diào)方程或相容方程。它表示在連續(xù)假定條件下， 形變分量形變分量 xyyx，不是互相獨立的，而是相關的，否則不是互相獨立的，而是相關的，否則 , u v不存在。不存在。 2022-5-1264 222xyyx22()()2(1)yxx yxy （a） yyxyxxyxfyxf-xy （b） 2022-5-1265 yxxy2022-5-1266yfxfyxyx2yx2y22x2xy2 （c） )yfxf)(1 ()(yx(yxyx2222（6-21） )yfxf)(1 ()(yxyx2（ 6-21 ）22222yx 1代換后即可得出代

15、換后即可得出)yfxf(1)(yxyx2222yx （ 6-22 ）2022-5-1267 2022-5-1268 sflmsfmlysxyyxsyxx （ ）,xyxy 2022-5-1269 2022-5-1270第六章第六章 6-1 6-2 6-3 平面問題中一點的應力狀態(tài)平面問題中一點的應力狀態(tài)6-4 幾何方程幾何方程6-5 6-66-7 6-8 6-9 6-10 0)(yx2 （ 6-23 ）yxyx是調(diào)和函數(shù)。是調(diào)和函數(shù)。 因此，在平衡微分方程（因此，在平衡微分方程（6-2）及相容方程（）及相容方程（6-23）中，只包括）中，只包括 yxxyyx,三個未知數(shù)，利用這三個方程及應力邊

16、界條件三個未知數(shù)，利用這三個方程及應力邊界條件（6-15）就可以進行解題。）就可以進行解題。 2022-5-12722022-5-1273 2022-5-1274 。 yxxyyx,00yyxyxyxxfyxfyx0)(yx2(a) (b) 2022-5-1275 0, yf, xfxyyyxx(c) 00yxyxyxyyxx(d) yxff,2022-5-1276xfyyfx DyCx xfDyfC，2022-5-1277()xyxyxyAx(e) 2022-5-1278 xAxy)(xyxyyxByyBxy2022-5-1279)yB(x,)y, x(A和yBxA)y, x(AdyBdxd

17、yAxB 2022-5-1280yx,x,y2xy22y22x yx, yfx, xfy2xyy22yx22x2022-5-1281 通過微分方程求得的應力分量式（通過微分方程求得的應力分量式（6-24）還需要滿足）還需要滿足相容方程（相容方程（6-23）。將式）。將式6-24代入代入6-23，得：，得：0)yfxxfy)(yx(y22x2222222022-5-1282 式中式中 表示：表示：40)xy)(yx(22222222042022-5-1283)yx( )yx(yyx2x222222224422444 2022-5-12844彈性力學彈性力學機電工程學院陳濤7-1 多項式解多項式解

18、答答7-2 位移分量的求出位移分量的求出7-3 簡支梁受均布載荷簡支梁受均布載荷7-4 楔形體受重力和液體壓力楔形體受重力和液體壓力7-5 級數(shù)式解答級數(shù)式解答7-6 簡支梁受任意橫向載荷簡支梁受任意橫向載荷第七章第七章 平面問題的直角坐標解法平面問題的直角坐標解法一、應力函數(shù)取一次多項式一、應力函數(shù)取一次多項式cybxa應力分量：0, 0, 0yxxyyx應力邊界條件：0YX結(jié)論：（1）線形應力函數(shù)對應于無面力、無應力的狀態(tài)。（2）把任何平面問題的應力函數(shù)加上一個線性函數(shù)，并不影響應力。二、應力函數(shù)取二次多項式二、應力函數(shù)取二次多項式22cybxyax1.對應于 ，應力分量 。 2ax0,2

19、, 0yxxyyxa7.1 多項式解答多項式解答872022-5-122ax結(jié)論：應力函數(shù) 能解決矩形板在 方向受均布拉力（設 ）或均布壓力（設 ）的問題。如圖7-1（a）。y0a0axyobbbbxyoa2a2xyoc2c22.對應于 ，應力分量 。 bxybyxxyyx, 0, 0結(jié)論：應力函數(shù) 能解決矩形板受均布剪力問題。如圖7-1（b）。bxy圖7-1（a）（b）（c）882022-5-12x3.應力函數(shù) 能解決矩形板在 方向受均布拉力（設 ）或均布壓力（設 ）的問題。如圖7-1（c）。2cy0c0c三、應力函數(shù)取三次多項式三、應力函數(shù)取三次多項式3ay對應的應力分量：0, 0,6yx

20、xyyxay結(jié)論：應力函數(shù)（a）能解決矩形梁受純彎曲的問題。如圖7-2所示的矩形梁。（a）MMhl2h2hyxx圖xy圖7-21892022-5-12具體解法如下:如圖7-2,取單位寬度的梁來考察,并令每單位寬度上力偶的矩為 。這里 的因次是力長度/長度，即力。MM在左端或右端，水平面力應當合成為力偶，而力偶的矩 ，這就要求：M2222, 0hhhhxxMydydy222226 , 06hhhhMdyyaydya前一式總能滿足，而后一式要求：32hMa 代入式（a），得：0, 0,123yxxyyxyhM將式（a）中的 代入，上列二式成為：x902022-5-12因為梁截面的慣矩是 ，所以上式

21、可改寫為：1213hI0, 0,yxxyyxyIM結(jié)果與材料力學中完全相同。注意：注意： 對于長度 遠大于深度 的梁，上面答案是有實用價值的；對于長度 與深度 同等大小的所謂深梁，這個解答是沒有什么實用意義的。lhlh912022-5-127-1 多項式解答多項式解答7-2 位移分量的求出位移分量的求出7-3 簡支梁受均布載荷簡支梁受均布載荷7-4 楔形體受重力和液體壓力楔形體受重力和液體壓力7-5 級數(shù)式解答級數(shù)式解答7-6 簡支梁受任意橫向載荷簡支梁受任意橫向載荷第七章第七章 平面問題的直角坐標解法平面問題的直角坐標解法 以矩形梁的純彎曲問題為例，說明如何由應力分量求出位移分量。一、平面應

22、力的情況一、平面應力的情況 將應力分量 代入物理方程0, 0,yxxyyxyIMxyxyxyyyxxEEE)1 (2)(1)(17.2 位移分量的求出位移分量的求出932022-5-12得形變分量：0,xyyxyEIMyEIM（a）再將式（a）代入幾何方程：yuxvyvxuxyyx得：0,yuxvyEIMyvyEIMxu前二式積分得：)(2),(221xfyEIMvyfxyEIMu（b）（c）其中的 和 是任意函數(shù)。將式（c）代入（b）中的第三式1f2f942022-5-12得：xEIMdxxdfdyydf)()(21等式左邊只是 的函數(shù)，而等式右邊只是 的函數(shù)。因此，只可能兩邊都等于同一常數(shù)

23、 。于是有：yxxEIMdxxdfdyydf)(,)(21積分以后得：022012)(,)(vxxEIMxfuyyf代入式（c），得位移分量：022022vxxEIMyEIMvuyxyEIMu其中的任意常數(shù) 、 、 須由約束條件求得。0u0v（d）952022-5-12（一）簡支梁（一）簡支梁如圖7-3（a），約束條件為：0)( , 0)( , 0)(00000ylxyxyxvvu由式（d）得出：22)(2,)2(yEIMxxlEIMvylxEIMu代入式（d），就得到簡支梁的位移分量：EIMlvu2, 0, 000梁軸的撓度方程：xxlEIMvy)(2)(0MMoxylMMoxyl圖7-3（

24、a）（b）962022-5-12（二）懸臂梁（二）懸臂梁如圖7-3（b），約束條件為：0)( , 0)( , 0)(000ylxylxylxxvvu由式（d）得出：EIMlEIMlvu,2, 0200代入式（d），得出懸臂梁的位移分量：222)(2,)(yEIMxlEIMvyxlEIMu梁軸的撓度方程：20)(2)(xlEIMvy二、平面應變的情況二、平面應變的情況 只要將平面應力情況下的形變公式和位移公式中的 換為 ， 換為 即可。E21E1972022-5-127-1 多項式解答多項式解答7-2 位移分量的求出位移分量的求出7-3 簡支梁受均布載荷簡支梁受均布載荷7-4 楔形體受重力和液體

25、壓力楔形體受重力和液體壓力7-5 級數(shù)式解答級數(shù)式解答7-6 簡支梁受任意橫向載荷簡支梁受任意橫向載荷第七章第七章 平面問題的直角坐標解法平面問題的直角坐標解法7.3 簡支梁受均布載荷簡支梁受均布載荷 設有矩形截面的簡支梁，深度為 ，長度為 ，受均布載荷 ，體力不計，由兩端的反力 維持平衡。如圖7-4所示。取單位寬度的梁來考慮，可視為平面應力問題。hl 2qqlqlqqllloxy2h2h圖7-4 用半逆解法。假設 只是 的函數(shù)：xy)(yfy則：)(22yfx對 積分，得：)()(1yfyxfxx)()()(2212yfyxfyfx解之，得：其中， 、 是任意函數(shù)，即待定函數(shù)。)(1yf)(

26、2yf（a）（b）992022-5-12 現(xiàn)在考察，上述應力函數(shù)是否滿足相容方程。為此，對 求四階導數(shù)：將以上結(jié)果代入相容方程，得：424414442442222444)()(2)(,)(, 0dyyfddyyfdxdyyfdxydyyfdyxx0)(2)()()(2122424414244dyyfddyyfdxdyyfdxdyyfd相容條件要求此二次方程有無數(shù)的根(全梁內(nèi)的 值都應該滿足它),所以,它的系數(shù)和自由項都必須等于零。即：x0)(2)(, 0)(, 0)(2242441444dyyfddyyfddyyfddyyfd1002022-5-12前面兩個方程要求：GyFyEyyfDCyBy

27、Ayyf23123)(,)(第三個方程要求：23452610)(KyHyyByAyf（c）（d）將式（c）和（d）代入式（b），得應力函數(shù)：234523232610)()(2KyHyyByAGyFyEyxDCyByAyx（e）相應的應力分量為：)23()23(2622)26()26(2222232223222GFyEyCByAyxyxDCyByAyxKHyByAyFEyxBAyxyxyyx（f）（g）（h）1012022-5-12這些應力分量滿足平衡微分方程和相容方程。如果要使全部應力邊界條件都滿足，除非常數(shù) 、 等于特定值，這樣以上應力分量才是正確的解答。ABK 因為 面是梁和荷載的對稱面，

28、所以應力分布應當對稱于 yz面。這樣， 和 應當是 的偶函數(shù)，而 應當是 的奇函數(shù)。于是由式（f）和（h）可見：yzxyxxyx0GFE 將上式代入應力分量表達式，三個應力分量變?yōu)椋?23(2622)26(2223232CByAyxDCyByAyKHyByAyBAyxxyyx 上式中共有六個待定常數(shù)，利用應力邊界條件求出。（一）考察上下兩邊的邊界條件（一）考察上下兩邊的邊界條件0)( ,)( , 0)(222hyxyhyhyyq（i）1022022-5-12整理，得：0430432480248222323ChBAhChBAhqDChBhAhDChBhAh由于這四個方程是獨立的，互不矛盾的，而且

29、只包含四個未知數(shù)，所以聯(lián)立求解，得：2,23,0,23qDhqCBhqA將上面所得常數(shù)代入應力分量表達式（i），得：xhqxyhqqyhqyhqKHyyhqxhqxyyx2362232264623333323（k）（l）（j）1032022-5-12（二）考察左右兩邊的邊界條件（二）考察左右兩邊的邊界條件 由于對稱性，只需考慮其中的一邊?？紤]右邊：22220)(0)(hhlxxhhlxxydydy（m）（n） 將式（j）代入式（m），得：0)2646(322332dyKHyyhqyhqlhh積分，得：0K 將式（j）代入式（n），得：0)646(322332ydyHyyhqyhqlhh積分，得

30、：hqhqlH10321042022-5-12將式 （l）代入，上式成為：2223)236(hhqldyhqlyhql 另一方面，在梁的右邊剪應力滿足：22)(hhlxxyqldy將 和 代入式（j），得：yhqyhqlyhqyxhqX53646323323（p）HK將式 （p）、（k）、（l）整理，得應力分量：)4(6)21)(1(2)534()(6223222223yhxhqhyhyqhyhyqyxlhqxyyx（q）1052022-5-12式（q）可以改寫為：bIQShyhyqhyhyqyIMxyyx222)21)(1 (2)534(各應力分量沿鉛直方向的變化大致如圖7-5所示。 在 的

31、表達式中，第一項是主要項，和材料力學中的解答相同，第二項是彈性力學提出的修正項。對于通常的淺梁，修正項很小，可以不計。對于較深的梁，則需注意修正項。xy 的最大絕對值是 ，發(fā)生在梁頂。在材料力學中，一般不考慮這個應力分量。 和材料力學里完全一樣。 qxyxyxy圖7-52h2h1062022-5-127-1 多項式解答多項式解答7-2 位移分量的求出位移分量的求出7-3 簡支梁受均布載荷簡支梁受均布載荷7-4 楔形體受重力和液體壓力楔形體受重力和液體壓力7-5 級數(shù)式解答級數(shù)式解答7-6 簡支梁受任意橫向載荷簡支梁受任意橫向載荷第七章第七章 平面問題的直角坐標解法平面問題的直角坐標解法7.4

32、楔形體受重力和液體壓力楔形體受重力和液體壓力 設有楔形體,如圖7-6a所示，左面鉛直,右面與鉛直角成角 ，下端無限長，承受重力及液體壓力，楔形體的密度為 ，液體的密度為 ，試求應力分量。問題：問題：gxy2Ngoxyyx圖圖圖圖7-6（a）（b）1082022-5-12 取坐標軸如圖所示。假設應力函數(shù)為：3223eycxyybxax（二）邊界條件（二）邊界條件左面（ ）應力邊界條件：0 x0)( ,)(00 xxyxxgy這些應力分量滿足平衡微分方程和相容方程。（一）應力分量（一）應力分量 在該問題中，體力分量 ，所以應力分量的表達式為：gYX , 0cybxyxgybyaxYyxeycxXx

33、yxyyx22266222222（a）1092022-5-12右面（ ）， ，應力邊界條件：ytgx 0YX0)()(0)()(ytgxxyytgxyytgxxyytgxxlmml將式（a）代入，得：02,6cygyey0, 6/cge代入式（a），得：bxgybyaxgyyxxyyx226（b）將式（b）代入，得：0)(2602gmltgmbamtgglbmtg（c）又：sin)90cos(),cos(,cos),cos(0yNmxNl1102022-5-12代入式（c），得：3236,2ctggctggactggb將這些系數(shù)代入式（b），得：223)()2(gxctgyggctgxgctg

34、gctggyyxxyyx各應力分量沿水平方向的變化大致如圖7-6b所示。注意：注意：1.沿著壩軸，壩身往往具有不同的截面，而且壩身也不是無限長的。因此，嚴格說來，這里不是一個平面問題。2.對于壩身底部來說，上面的解答是不精確的。3.在靠近壩頂處，以上解答也不適用。1112022-5-127-1 多項式解答多項式解答7-2 位移分量的求出位移分量的求出7-3 簡支梁受均布載荷簡支梁受均布載荷7-4 楔形體受重力和液體壓力楔形體受重力和液體壓力7-5 級數(shù)式解答級數(shù)式解答7-6 簡支梁受任意橫向載荷簡支梁受任意橫向載荷第七章第七章 平面問題的直角坐標解法平面問題的直角坐標解法7.5 級數(shù)式解答級數(shù)

35、式解答 用逆解法。假設應力函數(shù)為：)(sinyfx（a）其中 是任意常數(shù)，它的因次是長度-1，而 是 的任意函數(shù)。)(yfy將式（a）代入相容方程，得：0)()(2)(sin422244yfdyyfddyyfdx（b）yDychyCyshyBchyAshyf)(解之，得：其中 、 、 、 都是任意常數(shù)。得到應力函數(shù)的一個解答：ABCD)(sinyDychyCyshyBchyAshx假設應力函數(shù)為：)(cos1yfx同樣可以得出應力函數(shù)的另一個解答：（c）1132022-5-12仍然是該微分方程的解答。所以可以得到三角級數(shù)式的應力函數(shù)：)(cos)(sin11yychDyyshCychByshA

36、xyychDyyshCychByshAxmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm 相應的應力分量：將式（c）與（d）疊加，得：)(cos)(sinyychDyyshCychByshAxyDychyCyshyBchyAshx其中 、 、 、 也都是任意常數(shù)。ABCD)(cosyychDyyshCychByshAx（d）1142022-5-12)2()2(cos)2()2(sin121222yychDyyshCychCByshDAxyychDyyshCychCByshDAxymmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmxcos)sin121222yychDyyshCychByshA

37、xyychDyyshCychByshAxxmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmy1152022-5-12)()(sin)()(cos12122yychCyyshDychDAyshCBxyychCyyshDychDAyshCBxyxmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmxy這些應力分量滿足平衡微分方程和相容方程。如果能夠選擇其中的待定常數(shù) 、 、 、 、 、 、 、 、 、 或再疊加以滿足平衡微分方程和相容方程的其它應力分量表達式，使其滿足某個問題的邊界條件，就得出該問題的解答。mmAmBmCmmAmBmCmDmD1162022-5-127-1 多項式解答多項式解答

38、7-2 位移分量的求出位移分量的求出7-3 簡支梁受均布載荷簡支梁受均布載荷7-4 楔形體受重力和液體壓力楔形體受重力和液體壓力7-5 級數(shù)式解答級數(shù)式解答7-6 簡支梁受任意橫向載荷簡支梁受任意橫向載荷第七章第七章 平面問題的直角坐標解法平面問題的直角坐標解法7.6 簡支梁受任意橫向載荷簡支梁受任意橫向載荷問題：問題： 設簡支梁的跨度為 ，高度為 ，坐標軸如圖7-7所示，上下兩邊的橫向載荷分別為 及 ，左右兩端的反力分別為 及 。 lH)(xq)(1xqR1RR1R)(xq)(1xqlHxyo圖7-71182022-5-12為了滿足邊界條件（c），?。?mmmmDCBA),3 , 2 , 1

39、(mlmm上下兩邊正應力的邊界條件：)()(),()(10 xqxqHyyyy上下兩邊剪應力的邊界條件：0)( , 0)(0Hyxyyxy左右兩端正應力的邊界條件：0)( , 0)(0lxxxx左右兩端剪應力的邊界條件：1000)(,)(RdyRdyHlxxyHxxy（a）（b）（c）（d）1192022-5-12應力分量簡化為：lymychClymyshDlymchDmlAlymshCmlBlxmlmlymychDlymyshClymchBlymshAlxmlmlymychDlymyshClymchCmlBlymshDmlAlxmlmmmmmmmmxymmmmmymmmmmmmx)()(co

40、ssin)2()2(sin122212221222（1）1202022-5-12代入邊界條件（b）和（a），得：由此可以得出求解系數(shù) 、 、 、 的方程。mAmBmCmD0)()(cos0cos1212lHmHchClHmHshDlHmchDmlAlHmshCmlBlxmmDmlAlxmmmmmmmmmmmm)(sin11222xqlHmHchDlHmHshClHmchBlHmshAlxmmlmmmmm)(sin1222xqBlxmmlmm（e）（f）（g）（h）1212022-5-12由式（e）、（f），得：0)()(0lHmHshlHmchmlDlHmHchlHmshmlClHmshBlH

41、mchADmlAmmmmmm（i）（j）按照傅立葉級數(shù)展開法則，有：lmlxmdxlxmxqlxq01sinsin)(2)(與式（g）對比，得：lmdxlxmxqlBml0222sin)(2從而，得：lmdxlxmxqmlB022sin)(2（k）1222022-5-12同樣由式（h），得：lmmmmdxlxmxqmllHmHchDlHmHshClHmchBlHmshA0122sin)(2（ ）l求出式（k）及式（ ）右邊的積分以后，可由（i）、（j）、（k）、（ ）四式求得系數(shù) 、 、 、 ，從而由公式（1）求得應力分量。llmAmBmCmD 求出應力分量后，可由式（d）求得反力 及 ，并利

42、用兩個反力與荷載的平衡作為校核之用。R1R結(jié)論：結(jié)論：1.用級數(shù)求解平面問題時，計算工作量很大。 2.由于梁的兩端的應力邊界條件不能精確滿足，因而應力的解答只適用于距兩端較遠之處；對于跨度與高度同等大小的梁，這種解答是沒有用處的。 1232022-5-127-1 多項式解答多項式解答7-2 位移分量的求出位移分量的求出7-3 簡支梁受均布載荷簡支梁受均布載荷7-4 楔形體受重力和液體壓力楔形體受重力和液體壓力7-5 級數(shù)式解答級數(shù)式解答7-6 簡支梁受任意橫向載荷簡支梁受任意橫向載荷第七章第七章 平面問題的直角坐標解法平面問題的直角坐標解法例題例題例題例題1設有矩形截面的豎柱，其密度為 ，在一

43、邊側(cè)面上受均布剪力 ，如圖1，試求應力分量。q解：解：1.采用半逆解法，設 。導出 使其滿足雙調(diào)和方程：0 x0)()(, 00, 0)()()()()(, 0414444224444144444122dxxfddxxfdyyxydxxfddxxfdyxxfxyfxfyXxyxxyqhg圖11252022-5-12 取任意值時，上式都應成立，因而有：y23232312341444)()(,)(0)(, 0)(FxExCxBxAxyFxExxfCxBxAxxfdxxfddxxfd式中， 中略去了常數(shù)項， 中略去了 的一次項及常數(shù)項，因為它們對應力無影響。)(xf)(1xfx（1）2.含待定常數(shù)的

44、應力分量為：)23(26)26(0222222CBxAxyxPyFExBAxyYyxXxyxyyx（2）1262022-5-123.利用邊界條件確定常數(shù)，并求出應力解答：, 0)(0 xx能自然滿足：0, 0)(0Cxyx, 0)(hxx能自然滿足：0, 026 , 0)(23,)(02FEFExqBhAhqyyhxyx（3）, 0)(0yyx不能精確滿足，只能近似滿足：hhyyxydxBxAxdy000200)23(, 0)(023BhAh由式（3）、（4）解出常數(shù) 和 ，進而可求得應力分量：ABhqBhqA,2（4）1272022-5-12（1） 中的 不能略去，因為 對剪應力有影響。（2

45、）在上端部，首先應使應力分量精確滿足邊界條件，如不能，則可運用圣維南原理放松滿足。本題 能精確滿足，因此， 在此處是精確解，而 在上端部是近似解。（3）若設 ，則導出的應力函數(shù) 和應力分量為：4.分析：)(xfCxCx0)(0yyyxy)(xfxy)32(,)31 (2, 0hxhqxPyhxhqyxyyx（5）DCxxBPyFExCBxyyfxFxExfDCxxBxfxfdyyfdxxfyxyyx2231212)(),(26)(,2)()()()(（6）（7）常數(shù)確定后代入式（7），所得結(jié)果與式（5）相同。1282022-5-12例題例題2 如圖2（a），三角形懸臂梁只受重力作用，梁的密度為

46、 ，試用純?nèi)问綉瘮?shù)求解該梁的應力分量。lxygolxygo0q0qlx圖2（a）（b）解：解：1.設應力函數(shù)為：3223DyCxyyBxAx不難驗證其滿足 。所以應力分量為：041292022-5-12CyBxyxgyByAxYyxDyCxXxyxyyx222662222222.用邊界條件確定常數(shù)，進而求出應力解答：上邊界：0)( , 0)(00yxyyy斜面：0cossin0cossincos,sin)90cos(0yxyxyxml解得：cot,cot2cotcot3,cot2, 022gygygygxgDgCBAxyyx3.分析：本題的應力函數(shù)可用量綱分析方法得到，此函數(shù)亦可用來求解

47、上邊界受線形載荷 作用的問題，見圖2（b）。0qlxq 1302022-5-12 例題例題3 3 如果 為平面調(diào)和函數(shù)，它滿足，問02)( ,22yxyx是否可作為應力函數(shù)。解：解： 將代入相容條件，得：x10)(2)2(2)(2)(221222222222212xxxyxxxxyx1滿足雙調(diào)和方程，因此，可作為應力函數(shù)。將代入相容條件得y21312022-5-12也能作為應力函數(shù)。把 代入相容條件，得：2)(223yx 0)444(444)()()(2322222222232yyxxyyxxyxyx所以， 也可作為應力函數(shù)。30)2(,2222222yy1322022-5-12lxq00qO

48、60lqyl30lqxlh解：解： 1、由滿足相容方程確定系數(shù)A與B的關系：BABxyAxyAxyyxBxyyx3501207236,120, 02244444（1）圖3 例題例題4 4 圖所示矩形截面簡支梁受三角形分布荷載作用，試取應力函數(shù)為： ，求簡支梁的應力分量（體力不計）。FxyExDxyyCxBxyyAx3335331332022-5-122、含待定系數(shù)的應力分量為)2()3359(666620622422333FDyCxByyAxExCxyAxyDxyBxyyAxxyyx3、由邊界條件確定待定系數(shù)：) 3 (0)(6)2(6)2(6 ,)(20302hyxyhyylxqExhCxh

49、Axlxq)4(0)2(33)2(5)2(922422FhDCxhBhAx1342022-5-12)6(0)2(33)2(5)2(9 , 0)() 5(06)2(6)2(6, 0)(22422232FhDCxhBhAxExhCxhAxhyxyhyy由以上式子可求得：)8(0, 0)()7(6804,6)(4,5,3,12222202030022030300DBhAlydylqlhqFhDhlqdylhqClhqBlhqAlqEhhlxxxhhxy1352022-5-12由此可解得：lhqhlqFhlqlhqD804,310003004、應力分量為)9(203)(4(4)43(2)1032(22

50、222223033230322230hlyxhylhqhyyhxlhqhlxyxylhqxyyx1362022-5-12PyOhlx只是該函數(shù)在上、下邊界面上多出了一個大小為 的剪應力，為了抵消它，在應力函數(shù) 上再添加一個與純剪應力對應的應力函數(shù) ： 2443hd34xydxyb2xybxyd234圖4 例題例題5 5 如圖所示，右端固定懸臂梁，長為l，高為h，在左端面上受分布力作用（其合力為P）。不計體力，試求梁的應力分量。 34xyd1、用湊和冪次不同的雙調(diào)和多項式函數(shù)的半逆解法來求解。顯然，應力函數(shù) 所對應的面力，在梁兩端與本題相一致，解：解：1372022-5-12左端部： Pdyhh

51、xxyxx2200)(,0)(解得： 233342623, 0,122,23yhPhPxyhPhPdhPbxyyx2、由平衡條件得含有待定系數(shù)的應力表達式為：24222242230,6ydbyxxxydyxyyx3、利用邊界條件確定，并求出應力分量：上、下邊界： 24,bd0)(,0)(22hyxyhyy1382022-5-12彈性力學彈性力學機電工程學院陳濤第八章第八章 平面問題的極坐標解法平面問題的極坐標解法8-1 極坐標中的平衡微分方程極坐標中的平衡微分方程8-9 圓孔的孔邊應力集中圓孔的孔邊應力集中8-4 應力分量的坐標變換式應力分量的坐標變換式8-3 極坐標中的應力函數(shù)與相容方程極坐

52、標中的應力函數(shù)與相容方程8-2 極坐標中的幾何方程及物理方程極坐標中的幾何方程及物理方程8-5 軸對稱應力和相應的位移軸對稱應力和相應的位移8-6 圓環(huán)或圓筒受均布壓力。壓力隧洞圓環(huán)或圓筒受均布壓力。壓力隧洞8-7 曲梁的純彎曲曲梁的純彎曲8-8 圓盤在勻速轉(zhuǎn)動中的應力及位移圓盤在勻速轉(zhuǎn)動中的應力及位移8-10 楔形體在楔頂或楔面受力楔形體在楔頂或楔面受力8-11 半平面體在邊界上受法向集中力半平面體在邊界上受法向集中力8.1 極坐標中的平衡微分方程極坐標中的平衡微分方程 在處理彈性力學問題時，選擇什么形式的坐標系統(tǒng)，雖不會影響對問題本質(zhì)的描繪，但卻直接關系到解決問題的難易程度。如坐標選得合適

53、，可使問題大為簡化。例如對于圓形、楔形、扇形等物體，采用極坐標求解比用直角坐標方便的多。圖81 考慮平面上的一個微分體 ，沿 方向的正應力稱為徑向正應力，用 表示，沿 方向的正應力稱為切向正應力，用 表示，剪應力用 表示，各應力分量的正負號的規(guī)定和直角坐標中一樣。徑向及環(huán)向的體力分量分別用 及 表示。如圖8-1。PACBrrrrKKrrrrdrrrrrdddrrdrrdrKrKyxoPABC2022-5-12141 考慮圖示單元體的平衡，有三個平衡方程：0, 0, 0MFFr由 ，可以得出剪應力互等關系： 0Mrr 0rF由 ，有：0)(22)()(drrdKdrdrdddrddrdrdddr

54、rdrrrrrrrrr 0F由 ，有：022)()()(drrdKddrddrdrdddrrdrrdrdrdrrrrrr2022-5-12142因為 很微小，所以取 ， ，并用 代替 ，整理以上兩式，得：d22sindd12cosdrr02101KrrrKrrrrrrrrr這就是極坐標的平衡微分方程。 兩個平衡微分方程中包含三個未知函數(shù) 、 和 ，所以問題是靜不定的。因此必須考慮變形條件和物理關系。rrr 上述方程和直角坐標系下的平衡方程有所不同，直角坐標系中，應力分量僅以偏導數(shù)的形式出現(xiàn)，在極坐標系中，由于微元體垂直于半徑的兩面面積不等，而且半徑愈小差值愈大，這些反映在方程里帶下劃線的項中。

55、2022-5-12143第八章第八章 平面問題的極坐標解法平面問題的極坐標解法8-1 極坐標中的平衡微分方程極坐標中的平衡微分方程8-9 圓孔的孔邊應力集中圓孔的孔邊應力集中8-4 應力分量的坐標變換式應力分量的坐標變換式8-3 極坐標中的應力函數(shù)與相容方程極坐標中的應力函數(shù)與相容方程8-2 極坐標中的幾何方程及物理方程極坐標中的幾何方程及物理方程8-5 軸對稱應力和相應的位移軸對稱應力和相應的位移8-6 圓環(huán)或圓筒受均布壓力。壓力隧洞圓環(huán)或圓筒受均布壓力。壓力隧洞8-7 曲梁的純彎曲曲梁的純彎曲8-8 圓盤在勻速轉(zhuǎn)動中的應力及位移圓盤在勻速轉(zhuǎn)動中的應力及位移8-10 楔形體在楔頂或楔面受力楔

56、形體在楔頂或楔面受力8-11 半平面體在邊界上受法向集中力半平面體在邊界上受法向集中力一、幾何方程一、幾何方程位移與形變間的微分關系8.2 極坐標中的幾何方程及物理方程極坐標中的幾何方程及物理方程在極坐標中規(guī)定:rrruu -徑向正應變-環(huán)向正應變-剪應變(徑向與環(huán)向兩線段之間的直角的改變)-徑向位移-環(huán)向位移用疊加法討論極坐標中的形變與位移間的微分關系。圖8-2drdrruo（1）假定只有徑向位移，而無環(huán)向位移。如圖8-2所示。2022-5-12145徑向線段 的正應變?yōu)椋篜Arudrudrruurrrrr)(環(huán)向線段 的正應變?yōu)椋篜Brurdrddurrr)(徑向線段 的轉(zhuǎn)角為：PA0環(huán)向

57、線段 的轉(zhuǎn)角為：PBrrrrurrduduu1)(可見剪應變?yōu)椋簉rur12022-5-12146drPP BB A Adruo（2）假定只有環(huán)向位移，而無徑向位移。如圖8-3所示。圖8-3徑向線段 的正應變?yōu)椋篜A0r環(huán)向線段 的正應變?yōu)椋篜Burrduduu1)(徑向線段 的轉(zhuǎn)角為：PArudrudrruu)(環(huán)向線段 的轉(zhuǎn)角為：PBru可見剪應變?yōu)椋簉urur2022-5-12147 如果同時存在徑向和環(huán)向位移，則由疊加法得：ruruururrururrrrr11這就是極坐標中的幾何方程。二、物理方程二、物理方程（1 1）平面應力情況：）平面應力情況：rrrrrrEGEE)1 (21)(

58、1)(12022-5-12148（2 2）平面應變情況：）平面應變情況：rrrrrEEE)1 (2)1(1)1(122 將上式中的 換為 ， 換為 。E21E12022-5-12149第八章第八章 平面問題的極坐標解法平面問題的極坐標解法8-1 極坐標中的平衡微分方程極坐標中的平衡微分方程8-9 圓孔的孔邊應力集中圓孔的孔邊應力集中8-4 應力分量的坐標變換式應力分量的坐標變換式8-3 極坐標中的應力函數(shù)與相容方程極坐標中的應力函數(shù)與相容方程8-2 極坐標中的幾何方程及物理方程極坐標中的幾何方程及物理方程8-5 軸對稱應力和相應的位移軸對稱應力和相應的位移8-6 圓環(huán)或圓筒受均布壓力。壓力隧洞

59、圓環(huán)或圓筒受均布壓力。壓力隧洞8-7 曲梁的純彎曲曲梁的純彎曲8-8 圓盤在勻速轉(zhuǎn)動中的應力及位移圓盤在勻速轉(zhuǎn)動中的應力及位移8-10 楔形體在楔頂或楔面受力楔形體在楔頂或楔面受力8-11 半平面體在邊界上受法向集中力半平面體在邊界上受法向集中力8.3 極坐標中的應力函數(shù)與相容方程極坐標中的應力函數(shù)與相容方程 為了得到極坐標中用應力函數(shù)表示的應力和相容方程，利用極坐標和直角坐標的關系：sin,cosarctan,222ryrxxyyxr得到：rrxyrryxryyrrxxrcos,sin,sin,cos22rryyrryrrxxrrxcossinsincos2022-5-12151222222

60、222222222222222222coscossin2coscossin2sinsincossin2sincossin2cosrrrrrrryrrrrrrrx222222222222cossinsincoscossinsincoscossinrrrrrrryx 在=0時，極坐標的各分量和直角坐標各分量相同。將上面各式代入應力分量的表達式（常體力）：yxxyxyyx22222（a）（b）（c）2022-5-12152得到：)1()()()()(11)()(0202202202220220rryxrxrrryyxryxr可以證明，當體力為零時，這些應力分量確能滿足平衡微分方程。由（a）+（b），