斯托克斯公式環(huán)流量與旋度

1、 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度110.7 斯托克斯斯托克斯(stokes)公式公式 環(huán)流環(huán)流量與量與旋度旋度斯托克斯公式斯托克斯公式物理意義物理意義-環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)circulationcurl 斯托克斯斯托克斯 Stokes,G.G. (18191903) 英英國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家第第1010章章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度2斯托克斯公式是微積分基本公式在曲面斯托克斯公式是微積分基本公式在曲面它將定向曲面上的面積分與曲面的定向它將定

2、向曲面上的面積分與曲面的定向積分情形下的推廣積分情形下的推廣, 也是格林公式在空間的也是格林公式在空間的推廣推廣,邊界曲線上的線積分聯(lián)系了起來邊界曲線上的線積分聯(lián)系了起來. 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度3一、斯托克斯一、斯托克斯(Stokes)公式公式定理定理10.11 zRyQxPdddyxyPxQxzxRzPzyzQyRdd)(dd)(dd)( 設(shè)設(shè)為分段光滑的空間為分段光滑的空間有向閉曲線有向閉曲線,是以是以為邊界的分片光滑的為邊界的分片光滑的有向閉曲面有向閉曲面,則有則有斯托克斯公式斯托克斯公式的正向的正向與與的正側(cè)符合右手法則的正側(cè)符合右手法則, 若向

3、量函數(shù)若向量函數(shù)的三個分量在包含的三個分量在包含),(zyxF),(),(),(zyxRzyxQzyxP 曲面曲面在內(nèi)的一個空間區(qū)域內(nèi)在內(nèi)的一個空間區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度4 即有即有SyPxQxRzPzQyRdcoscoscos 其中其中 cos,cos,cos zRyQxPddd余弦余弦.是是指定一側(cè)的法向量方向指定一側(cè)的法向量方向 zRyQxPdddyxyPxQxzxRzPzyzQyRdd)(dd)(dd)( 斯托克斯公式斯托克斯公式 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度5的正向與的

4、正向與的正側(cè)法向量符合右手法則的正側(cè)法向量符合右手法則:當(dāng)右手除拇指外的四指依當(dāng)右手除拇指外的四指依 的繞行方向時的繞行方向時, 是有向曲面是有向曲面 的的正向邊界曲線正向邊界曲線 右手法則右手法則拇指所指的方向與拇指所指的方向與上法向量的指向相同上法向量的指向相同.是有向曲面是有向曲面的的正向邊界曲線正向邊界曲線, 稱稱 n . 記為記為 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度6(3) 在坐標面上在坐標面上, 應(yīng)用格林公式把應(yīng)用格林公式把(2)得到的平面得到的平面證明思路證明思路(1) 把曲面積分化為坐標面上投影域的二重積分把曲面積分化為坐標面上投影域的二重積分;(2)

5、 把空間閉曲線把空間閉曲線上的曲線積分化為坐標面上上的曲線積分化為坐標面上分三步分三步y(tǒng)xyPxQxzxRzPzyzQyRdd)(dd)(dd)( zRyQxPddd斯托克斯公式斯托克斯公式的閉曲線積分的閉曲線積分;閉曲線積分化為二重積分閉曲線積分化為二重積分. 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度7證證 情形情形1只交于一點只交于一點, 設(shè)其方程為設(shè)其方程為yxDyxyxfz ),(, ),(: 為確定起見為確定起見, 不妨設(shè)不妨設(shè) 取上側(cè)取上側(cè) (如圖如圖).yxDC 與平行與平行z軸的直線軸的直線xyzO n 則則 xPd轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為xOy面上的第二類面上的第二類

6、曲線積分曲線積分, 即即 xPd xyxzyxPd),(,(C格林公式格林公式 xyDyxyxzyxPydd),(,(yxyPxQxzxRzPzyzQyRdd)(dd)(dd)( zRyQxPddd斯托克斯公式斯托克斯公式 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度8yxyzzPyPxyDdd)( xPd xyDyxyxzyxPydd),(,(yxDCxyzOn 另一方面另一方面, 按照第二類曲面積分的按照第二類曲面積分的計算公式計算公式,有有 yxyPxzzPdddd xyDyxyPzPdd),(:yxfz )(yz 比較以上兩式知比較以上兩式知yxyPxQxzxRzPzy

7、zQyRdd)(dd)(dd)( zRyQxPddd斯托克斯公式斯托克斯公式221cosyxyfff yxffSyxdd1d22 SQxzQdcosdd 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度9 如果如果取取下側(cè)下側(cè), yxyPxzzPdddd xPd由于等式兩邊同時變號由于等式兩邊同時變號,故上式仍然故上式仍然成立成立. 曲面曲面 與平行于與平行于z 軸的直線交點多于一個軸的直線交點多于一個, 則可以在則可以在 上添加上添加輔助曲線輔助曲線, 在每個曲面片上應(yīng)用上式在每個曲面片上應(yīng)用上式, 情形情形2然后相加然后相加, 抵消抵消, 即可證上式仍然成立即可證上式仍然成立.

8、 由于沿輔助曲線方向相反的兩個曲線積分相加剛好由于沿輔助曲線方向相反的兩個曲線積分相加剛好將將 分成有限個符合條件分成有限個符合條件的定向曲面片的定向曲面片,yxyPxQxzxRzPzyzQyRdd)(dd)(dd)( zRyQxPddd斯托克斯公式斯托克斯公式 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度10類似可證類似可證 zyzQyxxQdddd yQdxzxRzyyRdddd zRd yxyPxzzPdddd xPd將上述三式兩邊分別相加將上述三式兩邊分別相加, 即證即證. yxyPxQxzxRzPzyzQyRdd)(dd)(dd)( zRyQxPddd斯托克斯公式斯托

9、克斯公式 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度11斯托克斯公式斯托克斯公式的又一種形式的又一種形式其中其中SyPxQxRzPzQyRdcos)(cos)(cos)( sRQPd)coscoscos(kjin coscoscos kji coscoscos 的的單位法向量單位法向量為為的的單位切向量單位切向量為為 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度12 RQPzyxyxxzzyddddddSRQPzyxdcoscoscos ).cos,cos,(cos n其中其中便于記憶形式便于記憶形式 zRyQxPddd 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 環(huán)

10、流量與旋度環(huán)流量與旋度13Stokes公式的實質(zhì)公式的實質(zhì) 表達了有向曲面上的曲面積分與其表達了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系.在在Stokes公式的條件中公式的條件中, ,(1) 曲面曲面是定向是定向曲面曲面, 應(yīng)注意兩點應(yīng)注意兩點: :(2) 被積函數(shù)被積函數(shù)P, Q, R在包含曲面在包含曲面在內(nèi)的在內(nèi)的 是定向是定向曲曲 線線, 的正向與的正向與的正側(cè)法向量符合右手法則的正側(cè)法向量符合右手法則;具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).一個空間區(qū)域內(nèi)一個空間區(qū)域內(nèi)其邊界其邊界 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度1

11、4例例 計算曲線積分計算曲線積分其中其中 為曲線為曲線 0,2222zyxRzyxR zxyzxy,d)3(d)2()d1(若從若從x軸正向看過去軸正向看過去, 為取逆時針方向為取逆時針方向.解解 設(shè)設(shè) 為為 所圍的圓盤所圍的圓盤, 所在的曲面方程為所在的曲面方程為 , 0 zyx取上側(cè)取上側(cè), 其單位法向量為其單位法向量為 31,31,31按按斯托克斯公式斯托克斯公式, ),cos,cos,(cos zxyOn 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度15SRQPzyxdcoscoscos zRyQxPddd 原式原式Sxzyzyxd321313131 31,31,31)

12、cos,cos,(cos Sd3 .32R RzxyOn設(shè)設(shè) 為為 所圍的圓盤所圍的圓盤 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度16求力求力),(xzyF 沿有向閉曲線沿有向閉曲線 所作的功所作的功,其中其中 為為平面平面 x + y + z = 1 被三個坐標面所截成三被三個坐標面所截成三 zxyzxyddd3 ABzxd3 10d)1(3zz.23 從從z軸正向看去沿軸正向看去沿順時針方向順時針方向.例例 角形的整個邊界角形的整個邊界,解解 zxyzxydddxyzOABCAB zRyQxPWddd 利用對稱性利用對稱性 法一法一 化為參變量的定積分化為參變量的定積分

13、 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度17求力求力),(xzyF 沿有向閉曲線沿有向閉曲線 所作的功所作的功,其中其中 為為平面平面 x + y + z = 1 被三個坐標面所截成被三個坐標面所截成法二法二從從z軸正向看去沿軸正向看去沿順時針方向順時針方向.例例 三角形的整個邊界三角形的整個邊界,解解 xyzOABC利用利用斯托克斯公式斯托克斯公式 zRyQxPdddSRQPzyxdcoscoscos 設(shè)設(shè)三角形區(qū)域為三角形區(qū)域為 ,則則n zxyzxyWddd zyx Sd.23 xyDyxdd3331z31311 zyxyxSdd3d )1,1,1(31 n Sd)

14、3(31xyxyO11 yxxyD1方向方向向上向上, 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度18解解 xzyzyxyxxzzydddddd法三法三 按按斯托克斯公式斯托克斯公式,有有 yxxzzydddddd求力求力),(xzyF 沿有向閉曲線沿有向閉曲線 所作的功所作的功,其中其中 為為平面平面 x + y + z = 1 被三個坐標面所截成被三個坐標面所截成從從z軸正向看去沿軸正向看去沿順時針方向順時針方向.例例 三角形的整個邊界三角形的整個邊界, zxyzxyWddd設(shè)設(shè)三角形區(qū)域為三角形區(qū)域為 , ABCn 方向方向向上向上,xyzO 10.7 斯托克斯公式斯托

15、克斯公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度19xyO111 yx yxdd)3(.23 213 xyD yxxzzydddddd1: zyx平面平面 xyD zxyzxyWdddxyzOABCn 輪換對稱性輪換對稱性 yxdd3化為二重積分化為二重積分 一投一投二代二代三定號三定號 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度20zxOy解解則則)1 , 1 , 1(31 n計算曲線積分計算曲線積分例例 zyxyxzxzyd)(d)(d)(22222223 zyx是平面是平面 其中其中截立方體截立方體:, 10 x, 10 y10 z的表面所得的截痕的表面所得的截痕, 若從若從Ox軸的

16、正向看去軸的正向看去, 取逆時針方向取逆時針方向.取取為平面為平面23 zyx的的上側(cè)上側(cè)被被所圍成的部分所圍成的部分.)1 , 0 , 0()0 , 0 , 1()0 , 1 , 0( Oxy11212123 yx21 yxxyD在在xOy面上的投影為面上的投影為Dxy.n 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度2111即即31coscoscos SyxxzzyzyxId313131222222 Szyxd)(34yxxyDdd32334 .29 )23( zyx上上因為在因為在 yxSdd3d Oxy212123 yx21 yxxyDyxxyDdd6 所以所以 10.

17、7 斯托克斯公式斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度22其中其中 是平面是平面與柱面與柱面1| yx的交線的交線 , 從從z 軸正向看去軸正向看去 , 為逆時針方向為逆時針方向. 2 zyx計算計算 zyxyxzxzyId)3(d)2(d)(222222數(shù)學(xué)考研題數(shù)學(xué)考研題 記記 為平面為平面2 zyx上上 所圍部分的上側(cè)所圍部分的上側(cè), D為為 在在 xOy 面上的投影面上的投影.由由斯托克斯公式斯托克斯公式解解 對稱性對稱性 ISzyxd 3122zy 222xz 223yx 3131 Szyxd)324(32 Dyxyxdd) 6(2 Dyxdd12.24 zRyQxPdddSRQPz

18、yxdcoscoscos D11xyOyxz 2:yxSdd3d 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度23一般來講一般來講, 當(dāng)具備下列兩方面的條件時當(dāng)具備下列兩方面的條件時,小結(jié)小結(jié):用用斯托克斯公式斯托克斯公式計算較方便計算較方便.(1) 從積分曲線看從積分曲線看, 若若為一平面和一曲面為一平面和一曲面的交線的交線,這時可考慮將曲線積分化為曲面積分這時可考慮將曲線積分化為曲面積分.由于由于斯托克斯公式與空間曲線斯托克斯公式與空間曲線上所張的曲面上所張的曲面的形狀無關(guān)的形狀無關(guān), 因此可取因此可取為以為以為邊界的平面為邊界的平面區(qū)域區(qū)域, 而在平面區(qū)域上的曲面積分的計

19、算一而在平面區(qū)域上的曲面積分的計算一般較簡單般較簡單. 注意注意:由由的正向確定的正向確定的正側(cè)時的正側(cè)時, 必必須符合右手規(guī)則須符合右手規(guī)則.(2) 從被積函數(shù)看從被積函數(shù)看, 當(dāng)當(dāng)P, Q, R比較簡單比較簡單. 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度24計算曲線積分計算曲線積分其中其中AmB是螺是螺線線 AmBzxyzyzxyxyzxI,d)()d()d(2222,sin,cos hzayax 上從上從上從上從A(a,0,0)到到B(a,0,h)的一段的一段.zxyOA aB 設(shè)設(shè) 是以是以為邊界的任一為邊界的任一定向光滑曲面定向光滑曲面.提示提示作封閉化處理作封閉

20、化處理:連接直線連接直線BA, 它與它與AB一起一起組成閉曲線組成閉曲線, 記為記為.由由斯托克斯公式斯托克斯公式. 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度25計算曲線積分計算曲線積分其中其中AmB是螺是螺線線 AmBzxyzyzxyxyzxI,d)()d()d(2222,sin,cos hzayax 上從上從上從上從A(a,0,0)到到B(a,0,h)的一段的一段.zxyOA aB 由由斯托克斯公式斯托克斯公式.解解 yxxzzydd0dd0dd0 0 所以所以 BAI AB0 hzaz02d)0(00.313h 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與

21、旋度26kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),( 1. .環(huán)流量的定義環(huán)流量的定義 zRyQxPsAddddcirculationrotation二、物理意義二、物理意義-環(huán)流環(huán)流量與量與旋度旋度設(shè)向量場設(shè)向量場其中函數(shù)其中函數(shù)P, Q, R均連續(xù)均連續(xù),段光滑的空間段光滑的空間有向閉曲線有向閉曲線,為為在點在點(x, y, z)處的單處的單為為A的定義域內(nèi)的一條分的定義域內(nèi)的一條分位切位切向量向量, 則曲線積分則曲線積分稱為稱為向量場向量場 A 沿有向閉曲線沿有向閉曲線 的的環(huán)流量環(huán)流量. . 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度27 sAd利用

22、利用Stokes公式公式, zRyQxPddd RQPzyxyxxzzydddddd)d,d,d(d),(zyxsRQPA yPxQxRzPzQyRRQPzyxkji,環(huán)流量環(huán)流量SRQPzyxkjid )dd,dd,dd(dyxxzzyS 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度282. 旋度的定義旋度的定義,rotARQPzyxkji 記為記為即即稱為稱為向量場向量場 A 的的旋度旋度(rotation),kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),( 設(shè)向量場設(shè)向量場其中函數(shù)其中函數(shù)P, Q, R均具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)均具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則向量則向量

23、RQPzyxkjiAA rot.)()()(kyPxQjxRzPizQyR 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度29.處處的的旋旋度度RQPzyxkjiA rot旋度旋度42322yzyzxxzzyxkji kxyzjxziyxz43)22(224 ),1 , 2, 1( P在在點點解解例例)1 , 2, 1(22423 PkyzjyzxixzA在在求求向向量量場場).8 , 3 , 2(rot A 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度30斯托克斯公式的向量形式斯托克斯公式的向量形式 sASnAddrot sASAndd)rot(其中其中nAAn

24、 rot)rot(,coscoscos RQPAA 或或 cos)(cos)(cos)(yPxQxRzPzQyR cos,cos,cos n為曲面為曲面在點在點(x, y, z)處的單位處的單位cos,cos,cos 法向量法向量;為曲線為曲線在點在點(x, y, z)處的單位處的單位切向量切向量. 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度31Ozxyl設(shè)某剛體繞定軸設(shè)某剛體繞定軸 l 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動,M為剛體為剛體上任一點上任一點, 建立坐標系如圖建立坐標系如圖,M則則),(zyxr 角速度為角速度為 r), 0, 0( 點點 M 的線速度為的線速度為 vrotzyxkji 0

25、0)0,(xy 0 xyzyxkji )2 , 0 , 0( .2 (此即此即“旋度旋度”一詞的由來一詞的由來)旋度的力學(xué)意義旋度的力學(xué)意義 rv , 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度32Stokes公式公式的物理解釋的物理解釋 sA d環(huán)流量環(huán)流量 SAdrot在大氣中在大氣中, 手中的風(fēng)車朝哪個方向轉(zhuǎn)動最快手中的風(fēng)車朝哪個方向轉(zhuǎn)動最快,哪個方向就是風(fēng)速場的旋度方向哪個方向就是風(fēng)速場的旋度方向.(的正向與的正向與的側(cè)符合右手法則的側(cè)符合右手法則)coscoscos( RQPAA 向量場向量場 A 沿有向閉曲線沿有向閉曲線 的環(huán)流量等于向量場的環(huán)流量等于向量場A的旋

26、度場通過的旋度場通過 所張的曲面的通量所張的曲面的通量. 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度33斯托克斯斯托克斯Stokes公式公式斯托克斯公式的物理意義斯托克斯公式的物理意義環(huán)流量環(huán)流量與與旋度旋度三、小結(jié)三、小結(jié)Stokes公式的實質(zhì)公式的實質(zhì)表達了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線表達了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系上的曲線積分之間的關(guān)系.(注意使用的條件注意使用的條件) 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度34),3,2(2zxyA 其其中中9222 zyx是球面是球面 (1) 用對面積的曲面積分用對面積的曲面積分

27、;(2) 用對坐標的曲面積分用對坐標的曲面積分;(3) 用高斯公式用高斯公式;(4) 用斯托克斯公式用斯托克斯公式.的上半部的上半部, 是它的邊界是它的邊界.思考題思考題,drot SnA計算計算xyzO 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度35 解答解答 nArot 22222211,1,1yxyxyyxxzzzzzzzz(1) Szzyxd1122 2211yxzz xyDyxdd.9 ),3 ,2(2zxyA 其其中中 cos)23( 對面積的曲面積分對面積的曲面積分yxzzyxdd122 xyD的的上上半半部部是是球球面面9222 zyx SnAdrot計算計算 SnAdrot)cos,cos,(cos322 zxyzyxkji)cos,cos,(cos n 10.7 斯托克斯公式斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度36 解答解答(2) yxdd.9 對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分xyD SnAdrotSdcos