第7講三角函數(shù)模型與解三角形的實際應(yīng)用

1、本課件主要使用工具為Office2003，Mathtype6.0, 幾何畫板4.0, Flashplayer10.0更多信息請登錄： 2011屆新課標(biāo)高中總復(fù)習(xí)（第屆新課標(biāo)高中總復(fù)習(xí)（第2輪）輪）（湖南）2專題二 三角變換與平面向量、復(fù)數(shù)【考題1】(2010北京)如右圖放置的邊長為1的正方形PABC沿x軸滾動設(shè)頂點(diǎn)P(x，y)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式是y=f(x)，則f(x)的最小正周期為 ；y=f(x)在其兩個相鄰零點(diǎn)間的圖象與x軸所圍區(qū)域 的面積為 .說明：“正方形PABC沿x軸滾動”包括沿x軸正方 向和沿x軸負(fù)方向滾動沿x軸正方向滾動指的是先以頂點(diǎn)A為中心順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)頂點(diǎn)B落在x軸

2、上時，再以頂點(diǎn)B為中心順時針旋轉(zhuǎn)，如此繼續(xù)類似地，正方形PABC可以沿x軸負(fù)方向滾動 41【解析】 224.111441( 2)1 1 2122PABCPyf x 當(dāng)正方形滾動四邊時 才回到左下方的位置，所以最小正周期是在其兩個相鄰零點(diǎn)的圖象如下圖所示面積為命題立意：本題主要考查周期函數(shù)、函數(shù)零點(diǎn)的概念，考查動點(diǎn)形成圖形的理解能力和運(yùn)算能力 【專題2】(2010陜西)如圖，A，B是海面上位于東西方向相距5(3+ )海里的兩個觀測點(diǎn)現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45，B點(diǎn)北偏西60的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點(diǎn)南偏西60且與B點(diǎn)相距20 海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時，該救

3、援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長時間？ 33【解析】3,sinsinsin5(33) sin45sinsin1055 3(35(3)()93) sin45sin45 cos60cos40603095 si04545180(4530n605 3( 3)105 .DBABDABABDBADABADBDADBABDABAABDBDB 由題意知海里 ，所以在中，由正弦定理得所以1)10 3)2(31海里 722230(9060 )6020()2cos300 12002 102090030()13133230(130)DBCDBAABCBCDBCCDBDBCBD BCDBCCDDt 又，海里 ，在中，由余弦定理得，

4、所以海里 ，則需要的時間小時 答：救援船到達(dá) 點(diǎn)需要 小時命題立意：本題主要考查方位角概念，運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決實際應(yīng)用問題的能力8考情掃描：1本節(jié)內(nèi)容在高考中以考查用“五點(diǎn)法”作y=Asin(x+ )的圖象為主，同時考查三角函數(shù)圖象的變換和對稱性及圖象的應(yīng)用2利用三角函數(shù)的周期性及有界性研究實際問題的變化規(guī)律和取值范圍3三角函數(shù)圖象的變換是高考考查的熱點(diǎn)，多為選擇題形式，解題關(guān)鍵是熟練掌握平移、伸縮變換的規(guī)律94在高考試題中，出現(xiàn)有關(guān)解三角形的內(nèi)容大多屬于容易題，最多是中檔題，主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用及利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能及運(yùn)算能力，以化簡、求值或判斷三角形的形狀為主

5、，考查有關(guān)定理的應(yīng)用、運(yùn)算能力及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想解三角形常作為工具解決實際問題，將實際問題轉(zhuǎn)化為解斜三角形的問題，再確定是哪類解斜三角形問題，就用哪個定理來解決解斜三角形的問題在近幾年高考中經(jīng)常出現(xiàn)，并且與實際問題的聯(lián)系仍是高考命題的熱點(diǎn)，要加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練 三角函數(shù)是描述周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型高考中，單擺、彈簧振子、圓上一點(diǎn)的運(yùn)動、以及音樂、波浪、潮汐、四季變化等周期性現(xiàn)象是新的命題背景1新教材中增設(shè)了三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用，且在課程標(biāo)準(zhǔn)中把“潮汐與港口水深”這一三角問題專門作為參考案例(在原來的教材中只有閱讀材料)，教材中有幾處涉及三角函數(shù)在物理學(xué)科中的應(yīng)用，如用函數(shù)y=Asin(x+ )的物理

6、意義刻畫簡諧振動、交流電等，說明三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，顯示重視三角函數(shù)實際應(yīng)用的意圖 2融入三角形之中的實際問題也常出現(xiàn)這種題型既能考查解三角形的知識與方法，又能考查運(yùn)用三角公式進(jìn)行恒等變換的技能，故近年來備受命題者的青睞，主要解法是充分利用三角形的內(nèi)角和定理、正(余)弦定理、面積公式等，并結(jié)合三角公式進(jìn)行三角變換，從而獲解 sin()sin()(00 |)sin()112ItIAtIAtAIAt已知電流 與時間 的關(guān)系式為下圖是，在一一、三角函數(shù)圖象的個周期內(nèi)的【圖象，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求的】應(yīng)用例解析式； sin()15210tIAt如果 在任意一段秒的時間內(nèi)，電流都能取得最

7、大值和最小值，那么 的最小正整數(shù)值是多少？ 122111,900180111,18090075211180180,.26).6300.22()150 .0sin(150)0|300sin(1501AttTtttIItT 由圖可知設(shè)，則周期所以又當(dāng)時，即，而所以故所求的解析式為【解析】15 *(0)3009412115015022.943.T N依題意，周期，即，所以又，故 的最小正整數(shù)值是:本題解答的切入點(diǎn)是將圖形語言轉(zhuǎn)化為符號語言其中，讀圖、識圖、用圖是數(shù)形結(jié)合評析的有效途徑二、三角函數(shù)的應(yīng)用【例2】如圖，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救信

8、息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東 的方向沿直線CB前往B處救援，求cos 的值【解析】如題圖所示，在ABC中，AB=40，AC=20，BAC=120，2227.,2cos120280020sisinsin120cos30coscos(30 )coscos30sinsin30nsin21.72 7.721.14ABBCACBBACABCABACAB ACBCACBBACBACACBACBBBCACBACBACBACB 由余弦定理知，得由正弦定理得由，則為銳角，由，則18評析：本題是解斜三角形的應(yīng)用題，考查了正、余弦定理以及兩角和余弦公式的應(yīng)用，考查學(xué)生

9、利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力三、解三角形的應(yīng)用【例3】在海島A上有一座海拔1千米的山，山頂設(shè)有一個觀察站P.上午11時，測得一輪船在島北偏東30，俯角為30的B處，到11時10分又測得該船在島北偏西60、俯角為60的C處(該船沿直線航行)(1)求船的航行速度；(2)又經(jīng)過一段時間后，船到達(dá)海島的正西方向的D處，問此時船距島A有多遠(yuǎn)？ 【解析】(1)如圖所示，在RtPAB中，APB=60，PA=1，則AB= .322223.33303,3330Rt3030609012 30/6(3)PACAPCACACBCABBCACAB 在中，則在中，則故船的航行速度為千米 小時 2906030sinsin

10、(180)sinsinsin(30 )sin3 3310,10303313101cos30cossi101022103 311n220.030DACDCAACBACBCDAACBACABBBCACB ，22,sinsin33 10sin93310,sin13(3 31) 102093.13ADACDCACDAACDCACDACDAAAD在中，據(jù)正弦定理得所以即此時船離島千米距評析：本題主要考查三角形基礎(chǔ)知識，以及學(xué)生的識圖能力和綜合運(yùn)用三角知識解決實際問題的能力23備選題如圖所示，某動物園要為剛?cè)雸@的小老虎建造一間兩面靠墻的三角形露天活動室，已知已有兩面墻的角為60(即C=60)現(xiàn)有可供建造第

11、三面墻的材料6米(兩面墻的長均大于6米)，為了使得小老虎能健康成長，要求所建造的三角形露天活動室盡可能大，記ABC= ，問當(dāng) 為多少時，所建造的三角形露天活動室的面積最大？24【解析】224sin ,4sin()sin12sinsin()112si,sinsinsin()3333312333332331cos233()2213n( sincos )2sin(6(sinsi2),2ncos )6si6n6ABCACABABCACBCSACCBBC在中，化簡得，所以25max3)3.6sin(232()96,3.62603ABCABCSS即所以，當(dāng)即時，故當(dāng)時，所建造的三角形露天活動室的面積最大評析：三角形中的有關(guān)最值問題，可采用數(shù)形結(jié)合的思想或函數(shù)的思想進(jìn)行解決261三角函數(shù)模型的常見應(yīng)用三角函數(shù)能夠模擬許多周期現(xiàn)象，因此在解決實際問題時有著廣泛的應(yīng)用如果某種變化著的現(xiàn)象具有周期性，那么它就可以借助三角函數(shù)來描述三角函數(shù)模型的常見類型有：(1)航海類問題：涉及方位角概念方位角指的是從指北方向順時針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角(2)涉及正、余弦定理與三角函數(shù)圖象有關(guān)的應(yīng)用題.2010年全國高考有一解答題正是此類應(yīng)用題(3)引進(jìn)角為參