最新彈性力學變分原理精品ppt課件說課講解

1、彈性力學變分原理問題的引入問題的引入彈性力學問題的兩種基本解法彈性力學問題的兩種基本解法1、建立偏微分方程邊界條件（直接法）、建立偏微分方程邊界條件（直接法）2、建立變分方程（泛函的極值條件）、建立變分方程（泛函的極值條件）優(yōu)點：優(yōu)點：最終可以轉化為求函數的極值問題，化最終可以轉化為求函數的極值問題，化為代數方程，為近似解的尋求提供方便。也是為代數方程，為近似解的尋求提供方便。也是數值方法的理論基礎。數值方法的理論基礎。iijiju,兩種方法具有等價性兩種方法具有等價性, ,且力學問題中的泛函且力學問題中的泛函多為能量多為能量, ,是標量是標量, ,應用方便。應用方便。dxy1dxdxdy1L

2、ba2ba2 )()( 顯然長度顯然長度L依賴于曲線的形狀，也就是依賴于曲線的形狀，也就是依賴于函數依賴于函數y(x)的形式。因此，長度就是的形式。因此，長度就是函數函數y(x)的泛函。的泛函。 在一般的情況下，泛函具有如下的形式在一般的情況下，泛函具有如下的形式dxdxdyyxfxyIba),()(二、函數的微分二、函數的微分 與變分與變分1、自變量的微分、自變量的微分dx2、函數的微分、函數的微分3、函數的變分、函數的變分dxxydy)( ，成為新函數發(fā)生形式改變到記)()()()( xyxyxyxyyydydx)(xy)(xy條曲線越接近接近度階數越高，則兩稱為一階接近度；也很小，很小，

3、若稱為零階接近度；并不小，很小，但若 yy)y()x( y(*)yy)y()x( y)()()(xyxyy)()(yy 注意到：注意到：與與(*)式式比較，可見：比較，可見：即：即：）（）（ydxddxdy 結論：結論：導數的變分等于變分的導數，或變分導數的變分等于變分的導數，或變分 記號與求導記號可以互換。記號與求導記號可以互換。三、泛函的變分三、泛函的變分一般情況下，泛函可寫為：一般情況下，泛函可寫為：dxyyxfIba),(1、按照泰勒級數展開法則，被積函數、按照泰勒級數展開法則，被積函數 f 的增的增量可以寫成量可以寫成 .yyfyyf)y, y, x(f)yy, yy, x(ff上式

4、中上式中, ,右邊的前兩項是右邊的前兩項是 f 的增量的主部，的增量的主部，定義為定義為 f 的一階變分，表示為的一階變分，表示為yyfyyff2、再考察、再考察 babababadxyyfdxyyxfyyyyxfdxyyxfdxyxyyyxfI)(),(),(),()(,(的高階項及 badxfI)(定義定義: 泛函泛函I 的變分的變分）（又dx)y, y, x(fIbababadxyyxfdxyyxf),( ),(）（結論：結論：變分運算和積分運算可以交換次序變分運算和積分運算可以交換次序與上式比較，可得：四、泛函的駐值與極值四、泛函的駐值與極值1、函數的駐值和極值、函數的駐值和極值如果函

5、數如果函數y(x)在在xx0的鄰近任一點上的值都的鄰近任一點上的值都不大于或都不小于不大于或都不小于y(x0)，即即 y(x)y(x0)或或 則稱函數則稱函數y(x)在在xx處達到極大值或極小處達到極大值或極小值。極值的值。極值的必要必要條件為條件為 0dxdy 為駐值時，稱當)(0 xxxyy0dxdy0 極值必是駐值，但駐值不一定是極值。極值必是駐值，但駐值不一定是極值。0dxdy 取極值的必要條件為取極值的必要條件為 ，其充分條件，其充分條件由二階導數來判定由二階導數來判定不定為極小為極大 0)(y)( 0)(y)( 0)(y0)(y0)(y xxyxxyxxx2、泛函的駐值和極值、泛函

6、的駐值和極值0IxyyxyyxyIIoo 處必有則在處有極值在泛函)()()( 為駐值稱當)(,)()(xyI0 xyIoxyyo 0)(IxyII取得極值的必要條件是泛函 不定極小極大充分條件 0I0I0I0I0I2222其中：其中：dxfyyyyIba)(22五、歐拉方程與自然邊界條件五、歐拉方程與自然邊界條件 的駐值問題討論 babaybyyaydxyyxfI)()(),( 因為取駐值，所以因為取駐值，所以0I 0ydxyfdxdyfydxyfdxdyyfdxyyfdxyyfyyfIbababababa )()()()()(是任意的，則：y 0yfdxdyf)(為歐拉方程，可見上述泛函的

7、駐值問題等同于為歐拉方程，可見上述泛函的駐值問題等同于歐拉微分方程邊值問題的解。歐拉微分方程邊值問題的解。如果問題是：如果問題是： 邊界條件任意badxyyxfI),()( 0 00)(0bxaxyfyfyfdxdyfI得到：則由）稱為自然邊界條件（ 自變函數事先滿足的邊界條件稱為自變函數事先滿足的邊界條件稱為本質邊本質邊界條件界條件。11 2 應變能與余應變能應變能與余應變能1.應變能應變能: 物體因變形儲存的能量。物體因變形儲存的能量。功和能的關系：功和能的關系：可逆過程可逆過程外力做功外力做功動能、應變能動能、應變能不可逆過程不可逆過程熱能、聲能熱能、聲能 在彈性力學中，僅研究在彈性力學

8、中，僅研究可逆過程可逆過程。對于。對于靜靜力學問題，認為外荷載對彈性體所做的功力學問題，認為外荷載對彈性體所做的功全部轉化為彈性體的應變能，并貯存于彈全部轉化為彈性體的應變能，并貯存于彈性體內。若卸去外荷載，彈性體將釋放出性體內。若卸去外荷載，彈性體將釋放出全部的應變能，并恢復其未受載時的初始全部的應變能，并恢復其未受載時的初始狀態(tài)。狀態(tài)。 分析：從分析：從A狀態(tài)到狀態(tài)到B狀態(tài)狀態(tài)外荷載做功的增量：外荷載做功的增量：彈性體彈性體 應應 變能增變能增 量量:WV對于彈性靜力學問題，根據熱力學第一定律：對于彈性靜力學問題，根據熱力學第一定律： VW 微元體在某一應變狀態(tài)獲得的應變能增量為微元體在某

9、一應變狀態(tài)獲得的應變能增量為VViiiidsutdvufV其中，其中， 為彈性體變形過程中的位移增量。為彈性體變形過程中的位移增量。 利用高斯公式得：利用高斯公式得：dvudvufdsundvufjViijViiVVijijii, )(iu考慮到應力張量的對稱性，有考慮到應力張量的對稱性，有dvVijVijdvudvufdvuudvufVjiijViijijVjiijijijVii,)()(定義：單位體積彈性體的應變能定義：單位體積彈性體的應變能(或稱應變能或稱應變能密度密度)為為 vijijvdvvVVdvvVVdvVijVij與前式有：得比較比較比較:ijijv此式稱為格林此式稱為格林(G

10、reen)公式，它適用于一般材公式，它適用于一般材料，不局限于線彈性材料。料，不局限于線彈性材料。由于彈性體的應變能由其變形狀態(tài)唯一確定，由于彈性體的應變能由其變形狀態(tài)唯一確定，它是狀態(tài)函數，與變形過程無關，故有它是狀態(tài)函數，與變形過程無關，故有ijijvvijijv的表達式？vijijijijo，：受載后：設初始狀態(tài)1 0在狀態(tài)在狀態(tài) 的應變能密度為的應變能密度為11010*ij*ijvv*ij*ijijij 、 為為 0 、 的某個中間狀態(tài)。的某個中間狀態(tài)。 彈性體應變能是狀態(tài)函數，故上式積分與彈性體應變能是狀態(tài)函數，故上式積分與路徑無關。路徑無關。 對于對于線性線性問題，可假設在變形過程

11、中應力、問題，可假設在變形過程中應力、應變分量等比例增長。應變分量等比例增長。 ) 10(0:) 10(0:*ttttijijijijijijijij*ij*ijttv2110102. 余應變能、余應變能密度余應變能、余應變能密度對于單向拉伸問題對于單向拉伸問題應變能密度為應變能密度為 dv0)()(引入另一標量函數：引入另一標量函數：cdv0)()(即余應變能密度。即余應變能密度。 dvvVVcc余應變能余應變能一般地，應變能密度和余應變能密度滿足關系一般地，應變能密度和余應變能密度滿足關系 ijijcvv對于線彈性體對于線彈性體ijijcvv2111 3 廣義虛功原理廣義虛功原理1、真實位

12、移、真實應力和真實應變、真實位移、真實應力和真實應變uiiijjiijiSxuuVxuuu)(21,真實位移，滿足：即幾何連續(xù)條件即幾何連續(xù)條件SxfnVxf:uijijij ,ijiji0滿足對應的與即平衡條件即平衡條件真實應力對應的與真實應變真實應變對應的與真實位移ijijijiu它們構成彈性力學問題的解。它們構成彈性力學問題的解。2、容許位移、容許應變、容許位移、容許應變容許應變容許位移，滿足： kijuikikijkjikijkiSxuuVxuu21u)(, 只對應于一個連續(xù)的位移場，但不一定只對應于一個連續(xù)的位移場，但不一定對應于一個平衡的應力狀態(tài)，即與對應于一個平衡的應力狀態(tài)，即與

13、 對應的對應的應力不一定滿足平衡條件；而真實位移必對應力不一定滿足平衡條件；而真實位移必對應一個平衡的應力狀態(tài)。應一個平衡的應力狀態(tài)。 容許位移和應變不一定是真實的位移和應容許位移和應變不一定是真實的位移和應變。但反之，真實的位移和應變必然是容許變。但反之，真實的位移和應變必然是容許的。的。 比較比較kiu的區(qū)別與ikiuukiu3、容許應力、容許應力SxfnVxf:ijsijisijsij0容許應力，滿足比較比較的區(qū)別與ijsij與容許應力對應的應變與位移不一定滿足協(xié)與容許應力對應的應變與位移不一定滿足協(xié)調方程和位移邊界條件，不保證物體內部存調方程和位移邊界條件，不保證物體內部存在單值連續(xù)的

14、位移場，但真實應力對應于單在單值連續(xù)的位移場，但真實應力對應于單值連續(xù)的位移場。值連續(xù)的位移場。容許應力不一定是真實的應力。但反之，真容許應力不一定是真實的應力。但反之，真實的應力必然是容許的。實的應力必然是容許的。 4、虛位移、虛應變、虛位移、虛應變彈性體平衡位置附近，幾何約束條件容許的彈性體平衡位置附近，幾何約束條件容許的微小位移，記為微小位移，記為iuijijkijiikiuuu 有：滿足：iu uiijjiijSx0uVxuu21)(,，稱為虛應變對應的應變與ijiu5、虛應力、虛應力彈性體平衡位置附近，平衡條件所容許的微彈性體平衡位置附近，平衡條件所容許的微小應力狀態(tài)小應力狀態(tài). i

15、jijsij有： Sx0nVx0jijjij,ijijtn但在位移邊界上引起一個容許的面力但在位移邊界上引起一個容許的面力6、廣義虛功原理、廣義虛功原理外力在容許位移上所做的功等于容許應力在外力在容許位移上所做的功等于容許應力在與該容許位移相應的容許應變上所做的功。與該容許位移相應的容許應變上所做的功。簡述為，外力虛功等于內力虛功。簡述為，外力虛功等于內力虛功。 VkijsijSkiiVkiidvdsutdvuf證明：證明：VkijsijSkiiVkj , isijSkijsijVkisj ,ijVkiisijdvdsutdvudsundvudvuf是靜力容許的因為移項后 VkijsijSki

16、iVkiidvdsutdvuf說明：說明： 1、證明中，涉及到平衡、幾何方程，并未涉及到物理方程。故在小變形及連續(xù)性條件下，適用于任何材料。 2、容許應力與容許位移、容許應變可以是同一彈性體中不同的受力狀態(tài)和變形狀態(tài)，彼此獨立。 3、（a）平衡條件、（b）幾何條件、（c）廣義虛功方程三者間得關系由其中任兩個條件可得第三個。由（b）、（c) (a) 表述為：若有一組內外力，對于任意容許位移和相應的容許應變，使廣義虛功原理成立，則這組內外力是平衡的。證明：證明：因為廣義虛功原理VkijijSkijijSkiiVkjiijSkiiVkijijSkiiVkiidvudsundsutdvudsutdvd

17、sutdvuf,0)()(,SkiijijVkiijijdsutndvuf表示內外力平衡0SxfnVxfijijij ,ij由（a）、（c) (b) 表述為：若有一組位移和應變，對于任意容許應力，使廣義虛功原理成立，則這組位移和應變是可能的。關系：關系：平衡條件平衡條件幾何條件幾何條件平衡條件平衡條件幾何條件幾何條件廣義虛功原理廣義虛功原理7、虛位移原理、虛位移原理 iiuu設：真實位移虛位移，位移的變分,1() ( )20 ()kkiiiijijijiji jj iiuuuuuuVus則：且：由廣義虛功原理： VkijsijSkiiVkiidvdsutdvufVijijijSiiiViiid

18、vdsuutdvuuf)()()(ijsij并取虛位移原理虛位移原理外力虛功外力虛功=內力虛功內力虛功VijijSiiViidvdsufdvuf即為：或稱：虛位移原理虛位移原理 平衡方程應力邊界條件平衡方程應力邊界條件8、虛應力原理、虛應力原理由廣義虛功原理： kisijijiju設：真實位移真實應力 虛應力 VkijsijSkiiVkiidvdsutdvuf,0( ) 0() ij jijjuijjiVnssnt則：另：在 上：由廣義虛功原理：外余虛功外余虛功=內余虛功內余虛功VijSiidvdsutijuVijijijiSiiiSiViidvdsuttdsufdvufu)()(表表 明明在

19、已知位移的邊界上，虛面力在真實位移在已知位移的邊界上，虛面力在真實位移上作的功，等于整個彈性體的虛應力在真上作的功，等于整個彈性體的虛應力在真實應變上作的功。即虛應力原理。實應變上作的功。即虛應力原理。虛應力原理虛應力原理 幾何方程位移邊界條件幾何方程位移邊界條件9、功的互等定理功的互等定理 廣義虛功方程應用于同一彈性體兩種不同受力和變形狀態(tài)下的解答。(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1)(1)(1)(2)(2)(2)( ) ( ) () () () (),; ,iiiiiuiuijijiijijifVfVtstsususuu第一種：第二種：對應的若取第一種應力，第二種位移和應變，則：若取

20、第二種應力，第一種位移和應變，則：VijijSiiViidvdsutdvuf)2()1()2()1()2()1(VijijSiiViidvdsutdvuf)1()2()1()2()1()2(SiiViiSiiViidsutdvufdsutdvuf)1()2()1()2()2()1()2()1()1()2()2()1(ijijijij由于故有：故有：注意：注意：(1) 功的互等定理僅適用于線彈性體功的互等定理僅適用于線彈性體(2) 可進一步得到位移互等、反力互等定理?？蛇M一步得到位移互等、反力互等定理。114 最小勢能原理、位移變分方程最小勢能原理、位移變分方程虛位移原理虛位移原理VijijSi

21、iViidvdsufdvufijijv因為dsufdvufVdsufdvufvisiiviisiiviv稱為位移變分方程，也稱lagrange變分方程。表示：彈性體應變能的變分等于外力的虛功。表示：彈性體應變能的變分等于外力的虛功。另：外力大小和方向在 過程中不變。iu0)(pvsiiiipvsiiiiVVdsufdvufVdsufdvufV則：令：則：iu因為 微小0JVVJp 總勢能定義： SiiViiVijijidsufdvufdvuJ21)(對于線彈性體： 由此可見，在滿足幾何條件的所有可能的位移中，實際存在的位移使總勢能變分為零，即：使總勢能取駐值。 進一步可以證明，對于穩(wěn)定平衡狀態(tài)

22、， ，這個駐值為極小值。又解具有唯一性，由此可以導出：02J最小勢能原理：最小勢能原理：在所有變形可能的位移中，實在所有變形可能的位移中，實際存在的位移使總勢能取最小值。它等價于平際存在的位移使總勢能取最小值。它等價于平衡方程和應力邊界條件。證明如下：衡方程和應力邊界條件。證明如下：SiijijViijiSiiSijijViijiSiiViiVjiijSiiViiVijijdsufndvufdsufdsundvufdsufdvufdvudvufdvufdvJ)()()(,充分性任意因為iu0J由SxfnVxfijijijij0,必要性也成立。所以變分問題所以變分問題 的歐拉方程為的歐拉方程為

23、，自然邊界條件為應力邊界，自然邊界條件為應力邊界條件。條件。0J0fijij ,證明是極小值證明是極小值 SiiViiVijidsutdvufdvvuJ)()(對于線彈性體，其總勢能為SiiiViiiVijijiidsuutdvuufdvvuuJ)()()()(kijijijijkiiiiuuuu ;VSiiViiVVSiiViiVijijijiiidvvJdsutdvufdvvdvvdsutdvufdvvvuJuuJJ222121)()()()(JJJJ222121又：又：ijijijG2對于穩(wěn)定平衡，應力存在變分對于穩(wěn)定平衡，應力存在變分ijijijG2）（02222ijijijijijG

24、Gv）（）（ijijijklklijklijklijvv)(22由：由：而：而：得：得：所以所以02J115 最小余能原理、應力變分方程最小余能原理、應力變分方程1、在第二節(jié)已經證明了ijijv同樣，可以證明ijijcvijijijcijvv )()(ijijijijijijcijijvv 0)()(ijijijijijijcvv任意ijijcijv2、由虛應力原理、由虛應力原理usdstudviiijvijusdstudvviiijvijcdstudvvisivcuusiidstuVc即應力變分方程即應力變分方程3、dstuVJisicuc由于 是邊界u上給定的已知函數， iu所以右端項中變

25、分可以移到積分號前面，并記 0Jc 由此可見，在所有靜力可能的應力中，實際存在的應力使彈性體的總余能取駐值，進一步可以證明，對于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，這個駐值為極小值。又解具有唯一性，由此可以導出最小余能原理：在所有靜力可能的應力最小余能原理：在所有靜力可能的應力中，實際存在的應力使彈性體的總余能取最中，實際存在的應力使彈性體的總余能取最小值小值。 得到得到:彈性體總余能彈性體總余能證明：證明： 最小余能原理等價于幾何方程和位移邊界最小余能原理等價于幾何方程和位移邊界條件。條件。 0dsnuudvuu21dstudsnudvudstudvuudstudvuJuuuuSjijiiVijijjiijSii

26、SjijiVijjiijSiiVijjijijiijijSiiVjijiijijijc )()()()()()(,任意ij uiiijjiijSxuuVxuu21)(,反之，必要性也成立 變分問題變分問題 的歐拉方程為幾何方程，的歐拉方程為幾何方程，自然邊界條件為位移邊界條件自然邊界條件為位移邊界條件。0Jc 118 基于最小勢能原理的近似計算基于最小勢能原理的近似計算基于最小勢能原理，如果能夠列出所有變形基于最小勢能原理，如果能夠列出所有變形可能的位移，其中使總勢能取最小值的那個可能的位移，其中使總勢能取最小值的那個位移，就是真實的位移。位移，就是真實的位移。問題在于：問題在于：我們不可能我

27、們不可能列出所有變形可能的列出所有變形可能的位移，一般只能選其中的一組，故解具有近位移，一般只能選其中的一組，故解具有近似性。似性。但：但：如果事先給出的變形可能位移中含有真如果事先給出的變形可能位移中含有真解的形式，則一定可以求出真解。解的形式，則一定可以求出真解。mmmmmmmmmwCwwvBvvuAuu0001. Ritz 法法不失一般性不失一般性, ,設可能位移為設可能位移為上式所示的位移總能滿足位移邊界條件上式所示的位移總能滿足位移邊界條件 求位移的問題 求系數m,m,msiiividsufdvufVJ其中,含有應變能和位移的變分,如何實現?mmmmmmmmmCwwBvvAuummmmmmmCCVBBVAAVV)(mSmmzmmymmxmVmmzmmymmxmmmmmmmdsCwfBvfAufdvCwfBvfAufCCVBBVAAV0)()()(代入代入, ,有有: :siiividsufdvufVJSmzVmzmSmyVmymSmxVmxmdswfdxdydzwfCVdsvfdxdydzvfBVdsufdxdydzufAVm，關于m,m,m的3m個線性代數方程組 2.2.伽遼金法伽遼