高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件：4-5 定積分的換元法

1、第四節(jié)第四節(jié) 定積分的換元法定積分的換元法定理定理 假假設(shè)設(shè)（1 1）)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)；（2 2）函函數(shù)數(shù))(tx 在在, 上上是是單單值值的的且且有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)；（3 3）當(dāng)）當(dāng)t在區(qū)間在區(qū)間, 上變化時，上變化時，)(tx 的值的值在在,ba上變化，且上變化，且a )( 、b )( ， 則則 有有dtttfdxxfba )()()(. .一、換元公式一、換元公式證證設(shè)設(shè))(xF是是)(xf的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)，),()()(aFbFdxxfba ),()(tFt dtdxdxdFt )()()(txf ),()(ttf ),()()()( dtttf)(t 是是)(

2、)(ttf 的的一一個個原原函函數(shù)數(shù).a )( 、b )( ,)()( )()( FF ),()(aFbF )()()(aFbFdxxfba )()( .)()(dtttf 注注意意 當(dāng)當(dāng) 時時，換換元元公公式式仍仍成成立立.應(yīng)用換元公式時應(yīng)注意應(yīng)用換元公式時應(yīng)注意:（1）求求出出)()(ttf 的的一一個個原原函函數(shù)數(shù))(t 后后，不不必必象象計計算算不不定定積積分分那那樣樣再再要要把把)(t 變變換換成成原原變變量量x的的函函數(shù)數(shù)，而而只只要要把把新新變變量量t的的上上、下下限限分分別別代代入入)(t 然然后后相相減減就就行行了了.（2）用用)(tx 把把變變量量x換換成成新新變變量量t時

3、時，積積分分限限也也相相應(yīng)應(yīng)的的改改變變.例例1 1 計算計算.sincos205 xdxx解解令令,cosxt 2 x, 0 t0 x, 1 t 205sincosxdxx 015dtt1066t .61 ,sin xdxdt 例例2 2 計算計算解解.sinsin053 dxxxxxxf53sinsin)( 23sincosxx 053sinsindxxx 023sincosdxxx 2023sincosdxxx 223sincosdxxx 2023sinsinxdx 223sinsinxdx 2025sin52 x 225sin52x.54 例例3 3 計算計算解解.)ln1(ln43

4、eexxxdx原式原式 43)ln1(ln)(lneexxxd 43)ln1(ln)(lneexxxd 432)ln(1ln2eexxd 43)lnarcsin(2eex .6 例例4 4 計算計算解解 aadxxax022)0(.1令令,sintax ax ,2 t0 x, 0 t,costdtadx 原式原式 2022)sin1(sincosdttatata 20cossincosdtttt 20cossinsincos121dttttt 20cossinln21221 tt.4 例例 5 5 當(dāng)當(dāng))(xf在在,aa 上上連連續(xù)續(xù)，且且有有 )(xf為為偶偶函函數(shù)數(shù)，則則 aaadxxfd

5、xxf0)(2)(； )(xf為為奇奇函函數(shù)數(shù)，則則 aadxxf0)(.證證,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf在在 0)(adxxf中中令令tx , 0)(adxxf 0)(adttf,)(0 adttf)(xf為為偶偶函函數(shù)數(shù)，則則),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20 adttf)(xf為為奇奇函函數(shù)數(shù)，則則),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(. 0 奇函數(shù)奇函數(shù)例例6 6 計算計算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函數(shù)偶函數(shù) 10

6、22114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 單位圓的面積單位圓的面積例例 7 7 若若)(xf在在1 , 0上連續(xù)，證明上連續(xù)，證明（1） 2200)(cos)(sindxxfdxxf;（2） 00)(sin2)(sindxxfdxxxf. 由此計算由此計算 02cos1sindxxxx.證證（1）設(shè)）設(shè)tx 2,dtdx 0 x,2 t2 x, 0 t 20)(sindxxf 022sindttf 20)(cosdttf;)(cos20 dxxf（2）設(shè)）設(shè)tx ,dtdx 0 x, t x, 0 t 0)(sindxxxf 0

7、)sin()(dttft,)(sin)(0 dttft 0)(sindttf 0)(sindtttf 0)(sindxxf,)(sin0 dxxxf.)(sin2)(sin00 dxxfdxxxf 02cos1sindxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112xdx 0)arctan(cos2x.42 )44(2 0)(sindxxxf幾個特殊積分、定積分的幾個等式幾個特殊積分、定積分的幾個等式定積分的換元法定積分的換元法dxxfba )(dtttf )()(二、小結(jié)二、小結(jié)思考題思考題指指出出求求 2221xxdx的的解解法法中中的的錯錯誤誤，并并寫寫出出正正確確的的解解法法.解解 令令,sectx ,4332: t,sectantdttdx 2221xxdxtdtttttansectansec14332 dt 4332.12 思考題解答思考題解答計算中第二步是錯誤的計算中第二步是錯誤的.txsec ,