電磁場及微波技術(shù)

1、zyxAzAyAxA222zyxAAAA該矢量的模為 A的單位矢量為 coscoscoszyaxAAzAAyAAxAAAzyx標(biāo)量場標(biāo)量場)2() 1( 45),(222zyxzyx 如溫度場如溫度場, ,電位場電位場, ,高度場等高度場等; ;矢量場矢量場zxyzyzxxxyzyx2),(22A如流速場如流速場, ,電場電場, ,渦流場等。渦流場等。zyxBzByBxB)( )( )( zzyyxxBAzBAyBAxBA(2) 矢量的加法和減法矢量的加法和減法zyxAzAyAxA(1) 矢量的數(shù)乘矢量的數(shù)乘zyxaAzaAyaAxaA(3) 標(biāo)量積和矢量積標(biāo)量積和矢量積 標(biāo)量積標(biāo)量積ABAB

2、aABcosBAABBA并有并有 1 , 0zzyyxxxzzyyx2222AAAAAABABABABAzyxzzyyxx因而得因而得 矢量的相乘有兩種定義矢量的相乘有兩種定義-標(biāo)量積標(biāo)量積(點(diǎn)乘點(diǎn)乘)和矢量積和矢量積(叉乘叉乘)。矢量積矢量積A AB BABaABnsinBA)(ABA(3) 標(biāo)量積和矢量積標(biāo)量積和矢量積 并有 yxzxzyzyxzzyyxx, , 0)( )( )( ) () (xyyxxxxzyzzyzyxzyxBABAzBABAyBABAxBzByBxAzAyAxBA故 標(biāo)量三重積為 )()()(BACACBCBA矢量三重積為 （4） 三重積三重積 矢量的三連乘也有兩種

3、-標(biāo)量、矢量三重積。B)C(AC)B(AC)(BAztAytAxtAtzyxddddddddA例例 求矢量場 的矢量線方程。解解 矢量線應(yīng)滿足的微分方程為 zyxA222zyyxxyzyzyxyxyx222dddzyzxyxyxyxyx2222dddd2221cyxxcz從而有從而有 解得矢量方程 c1和c2是積分常數(shù)。 lllAdcosdlArrq420EbarrrrbabarrqrrqrElEbaba114d4dcosdd020lE例例 設(shè)設(shè)，求任意兩點(diǎn)a、b間的矢量E的線積分。解sssAdcosdsA例例 已知矢量場 ，求由內(nèi)向外穿過圓錐面x2+y2=z2與平面z=H所圍封閉曲面的通量。

4、解解 21dddssssrsrsr220cosddsssrsr32111111dddddddddddHHHyxHyxHyxzyxyzyxsrssssssz zyyxxr 單位矢量單位矢量 一個(gè)特定方向上的單位矢量等于該一個(gè)特定方向上的單位矢量等于該方向上的任一矢量除以其幅值方向上的任一矢量除以其幅值 分矢量分矢量 一個(gè)矢量在特定方向上的投影為其在一個(gè)矢量在特定方向上的投影為其在該方向上的分量該方向上的分量 切向矢量（分量）切向矢量（分量） 法向矢量法向矢量 （分量）（分量）（1） 標(biāo)量場標(biāo)量場) 2() 1( 45),(222zyxzyx 標(biāo)量場的場線標(biāo)量場的場線- -等值線等值線( (面面)

5、 )。等值線等值線標(biāo)量場標(biāo)量場(x, y, z)的等值面方程為的等值面方程為 const.),(zyx（1） 標(biāo)量場標(biāo)量場例例 求數(shù)量場求數(shù)量場 =(x+y)2-z通過點(diǎn)通過點(diǎn)M(1, 0, 1)的等值面方程。的等值面方程。解解 點(diǎn)點(diǎn)M的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是x0=1, y0=0, z0=1，則該點(diǎn)的數(shù)量場值為，則該點(diǎn)的數(shù)量場值為=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程為。其等值面方程為 22)(0)(yxzzyx或或 （2） 矢量場矢量場矢量場的場線矢量場的場線- -矢量線。矢量線。zxyzyzxxxyzyx2),(22A0d lA其方程為其方程為zAyAxAzyxddd三維場三維場在直角坐標(biāo)下在

6、直角坐標(biāo)下二維場二維場yAxAyxdd（2） 矢量場矢量場例例 求矢量場 的矢量線方程。解解 矢量線應(yīng)滿足的微分方程為 zzyyyxxxy222Azyzyxyxyx222dddzyzxyxyxyxyx2222dddd2221cyxxcz從而有從而有 解得矢量方程 c1和c2是積分常數(shù)。 矢量場矢量場-矢量線矢量線標(biāo)量場標(biāo)量場-等值線等值線( (面面) )。const),( zyxh其方程為其方程為0d lA其方程為其方程為zAyAxAzyxddd在直角坐標(biāo)下在直角坐標(biāo)下: :yAxAyxdd矢量線矢量線在某一高度上沿什么方向高度變化最快？在某一高度上沿什么方向高度變化最快？ 標(biāo)量場(x, y,

7、 z)在某點(diǎn)沿l方向的變化率稱為沿該方向的方向?qū)?shù) 。 它的值與所選取的方向 有關(guān), 設(shè) l /lcoscoscoszyxlcoscoscoszyxlzzlyylxxl 0000limMMMuMuluMMM垂直于等值面；垂直于等值面；指向變化最快的方向；指向變化最快的方向；最大的變化率；最大的變化率；lulugrad coscoscoszuyuxuluzzuyyuxxuugradG引入引入 zzyyxxzzyyxx則則 ),cos(|lll|maxl定義標(biāo)量場定義標(biāo)量場(x, y, z)在點(diǎn)在點(diǎn)P(x, y, z)處的梯度處的梯度(gradient)為為 zzyyxxgrad, 0cl0clc

8、n 標(biāo)量函數(shù)標(biāo)量函數(shù)的的等值面的法線方向單位矢量可用梯度表示為等值面的法線方向單位矢量可用梯度表示為即梯度的方向與過即梯度的方向與過該點(diǎn)的等值面相垂該點(diǎn)的等值面相垂直直, 并由梯度定義并由梯度定義知知, 它指向它指向增大的增大的方向。方向。 一座山的等高線圖一座山的等高線圖 22222220)( )(zyxff)(1)()(2梯度運(yùn)算有如下規(guī)則梯度運(yùn)算有如下規(guī)則: 例例 求數(shù)量場 在點(diǎn)M(1, 1, 2)處沿 方向的方向?qū)?shù)。 解解 l方向的方向余弦為 zyxu22322212cos322212cos312211cos222222222zyxl22222)(,2,2zyxzuzyyuzxxu而

9、 在l方向的方向?qū)?shù)為 32cos,32cos,31cos22232232231coscoscoszyxzyzxzuyuxulu22232232231zyxzyzxlu在點(diǎn)M處沿l方向的方向?qū)?shù) 324232132131Ml例例 求數(shù)量場 在點(diǎn)M(1, 1, 2)處沿 方向的方向?qū)?shù)。 解解 l方向的方向余弦為 zyxu22zyxl22222)(,2,2zyxzuzyyuzxxu而 在l方向的方向?qū)?shù)為 32cos,32cos,31cos22232232231zyxzyzxlu在點(diǎn)M處沿l方向的方向?qū)?shù) 324232132131Ml例例 求r在M(1，0，1)處沿 方向的方向?qū)?shù)。解解 由前例

10、知r的梯度為 ) (1gradz zyyxxrrr點(diǎn)M處的坐標(biāo)為x=1, y=0, z=1, 2222zyxr 所以r在M點(diǎn)處的梯度為 yxrr2121gradr在M點(diǎn)沿l方向的方向?qū)?shù)為 lrlrMzyx22lzyxlll323231而 21322132203121Mlr所以 標(biāo)量場的梯度是一個(gè)矢量標(biāo)量場的梯度是一個(gè)矢量, ,是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù); ; 梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)最大方向梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)最大方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù)的方向, ,即與等值線（面）即與等值線（面）相垂直的方向，它指向函數(shù)的相垂直的方向，它指向函數(shù)的增加方向。增加方向。 梯度的大小為該點(diǎn)標(biāo)量函數(shù)梯度的大小為該點(diǎn)標(biāo)量函

11、數(shù) 的最大變化率，即該點(diǎn)最的最大變化率，即該點(diǎn)最大方向?qū)?shù)大方向?qū)?shù); ; 三維高度場的梯度三維高度場的梯度例例 高度場的梯度高度場的梯度 與過該點(diǎn)的等高線垂直；與過該點(diǎn)的等高線垂直； 數(shù)值等于該點(diǎn)位移的最大數(shù)值等于該點(diǎn)位移的最大變化率；變化率； 指向地勢升高的方向。指向地勢升高的方向。例例 電位場的梯度電位場的梯度 與過該點(diǎn)的等位線垂直；與過該點(diǎn)的等位線垂直； 指向電位增加的方向。指向電位增加的方向。 數(shù)值等于該點(diǎn)的最大方向數(shù)值等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)；導(dǎo)數(shù)； 電位場的梯度電位場的梯度snsdd 元通量元通量sssnAsAdd通量通量SsA d矢量矢量 E E 沿閉合曲面沿閉合曲面S S 的面

12、積分的面積分 0 (0 (有正源有正源) ) 0 ( 0 (有負(fù)源有負(fù)源) ) =0 ( =0 (無源無源) )矢量場的通量矢量場的通量 可以根據(jù)凈通量的大小判斷閉合面可以根據(jù)凈通量的大小判斷閉合面中源的性質(zhì)中源的性質(zhì): :ssE d通量的物理意義通量的物理意義定義矢量定義矢量A A在某點(diǎn)的散度在某點(diǎn)的散度(divergence), (divergence), 記為記為divdivA A: : VsAASxdlimdiv哈密頓哈密頓(W .R .Hamilton)引入微分算子引入微分算子zzyyxxAAdiv則散度可以表示為則散度可以表示為zAyAxAAzAyAxzzyyxxAzyxzyx)(

13、VnnVnSVVndlimd10AASA得高斯公式得高斯公式( (散度定理散度定理) ) 該公式表明了區(qū)域該公式表明了區(qū)域V V 中場中場A與邊界與邊界S S上的場上的場A之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。VSVddASA 矢量函數(shù)的面積分與體積分的互換。矢量函數(shù)的面積分與體積分的互換。VnnVnSVVndlimd10AASA意義意義例例 球面球面S上任意點(diǎn)的位置矢量為上任意點(diǎn)的位置矢量為 ,r rz zyyxxr試?yán)蒙⒍榷ɡ碛?jì)算試?yán)蒙⒍榷ɡ碛?jì)算 Sdsr解解3zzyyxxrVSVrrdvrdvrds3343433 矢量矢量A沿某封閉曲線的線積分沿某封閉曲線的線積分, 定義為定義為A沿該曲線的環(huán)量沿

14、該曲線的環(huán)量(或旋渦或旋渦量量), 記為記為 llA dLSSPSld1limdd環(huán)量密度環(huán)量密度取不同的路徑，其環(huán)量密度不同。取不同的路徑，其環(huán)量密度不同。 旋度是一個(gè)矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向?yàn)樾仁且粋€(gè)矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向?yàn)樽畲蟓h(huán)量密度的方向。最大環(huán)量密度的方向。AArot 旋度旋度( (curl或或rotation) )與環(huán)量密度的關(guān)系為與環(huán)量密度的關(guān)系為nSeA rot dd在直角坐標(biāo)系下在直角坐標(biāo)系下zyxzyxAAAzyxASlAnAlSmax0dlimCurl旋度的物理意義旋度的物理意義 矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。矢量的旋度仍為矢量，是空

15、間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。 點(diǎn)點(diǎn)P的旋度的大小是該點(diǎn)環(huán)量密度的最大值。的旋度的大小是該點(diǎn)環(huán)量密度的最大值。 在矢量場中，若在矢量場中，若A=J 0,稱之為稱之為旋度場旋度場( (或渦旋場或渦旋場) )，J 稱稱為為旋度源旋度源( (或渦旋源或渦旋源) )； 點(diǎn)點(diǎn)P的旋度的方向是該點(diǎn)最大環(huán)量密度的方向。的旋度的方向是該點(diǎn)最大環(huán)量密度的方向。 若矢量場處處若矢量場處處A=0，稱之為無稱之為無旋場旋場( (或保守場或保守場) )。矢量矢量A的旋度可表示為算子與的旋度可表示為算子與A的矢量積的矢量積, 即即 AAcurl 計(jì)算計(jì)算A時(shí)時(shí), 先按矢量積規(guī)則展開先按矢量積規(guī)則展開, 然后再作微分運(yùn)算然后再作微分運(yùn)算

16、, 得得 yAxAzxAzAyzAyAxAzAyAxzzyyxxAxyzxyzzyx) ( 旋度運(yùn)算符合如下規(guī)則旋度運(yùn)算符合如下規(guī)則: AAAABAABBAAAABABA2)(0)()()()(在直角坐標(biāo)系中有在直角坐標(biāo)系中有 zyxAzAyAxA2222斯托克斯斯托克斯(Stockes)(Stockes)定理定理 A 是是環(huán)量密度，即圍繞單位環(huán)量密度，即圍繞單位面積環(huán)路上的環(huán)量。因此，其面積面積環(huán)路上的環(huán)量。因此，其面積分后，環(huán)量為分后，環(huán)量為iiilSAAld)(dSAlAd)(dSl即即StockesStockes定理定理在電磁場理論中，在電磁場理論中，GaussGauss公式和公式和

17、StockesStockes公式是兩個(gè)非常重要的公式。公式是兩個(gè)非常重要的公式。矢量函數(shù)的線積分與面積分的互換。矢量函數(shù)的線積分與面積分的互換。該公式表明了區(qū)域該公式表明了區(qū)域S S中場中場A與邊界與邊界L L上上的場的場A之間的關(guān)系之間的關(guān)系例例 自由空間中的點(diǎn)電荷q所產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為 2/3222030)(44zyxz zyyxxqrrqE求任意點(diǎn)處(r0)電場強(qiáng)度的旋度E。 解解33333333304rxyryxzrzxrxzyryzrzyxrzryrxzyxzyxqE可見, 向分量為零; 同樣, 向和 向分量也都為零。 故 x y z 0E這說明點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場是無旋場。 因53533

18、3ryzryzryzrzy例例 證明下述矢量斯托克斯定理 sVdsAdvA)(式中S為包圍體積V的封閉面。證 設(shè)C為一任意常矢，則)()()()(ACACCAAC從而有vACvACVVd )(d )(根據(jù)散度定理，上式左邊等于SSSsACCsAsACd)d(d)(于是得VSsACvACdd)(由于上式中常矢C是任意的，得證。 將散度定理中矢量A表示為某標(biāo)量函數(shù)的梯度與另一標(biāo)量函數(shù)的乘積, 則有 2)(A取上式在體積V內(nèi)的積分, 并應(yīng)用散度定理, 得 dsndsndvssV)()(2式中S是包圍體積V的封閉面, 是封閉面S的外法線方向單位矢量。此式對于在體積V內(nèi)具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)和都成

19、立, 稱為格林(G .Green)第一定理。 把式中的與交換位置, 有 n dsndsndvssV)()(2用此式去減上式, 得 dsnndsndvssV)()(22這稱為格林第二定理。 除上面的標(biāo)量格林定理外, 還有矢量格林定理。設(shè)矢量函數(shù)P和Q在封閉面S所包圍的體積V內(nèi)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù), 則有 sVdsQPdvQPQP)()()(sVdsPQQPdvQPPQ)()()(矢量格林第二定理: 利用上述格林定理, 可以將體積V中場的求解問題變換為邊界S上場的求解問題。 同時(shí), 如果已知其中一個(gè)場的分布特性, 便可利用格林定理求解另一場的分布特性。 矢量場的散度是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)矢量場的散度是一個(gè)標(biāo)

20、量函數(shù), 而矢量場的旋度是一個(gè)而矢量場的旋度是一個(gè)矢量函數(shù)。矢量函數(shù)。 散度表示場中某點(diǎn)的通量密度散度表示場中某點(diǎn)的通量密度, 它是場中任一點(diǎn)通量源它是場中任一點(diǎn)通量源強(qiáng)度的量度強(qiáng)度的量度; 旋度表示場中某點(diǎn)的最大環(huán)量強(qiáng)度旋度表示場中某點(diǎn)的最大環(huán)量強(qiáng)度, 它是場中任一它是場中任一點(diǎn)處旋渦源強(qiáng)度的量度。點(diǎn)處旋渦源強(qiáng)度的量度。 散度由各場分量沿各自方向上的變化率來決定散度由各場分量沿各自方向上的變化率來決定; 而旋度而旋度由各場分量在與之正交方向上的變化率來決定。由各場分量在與之正交方向上的變化率來決定。 在有限區(qū)域內(nèi)，矢量場由它的在有限區(qū)域內(nèi)，矢量場由它的散度、旋度散度、旋度及及邊界條件邊界條件唯唯一地確定。一地確定。已知已知矢量矢量A的通量源密度的通量源密度矢量矢量A的環(huán)量源密度的環(huán)量源密度場域邊界條件場域邊界條件在電磁場中在電磁場中電荷密度電荷密度 電流密度電流密度J場域邊界條件場域邊界條件（矢量（矢量A唯一地確定）