(新)高數(shù)求極限的方法小結(jié)

1、你想是怎樣的人，你就是怎樣的人；你想成為怎樣的人，你離這個(gè)目標(biāo)就不會(huì)太遠(yuǎn)。高等數(shù)學(xué)中求極限的方法小結(jié)2. 求極限的常用方法2.1 利用等價(jià)無(wú)窮小求極限#這種方法的理論基礎(chǔ)主要包括： (1) 有限個(gè)無(wú)窮小的和、 差、 積仍是無(wú)窮小 .(2) 有界函 數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小 .(3) 非零無(wú)窮小與無(wú)窮大互為倒數(shù) .(4) 等價(jià)無(wú)窮小代換 ( 當(dāng)求兩 個(gè)無(wú)窮小之比的極限時(shí)，分子與分母都可用等價(jià)無(wú)窮小代替 ). 3且 limlim ；則：與 是等價(jià)無(wú)窮小的充分必要條件為：看人生峰高處，唯有磨難多正果。210( ) 常用等價(jià)無(wú)窮?。寒?dāng)變量 x 0 時(shí)，sin x x, tan x x,arcsin x

2、 x,arctan x x,e1 x,ln(1 x)x,1 cosx 1x2,21x1 x x,(1 x) 1 x求 limx1 cosx 0 x arctan x120時(shí),1 cosx x ,arctan x x ，2例2故，原式求 limx12 x lim 2 2 x 0 x212)3 1(1 x0 cosx 10時(shí),(11x2)312 13x2,112cosx x ,因此:212x原式limx30 1 2 x例3求 lim 3 1 3 1 x 0 tanx1x3x0例431x 0時(shí), 31 x 1 x,tanx x，故: 原式= lim 3x2 e1 求 lim解x0時(shí),ex1 x,ln

3、(1 x) x , 故 :x 0 2 x ln(1 x)原式試確定常數(shù)a與 n，使得當(dāng) x0 時(shí)，axn 與 ln(13x)3x3 為等價(jià)無(wú)窮小lim ln(1 x3) x3x0n ax1 而左邊n 1 5即n 63 lim x 0 6a3x23 3x2 lim 1 x3 n x 0 naxn3 116a3x5lxim0 naxn 112 x lim 2 x 0 2x22.2 利用洛必達(dá)法則求極限#利用這一法則的前提是：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要存在；為0比 0 型或者 型等未定式類型 .洛必達(dá)法則分為 3種情況：(1)0比 0，無(wú)窮比無(wú)窮的時(shí)候直接用 . (2)0 乘以無(wú)窮， 無(wú)窮減去無(wú)窮(無(wú)窮大與無(wú)窮小

4、成倒數(shù)關(guān)系時(shí))通常無(wú)窮大都寫(xiě)成無(wú)窮小的倒數(shù)形式 , 通項(xiàng) 之后，就能變成( 1)中形式了 .(3)0的 0次方， 1的無(wú)窮次方，無(wú)窮的 0次方，對(duì)于(指 數(shù), 冪函數(shù))形式的方法主要是取指數(shù)的方法， 這樣就能把冪函數(shù)指數(shù)位置的函數(shù)移下來(lái)了， 就是寫(xiě)成 0 與無(wú)窮的形式了 .洛必達(dá)法則中還有一個(gè)定理： 當(dāng) x a時(shí)，函數(shù) f(x)及 F(x)都趨于 0；在點(diǎn) a的某去心鄰域內(nèi)， f (x)F(x)的導(dǎo)數(shù)都存在且 F ( x)的導(dǎo)數(shù)不等于 0；lim f (x) 存在，那么 x aF (x)limxaf(x)F(x)limxaf (x) F (x)1法.求極限有很多種方法如洛必達(dá)法則，夾逼定理求極

5、限的秘訣是： 強(qiáng)行代入， 先定型后定3例61求 lim(2x 0 sin 2 x2cos x)2 ) .x分析秘訣強(qiáng)行代入，先定型后定法221 02 02240 04(0 0)(0 0)040 30 0 0 (此為強(qiáng)行代入以定型)03 00 可能是比 00 高階的無(wú)窮小， 倘若不這樣， 或(0 0)(0 0)042202 02(0 0)(0 0)0 00040031 lxim0( sin12 x2cos x2)xlxim0x2 sin2 xcos2 x22x sin x(x sin x cos x)(x sin x cos x) lim x0xlimx0sin x cos x lim x由洛必

6、達(dá)法則的2,有：例7x 求lxim0 xe2x sin xcosx2limx0x sin xcosx上式=2limxcos2 x3x2sin2 x4sin2 x 4lim 23 x 0 x2xx 解 lxim0 (xe2 1x) lxim0 2xe 1lim 2x 0 x2例8求lxim1x3 3x 2x3x2 x 1解 原式3x2 3 lim 2 x 1 3x2 2x 16x 3lim . (二次使用洛必達(dá)法則)x 1 6x 2 2例9求lxim0xxe e 2xx sin x你想是怎樣的人，你就是怎樣的人；你想成為怎樣的人，你離這個(gè)目標(biāo)就不會(huì)太遠(yuǎn)。2看人生峰高處，唯有磨難多正果。23xx原

7、式 lim e e 2 x0 1 cosxxx ee lim x 0 sin xxx ee lim x0 cosx2.10 求 lxim1x2 4x 3 x2 2x原式 lxim12x 42x 2tanxlxim111 求 limx 0 xsin xarcsin x原式 lim tanx x012 求 limx0xxx cotxln x原式 limx02sin x13 求 lim(x0sin 2 xx 2 xx 12 lxim1 xxlxim012cos x3x22 cos x 2x sin x2cos x)2 ).x22x sin 原式 lim 2x 0sin2xcos2 x2 xx原式=l

8、imx0lxim0x sin x cos xlimx0x sin型：14limxx(2arctan x) .原式 limxarctanx”型：15求 limxsecx tanx .lxim02 cos x 22 3x cos x2sin xcosx(x sin xcosx)(x lim x0xcosx2limxlimx11 x21x2(1 cos)1 x2lim 2 22x 0 3x cos xsin x cos x)x sin xcosx2lixm01 cos2x3x2limxx12 1x1.sin 2 x 43你想是怎樣的人，你就是怎樣的人；你想成為怎樣的人，你離這個(gè)目標(biāo)就不會(huì)太遠(yuǎn)。1 s

9、inxcosx1 sin x 解 secx tanxcosx cosx看人生峰高處，唯有磨難多正果。43故原式 lim 1 sinxx 2 cosxcosx lim x sinx 20.00”型：例 16 求 lim xx . x0解 原式 limx0ln xelimx0xln xelimex 0ex ln1.1 ”型：例 17 求 limx解 原式 limxee.0 ”型：例 18 求 limx0解 原式1 tanx ()x1ln( )lim e xx0tanlimx0tan xln x eexlim0tan xln x e而 lim( tanxln x)x0tanxxlim( xln x)

10、x00 ，因此：原式 =1.2.3 泰勒公式含有 e的 x 次方的時(shí)候，尤其是含有正、余弦的加減的時(shí)候要特別注意)泰勒中值定理定理：如果函數(shù)f (x)在含有 n 的某個(gè)開(kāi)區(qū)間 ( a, b)內(nèi)具有直到 (n 1)階的導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任x (a,b) ，有f (x0)( x- x0) 2+ 2!(n)f(x) f(x0)+ f (x0)( x-x0)+ f n(!x0)( x- x0)n+Rn( x) n!(n 1)其中 Rn(x)n1x x0 ，這里 是 x 與 x0 之間的某個(gè)值 . 1例 19 利用帶有佩亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式，求極限 lim x0sinx xcosxsin3 x解 由于公式的

11、分母 sin3 x x(x0) ，我們只需將分子中的sin x x0(x3),xcosx3!于是 sinx xcosx x3!2!0(x3)3時(shí)，把兩個(gè) x3 高階的無(wú)窮小的代數(shù)和還是記作3x3 x2 4例 20lxim x32x2limx1limxn2 1(n1)2limxlimx2)n3n( 2)n 3n 12.4 無(wú)窮小與有界函數(shù)的處理方法面對(duì)復(fù)雜函數(shù)，尤其是正、法. 3例 21 求 limxx sinx解 原式 lim(1xxsin x)x2.5 夾逼定理12limx30( x3 )代入計(jì)算，2! 0(x3)0(x3).3xx1x23，1，n2n313x3余弦的復(fù)雜函數(shù)與其它函數(shù)相乘的

12、時(shí)候，lim(1x1sin x) 1.x主要介紹的是如何用之求數(shù)列極限，之放縮或擴(kuò)大 . 10(x3) ，對(duì)上式做運(yùn)算定要注意這個(gè)方這個(gè)主要是看見(jiàn)極限中的通項(xiàng)是方式和的形式， 對(duì)例 22求 limnsinnn12sinn12sin1解i1isinn1sinii1isinn1i1limni1nnolimnsininilimni1limn根據(jù)夾逼定理limx2.6 等比等差數(shù)列公式例 23 設(shè) |任取 0nlnnlnln,nlnlnln由定義知limisinno1n1isinn1 ni1sin0i1的絕對(duì)值要小于| 1 ，證等比數(shù)列1，為使 xn1，lnln因此 ,很顯然有 :當(dāng)nN 時(shí)，即 xn

13、1)1xndx 2 ，1sin x dx 20，的極限為0.，即limnlnln1.lnln0.99. lim 0.99. 1.nn2.7 各項(xiàng)以拆分相加 3, 可以使用將待求的和式子的各項(xiàng)拆分相加來(lái)消除中間的大多數(shù)，主要應(yīng)用于數(shù)列極限待定系數(shù)來(lái)拆分簡(jiǎn)化函數(shù)例 24 求 limn2*33*4解 原式 limn1133n1limnlimnn12.8 求左右極限的方式1, x例 25 求函數(shù)f (x),x1, x求x0 時(shí)， f x 的極限 .解 lim fx0lim0x1lim fx0lim xx0因?yàn)閘imx0limx0所以，當(dāng) x0時(shí)，f (x) 的極限不存在例 26 limx00.解 xl

14、im0x ( x)limx0(x， lim x xx 0 xlxim0 x0，因?yàn)?limx0x ( x)limx0xx0，所以 ,原式 =0.2.9 應(yīng)用兩個(gè)重要極限lim sin xx01 ， lim 1x例 27求 lxim0解 記 x ln 1 t原式=ltim0 1t tex 1 t ，則1因?yàn)?lim 1 x x ex例 28 求 limn1n1解 原式 =limn1n11=e.例 29 求 limnn-1解 原式 =limn1n-1=e.2.10 根據(jù)增長(zhǎng)速度ln x(x30 求 limxnxx x n 為正整數(shù)， e0.原式 =limxn1nxxenn =lim x12xen2

15、xlimxn!nxe0.0nxnnm lix 求31例nnmlixm lixn1mlix同函數(shù)趨近于無(wú)窮的速度是不一樣的，x 的 x次方快于 x!（ x 的階乘）快于指數(shù)函數(shù)，快于冪函數(shù)，快于對(duì)數(shù)函數(shù)所以增長(zhǎng)速度： ln x xn e x (x ) . 故以后上述結(jié)論可直接在極限計(jì)算中運(yùn)用 .2.11 換元法1例 32 lim (1 )x .xx解 令 x t ，3)如果 lim f (x) 存在，而 n為正整數(shù)，則lim f (x)nlim f (x)1tt1t1 t 1 1 e則原式 = lim 1limlim 11= etttttt1 t 12.12 利用極限的運(yùn)算法則 1利用如下的極限

16、運(yùn)算法則來(lái)求極限：(1) 如果 lim fx A,lim gxB,那么 lim f (x)g(x) limf (x)lim g(x)ABlim f xg x limfxlimgxAB若又有 B 0 ，則 lim f (x)limf(x)Ag(x)lim g(x)B2)如果 lim f (x)存在，而 c為常數(shù)，則 lim cf(x) clim f(x)4)如果 (x)(x)，而 lim (x) a,lim (x) b，則 a b5)設(shè)有數(shù)列 xn 和 yn ，如果 lim xn ynA B;n那么， lim xn ynA B; lim xn yn A BxA當(dāng)yn 0 n 1,2,. 且b 0

17、時(shí)， lnim yn B2.13 求數(shù)列極限的時(shí)候可以將其轉(zhuǎn)化為定積分1例 33 已知 f xn, 在區(qū)間 0,1 上求 lim0 i 1i xi其中將 0,1 分為 n個(gè)小區(qū)間 xi 1,xi , xi 1xi ，xi 中的最大值）解 由已知得 : lim0xii11f x dx00 1 x2 dx注釋：由已知可以清楚的知道，該極限的求解可以轉(zhuǎn)化為定積分, 求函數(shù) f x 在區(qū)間 0,1 上的面積） .在有的極限的計(jì)算中，需要利用到如下的一些結(jié)論、概念和方法：1）定積分中值定理：如果函數(shù)f x 在積分區(qū)間 a,b 上連續(xù)，則在a,b 上至少有一個(gè)點(diǎn)，使下列公式成立：bfxdx x b a a

18、2）設(shè)函數(shù) f x 在區(qū)間 a,上連續(xù)，取 t a ，如果極限limttf x dx 存在，a則稱此極限為函數(shù) f x 在無(wú)窮區(qū)間a, 上的反常積分，記作f (x)dx ，即f(x)dx limattf (x)dx；a設(shè) f x 在區(qū)間a,b 上連續(xù)且 f x 0 ，求以曲線 y f x 為曲線，底為a,b 的曲邊梯形的面積 A ，把這個(gè)面積bA 表示為定積分： A= f x dx 的步驟是：a首先，用任意一組的點(diǎn)把區(qū)間a,b 分成長(zhǎng)度為 xi （i 1,2,.n） 的 n 個(gè)小區(qū)間，相應(yīng)地把曲線梯形分成 n 個(gè)窄曲邊梯形，第 i 個(gè)窄曲邊梯形的面積設(shè)為Ai ，于是有 AnAi ；i1其次，計(jì)

19、算 Ai 的近似值A(chǔ)iixi xi 1 ixi ；n然后，求和，得 A的近似值 A f i xi ；i1bf (x) dx.an最后，求極限，得 A lim f ( i ) xi0i1例 34 設(shè)函數(shù) f x 連續(xù)，且 f 0mli= lxim0xtf t dt0xx t f t dt 解 lim 0 xx 0 xx f x t dt0xxf t dt0xx f u du0x由洛必達(dá)得：f t dt+xf x xf x lim 0 x x 0 xf u du xf0其中 f x tdx,令u x t, 得 0u du ,再由積分中值定理得xf lim x 0 xfxf x在0到x之間limx0

20、f0例 35fx計(jì)算反常積分 :dx .1 x2 .dx2 = arctanx = lim arctanx lim arctan x=( )1 x x x - 2 22.14 利用函數(shù)有界原理證明極限的存在性，利用數(shù)列的逆推求極限31）單調(diào)有界數(shù)列必有極限； 2）單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列必有極限，單調(diào)遞減且有下界的數(shù)列必有極限例 36 數(shù)列 x : 2 ， 2 xn 1 ，極限存在嗎？解 由已知可得 xn 單調(diào)遞增且有界，由單調(diào)有界原理，知lim xn 存在n又 xn2 xn 1 ， lim xn lim 2 xn 1nn記lim xn=t,則t2 t ，n即可證 xn 2 ，得到 t 2.2.

21、15 直接使用求導(dǎo)的定義求極限當(dāng)題目中告訴你 F（0） 0時(shí)， F （x）的導(dǎo)數(shù)等于 0 的時(shí)候，就是暗示你一定要用導(dǎo)數(shù)定義：（1）設(shè)函數(shù) y f x 在點(diǎn) x0的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在 x0處取得增量 x（點(diǎn) x x0 仍在該領(lǐng)域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)取得增量y f x x0 f x0 ；如果 y與 x 之比 x 0 時(shí)的極限存在，則稱函數(shù) y f x 在點(diǎn) x0 處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為函數(shù) y f x 在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為函數(shù) y f x 在點(diǎn) x0處的導(dǎo)數(shù)，記作 f x0 ，即 f x0lixm0lixm0x x0f x0 ； x2）在某點(diǎn)處可導(dǎo)的充分必要條件是左右導(dǎo)數(shù)都存在且相等例 36 f x x 1 x e x ，求