第一章 數(shù)字邏輯基礎(chǔ)Z1

1、p實驗實驗 16學(xué)時學(xué)時 （8個）個）p課堂教學(xué)課堂教學(xué) 64學(xué)時學(xué)時p課堂教學(xué)的考核：平時成績課堂教學(xué)的考核：平時成績40（作業(yè)（作業(yè)+出勤出勤+課堂表現(xiàn)）課堂表現(xiàn)）+試卷考試試卷考試60=100數(shù)字電子技術(shù)的課程組成數(shù)字電子技術(shù)的課程組成n數(shù)字電路是專業(yè)基礎(chǔ)課，是后續(xù)課程的基礎(chǔ)數(shù)字電路是專業(yè)基礎(chǔ)課，是后續(xù)課程的基礎(chǔ)n電類專業(yè)考研學(xué)生的必考課電類專業(yè)考研學(xué)生的必考課n大學(xué)生競賽的主要科目大學(xué)生競賽的主要科目n畢業(yè)設(shè)計中重要參考內(nèi)容畢業(yè)設(shè)計中重要參考內(nèi)容 學(xué)習(xí)本門課程的目的學(xué)習(xí)本門課程的目的參考資料參考資料余孟嘗余孟嘗 ， 數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)簡明教程，高等教育出版社數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)簡明教程，高等

2、教育出版社閻石，數(shù)字電子技術(shù)，清華大學(xué)出版社閻石，數(shù)字電子技術(shù)，清華大學(xué)出版社 第一章第一章 數(shù)字邏輯基礎(chǔ)數(shù)字邏輯基礎(chǔ)基本要求基本要求掌握二進制、十進制、十六進制的相互轉(zhuǎn)換掌握二進制、十進制、十六進制的相互轉(zhuǎn)換 掌握常用的編碼及其之間的相互轉(zhuǎn)換掌握常用的編碼及其之間的相互轉(zhuǎn)換熟悉邏輯代數(shù)的基本定律與規(guī)則熟悉邏輯代數(shù)的基本定律與規(guī)則掌握邏輯函數(shù)及代數(shù)和掌握邏輯函數(shù)及代數(shù)和卡諾圖卡諾圖化簡方法化簡方法第一章第一章 數(shù)字邏輯基礎(chǔ)數(shù)字邏輯基礎(chǔ)第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)字電路的基礎(chǔ)知識數(shù)字電路的基礎(chǔ)知識第二節(jié)第二節(jié) 邏輯代數(shù)及運算規(guī)則邏輯代數(shù)及運算規(guī)則 第三節(jié)第三節(jié) 邏輯函數(shù)的變換邏輯函數(shù)的變換第四節(jié)第四節(jié) 邏輯

3、函數(shù)的化簡邏輯函數(shù)的化簡小結(jié)小結(jié)一、一、 模擬信號與數(shù)字信號模擬信號與數(shù)字信號模擬信號：模擬信號： 隨時間隨時間連續(xù)連續(xù)變化的信號變化的信號t正弦波信號正弦波信號t鋸齒波信號鋸齒波信號數(shù)字信號：數(shù)字信號：在時間和幅度上都是在時間和幅度上都是離散離散的信號。的信號。例：產(chǎn)品數(shù)量的統(tǒng)計、數(shù)字表盤的讀數(shù)、脈沖信號等。例：產(chǎn)品數(shù)量的統(tǒng)計、數(shù)字表盤的讀數(shù)、脈沖信號等。Ttwtu+5V0 2. 占空比占空比 q -表示脈沖寬度占整個周期的百分比表示脈沖寬度占整個周期的百分比 :tTw100%q1. 脈沖寬度脈沖寬度 tw -表示脈沖作用的時間。表示脈沖作用的時間。 數(shù)字電路中，通常用數(shù)字?jǐn)?shù)字電路中，通常用

4、數(shù)字“0”0”和和“1”1”來表示。來表示。 “ “0”0”和和“1”1”，不是十進制數(shù)中的數(shù)字，而是，不是十進制數(shù)中的數(shù)字，而是邏輯邏輯0和和邏輯邏輯1; 表示彼此相關(guān)又互相對立的兩種狀態(tài)。例如，表示彼此相關(guān)又互相對立的兩種狀態(tài)。例如，“是是”與與“非非”、“真真”與與“假假”、“開開”與與“關(guān)關(guān)”、“低低”與與“高高”等等等等 。因而常稱為。因而常稱為數(shù)字邏輯數(shù)字邏輯。又稱二值數(shù)字邏輯，又稱二值數(shù)字邏輯，它們可以用電子器件的開關(guān)特性來實現(xiàn)。產(chǎn)生離散信號電它們可以用電子器件的開關(guān)特性來實現(xiàn)。產(chǎn)生離散信號電壓或數(shù)字電壓，通常用邏輯電平來表示。壓或數(shù)字電壓，通常用邏輯電平來表示。電壓電壓(V)二

5、值邏輯二值邏輯電電 平平+51H(高電平高電平)00L(低電平低電平)例如，邏輯電平與電壓值的關(guān)系可用下表來描述：例如，邏輯電平與電壓值的關(guān)系可用下表來描述：v在模擬電路中，晶體管一般工作在放大狀態(tài)。在模擬電路中，晶體管一般工作在放大狀態(tài)。v分析方法：圖解法、小信號模型法。分析方法：圖解法、小信號模型法。二、數(shù)字電路與模擬電路的比較二、數(shù)字電路與模擬電路的比較v電路元件：晶體三極管、場效應(yīng)管、集成運算電路元件：晶體三極管、場效應(yīng)管、集成運算放大器。放大器。模擬電路：模擬電路：研究研究輸入、輸出信號間的大小、相位、輸入、輸出信號間的大小、相位、失真等方面的關(guān)系。研究對象包括交直流放大器、失真等方

6、面的關(guān)系。研究對象包括交直流放大器、濾波器、信號發(fā)生器等。濾波器、信號發(fā)生器等。v在數(shù)字電路中，三極管工作在開關(guān)狀態(tài)，即在數(shù)字電路中，三極管工作在開關(guān)狀態(tài)，即工作在飽和和截止?fàn)顟B(tài)。工作在飽和和截止?fàn)顟B(tài)。數(shù)字電路：數(shù)字電路：研究研究電路輸出、輸入間的邏輯關(guān)系。電路輸出、輸入間的邏輯關(guān)系。主要的分析工具是邏輯代數(shù)，表達電路的功能主主要的分析工具是邏輯代數(shù)，表達電路的功能主要是真值表、邏輯表達式、卡諾圖及波形圖等。要是真值表、邏輯表達式、卡諾圖及波形圖等。v組成電路元件：邏輯門電路、觸發(fā)器。組成電路元件：邏輯門電路、觸發(fā)器。（一）十進制數(shù)（一）十進制數(shù)任何一位數(shù)可以而且只可以用任何一位數(shù)可以而且只可

7、以用 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 8, 9 這十個數(shù)碼表示。這十個數(shù)碼表示。 式中，式中，10101 1 、10100 0 是根據(jù)每一個數(shù)碼所在的位置而定的，是根據(jù)每一個數(shù)碼所在的位置而定的，稱之為稱之為“權(quán)權(quán)”。 在十進制中，各位的權(quán)都是在十進制中，各位的權(quán)都是1010的冪，而每個權(quán)的系數(shù)只的冪，而每個權(quán)的系數(shù)只能是能是0 09 9這十個數(shù)碼中的一個。這十個數(shù)碼中的一個。 進位規(guī)律是進位規(guī)律是“逢十進一逢十進一”。即即 9+1=10=19+1=10=110101 1 + 0 + 010100 01.1.特點：特點：

8、二、二、數(shù)制數(shù)制(333.33) 10 =3 102 + 3 101+ 3 100+ 3 10-1 +3 10-2權(quán)權(quán) 權(quán)權(quán) 權(quán)權(quán) 權(quán)權(quán) 權(quán)權(quán)位置計數(shù)法位置計數(shù)法按權(quán)展開式按權(quán)展開式90,10)(110iinmiiKKN位權(quán)位權(quán)系數(shù)系數(shù)DmnnDKKKKKKN).()(.1. 0121（二）二進制數(shù)（二）二進制數(shù)1.1.特點：特點：任何一位數(shù)可以而且只可以用任何一位數(shù)可以而且只可以用0 0和和1 1表示。表示。進位規(guī)律是：進位規(guī)律是：“逢二進一逢二進一” ” 。各位的權(quán)都是各位的權(quán)都是2 2的冪。的冪。例如：例如：1+1= 10= 11+1= 10= 12 21 1+ 0+ 02 20 0 1

9、 , 0,2)(12iinmiiKKN位權(quán)位權(quán)系數(shù)系數(shù)（1001）B=012321202021 =(9)D 將每一位二進制數(shù)乘以位權(quán)然后相加便得相應(yīng)的將每一位二進制數(shù)乘以位權(quán)然后相加便得相應(yīng)的十進制數(shù)。十進制數(shù)。3.3.二進制數(shù)的優(yōu)缺點二進制數(shù)的優(yōu)缺點易于電路實現(xiàn)易于電路實現(xiàn)-每一位數(shù)只有兩個值，可以每一位數(shù)只有兩個值，可以用管子的導(dǎo)通或截止，燈泡的亮或滅、繼電器觸用管子的導(dǎo)通或截止，燈泡的亮或滅、繼電器觸點的閉合或斷開來表示。點的閉合或斷開來表示。 基本運算規(guī)則簡單基本運算規(guī)則簡單缺點：缺點：位數(shù)太多，不符合人的習(xí)慣，不能在頭位數(shù)太多，不符合人的習(xí)慣，不能在頭腦中立即反映出數(shù)值的大小，一般要

10、將其轉(zhuǎn)換腦中立即反映出數(shù)值的大小，一般要將其轉(zhuǎn)換成十進制后，才能反映。成十進制后，才能反映。優(yōu)點：優(yōu)點：（三）（三）十二進制之間的轉(zhuǎn)換十二進制之間的轉(zhuǎn)換2.2.十進制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)：十進制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)： 常用方法是常用方法是“按權(quán)相加按權(quán)相加” ” 整數(shù)部分用整數(shù)部分用“輾轉(zhuǎn)相除輾轉(zhuǎn)相除”法法: : 將十進制數(shù)連續(xù)不斷地除以將十進制數(shù)連續(xù)不斷地除以2 ,2 ,直至商為零，直至商為零，所得余數(shù)由低位到高位排列，即為所求二進制數(shù)。所得余數(shù)由低位到高位排列，即為所求二進制數(shù)。1.1.二進制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)：二進制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)：整數(shù)部分整數(shù)部分小數(shù)部分小數(shù)部分225 余余 1 b0122 余

11、余 0 b162 余余 0 b232 余余 1 b312 余余 1 b40(25)D=(b4 b3 b2 b1 b0)=(11001)B例：例：十進制數(shù)十進制數(shù)2525轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)的轉(zhuǎn)換過程轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)的轉(zhuǎn)換過程 若十進制數(shù)較大時，不必逐位去除若十進制數(shù)較大時，不必逐位去除2 2，可算，可算出出2 2的冪與十進制對比，如：的冪與十進制對比，如：（261)261)1010 =(?) =(?)2 2 228 8 =256=256，261 256 = 5261 256 = 5，(5)(5)1010=(101)=(101)2 2, (261), (261)1010=(100000101)=(100

12、000101)2 2 小數(shù)部分用小數(shù)部分用“乘基取整法乘基取整法”法法: : 小數(shù)小數(shù)乘以目標(biāo)數(shù)制的乘以目標(biāo)數(shù)制的基數(shù)基數(shù)（R=2R=2），），第一次第一次相乘相乘結(jié)果的結(jié)果的整數(shù)整數(shù)部分為目的數(shù)的部分為目的數(shù)的最高位最高位，將其小數(shù)部分，將其小數(shù)部分再乘基數(shù)依次記下整數(shù)部分，反復(fù)進行下去，再乘基數(shù)依次記下整數(shù)部分，反復(fù)進行下去，直到直到小數(shù)部分為小數(shù)部分為“0”0”，或滿足要求的或滿足要求的精度精度為止。為止。十進制小數(shù)可表示為：十進制小數(shù)可表示為： nnnndbbbbN22.22)() 1() 1(2211 0.8125 2 1.6250整數(shù)部分整數(shù)部分=1 0.6250 2 1.2500

13、整數(shù)部分整數(shù)部分=1整數(shù)部分整數(shù)部分=0 0.2500 2 0.5000 0.5000 2 1.0000整數(shù)部分整數(shù)部分=1故（故（0.81250.8125）1010= =（0.11010.1101）2 2低位低位高位高位小數(shù)轉(zhuǎn)換不一定小數(shù)轉(zhuǎn)換不一定能算盡，達到一能算盡，達到一定精度的位數(shù)為定精度的位數(shù)為止！止！ 注意：注意：例：例：將（將（0.81250.8125）1010化為二進制小數(shù)可如下進行化為二進制小數(shù)可如下進行例例 將將(0.706)D轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)，要求其誤差不大于轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)，要求其誤差不大于2 2-10-10。 解：解： 0.7062=1.412 由于最后的小數(shù)小于由于最后

14、的小數(shù)小于0.5，根據(jù)，根據(jù)“四舍五入四舍五入”的原則，的原則， b10應(yīng)為應(yīng)為0。所以，。所以，(0.706)D=(0.101101001)B，其誤差，其誤差 2101 b10.4122=0.8240 b20.8242=1.6481 b30.6482=1.2961 b40.2962=0.5920 b50.5922=1.1841 b60.1842=0.3680 b70.3682=0.7360 b8 0.7362=1.4721 b9（四）八進制（四）八進制1.1.特點：特點：八進制數(shù)以八進制數(shù)以8 8為基數(shù)，采用為基數(shù)，采用0, 1, 2, 3, 4, 5, 0, 1, 2, 3, 4, 5,

15、6, 76, 7八個數(shù)碼表示任何一位數(shù)。八個數(shù)碼表示任何一位數(shù)。000000111 111 表示表示 0 07 7進位規(guī)律是進位規(guī)律是“逢八進一逢八進一”。各位的權(quán)都是各位的權(quán)都是8 8的冪。的冪。例如例如 ( (144)144)O O =64+32+4=(100) =64+32+4=(100)D D2.2.二進制轉(zhuǎn)換成八進制二進制轉(zhuǎn)換成八進制 轉(zhuǎn)換時，由小數(shù)點開始，轉(zhuǎn)換時，由小數(shù)點開始，整數(shù)部分自右向左，小數(shù)整數(shù)部分自右向左，小數(shù)部分自左向右，部分自左向右，三位一組，不夠三位的添零補齊，則每三位一組，不夠三位的添零補齊，則每三位二進制數(shù)表示一位八進制數(shù)。三位二進制數(shù)表示一位八進制數(shù)。例：例：

16、11010111.0100111B = ? O11010111.0100111B = ? O 11010111.0100111 B = 327.234 O11010111.0100111 B = 327.234 O11010111.0100111小數(shù)點為界小數(shù)點為界000723234八進制數(shù)如何轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)？八進制數(shù)如何轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)？十進制數(shù)如何轉(zhuǎn)換成八進制數(shù)？十進制數(shù)如何轉(zhuǎn)換成八進制數(shù)？（五）十六進制（五）十六進制1.1.特點：特點： 十六進制數(shù)采用十六進制數(shù)采用0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , A9 ,

17、A、B B、C C、D D、E E、F F十六個數(shù)碼表示。十六個數(shù)碼表示。進位規(guī)律是進位規(guī)律是“逢十六進一逢十六進一”。各位的權(quán)都是各位的權(quán)都是1616的冪。的冪。 從從小數(shù)點小數(shù)點開始，將二進制數(shù)的整數(shù)和小數(shù)部分開始，將二進制數(shù)的整數(shù)和小數(shù)部分每四位每四位分分為為一組一組，整數(shù)部分自右向左，小數(shù)部分自左向右，整數(shù)部分自右向左，小數(shù)部分自左向右，不足不足四四位的分別在整數(shù)的最高位前和小數(shù)的最低位后位的分別在整數(shù)的最高位前和小數(shù)的最低位后加加“0”0”補補足，然后每組用等值的十六進制碼替代，即得目的數(shù)。足，然后每組用等值的十六進制碼替代，即得目的數(shù)。例例9 9：111011.10101 B =

18、? H111011.10101 B = ? H 111011.10101 B = 3B.A8 H111011.10101 B = 3B.A8 H111011.10101小數(shù)點為界小數(shù)點為界00000B3A82.2.二進制與十六進制間的轉(zhuǎn)換二進制與十六進制間的轉(zhuǎn)換十六進制數(shù)如何轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)？十六進制數(shù)如何轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)？十進制數(shù)如何轉(zhuǎn)換成十六進制數(shù)？十進制數(shù)如何轉(zhuǎn)換成十六進制數(shù)？ 十六進制在數(shù)字電路中，尤其在計算機中得到廣泛的十六進制在數(shù)字電路中，尤其在計算機中得到廣泛的應(yīng)用，因為：應(yīng)用，因為： 與二進制之間的轉(zhuǎn)換容易。與二進制之間的轉(zhuǎn)換容易。計數(shù)容量較其它進制都大。假如同樣采用四位數(shù)碼，二計

19、數(shù)容量較其它進制都大。假如同樣采用四位數(shù)碼，二進制最多可計至進制最多可計至 1111B = 15D1111B = 15D；八進制可計至；八進制可計至 7777O = 7777O = 14095D14095D；十進制可計至；十進制可計至 9999D9999D；十六進制可計至；十六進制可計至 FFFFH FFFFH = 65535D= 65535D，即，即64K64K。其容量最大。其容量最大。計算機系統(tǒng)中，大量的寄存器、計數(shù)器等往往按四位計算機系統(tǒng)中，大量的寄存器、計數(shù)器等往往按四位一組排列。故使十六進制的使用獨具優(yōu)越性。一組排列。故使十六進制的使用獨具優(yōu)越性。十十 二二 八八 十六十六 十十 二

20、二 八八 十六十六 0 0000 0 0 8 1000 10 8 1 0001 1 1 9 1001 11 9 2 0010 2 2 10 1010 12 A 3 0011 3 3 11 1011 13 B 4 0100 4 4 12 1100 14 C 5 0101 5 5 13 1101 15 D 6 0110 6 6 14 1110 16 E 7 0111 7 7 15 1111 17 F （六）常用數(shù)制對照表（六）常用數(shù)制對照表三、編碼三、編碼數(shù)字系統(tǒng)的信息數(shù)字系統(tǒng)的信息數(shù)值數(shù)值文字符號文字符號二進制代碼二進制代碼編碼編碼為了表示字符為了表示字符 為了分別表示為了分別表示N N個字符，

21、所需的二進制數(shù)的最小個字符，所需的二進制數(shù)的最小位數(shù)：位數(shù)：N2n 常用四位自然二進制碼，表示十進制數(shù)常用四位自然二進制碼，表示十進制數(shù)0-150-15，各位，各位的權(quán)值依次為的權(quán)值依次為2 23 3、2 22 2、2 21 1、2 20 0。（一）自然二進制碼（一）自然二進制碼1.1.自然二進制碼自然二進制碼按自然數(shù)順按自然數(shù)順序排列的二序排列的二進制碼進制碼當(dāng)用當(dāng)用n n位二進制碼時，有位二進制碼時，有2 2n n 個代碼。個代碼。 編碼可以有多種，數(shù)字電路中所用的主要是編碼可以有多種，數(shù)字電路中所用的主要是二二十進制碼（十進制碼（BCD碼）。碼）。BCD-Binary-Coded-Dec

22、imal（二）二（二）二十進制十進制BCDBCD碼碼 在在BCD碼中，用四位二進制數(shù)表示碼中，用四位二進制數(shù)表示09十個數(shù)十個數(shù)碼。四位二進制數(shù)最多可以表示碼。四位二進制數(shù)最多可以表示16個字符，因此個字符，因此09十個字符與這十個字符與這16中組合之間可以有多種情況，中組合之間可以有多種情況，不同的對應(yīng)便形成了一種編碼。不同的對應(yīng)便形成了一種編碼。有權(quán)碼有權(quán)碼四位二進制數(shù)中的每一位都對應(yīng)有固定的權(quán)四位二進制數(shù)中的每一位都對應(yīng)有固定的權(quán)(N)D= W3K3 +W2K2+W1K1+W0K0W3W0為二進制各位的權(quán)重為二進制各位的權(quán)重 8421 8421碼是一種有權(quán)碼，碼是一種有權(quán)碼，是指各位的權(quán)

23、重是是指各位的權(quán)重是8 8、4 4、2 2、1 1。按權(quán)相加，即可得到所代表的十進制數(shù)。按權(quán)相加，即可得到所代表的十進制數(shù)。 除此之外，還可取四位二進制碼的前五種和后除此之外，還可取四位二進制碼的前五種和后五種狀態(tài)，代表十進制的五種狀態(tài)，代表十進制的0 09 9，中間六個狀態(tài)不，中間六個狀態(tài)不用，這就構(gòu)成了用，這就構(gòu)成了24212421碼，它也是一種有權(quán)碼，其碼，它也是一種有權(quán)碼，其權(quán)依次為權(quán)依次為2 2、4 4、2 2、1 1。 另外還有另外還有54215421碼和余碼和余3 3碼等（余碼等（余3 3碼為無權(quán)碼，碼為無權(quán)碼，它是它是84218421碼加碼加00110011得來的）。得來的）。

24、由自然二進由自然二進制碼的本位制碼的本位與高位異或與高位異或而得。而得。 G Gn n=B=Bn nG Gi i=B=Bi+1i+1B Bi i格雷碼格雷碼格雷碼是一種格雷碼是一種無權(quán)碼無權(quán)碼（三）幾種常見的碼（三）幾種常見的碼 ASCII ASCII碼是美國標(biāo)準(zhǔn)信息交換碼，它是用七位二碼是美國標(biāo)準(zhǔn)信息交換碼，它是用七位二進制碼表示，其編碼見進制碼表示，其編碼見P28P28。它共有它共有128128個代碼，可以表示大、小寫英文字個代碼，可以表示大、小寫英文字母、十進制數(shù)、標(biāo)點符號、運算符號、控制符母、十進制數(shù)、標(biāo)點符號、運算符號、控制符號等，普遍用于計算機、鍵盤輸入指令和數(shù)據(jù)號等，普遍用于計算

25、機、鍵盤輸入指令和數(shù)據(jù)等。等。000000010010001101100111100010011010101111011110111101011100010001236789101113141551240123578964012356789403456782910123678549二進制數(shù)二進制數(shù)自然碼自然碼 8421碼碼 2421碼碼5421碼碼 余三碼余三碼邏輯代數(shù)及運算規(guī)則邏輯代數(shù)及運算規(guī)則返回返回邏輯代邏輯代數(shù)數(shù)與基本邏輯關(guān)系與基本邏輯關(guān)系邏輯代數(shù)的基本定律邏輯代數(shù)的基本定律 邏輯代數(shù)的運算公式規(guī)則邏輯代數(shù)的運算公式規(guī)則 邏輯代數(shù)與基本邏輯關(guān)系邏輯代數(shù)與基本邏輯關(guān)系取值：邏輯取值：邏輯

26、0 0、邏輯、邏輯1 1。邏輯。邏輯0 0和邏輯和邏輯1 1不代表不代表數(shù)值數(shù)值大小大小，僅表示相互矛盾、相互對立的，僅表示相互矛盾、相互對立的兩種邏輯狀兩種邏輯狀態(tài)。態(tài)。與運算與運算或運算或運算非運算非運算一、邏輯變量一、邏輯變量二、基本邏輯運算二、基本邏輯運算與邏輯與邏輯 只有決定某一事件的所有條件全部具備，只有決定某一事件的所有條件全部具備，這一事件才能發(fā)生。這一事件才能發(fā)生。EFABC開關(guān)開關(guān)A開關(guān)開關(guān)B燈燈F 斷斷 斷斷 斷斷 斷斷 斷斷 合合 斷斷 合合 斷斷 斷斷 合合 合合 合合 斷斷 斷斷 合合 斷斷 合合 合合 合合 斷斷 合合 合合 合合滅滅滅滅滅滅滅滅滅滅滅滅滅滅亮亮開

27、關(guān)開關(guān)CF=ABC邏輯式邏輯式邏輯乘法邏輯乘法邏輯與邏輯與AFBC00001000010011000010101001101111真值表真值表與邏輯運算符，也有用與邏輯運算符，也有用“ ”、“”、“”、“&”&”表示表示&ABCF邏輯符號邏輯符號或邏輯或邏輯 只有決定某一事件的只有決定某一事件的有一個或一個以上有一個或一個以上具備，具備，這一事件才能發(fā)生。這一事件才能發(fā)生。AEFBC開關(guān)開關(guān)A開關(guān)開關(guān)B燈燈F 斷斷 斷斷 斷斷 斷斷 斷斷 合合 斷斷 合合 斷斷 斷斷 合合 合合 合合 斷斷 斷斷 合合 斷斷 合合 合合 合合 斷斷 合合 合合 合合滅滅亮亮亮亮亮亮亮亮

28、亮亮亮亮亮亮開關(guān)開關(guān)C邏輯式邏輯式邏輯加法邏輯加法邏輯或邏輯或AFBC00001001010111010011101101111111真值表真值表F=A+B+C或邏輯運算符，也有或邏輯運算符，也有用用“”、“”表表示示 1ABCF邏輯符號邏輯符號非邏輯非邏輯 當(dāng)決定某一事件的條件滿足時，事件不發(fā)生；反當(dāng)決定某一事件的條件滿足時，事件不發(fā)生；反之事件發(fā)生。之事件發(fā)生。AEFR開關(guān)開關(guān)A燈燈F斷斷亮亮合合滅滅邏輯式邏輯式邏輯非邏輯非邏輯反邏輯反真值表真值表AF0110AF “-”“-”非邏非邏輯運算符輯運算符邏輯符號邏輯符號AF1三、幾種常見組合邏輯運算三、幾種常見組合邏輯運算CBAF 與非：與非

29、：條件條件A A、B B、C C都具備，都具備，則則F F不發(fā)生。不發(fā)生。&ABCFCBAF 或非：或非：條件條件A A、B B、C C任一具備，則任一具備，則F F不發(fā)生。不發(fā)生。 1ABCF1ABF1 01 10 10 0100邏輯表達式邏輯表達式F=AF=A B=AB+ABB=AB+AB ABF=1邏輯符號邏輯符號ABF1 01 10 10 00011同或運算同或運算邏輯表達式邏輯表達式F=A F=A B= B= A A B B ABF=1邏輯符號邏輯符號“ ”異或邏異或邏輯運算符輯運算符“”同或同或邏輯運算符邏輯運算符異或運算異或運算四、幾種基本邏輯運算四、幾種基本邏輯運算從三

30、種基本的邏輯關(guān)系，我們可以得到以從三種基本的邏輯關(guān)系，我們可以得到以下邏輯運算：下邏輯運算：0 0=0 1=1 0=01 1=10+0=00+1=1+0=1+1=11001 邏輯代數(shù)的基本定律邏輯代數(shù)的基本定律一、基本運算規(guī)則一、基本運算規(guī)則A+0=A A+1=1 A 0 =0 A=0 A 1=A1AA AAA 0AA AAA AA 二、基本代數(shù)規(guī)律二、基本代數(shù)規(guī)律交換律交換律結(jié)合律結(jié)合律分配律分配律A+B=B+AA B=B AA+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+BA (B C)=(A B) CA(B+C)=A B+A CA+B C=(A+B)(A+C)普通代普通代數(shù)不適數(shù)不適用用!反

31、演律反演律（摩根定律）（摩根定律）A+B+C=A. B. CA.B.C= A + B + C三、吸收規(guī)則三、吸收規(guī)則1.原變量的吸收：原變量的吸收：A+AB=A證明：證明：A+AB=A(1+B)=A1=A利用運算規(guī)則可以對邏輯式進行化簡。利用運算規(guī)則可以對邏輯式進行化簡。例如：例如：CDAB)FE(DABCDAB 被吸收被吸收2.反變量的吸收：反變量的吸收：BABAA 證明：證明：BAABABAA BA)AA(BA 例如：例如：DCBCADCBCAA被吸收被吸收3.混合變量的吸收：混合變量的吸收：CAABBCCAAB 證明：證明：BC)AA(CAABBCCAAB CAABBCAABCCAAB

32、例如：例如：CAABBCCAABBCDBCCAABBCDCAAB 1CAABBCDECAAB公式可推廣：公式可推廣：例：用真值表證明反演律例：用真值表證明反演律A BA BAB A+ BA BA+B000110111110111010001000 A B= A+B A+ B=AB證明方法證明方法1.利用真值表利用真值表2.利用基本定律利用基本定律例例F=A F=A B= B= A A B B AB + A B = AB.A B =(A+B)(A+B) =AB + AB = A A B B 任何一個含有某變量的等式，如果任何一個含有某變量的等式，如果等式等式中所有出現(xiàn)此中所有出現(xiàn)此變量變量的位置

33、均代之以一個的位置均代之以一個邏輯函數(shù)式邏輯函數(shù)式，則此等式依然成，則此等式依然成立。立。例：例： A B= A+BBCBC替代替代B B得得ABCBCA CBA由此反演律能推廣到由此反演律能推廣到n n個變量：個變量：n 21n 21n 21n 21AAAAAAAAAA A A利用反演律利用反演律邏輯代數(shù)的運算公式和規(guī)則邏輯代數(shù)的運算公式和規(guī)則1.1.代入規(guī)則代入規(guī)則對于任意一個邏輯函數(shù)式對于任意一個邏輯函數(shù)式F F，做如下處理：，做如下處理：若把式中的運算符若把式中的運算符“. .”換成換成“+ +”, “”, “+ +” ” 換成換成“. .”；常量常量“0 0”換成換成“1 1”，“1

34、 1”換成換成“0 0”；原原變量換成變量換成反反變量，變量，反反變量換成變量換成原原變量變量; ;那么得到的那么得到的新函數(shù)式新函數(shù)式稱為原函數(shù)式稱為原函數(shù)式F F的的反函數(shù)式反函數(shù)式。例：例：F(AF(A、B B、C)C)CBAB )C A(BA 其反函數(shù)為其反函數(shù)為)CBA(BCA)BA(F或或)CBA(B)CA()BA(F2.2.反演規(guī)則反演規(guī)則 保持原函數(shù)的運算次序保持原函數(shù)的運算次序-先與后或，可時適當(dāng)先與后或，可時適當(dāng)加入括號。不屬于單個變量上的非號有兩種處理加入括號。不屬于單個變量上的非號有兩種處理方法：方法：非號保留，而非號下面的函數(shù)式按反演規(guī)則變換非號保留，而非號下面的函數(shù)

35、式按反演規(guī)則變換將非號去掉，而非號下的函數(shù)式保留不變。將非號去掉，而非號下的函數(shù)式保留不變。注意注意對于任意一個邏輯函數(shù)，做如下處理：對于任意一個邏輯函數(shù)，做如下處理：若把式中的運算符若把式中的運算符“. .”換成換成“+ +”，“+ +”換成換成“. .”；常量常量“0 0”換成換成“1 1”，“1 1”換成換成“0”0” 得到新函數(shù)式為原函數(shù)式得到新函數(shù)式為原函數(shù)式F F的對偶式的對偶式FF，也，也稱對偶函數(shù)。稱對偶函數(shù)。3.3.對偶規(guī)則對偶規(guī)則如果兩個函數(shù)式相等，則它們對應(yīng)的對偶式也相等。如果兩個函數(shù)式相等，則它們對應(yīng)的對偶式也相等。例：例：B1CAABF 其對偶式其對偶式)B 0()

36、CA ()BA(F求對偶式時求對偶式時運算順序不變運算順序不變，且它只，且它只變變換換運運算符和常量算符和常量，其，其變量變量是是不變不變的。的。函數(shù)式中有函數(shù)式中有“ ”和和“”運算符，求反函運算符，求反函數(shù)及對偶函數(shù)時，要將運算符數(shù)及對偶函數(shù)時，要將運算符“ ”換成換成“”， “ “”換成換成“ ”。 注意注意一、邏輯函數(shù)一、邏輯函數(shù)用有限個與、或、非邏輯運算符，按某種邏輯用有限個與、或、非邏輯運算符，按某種邏輯關(guān)系將邏輯變量關(guān)系將邏輯變量A、B、C、.連接起來，描連接起來，描述輸入變量與輸出變量之間的邏輯關(guān)系，所得述輸入變量與輸出變量之間的邏輯關(guān)系，所得的表達式的表達式F = f（A、B

37、、C、.）稱為邏輯函稱為邏輯函數(shù)。數(shù)。輸入變量輸入變量輸出變量輸出變量邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式五種常用表達式五種常用表達式F(AF(A、B B、C)C)CAAB “與與或或”式式)BA)(CA(“或或與與”式式CAAB“與非與非與非與非”式式 BACA“或非或非或非或非”式式BACA“與與或或非非”式式基本形式基本形式表達式形式轉(zhuǎn)換表達式形式轉(zhuǎn)換CA AB F CAAB CAAB二、二、邏輯函數(shù)的表示方法邏輯函數(shù)的表示方法真值表：真值表：輸入變量輸入變量不同取值組合不同取值組合與與函數(shù)值函數(shù)值間的對應(yīng)關(guān)間的對應(yīng)關(guān) 系列成表格系列成表格。挑出函數(shù)值為挑出函數(shù)值為1的項的項ABCF00

38、000100101110011011101100001101 101111101111每個函數(shù)值為每個函數(shù)值為1 1的輸入變量取值的輸入變量取值組合寫成一個組合寫成一個乘積項乘積項這些乘積項作這些乘積項作邏輯加邏輯加1.1.邏輯函數(shù)式邏輯函數(shù)式 F= ABC+ABC+ABCABC+ABC+ABC把相應(yīng)的邏輯關(guān)系用邏輯符號和連線表示出來。把相應(yīng)的邏輯關(guān)系用邏輯符號和連線表示出來。&AB&CD 1FF=AB+CD2.邏輯圖邏輯圖乘積項乘積項用用與門與門實現(xiàn)，實現(xiàn)，和項和項用用或門或門實現(xiàn)。實現(xiàn)。BABABABABAL方法方法：逐級寫出邏輯表：逐級寫出邏輯表達式然后化簡。達式然后化簡

39、。已知邏輯圖求邏輯表達式已知邏輯圖求邏輯表達式BAABABL&11ABABY1 1 1 11解：解：BABAYBABABA例例: :已知函數(shù)的邏輯圖如下所示，試求它的邏輯函數(shù)式。已知函數(shù)的邏輯圖如下所示，試求它的邏輯函數(shù)式。BABA )(BABA方法方法：先化簡：先化簡轉(zhuǎn)化為需要的形式轉(zhuǎn)化為需要的形式畫邏輯圖畫邏輯圖對其二次對其二次求非求非求最簡與或式用與非門表示求最簡與或式用與非門表示例例).(),(CDBBCADCBAL解：解：BCDBCCDABADCBAL),(CDABCBACDABCBA已知邏輯表達式求邏輯圖已知邏輯表達式求邏輯圖ACL&DB畫出對應(yīng)的邏輯圖畫出對應(yīng)的邏

40、輯圖例例: : 已知邏輯函數(shù)已知邏輯函數(shù)CCBACBAY返回返回&ABCY 111& 11ABCCBACB邏輯函數(shù)的化簡邏輯函數(shù)的化簡邏輯函數(shù)化簡的目的：邏輯函數(shù)化簡的目的： 邏輯電路所用的門數(shù)量少、每個門的輸入端個數(shù)少、邏輯電路所用的門數(shù)量少、每個門的輸入端個數(shù)少、邏輯電路的級數(shù)少，并保證電路可靠的工作。邏輯電路的級數(shù)少，并保證電路可靠的工作。常用的常用的與與或或表達式的最簡的標(biāo)準(zhǔn)有兩條：表達式的最簡的標(biāo)準(zhǔn)有兩條：（1）與與項最少，即表達式中項最少，即表達式中“+” 號最少；號最少；（2）每個）每個與與項中的變量數(shù)最少，即表達式中項中的變量數(shù)最少，即表達式中“.”號最少。號最

41、少。邏輯函數(shù)的化簡邏輯函數(shù)的化簡 1 A B C 1 L & & 1 L=B+C B C 1 1 BCBBB)(AL CBL BCBBBBALBC1)(ABL BCBL 化簡后電路簡單、可靠性高化簡后電路簡單、可靠性高B)(A BBCBB)(A 1.與或表達式的簡化與或表達式的簡化方法：方法：并項：并項：利用利用ABAAB將兩項并為一項，消去變量將兩項并為一項，消去變量B B消項：消項： 利用利用A + AB = A A + AB = A 消去多余的項消去多余的項 ABAB和互補律、和互補律、配項：配項：利用利用CAABBCCAAB重疊律先增添項，再消去多余項重疊律先增添項，再

42、消去多余項BCBC消元：消元：利用利用BABAA消去多余變量消去多余變量A A一、代數(shù)法簡化函數(shù)一、代數(shù)法簡化函數(shù)CBDBDAACF例：例：試化簡函數(shù)試化簡函數(shù)解：解：CBDBDAACF利用反演律利用反演律)BA(DCBACABDCBAC配項加配項加ABABABDABCBAC消反變量消反變量DABCBAC消項消項ABABDCBAC試求函數(shù)試求函數(shù))CB)(CA)(DCA)(BA(F的最簡或與式的最簡或與式解解: :F F對偶式對偶式CBACDCABAF( (消去消去)DCACBACBA求原函數(shù)求原函數(shù))CB)(CA)(BA()F(F求對偶式求對偶式F(F(最簡或與式最簡或與式) )F(F(或與

43、式或與式) )求對偶式求對偶式F F( (與或式）與或式） 簡化簡化F F( (最簡與或式最簡與或式) )2.或與表達式的簡化或與表達式的簡化)(GFADEBDDBBCCBCAABY )()(GFADEBDDBBCCBCBA )()(GFADEBDDBBCCBCBA )(GFADEBDDBBCCBA )()(CCBDDBBCDDCBA CBDBCDDBBCDCBCDBA )()()(DBCBCCDBDCBDBDCBA BCDCDBA 綜合運用綜合運用 例例1 1CBAACBCCBABA)()(先配項先配項利用利用A+AB=A 消去多余項消去多余項展開展開CBCBBABAY 例例 2CACBBA

44、)()()(CBABCACBACBCBABACBACBACBCBABCABA代數(shù)法化簡在使用中遇到的困難：代數(shù)法化簡在使用中遇到的困難：1.1.邏輯代數(shù)與普通代數(shù)的公式易混淆，化簡過程要求邏輯代數(shù)與普通代數(shù)的公式易混淆，化簡過程要求對所有公式熟練掌握；對所有公式熟練掌握；2.2.代數(shù)法化簡無一套完善的方法可循，它依賴于人的經(jīng)驗代數(shù)法化簡無一套完善的方法可循，它依賴于人的經(jīng)驗和靈活性；和靈活性；3.3.用這種化簡方法技巧強，較難掌握。特別是對代數(shù)用這種化簡方法技巧強，較難掌握。特別是對代數(shù)化簡后得到的邏輯表達式是否是最簡式判斷有一定困難?；喓蟮玫降倪壿嫳磉_式是否是最簡式判斷有一定困難。所以，介

45、紹另一種方法所以，介紹另一種方法-卡諾圖化簡法?？ㄖZ圖化簡法。3 3個變量有個變量有2 23 3（8 8）個最小項個最小項 n n個變量的邏輯函數(shù)中，包括個變量的邏輯函數(shù)中，包括全部全部n n個變量的個變量的乘積項乘積項（每個變量必須而且只能以原變量或反變量的形式出現(xiàn)（每個變量必須而且只能以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次）。一次）。CBACBACBABCACBACBACABABC 最小項最小項000001010011100101110111二進制數(shù)二進制數(shù)01234567十進制數(shù)十進制數(shù)m0m1m2m3m4m5m6m7編號編號n n個變量有個變量有2 2n n個最小項，記作個最小項，記作mi i

46、1.1.最小項最小項二、最小項的定義與性質(zhì)二、最小項的定義與性質(zhì)BAA(B + C )A(B + C ) ACBA是最小項嗎？是最小項嗎？任意一組變量取值，任意一組變量取值，只有一個只有一個最小最小 項的值為項的值為1，其它最小項的值均為其它最小項的值均為0;同一組變量取值任意同一組變量取值任意兩個不同兩個不同最小項的最小項的乘積乘積為為0;不同的最小項，使它的值為不同的最小項，使它的值為1 1的那一組變量取值的那一組變量取值也不同；也不同；全部全部最小項之最小項之和和為為1。2.最小項的性質(zhì)最小項的性質(zhì)0 0 1A B CA B C0 0 0m0CBAm1m2m3m4m5m6m7CBACBA

47、BCACBACBACABABC 1 -n20iimF1000000001000000110 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 10000000000001000000100000010000001000000100000011111113.3.三變量的最小項三變量的最小項 l 為為“與或與或”邏輯表達式；邏輯表達式； l 在在“與或與或”式中的每個乘積項都是最小項。式中的每個乘積項都是最小項。4. 4. 最小項的表達式最小項的表達式( , , )()()L A B CAB C CA B B C例例1 1 將將( , , )L A B CAB AC化成最小項表達式化成最小項表

48、達式= m7m6m3m1 CBABCACABABC) 1 , 3 , 6 , 7(mABCBAABCBAL)(),( 例例2 將將 化成最小項表達式化成最小項表達式 去掉非號去掉非號ABCBAABCB,A,L )()(ABCBAAB )(去括號去括號 ABCBABCA CC 將將AB乘以乘以CABABCCBABCA 3576(3,5,6,7)mmmmmABCBABA )(可見，任一邏輯函數(shù)都可以化成唯一的最小項表達式?？梢?，任一邏輯函數(shù)都可以化成唯一的最小項表達式。圖中的圖中的一小格一小格對應(yīng)真值表中對應(yīng)真值表中的的一行一行，即對應(yīng)一個，即對應(yīng)一個最小項最小項A B0 00 11 01 1 m

49、0 m1 m2 m3 miABC0100011110 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m70001111000011110 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m11ABCD二二變變量量K圖圖三三變變量量K圖圖四四變變量量K圖圖1.卡諾圖（卡諾圖（K圖圖）二、圖形法化簡函數(shù)二、圖形法化簡函數(shù)k k圖為方形圖。圖為方形圖。n n個變量的函數(shù)個變量的函數(shù)-k-k圖有圖有2 2n n個小方格，分別對個小方格，分別對應(yīng)應(yīng)2 2n n個最小項個最小項。k k圖中行、列兩組變量取值按循環(huán)碼規(guī)律排列，使變量各最圖中行、列兩組變量取值按

50、循環(huán)碼規(guī)律排列，使變量各最小項之間具有小項之間具有邏輯相鄰性邏輯相鄰性。上下左右?guī)缀蜗噜彽姆礁駜?nèi)，上下左右?guī)缀蜗噜彽姆礁駜?nèi)，只有一個因子不同只有一個因子不同有三種幾何相鄰：有三種幾何相鄰：鄰接、相對（行列兩端）和對稱鄰接、相對（行列兩端）和對稱（圖中以（圖中以0 0、1 1分割線為對稱軸）方格均屬相鄰。分割線為對稱軸）方格均屬相鄰。0001111000011110 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m11ABCD四四變變量量K圖圖兩個相鄰格圈在一起，兩個相鄰格圈在一起，結(jié)果消去一個變量結(jié)果消去一個變量ABD ADA1四個相鄰格圈

51、在一起，四個相鄰格圈在一起，結(jié)果消去兩個變量結(jié)果消去兩個變量八個相鄰格圈在一起，八個相鄰格圈在一起，結(jié)果消去三個變量結(jié)果消去三個變量十六個相鄰格圈在一十六個相鄰格圈在一起，結(jié)果起，結(jié)果 mi=12.K2.K圖的特點圖的特點3.根據(jù)函數(shù)填寫卡諾圖根據(jù)函數(shù)填寫卡諾圖已知函數(shù)為最小項表達式，存在的最小項對應(yīng)已知函數(shù)為最小項表達式，存在的最小項對應(yīng)的格填的格填1，其余格均填，其余格均填0。若已知函數(shù)的真值表，將真值表中使函數(shù)值為若已知函數(shù)的真值表，將真值表中使函數(shù)值為1的那些最小項對應(yīng)的方格填的那些最小項對應(yīng)的方格填1，其余格均填，其余格均填0。函數(shù)為一個復(fù)雜的運算式，則先將其變成函數(shù)為一個復(fù)雜的運算

52、式，則先將其變成與或與或式式，再用直接法填寫。，再用直接法填寫。（4）一個包圍圈的方格數(shù)要盡可）一個包圍圈的方格數(shù)要盡可能多，包圍圈的數(shù)目要可能少。能多，包圍圈的數(shù)目要可能少。（3）同一取值為）同一取值為1的方格可以被不的方格可以被不同的包圍圈重復(fù)包圍多次，但新同的包圍圈重復(fù)包圍多次，但新增的包圍圈中一定要有原有包圍增的包圍圈中一定要有原有包圍圈未曾包圍的方格。圈未曾包圍的方格。（1）包圍圈內(nèi)的方格數(shù)一定是）包圍圈內(nèi)的方格數(shù)一定是2n個，且包圍圈必須呈矩形。個，且包圍圈必須呈矩形。（2）循環(huán)相鄰特性包括上下底相鄰，左右邊相鄰和四角相鄰。）循環(huán)相鄰特性包括上下底相鄰，左右邊相鄰和四角相鄰。 m0

53、 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 m12 m13 m15 m14 m8 m9 m11 m10 00 01 11 10 AB CD 00 01 11 10 m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 m12 m13 m15 m14 m8 m9 m11 m10 00 01 11 10 AB CD 00 01 11 10 X（5）取值為）取值為1的方格均要被圈過，不能漏掉取值為的方格均要被圈過，不能漏掉取值為1的項。的項。4.作圈的步驟作圈的步驟5.卡諾圖化簡函數(shù)規(guī)則卡諾圖化簡函數(shù)規(guī)則 幾何相鄰的幾何相鄰的2i（i = 1、2、3n）個小格）個小格可合并在一起可合并在一起構(gòu)成正方形或矩

54、形圈，消去構(gòu)成正方形或矩形圈，消去i個變量，而用含個變量，而用含（n - i）個個變量的積項標(biāo)注該圈變量的積項標(biāo)注該圈。6.與或表達式的簡化與或表達式的簡化 先將函數(shù)填入相應(yīng)的卡諾圖中，存在的最小項對應(yīng)的先將函數(shù)填入相應(yīng)的卡諾圖中，存在的最小項對應(yīng)的方格填方格填1，其它填，其它填0。 合并：按作圈原則將圖上填合并：按作圈原則將圖上填1的方格圈起來，要求圈的的方格圈起來，要求圈的數(shù)數(shù)量少量少、范圍大范圍大，圈，圈可重復(fù)包圍可重復(fù)包圍但每個圈內(nèi)必須有但每個圈內(nèi)必須有新新的最小的最小項。項。 按取同去異原則，每個圈寫出一個乘積項。按取同去異原則，每個圈寫出一個乘積項。 最后將全部積項邏輯加即得最簡與

55、或表達式。最后將全部積項邏輯加即得最簡與或表達式。例例1 用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)用卡諾圖化簡邏輯函數(shù))14,13, 9 , 8 ,7 , 6 , 5 , 2 , 1 , 0(),( mDCBAL 1 1 1 00 AB L 01 10 11 CD 11 00 00 01 10 1111111111DBCDCABCACBDCL DCCBDCADBCBCA三、圖形法簡化函數(shù)舉例三、圖形法簡化函數(shù)舉例邏輯函數(shù)最簡與或式不是唯一的（但最小項表達式唯一）邏輯函數(shù)最簡與或式不是唯一的（但最小項表達式唯一）ABAB00000101CDCD010100001111 1010111110101 11 11 11 10 01 11 11 10 01 11 11 11 1