膨脹波和激波

1、第十章膨脹波和激波折角與波后氣流的馬赫數(shù)的關(guān)系。稱(chēng)為Prandtl-Mayer函數(shù)，或Prandtl-Mayer角。它表示對(duì)于來(lái)流馬赫數(shù)為1時(shí)，經(jīng)過(guò)膨脹后氣流速度達(dá)到M時(shí)，所能偏轉(zhuǎn)的角度。這個(gè)式子已經(jīng)制成表格，在知道M數(shù)或后，從這個(gè)表格中可以查到另一個(gè)值。（三）對(duì)于來(lái)流馬赫數(shù)為M1而最后速度為M2,氣流總偏轉(zhuǎn)角為：如果壁面轉(zhuǎn)折是朝上的，膨脹波將沿逆時(shí)針?lè)较?，此時(shí)普郎特-梅耶角取正數(shù)。否則為負(fù)數(shù)。（也可以理解為取絕對(duì)值。）當(dāng)最終馬赫數(shù)為8,達(dá)到普郎特-梅耶角的最大可能值但這只是一個(gè)理論值，因?yàn)樵缭谶_(dá)到這個(gè)速度前，氣流就會(huì)冷凝了。例1馬赫數(shù)1.4的空氣，繞一外鈍角偏轉(zhuǎn)了200。已知來(lái)流的初始靜壓和

2、靜溫分別是p1=101325N/m2,T1=288K,求膨脹后氣流的馬赫數(shù)、靜壓和靜溫。解由來(lái)流馬赫數(shù)M1,可以查表或者根據(jù)Prandtl-Mayer角求得v1=8.987,這個(gè)角度表示音速的來(lái)流經(jīng)過(guò)膨脹后氣流馬赫數(shù)為M1后的偏轉(zhuǎn)角。這樣，從音速的來(lái)流膨脹到M2的總偏轉(zhuǎn)角為v2=8.987+20=28.987再查表或計(jì)算得到M2=2.096。因?yàn)闅饬鹘?jīng)過(guò)膨脹波是絕能等嫡的，所以總溫總壓不變，借此可以計(jì)算出波后靜壓和靜（六）在連續(xù)轉(zhuǎn)折或凸曲面處的膨脹波。不論多道轉(zhuǎn)折，還是曲面轉(zhuǎn)折，在已知來(lái)流馬赫數(shù)后，只要知道氣流膨脹之后的馬赫數(shù)、或者總的折轉(zhuǎn)角，便可求得另一個(gè)。例2拉瓦爾噴管的出口處，Me=1.

3、2,氣流出口處的總壓為3個(gè)大氣壓，問(wèn)：出口處氣流是膨脹還是壓縮？膨脹或者壓縮的氣流偏轉(zhuǎn)角多大？絕熱指數(shù)取1.4。解根據(jù)拉瓦爾噴管的出口總壓和馬赫數(shù)，可求得出口氣流的靜壓為：p=1.237因?yàn)檫@個(gè)壓力比環(huán)境壓力高，所以氣流必須繼續(xù)膨脹減壓為了求得氣流膨脹后的轉(zhuǎn)角，必須求得氣流膨脹后的馬赫數(shù)M2。根據(jù)膨脹波是絕能等嫡的過(guò)程，而膨脹后氣流壓力必須達(dá)到環(huán)境壓力，因此可以求出氣流膨脹后的馬赫數(shù)為：說(shuō)明拉瓦爾噴管的作用是依靠氣流加速產(chǎn)生推力的，當(dāng)出口處產(chǎn)生膨脹時(shí)，表明氣流在噴管內(nèi)膨脹不足，因此這個(gè)工作狀態(tài)下，噴管是損失掉能量了。常說(shuō)這是噴管被截短了。（七）氣流繞凹曲面等嫡壓縮是膨脹波的逆過(guò)程，也可以用普郎

4、特-梅耶膨脹波理論解決。參見(jiàn)課本例題2。需要特別指出，等嫡壓縮也稱(chēng)為微弱壓縮，而且等嫡壓縮波最后會(huì)匯總在一起，形成強(qiáng)烈的壓縮，那里壓縮不再是等嫡的。2、激波（shockwave）理論1.激波的特征當(dāng)超音速氣流流過(guò)大的障礙物時(shí)，氣流在障礙物前受到急劇的壓縮，壓力和密度突然顯著增加。所產(chǎn)生的壓力擾動(dòng)波以比音速大得多的速度傳播，波面所至之處氣流參數(shù)發(fā)生突然的變化，這種強(qiáng)壓力擾動(dòng)波稱(chēng)為激波或沖波。氣流通過(guò)激波時(shí)，速度下降，而壓力、密度和溫度增加?？倻夭蛔兊倝航档?。因此這是一個(gè)嫡增過(guò)程，換言之是一個(gè)不可逆過(guò)程。激波是由許多微弱擾動(dòng)波迭加而成的，有一定強(qiáng)度的壓縮波。2、激波的分類(lèi)正激波激波面與氣流來(lái)流方

5、向垂直，氣流經(jīng)正激波后不改變來(lái)流方向。斜激波激波面與氣流來(lái)流方向不垂直，氣流經(jīng)斜激波后要改變流動(dòng)方向。曲激波（或稱(chēng)弓形激波、脫體激波）由正激波（在中間部分）和斜激波系組成。3 .激波的厚度在無(wú)粘性不導(dǎo)熱的理想氣體中，激波成為無(wú)厚度的數(shù)學(xué)上的間斷面。在實(shí)際氣體中，由于粘性和熱傳導(dǎo)，激波是一個(gè)極薄的過(guò)渡區(qū)，厚度與氣體分子的平均自由行程（內(nèi)10-5mm）同一數(shù)量級(jí)。各氣體參數(shù)是在這個(gè)極小厚度內(nèi)連續(xù)變化，所以也可以把激波看作是一個(gè)不連續(xù)的間斷面。4 .波阻超音速氣流經(jīng)過(guò)激波后，部分動(dòng)能不可逆地轉(zhuǎn)變?yōu)闊崮芏鴵p失掉，因而產(chǎn)生一種超音速氣流所特有的阻力損失，稱(chēng)為波阻。氣流通過(guò)正激波時(shí)波阻最大。5、正激波參數(shù)

6、計(jì)算基本方程取相對(duì)坐標(biāo)系，把直管內(nèi)的激波當(dāng)作靜止的，這樣是超音速來(lái)流穿過(guò)激波。波前參數(shù)是pl、T1、pl、V1;波后參數(shù)為p2、T2、p2、V2o取包圍激波的一個(gè)控制體，可以使用積分形式方程建立波前波后氣流的基本方程。思考：為什么不能用微分方程？連續(xù)方程動(dòng)量定理能量方程狀態(tài)方程:借助于上面這個(gè)一維流的氣體動(dòng)力學(xué)方程組，可以得到關(guān)于激波參數(shù)計(jì)算的四組公式。它們分別是：Prandtl激波關(guān)系式；波前波后氣流參數(shù)關(guān)系；Ranking-Hugioniut關(guān)系；總壓損失關(guān)系式（或稱(chēng)嫡增關(guān)系式）。正激波基本關(guān)系式之一一一普郎特激波公式這個(gè)關(guān)系表明，正激波后氣流總是亞音速的。當(dāng)M1->00,那

7、么正激波后最小的馬赫數(shù)M2=0.378。（丫=1.4）【證明】用動(dòng)量方程除以連續(xù)方程，得到由于能量方程可寫(xiě)成正激波的激波關(guān)系之二一一波前波后氣流參數(shù)比與波前馬赫數(shù)的關(guān)系可見(jiàn)，波前波后參數(shù)之比只取決于波前M數(shù)從上面的關(guān)系式可以分析出：如果波前馬赫數(shù)無(wú)限大，則壓強(qiáng)比也是無(wú)限大。這意味著，來(lái)流越強(qiáng)，激波也越強(qiáng)?？梢酝ㄟ^(guò)激波實(shí)現(xiàn)任意大壓強(qiáng)的壓縮。因?yàn)椴ㄇ榜R赫數(shù)無(wú)限大時(shí)，密度之比有一個(gè)極限：（r+1）/（r-1）。所以通過(guò)激波不可能實(shí)現(xiàn)無(wú)限高密度的壓縮。還可以得到總壓比的關(guān)系式（請(qǐng)自己思考）激波關(guān)系之三Rankine-Hugoniut關(guān)系這組關(guān)系描述了波前波后氣流參數(shù)比之間的相互聯(lián)系。Rankine-H

8、ugoniut關(guān)系式的重要性在于，它對(duì)于任何激波都是正確的。激波關(guān)系之四一一激波的嫡增關(guān)系因?yàn)榻?jīng)過(guò)激波后，氣流總壓變化，而總溫不變。所以由于波后，氣流總壓下降，所以氣流的嫡必然增加。6、斜激波斜激波與正激波的關(guān)系超音速氣流經(jīng)過(guò)一個(gè)楔角為S的楔形時(shí)，氣流被迫轉(zhuǎn)向了S,如果超音速氣流足夠強(qiáng)，則在楔形的頂部產(chǎn)生一道斜激波，把斜激波與來(lái)流方向的夾角B稱(chēng)為激波角，而B(niǎo)稱(chēng)為氣流偏車(chē)角（氣流角）。按動(dòng)量方程，可以證明氣流沿切向的分速在波前波后是不變的（自己分析）。而法向速度穿過(guò)激波時(shí)是變化的。從氣體動(dòng)力學(xué)基本的積分方程可知，氣流參數(shù)的變化可以如下考慮：即在正激波的關(guān)系式中，如果遇到速度（包括馬赫數(shù)或速度系數(shù)

9、），則用斜激波的法向分速代替之，就得到穿過(guò)斜激波后氣流參數(shù)的變化。因?yàn)椴ㄇ安ê髿饬鞯姆ㄏ蛩俣确謩e為：斜激波的激波關(guān)系式：1、波前波后氣流速度這表明，斜激波后氣流的法向速度必定是亞音速的，因?yàn)椴ㄇ皻饬鞣ㄏ蛩俣缺囟ㄊ浅羲俚?。但是波后氣流的總速度可以是亞音速或者可以是超音速的，因?yàn)檫€取決于切向分速。至于為什么斜激波前氣流法向速度必定是超音速的，這可以從下面的壓強(qiáng)比關(guān)系可以看出2、斜激波前后氣流參數(shù)比與來(lái)流馬赫數(shù)的關(guān)系即V1n>C1,因此斜激波前法向速度必定是超音速的。氣流偏轉(zhuǎn)角與激波角的關(guān)系對(duì)于斜激波的計(jì)算，最重要的就是確定這兩個(gè)角度。通常知道一個(gè)而需要求另一個(gè)。因?yàn)橥ㄟ^(guò)激波面的流量

10、與沿波面的分速V°無(wú)關(guān)，故連續(xù)性方程可寫(xiě)為：p1V1n=p2V2n這就是斜激波的激波角與氣流偏轉(zhuǎn)角、及波前馬赫數(shù)M1之間的關(guān)系?！菊f(shuō)明】1、這個(gè)公式計(jì)算起來(lái)是困難的，但是可以通過(guò)查斜激波表或者斜激波圖得到2、最重要的在于，這個(gè)表中一個(gè)M1和一個(gè)對(duì)應(yīng)了兩個(gè)。這兩個(gè)解分別稱(chēng)為強(qiáng)解和弱解，分別對(duì)應(yīng)了大的和小的。到底取哪個(gè)解，必須根據(jù)具體問(wèn)題而定。實(shí)驗(yàn)指出，這兩道激波中較弱的一道最常發(fā)生，特別是尖頭體前面的附體激波。但是如果下游壓力極高，就有可能產(chǎn)生強(qiáng)激波解。如果不能肯定到底是哪道激波，那么可以先按弱激波計(jì)算，再看看這個(gè)計(jì)算的結(jié)果跟下游的參數(shù)是否符合?！纠?】空氣流過(guò)一個(gè)無(wú)摩擦的表面并偏轉(zhuǎn)S=15，已知M1=3,p1=101325N/m2,T1=300K。假定產(chǎn)生一道弱激波，試求：波后氣流的馬赫數(shù)、壓強(qiáng)、密度和速度?！窘狻扛鶕?jù)來(lái)流M數(shù)及氣流偏轉(zhuǎn)角，可以查得激波角為：B=32.2404利用激波角和來(lái)流馬赫數(shù)，可以得到波前波后氣流參數(shù)比，比如脫體激波對(duì)于一個(gè)給定的來(lái)流馬赫數(shù)M1,氣流的偏轉(zhuǎn)角B有一個(gè)極限值Bmax。超過(guò)了這個(gè)極限值后，激波不再附體而離開(kāi)物體形成脫體激波。因?yàn)闅饬鹘菍?duì)應(yīng)了激波角，所以對(duì)應(yīng)有一個(gè)極限的激波角（3max對(duì)給定的M1,按此式可求出最大的激波角，再按激波角